高考數(shù)學(xué)備考沖刺之易錯點點睛系列專題4導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用學(xué)生版

1、導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用-無答案一、高考預(yù)測從近幾年考查的趨勢看，本專題考查的重點是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性和極值中的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)在研究方程和不等式中的應(yīng)用，考查的形式是解答題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問題中的綜合運用，但常圍繞一些交叉點設(shè)計一些新穎的試題，大部分函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)試題難度也不大，但少數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)試題難度較大，解答題中的函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題也具有一定的難度由于該專題的絕大多數(shù)內(nèi)容(除定積分)都是傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，在考查上已經(jīng)基本穩(wěn)定(難度穩(wěn)定、考查重點穩(wěn)定、考查的分值穩(wěn)定)，預(yù)計2012年基本上還是這個考查趨勢，具體為：以選擇題或者填空題的方式考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，定積分的計算及其簡單應(yīng)用以解答題的方式考查

2、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題中的綜合應(yīng)用，重點是使用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性和極值以及能夠轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題的不等式和方程等問題，考查函數(shù)建模和利用導(dǎo)數(shù)解模導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用：要掌握好導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性與極值的關(guān)系，由于函數(shù)的極值和最值的解決是以函數(shù)的單調(diào)性為前提的，因此要重點解決導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，特別是含有字母參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性(這是高考考查分類與整合思想的一個主要命題點)，在解決好上述問題后，要注意把不等式問題、方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值進行研究性訓(xùn)練，這是高考命制壓軸題的一個重要考查點二、知識導(dǎo)學(xué)要點1：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線1導(dǎo)數(shù)的

3、幾何意義：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：曲線在點處的切線的斜率（瞬時速度就是位移函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)）。2求曲線切線方程的步驟：（1）求出函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點處切線的斜率；（2）在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為。注：當曲線在點處的切線平行于軸（此時導(dǎo)數(shù)不存在）時，由切線定義可知，切線方程為；當切點坐標未知時，應(yīng)首先設(shè)出切點坐標，再求解。要點2：利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟。（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）若求單調(diào)區(qū)間（或證明單調(diào)性），只需在函數(shù)的定義域內(nèi)解（或證明）不等式0或0。若已知的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式0或0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題

4、求解。要點3：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值1.在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時，應(yīng)注意：（以下將導(dǎo)函數(shù)取值為0的點稱為函數(shù)的駐點可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它的駐點，注意一定要是可導(dǎo)函數(shù)。例如函數(shù)在點處有極小值=0，可是這里的根本不存在，所以點不是的駐點.(1) 可導(dǎo)函數(shù)的駐點可能是它的極值點，也可能不是極值點。例如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在點處有，即點是的駐點，但從在上為增函數(shù)可知，點不是的極值點.(2) 求一個可導(dǎo)函數(shù)的極值時，常常把駐點附近的函數(shù)值的討論情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間的增減情況一目了然.(3) 在求實際問題中的最大值和最小值時，一般是先找出自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域.如果定

5、義域是一個開區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)（其實只要是初等函數(shù)，它在自己的定義域內(nèi)必然可導(dǎo)），并且按常理分析，此函數(shù)在這一開區(qū)間內(nèi)應(yīng)該有最大（?。┲担ㄈ绻x域是閉區(qū)間，那么只要函數(shù)在此閉區(qū)間上連續(xù)，它就一定有最大（?。?記住這個定理很有好處），然后通過對函數(shù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個駐點，那么立即可以斷定在這個駐點處的函數(shù)值就是最大（小）值。知道這一點是非常重要的，因為它在應(yīng)用上較為簡便，省去了討論駐點是否為極值點，求函數(shù)在端點處的值，以及同函數(shù)在極值點處的值進行比較等步驟.2.極大（?。┲蹬c最大（小）值的區(qū)別與聯(lián)系極值是局部性概念，最大（?。┲悼梢钥醋髡w性概念，因而在一般情況下，兩者是有區(qū)別的

6、.極大（小）值不一定是最大（?。┲?，最大（小）值也不一定是極大（?。┲?，但三、易錯點點睛命題角度 1導(dǎo)數(shù)的概念與運算1設(shè)，, ,nN,則 ( )A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx考場錯解 選C專家把脈 由=,f3(x) =(-sinx)=-cosx, ，故周期為4。 對癥下藥 選A2已知函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為3，的解析式可能為 （ ）A=(x-1)3+32(x-1) B=2x+1 C=2(x-1)2 D=-x+3=2e-xcosx令f(x)=0,x=n+（n=1，2，3，）從而xn=n+。f(xn)=e-( n+)(-1)n·=-e.數(shù)列f(xn)是公比為q=

7、-e-的等比數(shù)列。專家把脈 上面解答求導(dǎo)過程中出現(xiàn)了錯誤，即（e-x）=e-x是錯誤的，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知（e-x）=e-x(-x)=-e-x才是正確的。對診下藥（1）證明：f(x)=(e-x)(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx) =-e-x(cosx+sinx) +e-x(-sinx+cos)=-2e-xsinx. 令f(x)=0得-2e-xsinx=0，解出x=n,(n為整數(shù)，從而xn=n(n=1,2,3,)，f(xn)=(-1)ne-n,所以數(shù)列|f(xn)|是公比q=-e-的等比數(shù)列，且首項f(x1)=-e-(2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+xnf(xn)=

8、nq(1+2q+nqn-1)aSn=q(q+2q2+nqn)=q(-nqn)從而Sn=(-nqn)|q|=e-<1 qn=0,專家會診1理解導(dǎo)數(shù)的概念時應(yīng)注意導(dǎo)數(shù)定義的另一種形式：設(shè)函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則的運用。2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是搞清復(fù)合關(guān)系，求導(dǎo)應(yīng)從外層到內(nèi)層進行，注意不要遺漏3求導(dǎo)數(shù)時，先化簡再求導(dǎo)是運算的基本方法，一般地，分式函數(shù)求導(dǎo)，先看是否化為整式函數(shù)或較簡單的分式函數(shù)；對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)先化為和或差形式；多項式的積的求導(dǎo)，先展開再求導(dǎo)等等。命題角度 2導(dǎo)數(shù)幾何意義的運用1.曲線y=x3在點(1,1)的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形面積為_.考場錯解 填2 由曲線

9、y=x3在點（1，1）的切線斜率為1，切線方程為y-1=x-1,y=x.所以三條直線y=x,x=0,x=2所圍成的三角形面積為S=×2×2=2。專家把脈 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在某點處的切線斜率等于函數(shù)在這點處的導(dǎo)數(shù)，上面的解答顯然是不知道這點，無故得出切線的斜率為1顯然是錯誤的。對癥下藥 填。=3x2當x=1時f(1)=3.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在點（1，1）處的斜率為3。即切線方程為y-1=3(x-1) 得y=3x-2.聯(lián)立得交點（2，4）。又y=3x-2與x軸交于（，0）。三條直線所圍成的面積為S=×4×（2-）=。2設(shè)t0,點P（t,0）是函

10、數(shù)=x3+ax與g(x)=bx3+c的圖像的一個公共點，兩函數(shù)的圖像在P點處有相同的切線。（1）用t表示a、b、c；（2）若函數(shù)y=f(x)-g(x)在（-1，3）上單調(diào)遞減，求t的取值范圍。考場錯解 （1）函數(shù)=x3+ax與g(x)=bx2+c的圖像的一個公共點P(t,0).f(t)=g(t)t3+at=bt2+c.又兩函數(shù)的圖像在點P處有相同的切線，f(t)=g(t) 3t3+a=2bt.由得b=t,代入得a=-t2.c=-t3.專家把脈 上面解答中得b=t理由不充足，事實上只由、兩式是不可用t表示a、b、c，其實錯解在使用兩函數(shù)有公共點P，只是利用f(t)=g(t)是不準確的，準確的結(jié)論

11、應(yīng)是f(t)=0，即t3+at=0，因為t0,所以a=-t2.g(t)=0即bt2+c=0,所以c=ab又因為f(x)、g(x)在（t,0）處有相同的切線，所以f(t)=g;(t).即3t2+a=2bt,a=-t2,b=t.因此c=ab=-t2·t=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3(2)解法1 y=-g(x)=x3-t2x-tx2+t3y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).當y=(3x+t)(x-t)<0時,函數(shù)y=f(d)-g(x)單調(diào)遞減。 由y<0,若t<0,則t<x<-,若t>0,則-<x<t.則題意，函數(shù)y

12、=f(x)-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減，則（-1，3）（-,t）或（-1，3）（t，-）所以t3或-3。即t-9或t3。又當-9<t<3時，函數(shù)y=f(x0-g(x)在（-1，3）上單調(diào)遞增，所以t的取值范圍（-，-9）（3，+）解法2 y=-g(x)=x3-t2x-tx2+t3,y=3x2-3tx-t2=(3x+t)(x-t).函數(shù)y=-g(x)在（-1，3）上單調(diào)遞減，且y=(3x+t)(x-t)0在(-1,3)上恒成立，解得 t-9或t3.又x(-,-1)(1,+)f(x)>0f(x)在(-,-1)與(1，+)上是增函數(shù)。若x-1,1時，f(x)0,故f9x)在-

13、1，1上是減函數(shù)。f(-1)=2是極大值。f(1)=-2是極小值。（2）解：曲線方程為y=x3-3x,點A（0，16）不在曲線上。設(shè)切點M（x0,y0）,則點M在曲線上，y0=x30-3x0.因f(x0)=3x20-3.故切線的方程為y-y0=(3x20-3)(x-x0).點A（0，16）在曲線上，有16-（x20-0）=3(x20-1)(0-x0),化簡得x30=-8，得x0=-2.專家會診 設(shè)函數(shù)y=f(x),在點(x0,y0)處的導(dǎo)數(shù)為f(x0)，則過此點的切線的斜率為f(x0),在此點處的切線方程為y-y0=f(x0)(x-x0).利用導(dǎo)數(shù)的這個幾何意義可將解析幾何的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題

14、求解。命題角度 3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1（典型例題）已知函數(shù)=-x3+3x2+9x+a.(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若在區(qū)間-2，2上最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值?？紙鲥e解（1）=-3x2+6x+9,令<0,解得x<-1或x>3,函數(shù)的音調(diào)遞減區(qū)間為（-，-1）（3，+）（2）令=0,得x=-1或x=3當-2<x<-1時,<0;當-1<x<3時，>0;當x>3時，<0.x=-1,是的極不值點，x=3是極大值點。f(3)=-27+27+27+a=20,a=-7.的最小值為f(-1)=-1+3-9+a=-14.專家把脈 在閉區(qū)間上求

15、函數(shù)的最大值和最小值，應(yīng)把極值點的函數(shù)值與兩端點的函數(shù)值進行比較大小才能產(chǎn)生最大（?。┲迭c，而上面解答題直接用極大（小）值替代最大（?。┲?，這顯然是錯誤的。對癥下藥 （1）=-3x2+6x+9,令<0,解得x<-1或x>3.(2)因為f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以在-1，2因為在（-1，3）上>0,所以在-1，2上單調(diào)遞增，又由于在-2，-1上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(-1)分別是在區(qū)間-2，2上的最大值和最小值，于是22+a=20,解得a=-2.故=-x3+3x2+9x-2,因此,f-1=1+3-9-2=-7即

16、函數(shù)在區(qū)間-2，2上的最小值為-7。2已知函數(shù)=ax3+3x2-x+1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍?？紙鲥e解 =3ax2+6x-1,因為在R上是減函數(shù)，所以=3ax2+6x-1<0對任何xR恒成立。 解得a<-3.專家把脈 當>0時，是減函數(shù)，但反之并不盡然，如=-x3是減函數(shù)，=3x2并不恒小于0，（x=0時=0）.因此本題應(yīng)該有在R上恒小于或等于0。對癥下藥 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：=3x2+6x-1.當=3ax2+6x-1<0對任何xR恒成立時，在R上是減函數(shù)。對任何xR,3ax2+6x-1<0恒成立，a<0且=36+12a<0a<-3.所以當a&l

17、t;-3時，由<0對任何xR恒成立時，在R上是減函數(shù)。當a=-3時,=-3x3+3x2-x+1=-3(x-)3+.由函數(shù)y=x3在R上的單調(diào)性知，當a=-3時，在R上是減函數(shù)。當a>-3時，=3ax2+6x-1>0在R上至少可解得一個區(qū)間，所以當a>-3時，是在R上的減函數(shù)。綜上，所求a的取值范圍是（-，-3）。3已知aR,討論函數(shù)=ex(x2+ax+a+1)的極值點的個數(shù)。(1)當=（a+2）2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0即a<0或a>4時,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個不同的實根x1、x2,不妨設(shè)x1<x2.

18、于是=ex(x-x1)(x-x2),從而有下表X(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)F(x)+0-0+F(x)f(x1)有極大值f（x2）有極小值即此時f(x)有兩個極值點。（2）當=0，即a=0或a=4時，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個相同的實根x1=x2于是f(x)=ex(x1-x1)2.故當x<x1時，f(x)>0;當x>x1時，f(x)>0因此f(x)無極值。（3）當<0，即0<a<4時,x2+(a+2)x+(2a+1)>0 ,f(x)=exx2+(a+2)x+(2a+1)>0,故f(x)為增函數(shù)，此時f(

19、x)無極值點，因此，當a>4或a<0時，f(x)有兩個極值點，當0a4時，f(x)無極值點。4設(shè)函數(shù)=x-ln(x+m)其中常數(shù)m為整數(shù)。（1）當m為何值時，0;(2)定理：若g(x)在a、b上連續(xù)，且g(a)與g(b)異號，則至少存在一點x0(a、b),使g(x0)=0.試用上述定理證明：當整數(shù)m>1時，方程=0，在e-m-m,e2m-m內(nèi)有兩個實根。考場錯解 令0,xln(x+m).mex-x m取小于或等于ex-x的整數(shù)。專家把脈 上面解答對題意理解錯誤，原題“當m為何值時，0恒成立”，并不是對x的一定范圍成立。因此，mex-x這個結(jié)果顯然是錯誤的。對癥下藥 （1）函數(shù)

20、=x-ln(x+m),x(-m,+)連續(xù)，且f(x)=1-,令f(x)=0,得x=1-m.當-m<x<1-m時，<0,為減函數(shù)；當x>1-m時，>0,為增函數(shù)。根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1-m)=1-m為極小值，而且對x(-m,+)都有f(1-m)=1-m，故當1-m=f()0,即m1時，0.即m1且mZ時，0.(2)證明：由（1）可知，當整數(shù)m>1時，f(1-m)=1-m<0,f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=e-m>0,又為連續(xù)函數(shù)，且當m>1時，f(e-m-m)與f(1-m)異號，由所給定理知，存在唯一的x1(e-

21、m-m;1-m),使f(x1)=0,而當m>1時，f(e2m-m)=e2m-3m>(1+1)2m-3m>1+2m+-3m>0.(m>12m-1>1).類似地，當整數(shù)m>1時，=x-ln(x+m)在1-m,e2m-m上為連續(xù)增函數(shù)，且f(1-m)與f(e2m-m)異號，由所給定理知，存在唯一的x+（1-m,e2m-m）使f(x2)=0.故當整數(shù)m>1時，方程=0在e-m-m,e2m-m內(nèi)有兩個實根。5用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成（如圖，）問該容器高

22、為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？考場錯解 設(shè)容器的高為x,容器的容積為V，則V=（90-2x）（48-2x）·x=4x3-276x2+4320xV=12x2-552x+4320=0 得x1=10,x2=36又x<10時，V<0,10<x<36,V>0,x>36時,V<0當x=36時，V有極大值V（36）<0故V沒有最大值。專家把脈 上面解答有兩處錯誤：一是沒有注明原函數(shù)定義域；二是驗算f(x)的符號時，計算錯誤，x<10,V>0;10<x<36,V<0;x>36,V>0.對癥下藥 設(shè)容

23、器的高為x，容器的容積為V。則V=（90-2x）（48-2x）·x =4x3-276x2+4320x (0<x<24)V=12x2-552x+4320由V=12x2-552x+4320=0得x1=10,x2=36x<10時,V>0,10<x<36時，V<0,x>36時V>0.所以，當x=10時V有最大值V（10）=1960cm3又V(0)=0,V(24)=0所以當x=10時,V有最大值V（10）=1960。所以該窗口的高為10cm，容器的容積最大，最大容積是1960cm3.專家會診1證函數(shù)在（a,b）上單調(diào)，可以用函數(shù)的單調(diào)性定義

24、，也可用導(dǎo)數(shù)來證明，前者較繁，后者較易，要注意若在（a、b）內(nèi)個別點上滿足=0(或不存在但連續(xù))其余點滿足>0(或<0)函數(shù)仍然在（a、b）內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減），即導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是增、減區(qū)間的分界點。2函數(shù)的極值是在局部對函數(shù)值的比較，函數(shù)在區(qū)間上的極大值（或極小值）可能有若干個，而且有時極小值大于它的極大值，另外，=0是可導(dǎo)數(shù)f(x)在x=x0處取極值的必要而不充分條件，對于連續(xù)函數(shù)（不一定處處可導(dǎo)）時可以是不必要條件。時取得極值？說明理由；（）若，當時，與的圖象恰好有兩個公共點，求的取值范圍.3、已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，曲線在點處的切線恰好與直線垂直。()求實數(shù)的值；（）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍。4、已知函數(shù)() 若曲線在點處的切線方程為,求函數(shù)解析式;() 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;() 若對于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范圍.5、若定義在上的函數(shù)同時滿足以下條件：在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)； 是偶函數(shù)；在處的切線與直線垂直. （）求函數(shù)的解析式；（）設(shè)，若存在，使，求實數(shù)的取