示范教案(三角函數(shù)的誘導公式)

1、示范教案（三角函數(shù)的誘導公式）作者:日期:1.3三角函數(shù)的誘導公式 整體設計 教學分析本節(jié)主要是推導誘導公式二、三、四，并利用它們解決一些求解、化簡、證明問題.本小節(jié)介紹的五組誘導公式在內(nèi)容上既是公式一的延續(xù)，又是后繼學習內(nèi)容的基礎，它們與公式一組成的六組誘導公式，用于解決求任意角的三角函數(shù)值的問題以及有關三角函數(shù)的化 簡、證明等問題.在誘導公式的學習中，化歸思想貫穿始末，這一典型的數(shù)學思想，無論在本節(jié)中的分析導 入，還是利用誘導公式將求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值，均清晰地得到體現(xiàn),在教學中注意數(shù)學思想滲透于知識的傳授之中，讓學生了解化歸思想，形成初步的化歸意識,特別是在本課時

2、的三個轉(zhuǎn)化問題引入后，為什么確定180。+癰為第一研究對象，-“角為第二研究對象，正是化歸思想的運用.公式二、公式三與公式四中涉及的角在本課的分析導入時為不大于90。的非負角，但是在推導中卻把a拓廣為任意角，這一思維上的轉(zhuǎn)折使學生難以理解，甚至會導致對其必要性的懷疑，因此它成為本課日的難點所在.課本例題實際上是誘導公式的綜合運用，難點在于需要把所求的角看成是一個整體的任意角.學生第一次接觸到此題型 ，思維上有困難，要多加引導分析，另外，誘導公式中角度制亦可 轉(zhuǎn)化為弧度制，但必須注意同一個公式中只能采取一種制度，因此要加強角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化的練習. 三維目標1 .通過學生的探究，明了三角函數(shù)的

3、誘導公式的來龍去脈，理解誘導公式的推導過程；培養(yǎng)學生的邏輯推理能力及運算能力，滲透轉(zhuǎn)化及分類討論的思想.2 .通過誘導公式的具體運用，熟練正確地運用公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡和證明問題，體會數(shù)式變形在數(shù)學中的作用 .3 .進一步領悟把未知問題化歸為已知問題的數(shù)學思想，通過一題多解，一題多變，多題歸一提高分析問題和解決問題的能力.重點難點教學重點：五個誘導公式的推導和六組誘導公式的靈活運用，三角函數(shù)式的求值、化簡和證明等.教學又t點：六組誘導公式的靈活運用. 課時安排 2課時教學過程第1課時 導入新課思路1.利用單位圓表示任意角的正弦值和余弦值.復習誘導公式一及其用途.思路2.在前面的學習

4、中，我們知道終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等，即公式一，并且利用公式一可以把絕對值較大的角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0。到360°(0到2 nt內(nèi)的角的三角函數(shù)值求銳角三角函數(shù)值，我們可以通過查表求得，對于90。到360。(3到2nt范圍內(nèi)的角的三角函數(shù) 怎樣求解，能不能有像公式一那樣的公式把它們轉(zhuǎn)化到銳角范圍內(nèi)來求解，這一節(jié)就來探討這個問題. 推進新課新知探究 提出問題由公式一把任意角a轉(zhuǎn)化為0 ,360 )內(nèi)的角后，如何進一步求出它的三角函數(shù)值？活動：在初中學習了銳角的三角函數(shù)值可以在直角三角形中求得，特殊角的三角函數(shù)值學生記住了，對非特殊銳角的三角函數(shù)值可以通過查數(shù)學用表或是用計算器求得

5、.教師可組織學生思考討論如下問題：0到90。的角的正弦值、余弦值用何法可以求得 ？90。到360。的角3能 否與銳角 a相聯(lián)系？通過分析 3與a的聯(lián)系，引導學生得出解決設問的一種思路：若能把求90。,360 )內(nèi)的角3的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求有關銳角a的三角函數(shù)值，則問題將得到解決，適時提出，這一思想就是數(shù)學的化歸思想，教師可借此向?qū)W生介紹化歸思想.圖15 / 13討論結(jié)果：通過分析，歸納得出：如圖1.180a,90,180,3= 180a,180,270,360a,270 ,360 ,提出問題銳角a的終邊與180° +癰的終邊位置關系如何 ？它們與單位圓的交點的位置關系如何？任意角a

6、與180° +現(xiàn)？活動:分a為銳角和任意角作圖分析：如圖2.圖2引導學生充分利用單位圓，并和學生一起討論探究角的關系.無論a為銳角還是任意角，180。+的終邊都是 a的終邊的反向延長線，所以先選擇180。+初 研究對象.利用圖形還可以直觀地解決問題，角的終邊與單位圓的交點的位置關系是關于原點對稱的，對應點的坐標分別是P(x,y)和P' -X,-y).指導學生利用單位圓及角的正弦、余弦函數(shù)的定義，導出公式二：sin(180 ° +sii)= a ,cos(180 °-cos )=.并指導學生寫出角為弧度時的關系式：sin( 兀 +-s桿 a ,cos( 兀-

7、+os)= ,tan( 兀 + a )=tan a .引導學生觀察公式的特點朋了各個公式的作用.討論結(jié)果：銳角a的終邊與180° +角的終邊互為反向延長線.它們與單位圓的交點關于原點對稱.任意角a與180。+角的終邊與單位圓的交點關于原點對稱.提出問題有了以上公式，我們下一步的研究對象是什么？-a角的終邊與角a的終邊位置關系如何？活動:讓學生在單位圓中討論-a與a的位置關系，這時可通過復習正角和負角的定義，啟發(fā)學生思考：任意角a和-a的終邊的位置關系；它們與單位圓的交點的位置關系及其坐標.探索、概括、對照公式二的推導過程，由學生自己完成公式三的推導，即：sin(- a )=sin a

8、 ,cos( )=cos a ,-an()=tan a .教師點撥學生注意：無論a是銳角還是任意角，公式均成立.并進一步引導學生觀察分析公式三 的特點，得出公式三的用途：可將求負角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求正角的三角函數(shù)值討論結(jié)果：根據(jù)分析下一步的研究對象是-a的正弦和余弦.-a角的終邊與角a的終邊關于X軸對稱，它們與單位圓的交點坐標的關系是橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù).提出問題下一步的研究對象是什么？乃a角的終邊與角a的終邊位置關系如何 ？活動:討論 乃a與a的位置關系，這時可通過復習互補的定義，引導學生思考：任意角a和上a的終邊的位置關系；它們與單位圓的交點的位置關系及其坐標.探索、概括、對照公

9、式二、三的推導過程，由學生自己完成公式四的推導，即：sin( -砍尸sin (X ,cos( )=cos a ,tan( a )=-tan a .強調(diào)無論a是銳角還是任意角，公式均成立.引導學生觀察分析公式三的特點，得出公式四的用途：可將求 市a角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求角a的三角函數(shù)值.讓學生分析總結(jié)誘導公式的結(jié)構(gòu)特點，概括說明，加強記憶.我們可以用下面一段話來概括公式一一四：a +k - 2 £ Z),-a ,兀的后角函數(shù)值，等于a的同名函數(shù)值，前面加上一個把a看成銳角時原函數(shù)值的符號.進一步簡記為：函數(shù)名不變，符號看象限”點撥、引導學生注意公式中的a是任意角.討論結(jié)果：根據(jù)分析下一

10、步的研究對象是乃a的三角函數(shù)；乃a角的終邊與角a的終邊關于y軸對稱，它們與單位圓的交點坐標的關系是縱坐標相等 ，橫坐標互為相反數(shù).示例應用思路1例1利用公式求下列三角函數(shù)值：(1)cos225 ;(2)sin 1;(3)sin( 16-);(4)cos(-2 040 ).°33活動：這是直接運用公式的題目類型，讓學生熟悉公式，通過練習加深印象，逐步達到熟練、正確地應用.讓學生觀察題目中的角的范圍，對照公式找出哪個公式適合解決這個問題.-2解：(1)cos225 =cos(180 +45 )=-cos45 = 2，(2)sin11 一一， 、.3=sin(4 % )=-sin = ；(

11、3)sin(口)=-sin旦=-阿5-)333=-(-sin、33)=T;(4)cos(-2 040 尸cos2 040 =Cos(6 360 -120 )=cos120 =cos(180 -60 )=-cos60 = .2點評:利用公式一一四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)，一般可按下列步驟進行兩公式15 / 13上述步驟體現(xiàn)了由未知轉(zhuǎn)化為已知的轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法 變式訓練利用公式求下列三角函數(shù)值：17cos(-51015 )；(2網(wǎng)吃兀).解:(1)cos(-510° 15'尸cos510° 15'=cos(360=cos150 °=-

12、cos29+150° 15') 15' =cos(-29)° 45') 45-0.868 2;(2)sin( £ 兀)=sin(-3X 2 兀)=咫= 例2 2007全國高考,1cos330 等于()1A. -21B.2,3 C.23D.2答案:C變式訓練1 2sin290 cos430化間:-sin 250 cos790解:/ 2sin 290 cos430sin 250 cos790_ 1 2sin(36070 )cos(36070 )sin(18070 ) cos(72070 )1 2sin70 cos70 | cos70 sin 7

13、0 | sin 70 cos70 cos70 sin 70sin 70 cos70= 1 .cos70 sin 70例 3 化簡 cos315 +sin(-30 )+sin225 +cos480°.活動:這是要求學生靈活運用誘導公式進彳T變形、求值與證明的題目.利用誘導公式將有關角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，再求值、合并、約分.解：cos315 +sin(-30 )+sin225 +cos480°=cos(360 -45 )-sin30 +sin(180 +45 )+cos(360 +120 )=cos(-45 )° - sin45 + cos120 °

14、; 2=cos45 ° - +cos(180 -60 )22-21.2= -cos60 = -1.222點評:利用誘導公式化簡，是進行角的轉(zhuǎn)化，最終達到統(tǒng)一角或求值的目的.變式訓練 求證：史0一國涯一匹仁一)tan(cos )sin(5 )分析:利用誘導公式化簡較繁的一邊，使之等于另一邊證明：左邊=擔小匣史年代)(cos )sin(5 )tan( )sin( ) cos()(cos )sin( )。右邊.tan sin cos =tancos sin所以原式成立.規(guī)律總結(jié)：證明恒等式，一般是化繁為簡，可以化簡一邊，也可以兩邊都化簡 知能訓練課本本節(jié)練習13.解答：1.(1)-cos&

15、#167;；(2)-sin1;(3)-sin ;(4)cos70° 6'.點評：利用誘導公式轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).2.(1) 1 ;(2) 1 ;(3)0.642 8;(4), 3 .222點評：先利用誘導公式轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，再求值.3.(1)-sin2 a cos a ;(2)名in.點評：先利用誘導公式變形為角a的三角函數(shù)，再進一步化簡.課堂小結(jié)本節(jié)課我們學習了公式二、公式三、公式四三組公式，這三組公式在求三角函數(shù)值、化簡三角函數(shù)式及證明三角恒等式時是經(jīng)常用到的，為了記牢公式，我們總結(jié)了函數(shù)名不變，符號看象限”的簡便記法，同學們要正確理解這句話的含義，不過更重要的還是應

16、用，我們要多加 練習，切實掌握由未知向已知轉(zhuǎn)化的化歸思想.作業(yè) 課本習題1.3 A組2、3、4.設計感想一、有關角的終邊的對稱性(1)角a的終邊與角 兀+的終邊關于原點對稱.(2)角a的終邊與角-a的終邊關于X軸對稱.(3)角a的終邊與角 市a的終邊關于y軸對稱.二、三角函數(shù)的誘導公式應注意的問題(1) a +k 王二*”，兀的三角函數(shù)值等于a的同名函數(shù)值，前面加上一個把a看成銳角時原函數(shù)的符號；可簡單記憶為：函數(shù)名不變，符號看象限.”(2)公式中的a是任意角.(3)利用誘導公式一、二、三、四，可以把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值.基本步驟是：任意負角的三角函數(shù)公式三或一相應的正角的

17、三角函數(shù)公式一 0到2兀角的三角函數(shù) 公式二'四銳角的三角函數(shù)查表 三角函數(shù).即負化正，大化小，化為銳角再查表.(設計者：沈獻宏) 第2課時導入新課上一節(jié)課我們研究了誘導公式二、三、四.現(xiàn)在請同學們回憶一下相應的公式.提問多名學生上黑板默寫公式.在此基礎上，我們今天繼續(xù)探究別的誘導公式，揭示課題. 推進新課 新知探究 提出問題終邊與角a的終邊關于直線y=x對稱的角有何數(shù)量關系？活動:我們借助單位圓探究終邊與角a的終邊關于直線y=x對稱的角的數(shù)量關系.教師充分讓學生探究，啟發(fā)學生借助單位圓，點撥學生從終邊關于直線y=x對稱的兩個角之間的數(shù)量關系，關于直線y=x對稱的兩個點的坐標之間的關系

18、進行引導.圖3討論結(jié)果：如圖3,設任意角e的終邊與單位圓的交點Pi的坐標為（x,y）,由于角萬-”的終邊與角a的終邊關于直線 y=x對稱，角萬-a的終邊與單位圓的交點P2與點Pi關于直線y=x對稱，因此點P2的坐標是（y,x）,于是我們有 sin a =y,cos a =x,COS( - a尸y,sin - a)=x.從而得到公式五：cos( - a )=sin a ,sin( - a 尸cos a .提出問題能否用已有公式得出 一+a的正弦、余弦與 a的正弦、余弦之間的關系式 ？2活動:教師點撥學生將 一+a轉(zhuǎn)化為 乃（一-a隊而利用公式四和公式五達到我們的目的22因為-+ a可以轉(zhuǎn)化為 M

19、-a所以求-+a角的正余弦問題就轉(zhuǎn)化為利用公式四接著轉(zhuǎn)化為利用公式五，這時可以讓學生獨立推導公式六.討論結(jié)果：公式六Sin（ + a ）=cos a ,cos（- + a ）=sin a .提出問題你能概括一下公式五、六嗎？活動:結(jié)合上一堂課研究公式一一四的共同特征引導學生尋求公式五、六的共同特征，指導學生用類比的方法即可將公式五和公式六進行概括討論結(jié)果：一土如正弦（余弦）函數(shù)值，分別等于a的余弦（正弦）函數(shù)值，前面加上一個把a看成2銳角時原函數(shù)值的符號.進一步可以簡記為：函數(shù)名改變，符號看象限.利用公式五或公式六，可以實現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化.公式一一六都叫做誘導公式. 提出問題學了

20、六組誘導公式及上例的結(jié)果后，能否進一步歸納概括誘導公式，怎樣概括？討論結(jié)果：誘導公式一一四，函數(shù)名稱不改變，這些公式左邊的角分別是 2k Tt + a fkZ),兀土很可看作0- a其中2k兀,碇橫坐標軸上的角，因此，上述公式可歸結(jié)為橫坐 標軸上的角士蟠數(shù)名稱不改變.而公式五、六及上面的例1,這些公式左邊的角分別是± “3- - a其中一，3是縱坐標軸上的角，因此這些公式可歸結(jié)為縱坐標上的角土圜數(shù)名222 2稱要改變.兩類誘導公式的符號的考查是一致的，故而所有的誘導公式可用十個字來概括：縱變橫不變，符號看象限.教師指點學習方法：如果我們孤立地記憶這么多誘導公式，那么我們的學習將十分苦

21、累且效率低下.學習過程中，能挖掘各個公式的本質(zhì)特征，尋求它們之間的共性，那么我們對數(shù)學公式的記憶就不再是負擔了.因此，要求大家多做這方面的工作，以后數(shù)學的學習就不再是枯燥無味的了 .示例應用思路13例1證明(1)sin( 2-a )=COS a ；(2)CoS- - a )=sin活動：直接應用公式五、六或者通過轉(zhuǎn)化后利用公式五、六解決化簡、證明問題證明：(1)sin( - a )=sin7r-(a )=sin( a )=cos a ；222(2)cos( - a )=cos 廠-> )=cos( - a )=sin a .222 3點評：由公式五及六推得 士函三角函數(shù)值與角”的三角函數(shù)

22、值之間的關系，從而進一步可22k 1以推廣到 2sin(2例2化簡11、a) cos(a) cos( a) cos(- a)cos( a)sin(3 a)sin( a)sin(活動:仔細觀察題目中的角，哪些是可以利用公式二 認真應用誘導公式，達到化簡的目的.a)一四的，哪些是可以利用公式五、六的.(sin a)( cosa)( sina)cos5 (解:原式二2(cosa) sin( a) sin(a)a) sin4(-a).2sin acosa cos( a)(cosa)sina ( sina) sin( a)sin a=-tan a .cos a思路2例 1 (1)已知 f(cosx)=c

23、os17x,求證:f(sinx)=sin17x;(2)對于怎樣的整數(shù) n,才能由f(sinx)=sinnx推出f(cosx)=cosnx?兀(k Z)的情形.本例的結(jié)果可以直接作為誘導公式直接使用活動：對誘導公式的應用需要較多的思維空間，善于觀察題目特點，要靈活變形.觀察本例條件與結(jié)論在結(jié)構(gòu)上類似，差別在于一個含余弦，一個含正弦，注意到正弦、余弦轉(zhuǎn)化可借助sinx=cos( -x)或cosx=sin( -x).要善于觀察條件和Z論的結(jié)構(gòu)特征，找出它們的共性與差異；要注意誘導公式可實現(xiàn)角的形式之間及互余函數(shù)名稱之間的轉(zhuǎn)移證 明：(1)f(sinx)=fcos( - -x)=cos17( - -x

24、)=cos(8 兀1-17x)=cos( - -17x)=sin17x,即 f(sinx)=sin17x.(2)f(cosx)=fsin( -x)=sinn( - -x)=sin(-nx)=sin x, ncosnx,n sin nx,ncosnx,n4k,k Z,4k 1, k Z,4k 2, k Z,4k 3,k Z,故所求的整數(shù)n=4k+1(kCZ).點評:正確合理地運用公式是解決問題的關鍵所在 變式訓練已知 cos( - a )=m(m & 俅 sin( a 的值.2解：: 32 sin(-363a-( - a )=7 ,-1- -T- - a=+(-a ).62326-a 尸

25、sin +( "6- & 1 =cos( 6- a )=m.點評：(1)當兩個角的和或差是 一的整數(shù)倍時，它們的三角函數(shù)值可通過誘導公式聯(lián)系起來 2(2)化簡已知與所求，然后探求聯(lián)系，這是解決問題的重要思想方法.例2已知sin遑方程5x2-7x-6=0的根，且a為第三象限角，sin(a 3)?sin(3- a)?tan2(2a)?tan( a)求22的值.cos( a) ?cos( a)活動:教師引導學生先確定 sin的值再化簡待求式，從而架起已知與未知的橋梁解：: 5x2-7x-6=0 的兩根 x=2 或 x=,5 3. -1WxW1,sin a=.54 又.a為第二象限角

26、，cos a4-1 - sin = .5,3tan a .42(cos a) ? ( cos a) ? tan a?( tana) 3原式= -=tana=一sin a ?( sin a)4點評:綜合運用相關知識解決綜合問題 變式訓練若函數(shù) f(n尸sin n-(n C Z),則 f(1)+f(2)+f(3)+f(102)=.“n n(n 12)斛：,二sin ( -+2 兀 尸sin$,.f(n)=f(n+12).從而有 f(1)+f(2)+f(3)+f(12)=0, f(1)+f(2)+f(3)+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+(6) =2 f(1)+f(2

27、)+f(3)=2+ . 3 .例3已知函數(shù)f(x)=asin(兀x+a )+bcos(兀X+電)a,b, a ,都是非零實數(shù)，又知f(2 003)=-1，求f(2 004)的值.活動:尋求f(2 003)=-1與f(2 004)之間的聯(lián)系，這個聯(lián)系就是我們解答問題的關鍵和要害.解:f(2 003)=asin(2 003 兀 + a )+bcos(2 003 兀 + 3 )=asin(2 002 兀 + 兀 + a )+bcos(2 002 兀 + 兀 + 3 )=asin( 兀 + a )+bcos( 兀 + 3 )=-asin -bcos 3=-(asin a +bcos 3 ), .f(2 003)=-1,asin a +bcos 3 =1. . f(2 004)=asin(2 004 兀 + a )+bcos(2 004 兀 + 3 )=asin a +bcos 3 =1.點評：解決問題的實質(zhì)就是