周期擬小波在解積分方程中應用

1、 畢業(yè)設(shè)計（論文）題目： 周期擬小波在求解積分方程中的應用 學 院： 數(shù)學與統(tǒng)計學院 專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 班 級： 17111201 姓 名： 宋一格 指導教師： 王杰 本文摘要在20世紀80年代以來，出現(xiàn)了一個迅速發(fā)展的數(shù)學分支-小波分析。小波分析的理論意義深刻同時應用前景廣闊。Fourier分析是小波分析的基礎(chǔ)，但是與Fourier分析不同的是，小波變換與Fourier變換、加窗Fourier變換相比，它是一個自適應局部自適應的時間及頻率的變換，擁有不錯的時-頻定位特性及多分辨能力，于是它能有效地從信號中提取有價值的信息，從而解決Fourier變換難以解決的部分問題。在近現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展

2、中，積分方程占有重要的地位。如何解積分方程，是我們一直以來追求的問題，然而具體積分方程（組），往往很難求出它的精確解。本文所作的主要工作有：小波分析的一些基礎(chǔ)知識及發(fā)展前景的總結(jié)歸納；2關(guān)于周期擬小波的定義的等價刻畫的深入探討；3用周期擬小波的積分方程的快速算法求解第二類Ferdholm積分方程）；4 Galerkin逼近的方法的收斂性的進一步探討。 關(guān)鍵詞：小波分析 第二類Fredholm積分方程 Galerkin逼近 周期擬小波 ABSTRECT Since the 1980s, the wavelet analysis has developed rapidly as a mathema

3、tic branch. It has a profound theoretical significance as well as a promising prospect of application. The foundation of the wavelet analysis is Fourier analysis. But different from Fourier analysis, through the wavelet analysis people can find the changes of the time together with the frequency, an

4、d use the information to solve part of the problems that are unable to solve by Fourier analysis. In addition, the integral equation plays an important role in the development of modern mathematics. We have been pursuing the solution to the integral equation for a long time. However, it is often dif

5、ficult to find out the exact solutions to specific integral equation (Group). The main achievements of this paper are: 1. Summarize the basic knowledge of the wavelet analysis and its development outlook; 2. The precise definition of periodic quasi wavelet; 3.Solve the Fredholm integral equation wit

6、h periodic quasi wavelet;4. Further research on Galerkin approximation method. Keywords: wavelet analysis Fredholm integral equation Galerkin approximation 目錄本文摘要2ABSTRECT3第一章 小波分析的發(fā)展歷史和基本理論51.小波分析的產(chǎn)生與發(fā)展51.2 小波分析理論與傅里葉變換51.3小波定義及必要基礎(chǔ)知識61.4 小波變換的一些知識8第二章 周期擬小波理論及用其解第二類Fredholm積分方程92.1引言102.2小波與積分方程的研

7、究現(xiàn)狀102.3樣條和周期擬小波112.4求解積分方程的擬小波算法122.4.1 離散化：投影到Vm122.4.2 線性方程組的分裂132.4.3 近似多尺度策略13第3章 小波理論的應用前景14致謝15參考文獻16第一章 小波分析的發(fā)展歷史和基本理論1.小波分析的產(chǎn)生與發(fā)展小波起初最先被地球物理學家在工程中用來分析通過爆炸方法產(chǎn)生的由人為造成的地震數(shù)據(jù)，用于發(fā)現(xiàn)油田，勘探礦產(chǎn)等通過分析即可得到地表下巖石礦物層的“圖像”。事實上，地球物理學家們是第二次發(fā)現(xiàn)小波，很多數(shù)學家早在幾十年前就用它來解決一些抽象的數(shù)學問題，只是沒有期望應用在信號處理領(lǐng)域。20世紀八十年代初，A.Grossman和J.M

8、orlet首次提出了小波的概念。而后多年，小波的發(fā)展壯大，是因為其新的數(shù)學工具的作用，被諸如信號接收領(lǐng)域，現(xiàn)代流體力學等等所需要，所研究。近年來，Helmholtz方程及其數(shù)值解法吸引了很多科學家，發(fā)表了大量的論文其中相當一部分的這類積分方程數(shù)值解法討論了Galerkin逼近，配置法和類配置法的應用及其誤差分析。1.2 小波分析理論與傅里葉變換 小波分析理論繼承與發(fā)展由Gabor變換帶來的局部化思想，其可以使窗口函數(shù)自動地平移伸縮。其根源可追溯到Haar提出的Haar基，早在1910年，這個就是最簡單的小波基函數(shù)?？墒怯捎贖aar基的不連續(xù)的性質(zhì)，小波分析并沒有得到足夠的重視。時至1981，S

9、tromberg通過對Haar給定的系數(shù)的修正并引入了Soblev空間正交基，這是規(guī)范的一組正交小波基，此舉為小波分析接下來的發(fā)展打下堅實數(shù)學基礎(chǔ)。在1988年，比利時女數(shù)學家Daubechies第一個構(gòu)造出具有緊支集的光滑小波，使小波分析理論系統(tǒng)化，她的著作Ten Lectures on Wavelet（小波十講）對小波分析的普及應用起了重要的推動作用。同短時傅里葉變換，傅里葉變換相比，小波分析是時-頻的局域化分析，它使用平移伸縮變換，可以達到低頻頻率細分，高頻時間細分，能夠自動的適應視頻信號分析的需求，成為繼傅里葉變換之后科學方法上的一個巨大突破。小波分析尚不能完全取代傅里葉分析，由于傅里

10、葉分析應用于長時間且更穩(wěn)定的信號處理情景中更為合適。小波變換是由STFT的另一種形式推導而出，傅里葉分析對于小波分析中不可或缺的小波基的構(gòu)造也起到了巨大作用。兩者時間相互補充，相得益彰。但值得一提的是，小波分析比傅里葉分析在瞬時信號檢測方面有巨大優(yōu)越性：（1）靈活性：小波基函數(shù)只要滿足允許小波的條件就可行，并不是唯一，于是會有諸多構(gòu)造小波的方法，就像：樣條小波（Spline Wavelet），Harr小波，Marr小波等。不同的小波為了達到最佳效果，可分別用于逼近不同特性的信號，由于他們的特性不同。然而傅里葉變換逼近效果不甚理想，因為它只可用正弦函數(shù)來逼近任意信號無選擇余地。(2)快速性：從尺

11、度函數(shù)和兩尺度關(guān)系來推導出小波系數(shù)十分容易，甚至不用知道小波函數(shù)解析式亦可得出結(jié)果。然而小波分析確不會丟失細節(jié)。需要時可將頻帶細分，起”數(shù)學顯微鏡“的作用。從這一點上來看，傅里葉分析無可比擬。（3）雙域性：小波分析可在時-頻兩域內(nèi)揭示信號特征，是時頻分析。在測不準關(guān)系約束下，它具有著較寬的時間窗，在頻率較低時；具有較高的頻率窗，在頻率較高時，于是在瞬時分析方面表現(xiàn)出色。這個在于傅里葉分析的單域性相比優(yōu)勢突出。若將傅里葉分析用于分析瞬態(tài)信號，會丟失其局部信息，產(chǎn)生的較大的難以接受的分析誤差。1.3小波定義及必要基礎(chǔ)知識Grossman和Morlet給出了小波的第一定義： 對于任意的tL2R，如果

12、t的傅里葉變換能達到可容許條件:-+2d<則我們稱t是一個基本小波（母小波函數(shù)）。Littlewood-Paley-Stein 理論修改而成小波第二定義：L2R上的函數(shù)t是一個小波，如果它的傅里葉變換小波幾乎處處滿足條件：-+2-J2=1由Franklin和Stromberg給出了第三定義：L2R上的函數(shù)t是一個小波，如果222Jx-k;j,kZ是L2R的一個正交基，此小波就滿足第二定義給出的條件?；拘〔ū仨殱M足如下條件： -+t2dt=1 ,即基本小波是單位化的； -+tdt<，即tL2R有界； -+tdt=0，即基本小波平均值為零；在大多數(shù)的情況中，對所有m<M（m和M

13、為整數(shù)）有。這個表示基本小波必須非0且均值等于0. 母小波t縮放a倍并平移b單位得到： -+tmtdt我們把a,bt叫做小波基函數(shù)（小波）。它由一個基本小波經(jīng)過伸縮平移產(chǎn)生二維空間的基底，依賴參數(shù)a與b的選取。其中a，b稱為尺度因子和平移因子。接下來我們講小波函數(shù)的性質(zhì)小波函數(shù)定義域具有緊支撐性（在一個很小的區(qū)域之外，函數(shù)值為0）。于是，小波函數(shù)具有速降性，是其在時-頻域都有較好局部特性，以便把空間局域化。均值為0，即-+tdt=0，并且t高階矩亦為零，即：-+tmtdt，k=0,1,m-1均值為0的條件被叫做小波的容許條件（admissibility condition），我們可設(shè)c=-+2

14、d<其中， =-+te-itdt， c是有限值，這意味著在c=0處連續(xù)且可積，此時=0才有意義，于是，=-+tdt=0顯而易見，“小波”即為小的波形，小指它的衰減性，某個極小區(qū)域外會迅速下降為0;”接下來說說，討論周期小波需要的傅里葉分析的相關(guān)知識。我們考慮周期為1的函數(shù)空間，L0,1:=fx|fx=fx+1,01fx2<+.對fx,g(x)L20,1，內(nèi)積f,g定義為:f,g:=01f(x)g(x)dxf的傅里葉變換是f2n:=01fxe-i2nxdx nZ1.4 小波變換的一些知識 首先回憶傅里葉變換和逆傅里葉變換的定義。信號fL2(R)的Fourier變換與逆Fourier變

15、換為:fs=12Rf(t)e-istdt，f(t)=12Rf(s)e-istds 經(jīng)典的傅里葉變換在信號分析和處理中地位舉足輕重，但不能滿足某些實際應用需求（如可變的時-頻窗口），而小波變換就有類似的調(diào)節(jié)焦距伸縮等功能。假設(shè)函數(shù)a,b為一個母小波，由式a,bt=1at-ba定義。信號f(t)L2(R)的連續(xù)小波變換為：(Wf)a,b=f,a,b=a-12Rf(t)t-badt假設(shè)(t)L2(R)L1(R),并滿足:則稱(t)為可允許小波，相應條件為可允許條件。假設(shè)為可允許小波。f,gL2R,R ,那么（1）Wf+ga,b=Wfa,b+Wg(a,b);（2）Wf-x0a.b=Wfa,b-x0;（

16、3）Wfa,b=1Wfa,b,>0即可允許小波具有的線性性，平移性，伸縮性。連續(xù)小波變換具有一個很重要的性質(zhì)，它與加窗傅里葉變換（短時傅里葉變換或者Gabor變換）相比具有不同的時-頻窗。本章節(jié)主要講述了小波分析的發(fā)展歷程和小波的一些基本概念和用小波分析解決問題的基本知識，為接下來一章用周期擬小波解第二類Fredholm積分方程來做鋪墊。 第二章 周期擬小波理論及用其解第二類Fredholm積分方程2.1引言我們試著來求解下述積分方程:ux=02uyax-ylog2sinx-y2+bx,ydy+gx,x0,2其中,at=a0+a1(t)sin2t2a0為常數(shù)，bx,y為一連續(xù)函數(shù)，并且對

17、任何變量都是周期為2的周期函數(shù)，a1(x)和g(x)都是連續(xù)的周期函數(shù)。這個方程來源于二位Helmholtz方程的外邊值問題。與此同時，此方程也可由共形映照問題到處，共形映照的用途也愈加繁多。最近幾年，學界諸多數(shù)學家在致力于研究Helmholtz方程及其數(shù)值解法，也發(fā)表了大量的論文，其中相當一部分的論文用Galerkin逼近、配置法和類配置法的應用及其誤差分析來討論求解這類方程的數(shù)值解法。小波最初是用來信號和圖像處理，現(xiàn)在已被用于求解積分方程。最近，由Z.Chen，C.Micchelli和Y.Xu提出了一種新的方法，他們利用了Petrov-Galerkin方法結(jié)合小波對一類積分方程進行求解，計

18、算復雜度為O（NlogN），其中我們用N表示未知量個數(shù).還有作者提出了一種求解Laplace方程與Helmholtz方程的多尺度算法，復雜度為0NlogNbb0。以上方法共同之處在于：用小波基進行離散化方程以后，所得的剛度矩陣（stiffness-matrix）可以近似為擬對角矩陣，因此可找出一種快速算法。在本章中，我們采用周期小波求解上述方程，由于結(jié)合了周期擬小波、離散傅里葉變換和樣條，是的剛度矩陣的奇異部分可以對角化，與我們往常用的截斷剛度矩陣的做法不同之處在于，我們采用一種全新的方法用于求解所得方程組。與此同時，我們吸收了多尺度策略（Multiresolution Strategy），以

19、便得到快速方法。本章將提出一個新的算法用來求解該積分方程，而復雜度僅僅為O（NlogN），如果剛性矩陣已算好，求解方程組的復雜度為O(N)。同時，由于周期擬小波是基于B-樣條的，從而使得Galerkin逼近擁有多項式階的收斂速度。2.2小波與積分方程的研究現(xiàn)狀近年來，小波分析發(fā)展迅速，諸多數(shù)學家用小波求解到積分方程問題，由于在很多前沿的物理學科研究過程中，積分方程的求解問題舉足輕重?？墒俏覀冊趯嶋H中遇到的積分方程，大部分不能或者說很難求出它的精確解析解，大多數(shù)情況下，近似解或者數(shù)值解是可以得到的。小波理論的出現(xiàn)使我們利用小波基去分解求解積分方程可以得到出色的誤差極小的數(shù)值解。時至今日，計算數(shù)學

20、的發(fā)展迅猛，這主要歸功于電子計算機的出現(xiàn)。在解決科學與工程方面的問題中，得到應用最廣泛的就是有限元法及邊界元法。位勢理論與積分方程受到學界很大重視，它們就是上述兩種方法的數(shù)學基礎(chǔ)。本章將簡要討論第二類Fredholm積分方程組的小波近似解的算法。求解積分方程的近似解的方法法大致分為兩種：一類如逐次逼近法等，是對解析解法的近似計算，：另一類把積分化為代數(shù)方程組、變分問題求數(shù)值解等，核心思想就是把復雜問題化成便于進行數(shù)值計算的其他問題。近似方法是國內(nèi)外眾多學者所關(guān)注的核心問題之一，這導致了其發(fā)展迅猛，精度不斷增高的同時解法愈加簡單。2.3樣條和周期擬小波 令n1為一個奇整數(shù)，Kn+1為一個整數(shù)，h

21、為一個正的實數(shù)，令T:=Kh，hm=T/K(m)，其中Km=2mK，點集ymv的定義為ymv=v-n+12hm。我們定義B-樣條如下：Bjnx,hm=-1n+1yn+1+jm-yjmyjm,yj+n+1myx-y+n1n!hmnk=0n+1-1k(n+1k)x-yjm-khmn 定理： Avn,mx滿足如下雙尺度方程：Avn,mx=avn,m+1Avn,m+1x+bvn,m+1Av+K(m)n,m+1x 其中avn,m+1=Cvn,mcosvKm+1n+1/Cvn.m+1bvn,m+1=Cvn,msinvKm+1n+1/Cvn.m+1這里0vK(m)-1。為了解上述方程，我們還需引入周期擬小波

22、的概念函數(shù)集Dvn,mv=0K(m) 是空間Wm的一個標準正交基，并且Vm+1=VmWm. 我們把Avn,m叫做父擬小波（father quasi-wavelet）； Dvn,m則叫做母擬小波（mother quasi-wavelet）。 之所以把“擬”加在小波前面是因為這類小波與傳統(tǒng)小波不同. 設(shè)Pm,Qm分別是由L20,T映射到Vm和Wm上的正交投影，令則我們可得出如下結(jié)論由上式定義的系數(shù)和，我們能得出以下分解公式：而重構(gòu)公式則為：其中v=0,K(m)-1.定義我們記矩陣上半部分為，下半部分為。因此我們可得2.4求解積分方程的擬小波算法2.4.1 離散化：投影到Vm首先將上述積分方程改寫成

23、算子方式：u=Tu+g（2.4.1.1）我們要求積分方程的數(shù)值解，首先要對其進行離散化而后，得到線性方程組再用Galerkin逼近對其求解。我們可得出一個（2.4.1.1）的逼近：um=PmTum+Pmg （2.4.1.2）其中Pm是由L20,到Vm的一個投影算子。由于 Ajn,m是Vm的一個標準正交基， 我們可設(shè)um=j=0km-1SjmAjn,m Pmg=j=0Km-1gjmAjn,m （2.4.1.3）將（2.4.1.3）帶入(2.4.1.2) 中可得:sjm=k=0km+1jkskm+gjm(0jKm-1) （2.4.1.4）因此我們的任務(wù)就變成了求解方程（2.4.1.4）2.4.2

24、線性方程組的分裂定理2.4.2.1 Em=diag(e00m,eKm-1,Km-1m) 我們可以得到WmTWm=HmTHm+LmTLm以及。其中Im是Km×Km 單位陣我們可把方程(2.4.1.4) 改寫成 （2.4.2.1）2.4.3 近似多尺度策略在接下來的討論中，我們會用近似多尺度的策略（Multiscale Strategy）思想來求解方程（2.4.1.4）。即我們從方程組（2.4.2.1） 解出sm-1m和dm-1m，方程（2.4.1.4） 的解則可以重構(gòu)得到。多尺度的策略就是從方程組（2.4.2.1）中解出dm-1m，換句話來說，就是用sm-1m來表出dm-1m。我們很難

25、求出精確解，用近似解來代替，方程兩邊同時乘。可得出:（2.4.3.1）舍去上述方程最后極小的量，將上述改寫為我們只需從下述方程解出:與此同時，再之后的計算復雜度分析與Galerkin逼近的收斂性以及，用小波來解第二類Fredholme積分方程的誤差分析我們就不在這里討論了。于是，我們本章最開始所提到的方程我們可得出了他的近似解（數(shù)值解），這歸功于小波兼有光滑性和局部緊支撐等，與傳統(tǒng)的有限元、有限差分等方法相比，可以更好的處理積分方程的數(shù)值求解問題。本文只是把Fredholm積分方程組進行求解。其他積分方程的小波解法有待進一步探討。第3章 小波理論的應用前景小波理論誕生至今已三十年有余，進展明顯

26、，從古樸的自然科學到新興的高科技領(lǐng)域，小波分析所帶來的局部化革命在方方面面造成了巨大的沖擊。在諸如圖像處理、語音分割與合成、新號信息處理、工業(yè)CT、ICT、雷達分析、流體力學、機器視覺、故障診斷、等眾多領(lǐng)域取得極佳的應用效果，形成多次研究浪潮。在世界范圍內(nèi)，隨著時間推移，研究小波的人數(shù)越來越多，有人戲稱小波將變?yōu)楦淖兪澜绲摹按蟛ā?。在我看來，小波分析還有更廣闊的光明前景，主要原因如下：（1）小波理論尚未完善。高維小波、向量小波的研究并不像一維小波的研究那么完善。（2）最優(yōu)小波基選取方法的研究。完美適應任何情況的小波基目前并不存在，若存在，此小波基如同傅里葉變換中的正弦函數(shù)一樣，于瞬態(tài)信號分析幾

27、無作用，于是，小波基的優(yōu)化選擇是小波理論研究的重中之重。（3）在人工智能、模糊識別等智能信息處理的領(lǐng)域的研究，如果無小波理論嵌入難以取得突破。（4）截至目前，小波分析在應用層面的軟件十分缺少，遠遠不像傅里葉變換的算法和軟件的成熟完善，更無大型且系統(tǒng)的小波分析軟件。（5） 小波分析應用領(lǐng)域廣闊但是，效果極佳的領(lǐng)域并不多，需要廣大學者和科技工作者孜孜不倦的努力。小波理論應用的時候，往往會將小波作為一種基與被分析的函數(shù)或者信號作內(nèi)積而展開。但事實上，應該考慮基前的預處理和基后的善后處理，與其他種種方法相結(jié)合，而不是僅僅將小波作為一種基來展開。傅里葉分析是小波分析的基礎(chǔ)，小波分析可處理一切問題，舍棄傅

28、里葉變換的觀點是不正確的。迄今為止，小波分析的研究成果多是理論上應用數(shù)學的成就，如何在工程方面未取得廣泛應用和較大進展是一個值得深入探討且意義巨大的問題。因此，小波分析應用研究的價值極大。致謝誠摯感謝王杰老師對于本文的指導。參考文獻1周期小波理論及其應用.彭思龍.李登峰.諶秋輝北京；科學出版社.20032小波與傅里葉分析基礎(chǔ).Albert Boggess著.芮國勝.康健.等譯北京；電子工業(yè)出版社.20033小波變換及其工程應用.李媛等著北京；北京郵電大學出版社.20104小波基礎(chǔ)理論和應用實例.李登峰.楊曉慧編著北京；高等教育出版社.20105Wavelet-Galerkin solutions For One-dimensional partial differential equations. Amaratunga K, Williams J R, Qian S and Weiss J Internat. J Numer Methods Engrg 19946Fast Wave