等差等比數(shù)列練習題含答案以及基礎(chǔ)知識點

1、、等差等比數(shù)列基礎(chǔ)知識點（一）知識歸納：1概念與公式：等差數(shù)列：1 .定義：若數(shù)列an滿足ani -an =d（常數(shù)）,則an稱等差數(shù)列;2 通項公式：an = （n -1）d = ak （n -k）d;n + an)n(n 1)3 刖n項和公式：公式：Sn-naid.2 2等比數(shù)列:定義若數(shù)列an滿足Jqan（常數(shù)），則an稱等比數(shù)列；2 通項公式：n 1n _k 亠。an 二 a-q 二 akq ； 3前-項和公式：Snai - anqi -qa-(1( q = i),當 qh 時 Sn = na- 1 -q2 簡單性質(zhì):首尾項性質(zhì)：設(shè)數(shù)列an : ai,a2, a3/，an ,i若an是

2、等差數(shù)列，則ai an = a2 - a.二a3 - a./二；2 .若an是等比數(shù)列，則 ai Qn a2 an d a3，an_2 = 中項及性質(zhì)：a +bi 設(shè)a, A , b成等差數(shù)列，則 A稱a、b的等差中項，且 A；22 設(shè)a,G,b成等比數(shù)列，則 G稱a、b的等比中項，且 G = , ab, 設(shè)p、q、r、s為正整數(shù)，且 p q = r s,i 若an是等差數(shù)列，則ap +aq =a+a$;2 .若an是等比數(shù)列，則ap aq二aq; 順次-項和性質(zhì)：n2n3ni .若 an是公差為d的等差數(shù)列，則7 ak, 7 ak,ak組成公差為n2d的等差數(shù)列；kmkm十k Tn 十n2n

3、3n2 若an是公差為q的等比數(shù)列，則二ak,二ak,二ak組成公差為qn的等比數(shù)列.（注意：當q= - i,-為k z-k=n +k=2nH偶數(shù)時這個結(jié)論不成立） 若an是等比數(shù)列，2則順次-項的乘積：aia an,an iana2n, a2n ia2na3n組成公比這qn的等比數(shù)列. 若an是公差為d的等差數(shù)列，1 若n為奇數(shù)，則Sn二na中且S奇-S偶二a中(注：a中指中項，即a =： an.i,而S奇、S偶指所有奇數(shù)項、所有偶數(shù)項的和)；2若n為偶數(shù)，則S偶-S奇二.2(二)學習要點：1 學習等差、等比數(shù)列，首先要正確理解與運用基本公式，注意公差d工0的等差數(shù)列的通項公式是項 n的一次

4、函數(shù)an=an+b;公差d豐0的等差數(shù)列的前 n項和公式項數(shù) n的沒有常數(shù)項的二次函數(shù) Sn=an2+bn;公比q豐1的等 比數(shù)列的前n項公式可以寫成“ Sn=a(1-qn)的形式；諸如上述這些理解對學習是很有幫助的2解決等差、等比數(shù)列問題要靈活運用一些簡單性質(zhì)，但所用的性質(zhì)必須簡單、明確，絕對不能用課外的需要證 明的性質(zhì)解題3 .巧設(shè)“公差、公比”是解決問題的一種重要方法，例如：三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)三數(shù)為“a,a+m,a+2m (或aa-m,a,a+m )”三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)三數(shù)為“ a,aq,aq2(或，a,aq) ”四數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)四數(shù)為q“ a, a m,a 2m, a - 3m

5、(或a -3m, a -m, a m,a - 3m); ” 四數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)四數(shù)為應(yīng)在學習中總結(jié)經(jīng)驗a,aq, aq 2,aq3(或弓,a, aq,土aq3), ”等等；類似的經(jīng)驗還很多, q q例1解答下述問題：1 1 1(i)已知一，一，-成等差數(shù)列，求證:a b cc ab-,c2(1)a b成等差數(shù)列;c成等比數(shù)列.2aba -2解析該問題應(yīng)該選擇“中項”的知識解決，la c=Z= 2ac=b(a c),a c b ac b2 2 2 2/八 *b+c 丄 a+bbc+c +a +ab b(a+c)+a + ca_ 2(a c)2 =b(a c)b c c a(2)c2(a c)a

6、cacb成等差數(shù)列;ca b(2)(a _b)(c _b)二 ac _b (a c) 2224b ba , ,c 2 2評析判斷(或證明)一個數(shù)列成等差、等比數(shù)列主要方法有：根據(jù)“中項”性質(zhì)、根據(jù)“定義”判斷, (H)等比數(shù)列的項數(shù) n為奇數(shù)，且所有奇數(shù)項的乘積為1024,所有偶數(shù)項的乘積為aaa片an1024解析設(shè)公比為q丄口=442a?a4a.128J2(1)35= 1024 128、2=2乏二355=2乏,將(1)代入得(22)n818283 a nn JF n二(a1 q )5n 35 得ai1 2 3q3535(n -1) = 2,得 n = 7.2 2(川)等差數(shù)列an中，公差aH

7、，akn恰為等比數(shù)列，其中& =1*2此數(shù)列中依次取出部分項組成的數(shù)列：求數(shù)列kn的前n項和.2解析a1,a5,a17成等比數(shù)列，.a二&1仃,= (a1 4d)2 =a1 (a 16d)二 d -2d) =0d =0, a1 =2d,二數(shù)列akn的公比q =玉=色一=3,aa.ak二印3心=2d 3心n而akn 二 a1 (kn -1)d =2d (kn -1)d 由，得kn =2 3心-1,3n _1kn的前n項和Sn =2 3-n =3n -n-1.3 1評析例2是一組等差、等比數(shù)列的基本問題，熟練運用概念、公式及性質(zhì)是解決問題的基本功例3解答下述問題：4,又成等比數(shù)列,(I)三數(shù)成等比

8、數(shù)列，若將第三項減去32,則成等差數(shù)列；再將此等差數(shù)列的第二項減去求原來的三數(shù)廠 2d +32d-32a=02Qa =16 +d解析設(shè)等差數(shù)列的三項，要比設(shè)等比數(shù)列的三項更簡單, 設(shè)等差數(shù)列的三項分別為a-d, a, a+d，則有(2(a _d)(a +d +32) =a2.(a 4) =(a _d)(a +d)=3d 2 - 32d64 = 0, d = 8或 d =,得 a = 10或 26,39原三數(shù)為 2,10,50或 2,26,33.9 99(n)有四個正整數(shù)成等差數(shù)列，公差為 10,這四個數(shù)的平方和等于一個偶數(shù)的平方，求此四數(shù)解析設(shè)此四數(shù)為 a -15,a -5,a5,a15(a1

9、5),.(a -152) (a 一5)2 (a 5)2 (a 15)2 =(2m)2(m N ) 二 4a2500 =4m2 二(m _a)(m a) =125,125 =1 125 =5 25, m - a與m - a均為正整數(shù),且m - a ： m a,m -a = 1m a =125解得a =62或a =12（不合）,.所求四數(shù)為47, 57, 67, 77評析巧設(shè)公差、公比是解決等差、等比數(shù)列問題的重要方法，特別是求若干個數(shù)成等差、等比數(shù)列的問題中是主 要方法.、等差等比數(shù)列練習題一、選擇題1、如果一個數(shù)列既是等差數(shù)列,（A）為常數(shù)數(shù)列又是等比數(shù)列，則此數(shù)列（B）為非零的常數(shù)數(shù)列（C）

10、存在且唯一（D）不存在2.、在等差數(shù)列 gn 中,ai=4,且aa5，a13成等比數(shù)列，則 a ? 的通項公式為(A) an = 3n 1(B) an 二 n 3(C)an = 3n 1 或an = 4(D)an 二 n 3或 an 二 43、已知a,b,c成等比數(shù)列，且 x, y分別為a ca與b、b與c的等差中項，則的值為x y4、(B) - 2(C) 2（D） 不確定互不相等的三個正數(shù) a,b,c成等差數(shù)列,X是a,b的等比中項，y是b,c的等比中項，那么x2, b2,2y三個數(shù)（(A)(C)成等差數(shù)列不成等比數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列（B）成等比數(shù)列不成等差數(shù)列（D）既不成等差數(shù)列，

11、又不成等比數(shù)列5、已知數(shù)列:an匚的前n項和為Sn , S2n 12=4n 2n,則此數(shù)列的通項公式為(A)an =2n -2(B) an =8n -2(C)an =2n（D）an2二 n2 - n8、26、已知(z -x) =4(x - y)(y -z)，則7、（A） x, y, z成等差數(shù)列數(shù)列a *的前n項和Sn（B） x, y,z成等比數(shù)列（C）i,-,1成等差數(shù)列x y z=an -1，則關(guān)于數(shù)列an 啲下列說法中，正確的個數(shù)有(D)丄丄x y-成等比數(shù)列z可能是等比數(shù)列，也可能是等差數(shù)列一定是等比數(shù)列，但不可能是等差數(shù)列可能既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列（A） 4（ B） 3一定是

12、等差數(shù)列，但不可能是等比數(shù)列可能既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列（C） 2（D） 11111數(shù)列迄紜怎,前n項和為2(A) n2(b)n2(D)n2 一門一土9、若兩個等差數(shù)列*bn的前n項和分別為An、Bn,且滿足AnBn_ 4n 2一 5n - 5，則坐的值為b5 + b1310、已知數(shù)列11、已知數(shù)列的前(B)19(C)207(D)-8a / 的前n項和為Sn=n25n - 2，則數(shù)列 & ? 的前10項和為56(B)58(C)62(D) 60an 的通項公式n項和為an二n 5為，從：an中依次取出第3, 9, 27,3n, 項，按原來的順序排成一個新的數(shù)列,則此數(shù)列321、數(shù)列 的前n項和

13、記為Sn, a1,an2Sn 1 n-1(D)列伽-3n(3n 13)(B) 3n - 512、下列命題中是真命題的是a 數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是 an = pn *4(9=0)b 已知一個數(shù)列;an:的前n項和為Sn二an2 bn a ,如果此數(shù)列是等差數(shù)列，那么此數(shù)列也是等比數(shù)列c數(shù)列久 堤等比數(shù)列的充要條件 an =abn，d 如果一個數(shù)列、an 的前n項和Sn二abn c (a = 0, b = 0,b = 1)，則此數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件是13、14、15、16、17、填空題各項都是正數(shù)的等比數(shù)列 、an，公比q =1 a5,a7,a8，成等差數(shù)列，則公比 q =f Ia1a 5

14、 a17已知等差數(shù)列 an ，公差d = 0, a1 ,a5, a仃成等比數(shù)列，貝Ua2 a6 a181已知數(shù)列an 滿足Sn =1-an則an =4在2和30之間插入兩個正數(shù)，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則插入的這兩個數(shù)的等比中項為 解答題已知數(shù)列n是公差d不為零的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，b =1,b2 =10,b3 =46，求公比q及bn。18、已知等差數(shù)列，an的公差與等比數(shù)列bn的公比相等，且都等于d (d0,d =1),a1,a3=3b3 ,a5=5b5,求an,bn19、 有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等比數(shù)列，其積為216，后三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為36，求這

15、四個數(shù)。_ 2020、 已知an f為等比數(shù)列，a - 2,a2 a ，求*、anf的通項式。（i）求：an ?的通項公式；（H）等差數(shù)列的各項為正，其前n項和為Tn，且T3 = 15，又aHb|,aHb2, a3 +b3成等比數(shù)列，求Tn22、已知數(shù)列 滿足 ai =1,an# =2an +1（n N ）.（i）求數(shù)列 & / 的通項公式；（ii） 若數(shù)列 fbj滿足 41 J.4b2 J.4bnA =（an - 1）bn（n N ），證明：bj是等差數(shù)列;數(shù)列綜合題、選擇題題號123456789101112答案BDCAAACADDDD、填空題1.52641 nc13.14.15. -()1

16、6. _6、322933三、解答題17. a b! =a1 ,ab2 =a1o=a+9d,ab3 =a46=a+45d由abn為等比數(shù)例，得(a什9d)2=a1(a1+45d)得 a1=3d,即 ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.q=4 又由abn是an中的第 bna 項，及 abn=ab1 4n-1=3d 4n-1,a1+(bn-1)d=3d 4n-1二 bn=3 4n-1-22 2 _18. a3=3b3 ,a1+2d=3a1d ,a1(1-3d )=-2da5=5b5,a1+4d=5a1d4 , - a1(1-5d4)=-4d=2，22 15d =1 或 d =,由題意，d=

17、 ,a1=- - 5。55an=a1+( n-1)d=斗）bn=a1dn-1=- - 54a19.設(shè)這四個數(shù)為 一，a, aq,2aq -a-a aq =2163由，得 a =216,a=6q則g +aq +(3aq a) =36代入，得3aq=36,q=2這四個數(shù)為3，6，12，18_a3220.解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則qz 0a2= = 7 , a4=a3q=2qM M所以 2 + 2q=20 ,解得 q1=3 , q2= 3,1 1 _ 18 _ 當 q1=3, a1=18.所以 an=18 逼)円二廠=2 %3_n.當 q=3 時,ai= 9 ,所以 an=2 X3n仁2 X3

18、n 3.21.解：(l)由an 1 =2Sn 1可得an =2Sn二1 n_2，兩式相減得an 1 _an =2an,an 1 =3an n _2又 a? =23 1 =3 二 a? =3a1故Caj是首項為1,公比為3得等比數(shù)列n 1 an =3 -(n)設(shè):b/?的公差為d由 T3 =15 得，可得 b| b2 b3 =15，可得 b2 = 5故可設(shè) d =5 -d,b3 =5 d又 a1 = 1,a2 = 3,氏=92 由題意可得(5 _d +1 J(5+d +9 )=(5+3)解得 d1 = 2, d2 =10等差數(shù)列的各項為正， d 0 d =2n(n _1 )2- Tn =3n2 二 n2 2n222 (I)： Van+=2ant n 乏)N*am 1 =21),an 1是以a1 2為首項，