高中各種函數(shù)圖像及其性質(zhì)

1、一次函數(shù)（一）函數(shù)1、確定函數(shù)定義域的方法：（ 1）關(guān)系式為整式時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；（ 2）關(guān)系式含有分式時(shí)，分式的分母不等于零；（ 3）關(guān)系式含有二次根式時(shí)，被開放方數(shù)大于等于零；（ 4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí)，底數(shù)不等于零；（ 5）實(shí)際問題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合，使之有意義。（二）一次函數(shù)1、一次函數(shù)的定義一般地，形如y kx b （ k ， b 是常數(shù)，且k 0 ）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，其中x 是自變量。當(dāng)b 0時(shí)，一次函數(shù)y kx,又叫做正比例函數(shù)。一次函數(shù)的解析式的形式是y kx b,要判斷一個(gè)函數(shù)是否是一次函數(shù)，就是判斷是否能化成以上形式當(dāng)b 0, k 0時(shí)

2、，y kx仍是一次函數(shù).當(dāng) b 0 ， k 0 時(shí)，它不是一次函數(shù)正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包括正比例函數(shù).2、正比例函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx（k 是常數(shù)，注：正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx （k當(dāng) k0 時(shí)， 直線 y=kx 經(jīng)過三、kw0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).不為零 ） k 不為零 x 指數(shù)為 1 b 取零一象限，從左向右上升，即隨 x 的增大 y 也增大； 當(dāng) k0 時(shí)，圖像經(jīng)過一、三象限；k0， y 隨 x 的增大而增大；k0時(shí)，向上平移；當(dāng)b0 ,圖象經(jīng)過第一、三象限；k0,圖象經(jīng)過第一、二象限；b0 , y隨x的增大而增大；k0時(shí)，將直線y=kx的

3、圖象向上平移 b個(gè)單位；當(dāng)b0b0經(jīng)過二-、二、三象限經(jīng)過二-、三、四象限經(jīng)過二-、三象限圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大k0時(shí)，向上平移；當(dāng) b地，形如y=kx+b（k,b是常數(shù)，kw0）,那 么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，是y=kx, 所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).自變量 范圍X為全體實(shí)數(shù)圖象一條直線必過點(diǎn)(0, 0)、(1, k)一b(0, b)和(-b, 0) k走向k0時(shí)，直線經(jīng)過一、三象限； k0, b0,直線經(jīng)過第一、二、二象限k0, b0直線經(jīng)過A、三、四象限k0直線經(jīng)過A、二、四象限k0, b0, y隨x的增大而增大；（從左向右上升）k0時(shí)，將直線y=kx的圖

4、象向上平移 1個(gè)單位；b0或ax+b0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限，同一個(gè)象限內(nèi)， y隨x的增大而減?。划?dāng)k0時(shí)，函數(shù)在x0上同為減函數(shù)；k0時(shí)，函數(shù)在x0 上同為增函數(shù)。定義域?yàn)閤w0；值域?yàn)閥w0。3 .因?yàn)樵趛=k/x（k w0）中，x不能為0, y也不能為0,所以反比例函數(shù)的圖 象不可能與x 軸相交，也不可能與y 軸相交。4 .在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn) P, Q,過點(diǎn)P, Q分別作x軸，y軸的 平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1, S2則S1 = S2=|K|5 . 反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸 y=x y=-x （即第一三，二四象限角平分線

5、），對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)。6 .若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點(diǎn)（m n同號(hào)）， 那么 A B 兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。7 .設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù) y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n要使它們有公共交 點(diǎn)，則nA2+4k m （不小于）0。8 . 反比例函數(shù)y=k/x 的漸近線：x 軸與 y 軸。9 . 反比例函數(shù)關(guān)于正比例函數(shù)y=x,y=-x 軸對(duì)稱 , 并且關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.10 .反比例上一點(diǎn)m向x、y分別做垂線，交于q、w,則夕!形mwqo（o為原 點(diǎn)）的面積為|k|值相等的反比例函數(shù)重合，k 值不相等的反比例函數(shù)永不相交。12 .|k| 越大，反比例函數(shù)的圖象離坐標(biāo)軸

6、的距離越遠(yuǎn)。13 . 反比例函數(shù)圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是原點(diǎn)指數(shù)函數(shù)概念：一般地，函數(shù) y=aAx （a0,且awl）叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x是自變量，函數(shù) 的定義域是R。注意：1.指數(shù)函數(shù)對(duì)外形要求嚴(yán)格，前系數(shù)要為 1,否則不能為指數(shù)函數(shù)。2.指數(shù)函數(shù)的定義僅是形式定義。指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)：規(guī)律： 1. 當(dāng)兩個(gè)指數(shù)函數(shù)中的a 互為倒數(shù)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于y 軸對(duì)稱，但這兩個(gè)函數(shù)都不具有奇偶性。2. 當(dāng)a1時(shí)，底數(shù)越大，圖像上升的越快，在 y軸的右側(cè)，圖像越靠近 y軸；當(dāng)0vav1時(shí)，底數(shù)越小，圖像下降的越快，在y軸的左側(cè)，圖像越靠近 y軸。在 y 軸右邊“ 底大圖高 ”；在 y 軸左邊“

7、底大圖低 ”。3. 四字口訣：“大增小減”。即：當(dāng)a1時(shí)，圖像在R上是增函數(shù)；當(dāng)0vav1時(shí), 圖像在R上是減函數(shù)。4. 指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。比較募式大小的方法：1. 當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 進(jìn)行比較；2. 當(dāng)?shù)讛?shù)中 含有字母時(shí)要注意 分類討論；3. 當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時(shí)，則需要引入中間量進(jìn)行比較；4. 對(duì)多個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，可用0 或 1 作為中間量進(jìn)行比較底數(shù)的平移：在指數(shù)上加上一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向左平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向右平移。在 f（X） 后加上一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向上平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向下平移。對(duì)數(shù)函數(shù)1. 對(duì)數(shù)函數(shù)的概念由于指數(shù)函數(shù)y=ax在定義域（-8

8、, +8）上是單調(diào)函數(shù)，所以它存在反函數(shù)，我們把指數(shù)函數(shù) y=ax（a 0, awl）的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，并記為y=log ax（a 0, awl）.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax的定義域?yàn)椋?00, +oo）,值域?yàn)椋? , +oo）,所以對(duì)數(shù)函數(shù)y=log aX的 定義域?yàn)椋?, +8），值域?yàn)椋?8, +oo）.2. 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù) ，因此它們的圖像對(duì)稱于直線y=x. 據(jù)此即可以畫出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，并推知它的性質(zhì)為了研究對(duì)數(shù)函數(shù) y=log ax(a 0, aw 1)的性質(zhì)，我們?cè)谕恢苯亲鴺?biāo)系中作出函數(shù)y=log 2x, y=log 10X, y=log i0

9、X,y=log 1 x,y=log 1 x 的草圖210y=log ax(a 0, a由草圖，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以歸納、分析出對(duì)數(shù)函數(shù) W 1)的圖像的特征和性質(zhì).見下表.a 1av 1圖象(1)x 0性(2)當(dāng) x=1 時(shí)，y=0質(zhì)(3)當(dāng) x1 時(shí)，y00x1 時(shí)，y1 時(shí)，y00x0(4)在(0 , +8 )上是增函數(shù)(4)在(0 ，+ )上是減函數(shù)補(bǔ) 充性 質(zhì)設(shè) ylog ax y 2=log bx 其中 a 1, b 1(或 0v av 1 0當(dāng)x1時(shí)“底大圖低”即若ab則y1y2當(dāng)0xb,則y1y2v b0, aw 1)y=log ax(a 0, aw 1)定義域(-o

10、o, +OO)(0 , +00)值域(0 , +8)(-巴 +OO)函 數(shù) 值 變 化 情 況當(dāng)a 1時(shí)，1( x 0) ax 1( x 0)1(x 0)當(dāng)0v av 1時(shí)，1( x 0) ax 1(x 0)1(x 0)當(dāng)a 1時(shí)0(xlog a x 0(x0(x當(dāng)0v av 1時(shí)，0(x 1)log a x 0(x 1)0(x 1)1)1)1)單調(diào)性當(dāng)a1時(shí)，ax是增函數(shù)； 當(dāng)0vav1時(shí)，ax是減函數(shù).當(dāng)a 1時(shí)，log ax是增函數(shù)；當(dāng)0vav1時(shí)，log ax是減函數(shù).圖像y=ax的圖像與y=log ax的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.號(hào)函數(shù)幕函數(shù)的圖像與性質(zhì)哥函數(shù)y xn隨著n的不同，定義

11、域、值域都會(huì)發(fā)生變化，可以采取按性質(zhì)和圖像分1 1類記憶的萬法.熟練掌握 y x ,當(dāng)n 2, 1, 一，-，3的圖像和性質(zhì)，列表如下.2 3從中可以歸納出以下結(jié)論： 它們都過點(diǎn)1,1 ,除原點(diǎn)外，任何幕函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交，任何幕函數(shù)圖像都不過第四象限._11 一 a -,1, 2,3時(shí)，哥函數(shù)圖像過原點(diǎn)且在0,上是增函數(shù).3 2小1 一a -, 1, 2時(shí)，哥函數(shù)圖像不過原點(diǎn)且在0,上是減函數(shù).2任何兩個(gè)幕函數(shù)最多有三個(gè)公共點(diǎn).y xn奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)yiy1八定義域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第I象限的增減 性在第I象限 單調(diào)遞增在第I象限 單調(diào)遞增在第I象限 單調(diào)遞增在第

12、I象限 單調(diào)遞增在第I象限 單調(diào)遞減哥函數(shù)（R,是常數(shù)）的圖像在第一象限的分 布規(guī)律是：所有備函數(shù)（R,是常數(shù)）的圖像都過點(diǎn)；當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖像都過原點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的的圖像在第一象限是第一象限的邛分線（如）；當(dāng)時(shí)，的的圖像在第一象限是“凹型”曲線（如）當(dāng)時(shí)，的的圖像在第一象限是“凸型”曲線當(dāng)時(shí)，的的圖像不過原點(diǎn)，且在第一象限是下滑”曲線（如）當(dāng)時(shí)，哥函數(shù)有下列性質(zhì)：(1)圖象都通過點(diǎn)；(2)在第一象限內(nèi)都是增函數(shù)；(3)在第一象限內(nèi)，時(shí)，圖象是向下凸的；時(shí)，圖象是向上凸的；(4)在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)后，圖象向右上方無限伸展。當(dāng)時(shí)，哥函數(shù)有下列性質(zhì)：(1)圖象都通過點(diǎn)；(2)在第一象限內(nèi)都是減函數(shù)，圖象是

13、向下凸的；(3)在第一象限內(nèi)，圖象向上與軸無限地接近；向右無限地與軸無限地接近；(4)在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)后，越大，圖象下落的速度越快。無論取任何實(shí)數(shù)，幕函數(shù)的圖象必然經(jīng)過第一象限， 并且一定不經(jīng)過第四象 限。對(duì)號(hào)函數(shù)0, +8)的圖象似符號(hào)yb函數(shù)y ax (ao,b0)叫做對(duì)號(hào)函數(shù)，因其在(x， 一 b _ bb而得名，利用對(duì)號(hào)函數(shù)的圖象及均值不等式,當(dāng)x0時(shí)，ax - 2 J(當(dāng)且僅當(dāng)ax 一 x . ax即x .i-時(shí)取等號(hào))，由此可得函數(shù) y aax (a0,b0,x C R+)的性質(zhì)： xg ,特別地，當(dāng)a=b=1當(dāng)x Jb時(shí)，函數(shù)y ax ab+、-(a0,b0,x CR)有取小值 2b)上是減函數(shù)，在區(qū)間( ab, ab.