北師大版數(shù)學九年級下冊3.3 垂徑定理

1、教育精選3.3 垂徑定理 1.通過圓的軸對稱性質(zhì)的學習，理解垂徑定理及其推論. 2.能運用垂徑定理及其推論計算和證明實際問題. 自學指導 閱讀教材第74至75頁內(nèi)容，并完成下列問題. 知識探究 1.垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧，即一條直線如果滿足：AB經(jīng)過圓心O且與圓交于A、B兩點；ABCD交CD于E；那么可以推出：CE=DE；=；=. 2.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧. 自學反饋 1.如圖，弦AB直徑CD于E，相等的線段有：AE=EB，CO=DO；相等的弧有：=，=，=. 2.在O中，直徑為10 cm，圓心O到AB的距離為3 cm，則弦AB的長

2、為8 cm. 3.在O中，直徑為10 cm，弦AB的長為8 cm，則圓心O到AB的距離為3 cm. 圓中已知半徑、弦長、弦心距三者中的任何兩個，即可求出另一個. 4.O的半徑OA=5 cm，弦AB=8 cm，點C是AB的中點，則OC的長為3 cm. 已知弦的中點，連結(jié)圓心和中點構(gòu)造垂直是常用的輔助線. 5.某公園的一石拱橋是圓弧形(劣弧)，其跨度為24米，拱的半徑為13米，則拱高為多少米？(8米) 圓中已知半徑、弦長、弦心距或弓形高四者中的任何兩個，即可求出另一個. 6.O的半徑是5，P是圓內(nèi)一點，且OP3，過點P最短弦的長是8，最長弦的長為10. 過點P最短弦即為與OP垂直的弦，最長弦即為直

3、徑.活動1 小組討論 例1 是的直徑，弦，為垂足，若，求的長. 解：6. 常用輔助線：連結(jié)半徑，由半徑、半弦、弦心距構(gòu)造直角三角形. 例2 O的半徑為5，弦AB的長為8，M是弦AB上的動點，則線段OM的長的最小值為3.最大值為5. 當OM與AB垂直時，OM最小(為什么)，M在A(或B)處時OM最大. 例3 已知：如圖，線段AB與O交于C、D兩點，且OA=OB.求證：AC=BD.證明：作OEAB于E.則CE=DE. OA=OB，OEAB，AE=BE. AE-CE=BE-DE.即AC=BD. 過圓心作垂徑是圓中常用輔助線.例4 如圖，在O中，CD為弦，ECCD，F(xiàn)DCD，EC、FD分別交直徑AB于

4、E、F兩點，求證：AE=BF. 證明：略 過圓心作垂徑，與已知的另兩個垂直構(gòu)造一組平行線. 例5 如圖，O中CD是弦，AB是直徑，AECD于E，BFCD于F，求證：CEDF. 證明：略 本題即為上題的變式訓練.當題目的條件不變，只是圖形發(fā)生變化時，通常結(jié)論不變，解題思路也不變.活動2 跟蹤訓練 1.在直徑是20 cm的O中，AOB的度數(shù)是60，那么弦AB的弦心距是5 cm. 這里利用60角構(gòu)造等邊三角形，從而得出弦長. 2.弓形的弦長為6 cm，弓形的高為2 cm，則這個弓形所在的圓的半徑為cm. 3.如圖，AB為O的直徑，E是中點，OE交BC于點D，BD=3，AB=10，則AC=8. 4.如

5、圖，OE、OF分別為O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么AB=CD.(只需寫一個正確的結(jié)論即可) 5.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點.求證：AC=BD. 證明：過點O作OEAB于點E.則AE=BE，CE=DE.AE-CE=BE-DE. 即AC=BD. 過圓心作垂徑. 6.如圖，O直徑AB和弦CD相交于點E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦CD長.解：作OFCD于點F，連結(jié)OD.AE=2，EB=6，AB=8.AO=4.EO=2.DEB=30，OFE=90，OF=OE=1.在RtODF中，OD=4，OF=1.DF=.CD=2DF=2. 第6題

6、先過圓心作垂徑，將30角放在直角三角形中，求出弦心距，再連半徑構(gòu)造由半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形. 7.已知O的直徑是50 cm，O的兩條平行弦AB= cm，CD= cm，求弦AB與CD之間的距離. AB、在點O兩側(cè)，AB、CD在點O同側(cè). 解：過點O作直線OEAB于點E，直線OE與CD交于點F.由ABCD，則OFCD. 當AB、CD在點O兩側(cè)時，如圖1.連結(jié)AO、CO，則AO=CO=25 cm，AE=20 cm，CF=24 cm. 由勾股定理知OE=15 cm，OF=7 cm.EF=OE+OF=22 cm. 即AB與CD之間距離為22 cm. 圖1 圖2 當AB、CD在點O同側(cè)時，如圖2，連結(jié)AO、CO.則AO=CO=25 cm，AE=20 cm，CF=24 cm. 由勾股定理知OE=15 cm，OF=7 cm.EF=OE-OF=8 cm. 即AB與CD之間距離為8 cm. 由知AB