(完整word版)2013-2018年上海高考試題匯編-數(shù)列.docx

1、數(shù)列知識(shí)點(diǎn)1、等差數(shù)列的性質(zhì)（2018秋6）記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a3 0 , a6 a7 14 ,則S7 答案：14（2018春5）已知也心是等差數(shù)列，若22 3810,則23 35 37 .答案：1知識(shí)點(diǎn)2：等差數(shù)列的判定（2017秋15）已知數(shù)列 xn an2 bn c,n N，使得也。k,x*o k,X3（x> k成等差數(shù)列的必要條件是 （）A a 0 B.b 0C. c 0D. a 2b c 0答案：A知識(shí)點(diǎn)3：等差數(shù)列的遞推關(guān)系I（2013年文22）已知函數(shù) f（X） 2 |丸無窮數(shù)列an滿足an 1 f （an ），nN".（1）若 ai 0,求 a2

2、, 3334 ：（2）若al 0,且ai,a2,a3成等比數(shù)列，求ai的值;,使得<3）是否存在ai 31,3 2,L ,an,L成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的31 ：若不存在，說明理由.（2） 32a a ,所以a2 21114 ai ,所以 ai 4 ai2 a 2 ai , 33 2 1a 2I 22al.當(dāng) 1 時(shí)，a當(dāng)“2時(shí)，a3 2 3120 a 23綜合得a1i或a 22 .32231 , 332 | 2 |ai|1（3）假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在，那么 ,得2 JU"）.以下分情況討論：當(dāng)ai 2時(shí)，由（）得ai 0，與ai 2矛盾;時(shí)，由（）得 ，從而當(dāng)0 a

3、i 2a 1 1 J 111 1,2,L ,所以an是i個(gè)等差數(shù)列；當(dāng)“0時(shí)，則公差d a2 al ai 2 al 2 0 ,因此存在m 2使得aam ai 2 m 1 2 .此時(shí) d mi am 2 am am 0,矛后.時(shí)，（2013理23）給定常數(shù)c 0 ，定義函數(shù)f（x） 2 k c 4數(shù)列 ai足 an 1 f Qn) > n N(i)若ai c 2 ,求 a2 及 a3 ；（2）求證：對(duì)任意n N”,1 3n C；a（3）是否存在 1,使得ai, ,L T,an ,L在，說明理由.成等差數(shù)列？若存在,求出所有這樣的a1：若不存解：(1)a 二 2,33 c 10 .x c 8

4、,x c,(2) f x 3x 3c+8, c 4 xc,x c 8, x c 4.當(dāng)3a C 時(shí)，anian C 8 C ；當(dāng) c 4 h c 時(shí)，ani an 2an 3c 8 2 c 4 3c 8 c ：當(dāng)a n c 4 時(shí)，ani an 2an c 8 2 c 4 c 8 c.所以，對(duì)任意n N方法二：要證：2彳c 4| x c| x c2|x c 4| |x c| x c當(dāng)x c 0時(shí)，等式右邊為0,不等式顯然成立當(dāng)x c 0時(shí)，等式化為2 x c 42 x c顯然,即(3)由(2),結(jié)合c 0得a1 囁an為無窮遞增數(shù)列.又an為等差數(shù)列，所以存在正數(shù)M,當(dāng)n M時(shí)，如從而，an

5、1 f(an) an c 8.由于a為等差數(shù)列，因此其公差d c 8.,則，若 ai 。4 a- f(ai ) ax 。8又，故，即a： ai d ai c 8 ai c 8 a： c ®當(dāng)n 2時(shí)，由于an為遞增數(shù)列，故an a： 0 ca所以， nl f(an) an c 8,而 a 2 窺 c 8,政二, c 8 B寸，a為無窮等差數(shù)列，符合要求：若 c 4 ai c,則 a2 f(ai) 3ai 3c 8,又 a2 - dal c 8,所以，得3 ai 3c 8 ai c 8c ,舍去；a若" c,則由an a得到nl f(an) an c 8, 從而an為無窮等差

6、數(shù)列，符合要求.綜上，31的取值集合為 C,（2015理17）記方程：x: ai x 1 0,方程：x2 az x 2 0,方程:乂2 a5X 4 0,其中ai,1，a 3是正實(shí)數(shù)當(dāng)a，a a 3成等比數(shù)列時(shí)，下列選項(xiàng)中，能推出方程無實(shí)根的是（）A.方程有實(shí)根，且 有實(shí)根 B.方程有實(shí)根，且無實(shí)根C.方程無實(shí)根，且有實(shí)根 D.方程無實(shí)根，且無實(shí)根 答案：B知識(shí)點(diǎn)5：等比數(shù)列的判定18）設(shè)A（2011理 3是各項(xiàng)為正數(shù)的無窮數(shù)列，A是邊長為a i 一的矩形面積（1 1,2,L），則&為等比數(shù)列的充要條件為（）A 根是等比數(shù)列或，L是等比數(shù)列B ai , 33 X , a 2n 1 a 2

7、 , 34 X , a,L均是等比數(shù)列C ai , 33 X , a zn 3 :4, a ：a和，L均是等比數(shù)列，且公比相同D ai , a 3 ,L , a 2n 1 ,L a 2 , a4 ,L , a 2n答案：D 知識(shí)點(diǎn)6：等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合（2016 文 22 ）對(duì)于無窮數(shù)列an與 bn,記 A x| x an,n N* ,B x| X bn JI N*,若同時(shí)滿足條件：an，bn均單調(diào)遞增：AI B 且AUB N* ,則稱an與bn是無窮互補(bǔ)數(shù)列.（1）若an 211 1, bn 4n 2 ,判斷也n與bn是否為無窮互補(bǔ)數(shù)列，并說明理由:（2）若an 2n且an與bn濕無窮互

8、補(bǔ)數(shù)列，求數(shù)列bn 的前16項(xiàng)的和:（3）若猊口與仇是無窮互補(bǔ)數(shù)歹ij,也口為等差數(shù)列，且316 36,求也口與付口的通項(xiàng)公式.【解】(1)因?yàn)?A,4 B,所以4 AUB ,從而心才與bn不是無窮互補(bǔ)數(shù)列.(2)因?yàn)閍4 16.所以16 4 20.數(shù) 列 bn 的 前 16 項(xiàng) 的 和 為 ：(1 2 L 20)(2 26且* 9 3x ,解得3 x 6 .所以X的取值范圍是x 3,6. 2 一一aqn 1 0,得 an 0 ,所以 % s .又 I a a 3a , 2.2 n)1 20 20 (2 1Jnlala2) 1802(3)設(shè)an的公差為 d , d N,則 ai6 ai 15d

9、 36 .由 ai 36 15dl，得 d 1或2.d 1若ai 21 an n 20則 ，an與bn是無窮互補(bǔ)數(shù)列,，矛盾:n, n 5若 d 2 ,則 ai 6, an 2n 4 , bn2n 5,n 5綜上，an 2n 4 , bn '.2n 5 , n 5 a ，(2014年理23)已知數(shù)列 窗口滿足.an a i 3an n n* a1139,求X的取值范(i)若a2 2,33 x,a4 圍:（2）設(shè)aa是公比為q的等比數(shù)列，Sai az Ly; 1 a r -若Sn Sn i 3SnN",求q的取值范圍:若a ,a J ,a成等差數(shù)列，且a1000 ,求正整數(shù)k的

10、最大值,以及k取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列ai ,a 2,L , a k的公差.2解：(1)由條件得一3( 2)jtl a 3a ,且 a3 a a £ 所以1 q 3.3時(shí)，sn 13n 得成立.Sa 1 3Sn當(dāng)q 1時(shí)，Salq 3 ,則qn(3 q)1_ q 1 ,則 qn(3 q)32 由q2 由qN ，得 q(3N ，得 q(32 ,所以12，所以，3綜上，q的取值范圍為I"3（3）設(shè)一的公差為,L a，且 a 1,得 L1 (n3Dd1 nd31(n l)d 1,2, L ,k 1(2nl)d2,(2n3)d2,11,2,L ,k當(dāng)n 1時(shí),當(dāng) n 2,L ,k1時(shí),2

11、，所以d2n 12n 32n 122k 1k k 1所以 1000 kai d k2kk 12000 k 10001999.2 2k 1j1999所以k的最大值為1999, k 1999時(shí)，a，a2,L ak的公差為（2014文23）已知數(shù)列a 滿足 a-3(i)若ai 2,33 x,a4 9,求x的取值范圍:儲(chǔ)（2）設(shè)標(biāo)是等比數(shù)列，且am _L_ 求正整數(shù)in的最小值，以及in取最小值時(shí)相應(yīng)1000的公比:（3）若ai,a2,L,aioo成等差數(shù)列，求數(shù)列ai,a2 ,L , aioo的公差的取值范圍.2x解：（1）由條件得X 6且一 33（2）設(shè) 的公比為.由L2口q 3 Jr9 3x,解

12、得 3 x 6.所以x的取值范圍是3,6內(nèi)為1J 3 3 n » 所以-q3,且 3a nn 1an aqi1ml一ai q10001000m 8 時(shí)，q,3.所以,m的最小值為8, mynL8時(shí)，an的公比為.（3）13n d叫比工 aioo的公差為d由_3n31,2,L,99當(dāng)d0時(shí),399 a 98 L2.0時(shí),399 a 98 L31 ,符合條件.1(1 398 d ) da 99291 L2(1 98d )'ai2 a 9920 ,所以 d 0 .199綜上，a i,a2 ,L a ioo的公差的取值范圍為,，2.199知識(shí)點(diǎn)7：數(shù)列的遞推關(guān)系式與函數(shù)an滿足ai1

13、（2012文14）已知f（x） ,各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列1 x若 32010 32012，則 320 ail 的值是答案:3 13c26解：由3一，39513由3nf(an) » 得 an2a2010a所以azo 11(2017 春 21)，3200S13石826已知函數(shù)f10g 21321 ， a20103 2012（1）解方程f(2)設(shè) X1,1 ,a 1,2010a201232010，依次類推，得全體偶數(shù)項(xiàng)相等,axax 111,1，且f 2010a2010(3)在數(shù)列 Xn中，Xi1,1. Xn3xn 1n N ,求Xi的取值范圍，使3 Xn得X3 Xn對(duì)任意n N成立答案：(1

14、)x1：< 3)1,L ；33解:= 1叫：+ *= 1，1 一.罟=2,計(jì)算得出工=；;1 - x3令小="廁=二聲")=鼻. ° 一 1、(<i _ /戶(e - r 尸。£(L + x)>。,幻在(-LD上是幅，數(shù), o-1a-1又 M-n = I = l mn ="_r =1. fl -r 1<1-1fix 1.-14式0VL即h 、 1、.1 + nt 】+1l 1 + 1l+u. ojr + a-t/(1) /(：) 10K2 ；7 - k長2 r-T- I喀1*o«2-7H k%?-0171-51

15、-r"1 "一工一0工 .ax - 1. . o - r + ar - 1/() = lofi2-c-j?a - z - ar + 1.ax *- 1.、 .1、 ") = Zk)一與1)，a - xn 3)73 =-心（3）.八工）的定義域?yàn)椋?1.1）,/（-T）= -/（X）,/（）是奇函數(shù).當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)"（"）=/（智二）=/（“）-*） = fg） -1 , J HjlJ“（%+1）=a"）- i ；當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，f（小M）= /（"把F）= -/（燮二2 ） = 1 - f（叫J . J -

16、1rlJ -工rrj3t+1）= i - f（xn）.J3） = /（XI）- 1 , /（Z3）= 1 - f（.n） = 2- f（xi） , /（X|） = f（xsi） -1 = 1- /（T|）,f（工J = 1 一的0 = f（xi） , /（.T6）= /（T5） - 1 = f（g） - 1= /（j'n-f 1） , nCA 匚設(shè)叫=冷 則'"尸= 卷> Q，貝在（-L1）上是增函軟z3 >即對(duì)任意nEN'成立,磔） >恒成立,2-心）/（.口）< 心）2/"2叫 2-/（.口）”.門）-1,1旬?以）2-/

17、（皿）1-/（小）計(jì)算得出:/（為）w 1,計(jì)算得出一IV叫:知識(shí)點(diǎn)S：數(shù)列的前n項(xiàng)和（2016理11）無窮數(shù)列 an由k個(gè)不同的數(shù)組成，Sn為an的前n項(xiàng)和.若對(duì)任意n NSn 2,3，則k的最大值為答案：4印識(shí)點(diǎn)9：數(shù)列的單調(diào)性和最值一（2018 春 15）記 11ali n限aS為數(shù)列 的前 項(xiàng)和.” 是遞增數(shù)列”是“S為遞增數(shù)列”的（）（A）充分非必要條件（B）必要非充分條件（C）充要條件（D）既非充分也非必要條件答案：D（2015 理 22 文 23）已知數(shù)列也與bn滿足 an+1 - an-2 （ bn+1 - bn） , n£N*.（1）若bn-3n+5,且a 1-1,

18、求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)an的第n項(xiàng)是最大項(xiàng)，即 an an（ neN "）,求證：數(shù)列bn的第n項(xiàng)是最大 000項(xiàng)：（3）設(shè)al-、V0, bn-Xn （ nN），求人的取值范圍，使得an有最大值M與最小值m,且 M2,2m1 答案：（1） 6n 5 ： （ 3）-,02知識(shí)點(diǎn)10：數(shù)列的周期性I（2016年理23）若無窮數(shù)列a 滿足：只要a a （p,q N*）,必有api aq則稱 P qan具有性質(zhì)P .（i）若an具有性質(zhì) P ,且ai 1,32 2,a4 3,35 2, a6 a7 as 21,求 a3：（2）若無窮數(shù)列bn是等差數(shù)列，無窮數(shù)列Cn是公比為正數(shù)的等

19、比數(shù)列，bl C5 1.b5 Cl 81, an bn Cn判斷an是否具有性質(zhì) P ,并說明理由：b（3）設(shè)bn是無窮數(shù)列，已知an I n Sinan （n N ） .求證：”對(duì)任意ai,an都具有性 質(zhì)P ”的充要條件為“ bn是常數(shù)列”.答案：（1） 33 16； （ 2）由于ai a5 ,但a2 a6 ,故an不具有性質(zhì)P :跚必要性:若對(duì)于任意a一 an都具有性質(zhì)P ,則a2 bl sill ai，設(shè)函數(shù)f X x bi, g x sin x,由f x , g x 圖像可得，對(duì)于任意的bi ,二者圖像必有一個(gè)交點(diǎn)，所以一定能 找到ai ,使得ai bi sinai ,所以虱 bi

20、sin ai ai 所以an i，故bn 1 3n 2 S111 3n 1an i sin an bn，故bn是常數(shù)列知識(shí)點(diǎn)11：數(shù)列的極限（2013 理 1）計(jì)算：hm11203n 13(2018 秋10）設(shè)等比數(shù)列a。的通項(xiàng)公式為anqnl （ n N* ）,前n項(xiàng)和為Sn，若Sn lim n an 1答案：3（2017年春8）已知數(shù)列a的通項(xiàng)公式為ana3n ,則 lun 1(2015 理18 文 18 )設(shè) PnXn，yn是直線2X Vda n N 與圓 xz 12在第一象限的交點(diǎn),則極限lun 2 口 XnA、B、C、1 D、2解：當(dāng)n時(shí)，直線2xy 趨近于2xn 1y 1 ,與圓x

21、-1在第象限的交點(diǎn)無限窕近I可看成點(diǎn)nXn 1與連線的斜率，其值會(huì)無限接近圓V2 2在點(diǎn)1,1處的切線的斜率,其斜率為1,liin 乎L1n Xn 1（2013文18）記橢圓x2 ny2圍成的區(qū)域（含邊界）為 n （n 1,2.L）,當(dāng)點(diǎn)（x, y）分別在 J 2,L上時(shí),y的最大值分別是，則UmMn4 4n11A. 0B _C. 2D. 2 3r4答案：D知識(shí)點(diǎn)12：無窮等比數(shù)列各項(xiàng)麗一（2016理17）已知無窮等比數(shù)列an的公比為q.前n項(xiàng)和為Sn，且lull Sn S .下列條件n中，使得2Sn s n N恒成立的是（）（A）a10,0. 6q0. 7（ B） ai0,0. 7 q0 .

22、6C ai0,0.7q0.8（D） ai0,0. 8 q0.7答案：B思考：ai,q需要滿足答案：ai 0,qU 0,122（2014理8文10）設(shè)無窮等比數(shù)列an的公比為q，若ai Inn a3 a4 L an，則qM識(shí)點(diǎn)13：數(shù)列與函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合(2009 文 13 )已知函數(shù)f（x）sin x tan x .項(xiàng)數(shù)為 27的等差列an滿足77且公差d 0,若f(a? "a Jf(a ) 027.時(shí) f(ak) 0 .答案：14知識(shí)點(diǎn)14：數(shù)列與三角函數(shù)結(jié)合sill X .若存在 X1, X2 ,L , Xm 滿足(2015 理 13)已知函數(shù) f X 0Xi X： L xm 6

23、,且 I 11 I I If xi f X2 f X2 f X3 L f Xm 1 f Xm 12 111 2,ill N ,則 m的最小值為.-2-(2012 文 18)若 Sn sin sin答案：841-sui ( n N ),則在 Si , S2，Sioo 中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（A. 16B. 72C. 86D. 100答案；C(2012 理 18) an1 n , sinSnn 25an,在SLS2, sw中,正數(shù)的個(gè)數(shù)是()A. 25B. 50C.75D. 100答案：D如點(diǎn)15:數(shù)列與矩合(2013理在數(shù)列3口中，an 2111 ,若一個(gè)7行12列的矩的第1行第J列的元素Ci,j a

24、】aj ai aj( i 1,2, L j ； j數(shù)()1,2,L ,12),矩元素能取到的不同數(shù)的個(gè)A. 18B. 28C. 48D. 63答案：A知點(diǎn) 16:數(shù)列與不等式合(2018秋21)定無數(shù)列n,若無數(shù)列1足：任意| bn 3口11 ,稱bn與 3n(1) 2口是首1,公比“接近”.1_的等比數(shù)列，bn21,N'，判斷數(shù)列bQ是否與aQ接近，并明理由;(2)數(shù)列也 的前四：ai 13224,b 是一個(gè)與a 接近的數(shù)列，隼合Mbi ,i 1,2,3,4,求M中元素的個(gè)數(shù)已知an是公差d的等差數(shù)列，若存在數(shù)列bn足：bn 與an 接近，且在b2 bl , b? b2 , b201

25、 b200中至少有100個(gè)正數(shù)，求d的取范.解析：(l)bn| an| 1鼠I,所以 又 與an“接近”； 2(2) bi 0,2 , b2 1,3, b3 3,5 , tn 7,9 ,M x|x b-i 1,234 元素個(gè)數(shù) m 3 或 4; d 2 , bk bk O.k 1,2,L ,200 ,即2，存在biM.L 氏。1使得b? bi 0 ,b: bi , b3 bz ,，bzoi b?oo中沒有正數(shù)；當(dāng) d0 , bzoi b：oo 0 ,即有100個(gè)正數(shù)，故db： b： 0 , bj b： 0 , b； b0 ,b：oo b”9（2018春21）若Cn是遞增數(shù)列，數(shù)列 也口滿足：對(duì)任意n N&qu