多維隨機(jī)變量及其分布

1、第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布§ 5.1總體與樣本5.1.1總體與個(gè)體總體：研究對(duì)象的全體。包括有限總體和無限總體，本書將以無限總體作 為主要研究對(duì)象。個(gè)體：構(gòu)成總體的每個(gè)成員?？梢砸暱傮w為一個(gè)分布。因此“從總體中抽樣”與“從某分布中抽樣”意 思相同。舉例。5.1.2樣本從總體中隨機(jī)地抽取 n個(gè)個(gè)體，記其指標(biāo)值為X1 ,X2' , Xn，則X1,X2，Xn稱為總體的一個(gè) 樣本，n稱為樣本容量。舉例。簡單隨機(jī)樣本(簡稱樣本)的特點(diǎn)：(1)隨機(jī)性(2)獨(dú)立性。設(shè)總體X具有分布函數(shù)F(x)，xi,X2，Xn為取自該總體的容量為n的樣 本，則樣本聯(lián)合分布函數(shù)為nF (x1, X2 , '

2、;Xn) =n F (Xi )i壬注意：對(duì)于無限總體，隨機(jī)性與獨(dú)立性容易實(shí)現(xiàn)，困難在于排除有意或無 意的人為干擾。對(duì)有限總體，只要總體所含個(gè)體數(shù)很大，特別是與樣本量相比 很大，則獨(dú)立性也可基本得到滿足。舉例。§ 5.2樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示5.2.1經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)定義：設(shè)X1,X2，Xn是取自總體分布函數(shù)為F(x)的樣本，若將樣本觀測值由小到大進(jìn)行排列人，為X(1),X(2),X(n)，則X(1),X(2),X(n)稱為有序樣本， 用有序樣本定義如下函數(shù)0,當(dāng) X V X(1)Fn(x)=伙/n,當(dāng) x(k)<xcx(k 杓k =1,2,，n-11，當(dāng) xKx(n)則Fn(x)是一

3、非減右連續(xù)函數(shù)，且滿足Fn(工)=0 和 Fn(址)=1。由此可見，F(xiàn)n(x)是一分布函數(shù)，并稱其為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。舉例。定理521(格里紋科定理)設(shè)Xi,X2，Xn是取自總體分布函數(shù)為F(X)的樣本，F(xiàn)n(x)是其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，當(dāng) nT +處時(shí)，有25P sup |Fn(X)-F(X)|T 0 =1注意：好的近似。522例1頻數(shù)頻率分布表為研究某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，我們隨機(jī)調(diào)查了天生產(chǎn)的該種產(chǎn)品的數(shù)量，20位工人某160196164148170175178166181162161168166162172156170157162154數(shù)據(jù)如下對(duì)這20個(gè)數(shù)據(jù)(樣本)進(jìn)行整理，具體步驟如下：(

4、1)對(duì)樣本進(jìn)行分組首先確定組數(shù)k，作為般性的原則，組數(shù)通常在5-20個(gè)，對(duì)容量較小的樣本，通常將其分為5組或6組，容量為100左右的樣本可分7-10組，容量為200左右的樣本可分 9-13組，容量為300左右及以上的樣本 可分12-20組，目的是使用足夠的組來表示數(shù)據(jù)的變異。這里將數(shù)據(jù)分為5組,即 k =5。確定每組組距 每組區(qū)間長度可以相同也可以不同，實(shí)用中常選用長度相同的區(qū)間以便于進(jìn)行比較，此時(shí)各組區(qū)間的長度稱為組距，其近似公式為：組距d =(樣本最大觀測值-樣本最小觀測值"組數(shù)本例中，數(shù)據(jù)最大觀測值為196，最小觀測值為148，故組距近似為196 -1485方便起見，取組距為=

5、 9.610。(3)確定每組組限aoRo +d =a1,a0 +2d =a2,a。+kd =a各組區(qū)間端點(diǎn)為形成如下的分組區(qū)間(a0,a1, (a1, a2,'(akdak，其中a。略小于最小觀測值，ak略大于最大觀測值，配合我中可取a。= 147，a5 =197，于是本例的分組區(qū)間：( 1 47,1 5,7157,167 , (167,1771,(177,187 1,(187,197 】，通?？捎妹拷M的組中值來代表該組的變量取值，組中值=(組上限+組下限)/2。(4)統(tǒng)計(jì)樣本數(shù)據(jù)落入每個(gè)區(qū)間的個(gè)數(shù)-頻數(shù)，并列出其頻數(shù)頻率分布表。本例的頻數(shù)頻率分布表見下表。從表中可以讀出很多信息，如：

6、40%的工人產(chǎn)量在157到167之間；產(chǎn)量少于167個(gè)的有12人，占60% ;產(chǎn)量高于177的有3人，占15%。該定理表明當(dāng)n相當(dāng)大時(shí)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)是總體分布函數(shù)的一個(gè)良例1的頻數(shù)頻率分布表組序分組區(qū)間組中值頻數(shù)頻率累計(jì)頻率/%1(147,157 】15240.20202(157,167 】16280.40603(167,177 】17250.25854(177,187 】18220.10955(187,197 】19210.05100合計(jì)2015.2.3樣本數(shù)據(jù)的圖形顯示一、直方圖它在組距相等場合常用寬度相等的長條矩形表示，矩形的高低表示頻數(shù)的 大小。在圖形上，橫坐標(biāo)表示所關(guān)心變量的取值區(qū)間

7、，縱坐標(biāo)表示頻數(shù)，這樣 就得到頻數(shù)直方圖，如圖。把縱軸改成頻率就得到頻率直方圖。為使各長條矩 形面積和為1，可將縱軸取為頻率/組距，稱為單位頻率直方圖或簡稱頻率直方 圖。二、莖葉圖例2某公司對(duì)就聘人員進(jìn)行能力測試, 痊應(yīng)聘人員的測試成績測試成績總分為150分。下面是5064677072747676798081828283858688919192939393959595979799100100102104106106107108108112112114116118119119122123125126128133（已經(jīng)過排序）:我們用這批數(shù)據(jù)給出一個(gè)莖葉圖。把每一個(gè)數(shù)值分為兩部分，前面一部分（百倍

8、和十位）稱為莖，后面部分（個(gè)位）稱為葉。如 數(shù)值分開82然后畫一條豎線,如下圖。8278和在豎線的左側(cè)寫上莖，右側(cè)寫上葉，就形成了莖葉圖2。上例10111213可畫出它們的背靠背的莖葉圖。甲車間乙車間505256616162566667676868646565656767727274757575676871727474757676767678767677777882787980818183838587889091838384848486869286939397868787889292100100103105939598107某天各40名貢工生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。為對(duì)其進(jìn)行比較，我們將這些數(shù)據(jù)放到一個(gè)

9、背靠背莖葉圖上。甲車間乙車間在比較兩組樣本時(shí)，例3下面的數(shù)據(jù)是某廠兩個(gè)車間107右邊表示乙車間的數(shù)據(jù)。從從圖中可見，莖在中間，左邊表示甲車間的數(shù)據(jù)莖葉圖可以看出，甲車間員工的產(chǎn)量偏于上方，而乙車間員工的產(chǎn)量大多位于 中間，乙車間的平均產(chǎn)量要高于甲車間，乙車間各員工的產(chǎn)量比較集中，而甲 車間員工的產(chǎn)量則比較分散。§ 5.3統(tǒng)計(jì)量及其分布5.3.1統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布定義5.3.1設(shè)X1,X2，,Xn為取自某總體的樣本，若樣本函數(shù)T =T（X1,X2，Xn）中不含有任何未知參數(shù)，則稱T為統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量的分布稱為 抽樣分布。統(tǒng)計(jì)量和非統(tǒng)計(jì)量舉例。注意：統(tǒng)計(jì)量不依賴于未知參數(shù)，但它的分布一般是依

10、賴于未知參數(shù)的。5.3.2樣本均值及其抽樣分布定義5.3.2設(shè)X1, X2，Xn為取自某總體的樣本，其算術(shù)平均值稱為樣本均值，一般用X表示，即X=X1+X2卄+Xn =9 Xin y在分組樣本場合，樣本均值的近似公式為-X1 f1 +X2f2 +Xk fk / 2 ,、x=(n=2 fi)ni其中k為組數(shù)，Xi為第i組的組中值，fi為第i組的頻數(shù)。某單位懼到20名青年人的某月的娛樂支出費(fèi)用數(shù)據(jù):79848488929394979899100101 101 102 102 108則該月這20名青年的平均娛樂支出為110113118125"79+84+125 =99.420若將數(shù)據(jù)分組可

11、得如下頻數(shù)頻率分布:例1的頻數(shù)頻率分布表組序分組區(qū)間組中值頻數(shù)頻率/%1(77,87823152(87,97925253(97 ,1071027354(107,1171123155(117,127122210合計(jì)20100對(duì)上表的分組樣本，使用近似公式得：-82 咒 3+925 +1222X =10 020兩個(gè)數(shù)值不同是因?yàn)楹笳呤褂玫氖遣皇钦鎸?shí)樣本觀測值。定理5.3.1若把樣本中的數(shù)據(jù)與樣本均值之差稱為偏差，則樣本所有偏差之n和為 0，即 2 (Xi -X) =0i i_ 2_Z xi證 2 (Xi -x)2 =2 Xi -nx =2 Xi -n=0n定理5.3.2數(shù)據(jù)觀察值與均值的偏差平方和

12、最小，即在形如S (Xj - C)2的(Xj - X)2最小，其中C為任意給定常數(shù)。證明對(duì)任意給定的常數(shù) c2 2 2 2Z (Xi -c)(Xi -X +x-c) =2 (Xi -X) +n(x -c)+ 2藝(Xi -X)(X-c)(Xi -X)2 + n(xc)2 >5： (xx)2定理5.3.3設(shè)X1, X2，Xn為取自某總體的樣本，X為樣本均值。2 2(1) 若總體分布為N (巴CT )，則X的精確分布為N (巴CT /n)；2(2) 若總體分布未知或不是正態(tài)分布，但E(x) = 4,Var(x) =cr ，則n較大時(shí)X的漸近分布為N(P,b2 /n)，常記為XN (巴/n)。

13、5.3.3樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差定義5.3.3設(shè)Xi,X2，Xn為取自某總體的樣本，則它關(guān)于樣本均值X的平均偏差平方和4 n*21 P /-2s(Xi X)n ii稱為樣本方差。其算術(shù)根s = Js 2稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。注意：(1)由于標(biāo)準(zhǔn)差與均值具有相同的度量單位，因此通常更有實(shí)際意義。2 1 2(2)在n不大時(shí)，通常用s =Z (Xi -x)表示樣本方差(也稱無偏方n 1 y差),S-Js2表示樣本標(biāo)準(zhǔn)差。而且更常用，在后面講樣本方差時(shí)通常指后者。n(3)2 (Xi -x)2稱為偏差平方和，n-1稱為偏平方和自由度。偏差平方和的i=1二種表達(dá)式：n _ 1 _Z (Xi -x)2 =Z Xi2

14、 (送 Xi)2Xi2 - nx2yn這三種方式都可以用于計(jì)算方差。(4)在分組樣本場合，樣本方差的近似計(jì)算公式為1 k _ 1 k _s2 =送 fi(Xi -x)2 =送 fiXi2 - nx)2n -1 yn -1 y其中Xi, fi分別為第i個(gè)區(qū)間的組中值和頻數(shù)，X為分組得到的樣本均值。接例1對(duì)于X =99.4，其樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為s2 =(79-99.4)2 +(84-99.4)2 + (125-99.4)2 = 1 339 368 S =133.9368 =11.5731。例1的分組樣本方差計(jì)算表組中值頻數(shù)fXfx-X(xx)2f823246832

15、01027714228112333612432122224422968和2020002720于是X = 2000S2 = 2720 =143.16，= 100，s =J143.16 =11.9620 20 12定理5.3.4設(shè)總體 X具有二階矩，即E(x) = l<Var(x) =cr <，_ 2X1,X2，,Xn為取自該總體的樣本，X,s分別是樣本均值和樣本方差，則E(X) =P,Var(X) =cr2/ n, E(s2) =cr2。1nnP證明(1) E(X) = E(送 Xi)=4nyn_ 1Var(x) =pVar(2； xj =ni呂nn22nnCT CT2=n n因?yàn)?

16、2 (Xi -X)2Xi2 -nX2i呂而E(Xi2) =(EXi)2 +Var(Xi)=卩2 e2，E(X2) =(EX)2 + +Var(X) = 42 +b2 / n 于是n _ 2 2 2 2 2 2E（送（Xi -X） ）=n（卩 ）-n（4 /n）=（n-1）i壬上式兩除以n-1，即得（3）。5.3.4樣本矩及其函數(shù)1 n定義5.3.4設(shè)X1,X2，,Xn為樣本，則統(tǒng)計(jì)量ak = S Xik稱為樣本k階原 n irn點(diǎn)矩，特別樣本一階原點(diǎn)矩就樣本均值，統(tǒng)計(jì)量bk1 nn iT=-Z （Xi-X）k稱為樣本k階中心矩，特別，樣本二階中心矩就是樣本方差。丫1 =b3/b；/2為樣本偏度

17、。3 / 2 b3除以b2是丫1 >0表示樣本的右尾長，總體分定義5.3.5設(shè)Xi,X2，,Xn為樣本，則稱統(tǒng)計(jì)量雞cO表示分布的左尾長，總體分布是負(fù)偏或左偏的。5.3.6設(shè)Xi,X2，,Xn為樣本，則稱統(tǒng)計(jì)量 丫2 =b4/b； -3為樣本峰注意：（1）樣本偏度反映了總體分布密度曲線的對(duì)稱性信息, 為削除量綱影響。（2）化=0表示樣本對(duì)稱， 布是正偏或右偏的，定義度。注意：丫2（1）樣本峰度反映了總體分布密度曲線在其峰值附近的陡峭程度。>0分布密度曲線在其峰值附近比正態(tài)分布來得陡，稱為尖頂型y, <0時(shí)，分布密度曲線在其峰值附近比正態(tài)分布來得平坦，稱為平頂型。兩個(gè)班級(jí)的英語

18、成績例2下表是兩個(gè)班（每班50人）的英語課程的考試成績， 度計(jì)算兩個(gè)班級(jí)的 平均成績、標(biāo)準(zhǔn)差、樣本偏度及樣本峰度。成績組中值甲班人數(shù)f甲乙班人數(shù)f乙90-100955480-8985101470-7975221660-6965111450-59551240-494510解首先計(jì)算下面兩個(gè)表甲班成績的計(jì)算過程xf甲x f甲（X x甲）2 f甲（X x甲）3 f甲（X x甲）4 f甲95547585108507522165065117155515545145和5037905368-8908.81987874.56乙班成績的計(jì)算過程xf乙xf乙（X -x乙）2 f乙（X -x乙）3 f乙（X X乙）

19、4 f乙955851075226511551451和50379051683571.21208706.56則x甲=3790/50=75.8， £乙=3790/50 =75.853685168=/ =10.47， S乙=J =10.27V 49V 49篦甲丫2甲-8908.8/50 C “ P 3571.2/50 門 “c = =-0.16， V 1乙= =0.068（5368/50）3/2（5168/50）1987874.56/50 C “ 常 1208706.56/50 門升=23 = 0.45， r2乙 =23 = -0./4（5368/50）（5168/50）由此可見，兩個(gè)班級(jí)的

20、平均成績相同，標(biāo)準(zhǔn)差也幾乎相同，樣本偏度顯示兩個(gè) 班的成績都是基本對(duì)稱的，但兩個(gè)班的樣本峰度明顯不同，乙班成績分布比較 平坦，而甲班則稍顯尖頂。5.3.3次序統(tǒng)計(jì)量及其分布一、定義 設(shè)Xi,X2，Xn是取自總體X的樣本，X（i）稱為該樣本的第i個(gè)例3設(shè)總體X的分布為僅取0, 1 , 2的離散均勻分布，分布列為次序統(tǒng)計(jì)量，它的取值是將樣本觀測值由小到大排列后得到的第i個(gè)觀測值。其中x（i）=minxi，X2，Xn稱為樣本的最小次序統(tǒng)計(jì)量， x（n）= m a Xi，X2,，Xn稱為該樣本的最次序統(tǒng)計(jì)量。注意：次序統(tǒng)計(jì)量X，X（2）,，X（n）既不獨(dú)立，分布也不相同。X012P1/31/31/3現(xiàn)

21、從中抽取容量為 3的樣本，其一切可能取值有 33=27種，現(xiàn)將它們列在表格 的左側(cè)，其右側(cè)是相應(yīng)的次序統(tǒng)計(jì)量觀測值。X1X2X3X（1）X(2)X(3)X1X2X3X（1）X(2)X(3)000000120012001001210012010001022022100001202022002002220022020002112112200002121112011011211112101011122122110011212122012012221122021012111111102012222222201012由于樣本取上述每一組觀測值的概率相同，都了 1/27,由此可給出Xx（2）X（3）的分布

22、列如下:x(1)19/277/271/27X(2)7/2713/277/271/277/2719/27我們可以清楚地看到這三個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的分布是不相同的。進(jìn)一步，我們可以給出兩個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的聯(lián)合分布，如X（1）和X（2）的聯(lián)合分布列為X(2)X(1)01207/279/273/2710002001/2719 77因?yàn)?P（x（1）=0） P（x（2）=0）=，而 P（x（1）= 0, x（2）= 0）=，兩者不27 2727二、單個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的分布定理5.3.5設(shè)總體X的密度函數(shù)為p（x），分布函數(shù)為F （x），X1,X2，Xn 為樣本，則第k個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量x（k）的密度函數(shù)為n!等，由此可見X

23、和x（2）是不獨(dú)立的。Pk（X）二（F （x）2（1 - F （X） p（x）。（k 一1）!（n -k）!例4設(shè)總體密度函數(shù)為2p（x） =3x ,0 c X現(xiàn)從該總體抽行一個(gè)容量為5的樣本，試計(jì)算 P（x（21/2）解我們首先應(yīng)求出X（2）的分布，由總體密度函數(shù)不難求出總體分布函數(shù)為 0,x<0F（X）= x3,0 C X v 11,x>1由此得X（2）的密度函數(shù)為5!p2(x) =(F(x)2-*(1-F(x)2 p(x)(21)!(52)!= 20x33x2 (1 -X3)3 = 60x5(1 -x3)3,0 <x <1于是1/2 5 3 3 1/8 3P(x(

24、2)<1/2 O 60x (1 X ) dx 珂 20y(1 -y) dy=L 20(z3 -z4)dz =5(1(7/8)4) -4(1(7/8)5) =0.1207 7/8例5設(shè)總體分布為U(O,1)，Xi,X2，Xn為樣本，則其第k個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量 x(k)的密度函數(shù)為n!Pk(x)=飪(x)2(1-x)no< X <1(k 一1)! (n -k)!即貝塔分布 Be(k, n-k +1)，從而有 E(x(k)=k/(n+1)。三、多個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的聯(lián)合分布定理5.3.6設(shè)總體X的密度函數(shù)為p(x)，分布函數(shù)為F(x)，x1,X2，xn為樣本，則次序統(tǒng)計(jì)量(x(j),x(j)(

25、i c j)的聯(lián)合分布密度函數(shù)為n!Pij(y,z) =F(y)iF(zF(y)j-F(z) p(y)p(z)(i 1)!(j i 1)!( n j)!y <z。注意：實(shí)際問題中將會(huì)遇到次序統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)，比如樣本極差：Rn = X(n)- X。例6設(shè)總體分布為U(0,1)，Xi,X2，,Xn為樣本，則次序統(tǒng)計(jì)量(X，X(n),X(n)的聯(lián)合分布密度函數(shù)為Pi,n (y, z) = n(n 1)(z y)n=Ocyczv1,令 R = X(n)-X，由 R A O可以推出 O c X(i)= X(n)- R < 1 - R，則1 rpR(r) = n(n-1) (y) - yn

26、9;dy = n(n - 1)rn'(1-r)。這正是參數(shù)為(n-1,2)的貝塔分布。5.3.6樣本分位數(shù)與樣本中位數(shù)設(shè)X，X(2)，X(n)是有序樣本，則樣本中位數(shù)定義為n為奇數(shù)X n十，(T)m。5 = T1。2(x(n)+x(嚴(yán)),n為偶數(shù)樣本P分位數(shù)mp可定義如下：np不是整數(shù)|x(nP 制，mP j 2(X(n p) +X(np 屮)，np 是整數(shù)定理5.3.7設(shè)總體密度函數(shù)為 p(x)，Xp為其P分位數(shù)，p(x)在Xp處連續(xù) 且P(Xp )>0，則當(dāng)nT +處時(shí)樣本P分位數(shù)mp的漸近分布為mp N(xP，P(i - P)np (Xp)特別，對(duì)樣本中位數(shù)，當(dāng)nT +處時(shí)

27、近似地有14np 2(X0.5)m0.5 N(X0.5, _石)注意：相比之下中位數(shù)比均值更具有 穩(wěn)健性。 例7設(shè)總體為柯西分布，密度函數(shù)為1p( X,日)=玉,Y < X < P兀(1+(X日)2其分布函數(shù)為1 1F(x;9) = + arct axH 日),2 兀則0是該總體的中位數(shù)，即m0,5 =日,設(shè)X1,X2，,Xn是來自該總體的樣本，當(dāng) 樣本量n較大時(shí)，樣本中位數(shù) m0,5的漸近分布為兀2m0.5N(£,)4n5.3.7五數(shù)概括與箱線圖次序統(tǒng)計(jì)量的應(yīng)用之一是五數(shù)概括與箱線圖。在得到有序樣本后，容易計(jì)算如下的五個(gè)值：最小觀測值X；最大觀測值X(n)；中位數(shù)m0.

28、5 ；第一 4分位數(shù)Qi = mo.25和第三4分位數(shù)Q3 = mo.75。所謂五數(shù)概括就是指用這五個(gè)數(shù)來大 致描述一批數(shù)據(jù)的輪廓。五數(shù)概括的圖形表示稱為箱線圖，由箱子和線段組成。其作法如下：(1) 畫一個(gè)箱子，其兩側(cè)恰為第一4分位數(shù)和第三4分位數(shù)，在中位數(shù)位置上畫一條豎線，它在箱子內(nèi)。這個(gè)箱子包含了樣本中50%的數(shù)據(jù)；(2) 在箱子左右兩側(cè)各引出一條水平線，分別至最小值和最大值為止。每條 線段包含了樣本中25%的數(shù)據(jù)。箱線圖可用來對(duì)樣本數(shù)據(jù)的形狀進(jìn)行大致的判斷。下圖給出了三種常見的 箱線圖，分別對(duì)應(yīng)對(duì)稱分布、左偏分布和右偏分布。§ 5.4三大抽樣分布5.4.1廠(卡方)分布定義5.

29、4.1設(shè)Xi,X2，Xn相互獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即nXi - N(0,1),i =1,2,n,則隨機(jī)變量+X| + X： =2 X：i4服從自由度為n的Z2分布，記為 /2分布的密度函數(shù)為,y >01p(y)斗 22nn)I *i 0n,y c0第三章已經(jīng)了解若 XN(0,1)，則X2Ga(1/2,1/2),根據(jù)伽瑪分布的 可加性，有&Ga(n/2,1/2) =/rn),由此可見/2(n)分布是伽瑪分布的特 例。下圖給出了 n =1, 4, 10, 20時(shí)的X2分布的密度函數(shù)的曲線。yf=20022z2分布密度函數(shù)曲線E(/2) =n,Var(/2) =2n。Z2 (卡方)

30、分布的1-a分位數(shù)可以在附表中查到。5.4.2 F分布定義5.4.2設(shè)X1,X2相互獨(dú)立，分別服從自由度為 m, n的X分布,則稱L X1 /mF =X2/n服從自由度為(m, n)的F分布，記為F(m, n )。其中m稱為分了自由度，n稱 為分母自由度。通過計(jì)算，可求得 F(m,n的概率密度函數(shù))()m 旦p(y)=_2_ym/24(1+my) 2r(m)r(n)n2 2下圖給出了一些F分布的密度函數(shù)的圖象F分布的性質(zhì)：若 F F(m, n).，則有1/F F(n, m).。F分布密度函數(shù)關(guān)于F分布的1-a分位數(shù)：我們稱滿足 P仆 <片盤(m, n) = 的點(diǎn)F1(m, n)為F (m

31、, n)分布的1-a分位數(shù)，其有如下性質(zhì)： Fa(n,m)= 1 .F(m, n)1 a1證明設(shè)FF(n,m)，則丄F(n,m),且Fa =pf >Fn,1IIF Fa(n ,m)J1 , ., =1 - P « >> = 1 - P >FF/ n,m)J丨于是P1F Fa(n ,m)/由ot分位點(diǎn)的定義，顯然 F(m, n)=1成立。F從 n,m)15.4.3 t分布定義5.4.3設(shè)X - N(0,1), Y /氣n),且X與丫相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量VY/n服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。2 n十(1 + -)2 _qC Y y Y +qCn ，通過

32、計(jì)算可得t分布的密度函數(shù)為 町)12丿t分布的密度函數(shù)曲線上圖給出了 n =1，5，10時(shí)t分布的密度函數(shù)。t分布的1-a分位數(shù)，由Pfr n) =1 -ot ,(n)的值。的tig (n)是自由為n的t分布的1-a分位數(shù)，查t分布表可得t由于t分布有對(duì)稱性，因此心(n)=九(n)注意：(1)自由度為1的t分布就是標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，它的均值不存在；(2) n> 1時(shí)，t分布的數(shù)學(xué)期望存在且為0；(3) n> 2時(shí)，t分布的方差存在且為 0;(4) 當(dāng)自由度較大時(shí)(如n >30),有2y2limP + J丁 =ePt分布接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。因此，在應(yīng)用中，可以用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)近似，有軋0。

33、5.4.4 些重要的結(jié)論定理5.4.1設(shè)X1,X2，Xn為取自正態(tài)總體 N(巴b )的樣本，其樣本均值和樣本方差分別為Xi和n ys2丄Z (Xj -X)2，則有n 1 i¥_ 2(1)X與s相互獨(dú)立XN(巴CT2/n)(11 X2(n1)CT推論5.4.1在定理5.4.1的記號(hào)下,£t(1).S證明由定理5.4.1知(石4 N (0,1),(n 一 1 b2 x2(n - 1 )CT 2且二者相互獨(dú)立，由t分布的定義可知需t(n_1)即 T t（n -1）推論5.4.2和5.4.3設(shè)X1,X2，,Xm為取自正態(tài)總體 "（卩1,刁2）的樣本，設(shè) y1, y2,yn為取自正態(tài)總體1 m =Z （Xi -X）2m 1 y2SxN（»2，b；）的樣本，且此兩樣本相互獨(dú)立，記彳 n2 I _ ,一、2，Sy =Z （Vi - y），n 1 y其中Xi ,m yyi則有Sx22 F - Sy22 bi-F (m -1, n 1)Sx2=七 F(m-1, n -1) Sy，有特別地，若W22Sw(m 1)s2 +(n 1)symn送(Xi -X)2 +2 (yi V)2i rnym + n - 2§ 5.5充分統(tǒng)計(jì)量2 2(2)若進(jìn)一步假設(shè)W =2