8上全等三角形證明經(jīng)典50題(含答案)

1、精品1.已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中點，AD是整數(shù)，求 AD解：延長 AD至ij E,使AD=DE,.D是BC中點.BD=DC在ZACD和4BDE中AD=DEZBDE= /ADCBD=DC .ACD zBDE.AC=BE=2 在AABE 中AB-BE VAEVAB+BE .AB=4即 4-2 V 2AD V 4+21 v AD v 3.AD=21-2 .已知：D是AB中點，Z ACB=90 ,求證：CD - AB 2-可編輯-延長CD與P,使D為CP中點。連接 AP,BP DP=DC,DA=DBACBP為平行四邊形又/ ACB=90平行四邊形ACBP為矩形AB=CP=1/2AB

2、3 .已知：BC=DE , ZB= ZE, /C=/D, F 是 CD 中點，求證：/ 1= /2證明：連接BF和EF BC=ED,CF=DF, ZBCF= /EDF三角形BCF全等于三角形 EDF（邊角邊）BF=EF, ZCBF= /DEF連接BE在三角形BEF中,BF=EFZEBF= ZBEFo ZABC= ZAED oZABE= ZAEB。 ABAE o在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,ZABF= ZABE+ ZEBF= ZAEB+ ZBEF= ZAEF三角形ABF和三角形 AEF全等。ZBAF= ZEAF ( Z1= /2)。4.已知：/1= /2, CD=DE ,

3、 EF/AB ,求證：EF=AC過C作CG/ E咬 AD的延長線于點 GCG/ EF,可得，Z DERDGDDE = DCZ FDE = Z GDC (對頂角)/.A EFDA CGDEF=CG/ CGD= / EFD又，EF / AB/ EFD = Z1Z 1= Z2 ./ CGD=/2. AGC等腰三角形,AC = CG又 EF=CG. EF= AC5.已知：AD 平分/BAC, AC=AB+BD ,求證：/ B=2 ZC證明：延長 AB取點E,使AE=AC,連接DE. AD 平分/BACZEAD =/CAD. AE =AC , AD =AD.AED ZACD(SAS)精品zE= ZC-.

4、AC = AB+BD.AE = AB+BD,.AE =AB+BE.BD = BE .ZBDE = ZE "BC =ZE+ ZBDEzABC =2 ZE "BC =2ZC6.已知：AC 平分/BAD , CEXAB , ZB+ ZD=180 ° ,求證：AE=AD+BE證明：在AE上取F,使EF=EB,連接CF.CEXAB JDEB=ZCEF=90 °.EB=EF, CE=CE,CEBzGEF.ZB = ZCFE,. ZB + ZD = 180 ° , zCFE+ZCFA =180.ZD = ZCFA,.AC 平分/BADZDAC =ZFAC,.

5、AC = AC .ADCW公FC (SAS). AD = AF .AE =AF + FE= AD + BE7.已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中點，AD是整數(shù)，求 AD解：延長 AD至I E,使AD=DE D是BC中點BD=DCAC 用 BD 曲AD=DEZ BDE= Z ADC . ACDA BDEAC=BE=2 在 ABEAB-BE VAEVAB+BE AB=4即 4-2 V2AD <4+21 V AD V 3AD=21-8,已知：D是AB中點，Z ACB=90 ,求證：CD - AB 2B：延長 AD 至ij E,使 AD=DED是BC中點BD=DC在 AC用 BD呼AD

6、=DE/ BDE=/ ADCBD=DC-可編輯-精品 . ACDA BDEAC=BE=2 在 ABEAB-BE VAEVAB+BE AB=4即 4-2 V2AD <4+21 V AD V 3AD=29.已知：BC=DE , ZB= ZE, /C=/D, F 是 CD 中點，求證：/ 1= /2證明：連接BF和EF。 BC=ED,CF=DF, ZBCF= ZEDF。三角形BCF全等于三角形 EDF（邊角邊）。BF=EF, ZCBF= /DEF。連接BE。在三角形 BEF中,BF=EF 。/EBF=/BEF。又 ZABC= /AED。-可編輯-ZABE= ZAEB。AB=AE 。在三角形AB

7、F和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,ZABF= ZABE+ ZEBF= ZAEB+ ZBEF= /AEF。三角形ABF和三角形 AEF全等。ZBAF= ZEAF ( Z1= /2)。10.已知：/ 1= Z2, CD=DE , EF/AB ,求證：EF=AC過C作CG/ E咬AD的延長線于點 GCG/ EF,可得，/ EFDGDDE = DC/ FDE = / GDC (對頂角) . EFDA CGDEF=CG/ CGD= / EFD又 EF / AB ./ EFD = Z1Z 1= Z2CGD=/2. AGC等腰三角形，AC = CG又 EF=CG. EF= AC11.已知：AD 平

8、分/BAC, AC=AB+BD ,求證：/ B=2 ZC證明：延長 AB取點E,使AE=AC,連接DE. AD 平分/BACZEAD =/CAD . AE =AC , AD =AD.叢EDZACD(SAS)zE= ZC .AC = AB+BD.AE = AB+BD. AE =AB+BE.BD = BE .ZBDE =ZE ./ABC =/E+ ZBDE "BC =2 ZEZABC =2/C12.已知：AC 平分/BAD , CEXAB , ZB+ ZD=180,求證：AE=AD+BE在AE上取F,使EF=EB,連接CF.CEXAB.,.ZCEB=ZCEF=90,.EB=EF, CE=

9、CE,.ZEEBzGEF.ZB = ZCFE,. ZB + ZD = 180, zCFE+ZCFA =180.ZD = ZCFA,.AC 平分/BADZDAC =ZFAC又AC =AC. .加DC0公FC (SAS).AD = AF.AE =AF + FE= AD + BE精品12.如圖，四邊形 ABCD中，AB/DC, BE、CE分別平分/ ABC、ZBCD ,且點E在AD上。求證：BC=AB+DC在BC上截取BF=AB ,連接EF. BE 平分/ABC，"BE= ZFBE又.BE=BEzABEHBE (SAS)"= ZBFE.AB/CD. "+ ZD=180

10、o,. ZBFE+ ZCFE=180 o.ZD= ZCFE又./DCE= ZFCECE平分/BCDCE=CE .zDCEWCE (AAS )，BC=BF+CF=AB+CD13.已知：AB/ED , ZEAB= ZBDE , AF=CD , EF=BC ,求證：/ F= ZCAB |ED,得：/EAB+ ZAED= ZBDE+ ZABD=180 度, ZEAB= ZBDE ,，"ED= /ABD , 四邊形ABDE是平行四邊形。 .得：AE=BD , .AF=CD,EF=BC ,三角形AEF全等于三角形 DBC ,.ZF= ZCo14.已知：AB=CD , ZA= /D,求證：/ B=

11、 ZC證明：設(shè)線段AB,CD所在的直線交于 E,（當(dāng)AD<BC 時，E點是射線BA,CD的交點，當(dāng)AD>BC 時，E點是射線 AB,DC 的交點）。則：MED是等腰三角形。.AE=DE-可編輯-精品而 AB=CD BE=CE （等量加等量，或等量減等量） .ZBEC是等腰三角形.ZB= ZC.PC-PB<AC-AB15. P是/BAC平分線 AD上一點，AC>AB ,求證:-可編輯-在AC上取點巳使 AE = AB。 AE3BAP =AP/ EAP = / BAE, . EAPA BAPPE=PBoPC VEC+ PE PCv AC AE) + PBPC-PB<

12、AC - AB 。16.已知/ABC=3 ZC, /1=/2, BEXAE,求證：AC-AB=2BE證明：在AC上取一點D ,使得角 DBC二角C . / ABC=3/C ./ ABD=Z ABC DBC=3 / C-/ C=2 / C; . / ADB=Z C+ / DBC=2 / C;.AB=AD .AC - AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形 ABD中，AE是角BAD的角平分線, .AE 垂直 BD BEX AE，點E一定在直線 BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD , AE垂直BD 點E也是BD的中點.BD=2BE .BD=CD=AC-AB .AC-AB=2BE17.已知，

13、E 是 AB 中點，AF=BD , BD=5 , AC=7 ,求 DC作AG/ BD交DE延長線于 G2 .AGE 全等 BDE. AG=BD=53 AGFs CDFAF=AG=5，DC=CF=218 .如圖，在ABC 中，BD=DC, Z1= Z2,求證：AD ±BC.A解:長AD至BC于點E,B一1. BD=DC C BDC等腰三角形./ DBC=Z DCB又. /1=/2，/ DBC+/ 1= / DCB+/2即/ ABC= Z ACB. ABC等腰三角形AB=AC在 AB麗 ACDAB=AC/ 1= /2BD=DC， ABD口 AC匿全等三角形（邊角邊）BAD=Z CADA弱

14、 ABC勺中垂線AE± BCAD± BC19 .如圖，OM 平分/POQ, MA ±OP,MB ±OQ, A> B 為垂足，AB 交 OM 于點 N .求證：/OAB=/OBA證明：. OM 平分/POQ.ZPOM =/QOM. MA ±OP , MB ±OQdMAO =/MBO =90. OM =OM.AOM /BOM(AAS ).OA = OB. ON =ON .AON /BON(SAS).QAB= /OBA , ZONA= ZONB."NA+ ZONB = 180.dDNA =ZONB = 90.OM ±

15、;AB20 . （5分）如圖，已知 AD /BC, ZPAB的平分線與/ CBA的平分線相交于 E, CE的連線交 AP 于 D.求證：AD+BC=AB.AP相交于F點,ZPAB+ ZCBA=180 ° ,又,AE, BE 均為/PAB 和/CBA 的角平分線ZEAB+ ZEBA=90 °，AEB=90 ° , EAB 為直角三角形在三角形 ABF中，AEBF,且AE為/FAB的角平分線三角形FAB為等腰三角形， AB=AF,BE=EF在三角形DEF與三角形BEC中，ZEBC= ZDFE,且 BE=EF , ZDEF= /CEB ,三角形DEF與三角形BEC為全等

16、三角形，DF=BC.AB=AF=AD+DF=AD+BC21 .如圖，4ABC中，AD是/CAB的平分線，且 AB= AC+CD,求證：/ C=2 ZB使AE=AC 連接EDAB=AC+CDCD=CE可得/B= ZEzTDE為等腰/ACB=2 ZB22 . (6分)如圖，E、F分別為線段 AC上的兩個動點，且 DEXACT E, BFLAC于F,若 AB = CD , AF= CE, BD 交 AC 于點 M .(1)求證：MB = MD , ME = MF(2)當(dāng)E、F兩點移動到如圖的位置時，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由. (1)連接 BE, DF.DE

17、± ACF E, BF± AC于 F, ./ DEC=Z BFA=90 ° , DE/ BF,在 Rt DEC Rt BFM, AF=CE , AB=CD ,Rt DEg Rt BFA),(DE=BF . 四邊形BEDF是平行四邊形.MB=MD, ME=MF ;(2)連接 BE, DF.DE± ACF E, BF± AC于 F, ./ DEC=Z BFA=90 ° , DE/ BF,在 Rt DE由 Rt BFM, AF=CE , AB=CD ,Rt DEg Rt BFA),(DE=BF . 四邊形BEDF是平行四邊形.MB=MD,

18、ME=MF .23 .已知：如圖，DC/AB ,且DC = AE, E為AB的中點,(1 )求證：AED/EBC.(2)觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除 EBC外，請再寫出兩個與 AED的面積相(直接寫出結(jié)果，不要求證明)證明：. DC /AB.ZCDE = ZAED,.DE = DE, DC = AE，AED zEDCE為AB中點. AE =BE.BE= DC. DC /AB .ZDCE = ZBEC .CE=CE .ZEBCzEDC，AED zEBC24 . （7分）如圖， ABC中，Z BAC =90度，AB = AC, BD是/ABC的平分線，BD的延長線垂直于過 C點的直線于E,直

19、線CE交BA的延長線于F.求證： BD=2 CE.B證明： ZCEB= ZCAB=90 ° ABCE四點共元 .ZAB E= ZCB E.AE=CEZECA= ZEAC取線段BD的中點G,連接AG,則：AG=BG=DGJ3AB= ZABG而：ZECA= ZGBA （同弧上的圓周角相等）ZECA= ZEAC= ZGBA= /GAB而：AC=AB AECAGB. EC=BG=DG .BE=2CE25、如圖：DF=CE , AD=BC , ZD= /C。求證：AED/BFC。證明：DF=CE ,DFEF=CE-EF ,即 DE=CF ,在 AE用 BF中， AD=BC , Z D=Z C,

20、 DE=CF . AEDA BBASO26、（10分）如圖:AE、BC交于點M , F 點在 AM 上，BE/CF, BE=CF。求證：AM 是GABC的中線。證明: . BE |CF，ZE=/CFM, ZEBM= /FCM .BE=CF .ZBEM zCFM .BM=CMAM是那BC的中線.27、（10分）如圖：在 ABC中，BA=BC , D是AC的中點。求證： BDAC。ABD 和ABCD的三條邊都相等，ABD= ABCD，"DB= /CD，"DB= ZCDB=90 °.-.BD ±ACBF=CF28、（10分）AB=AC , DB=DC , F是

21、AD的延長線上的一點。求證:在ZABD與GACD中AB=ACBD=DCAD=AD1 .ABD ZACD，"DB= /ADC2 .ZBDF= ZFDC在ABDF與FDC中BD=DCZBDF= ZFDCDF=DF3 .ZFBDzECD.BF=FC29、（12 分）如圖：AB=CD , AE=DF , CE=FB 。求證：AF=DE.AB=DCAE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB ，ABE= 3DF ZDCB= /ABFAB=DC BF=CEMBF= ZCDE . AF=DE30.公園里有一條“Z"字形道ABCD ,如圖所示，其中 AB /CD ,在AB , CD ,

22、 BC三段路旁各有一只小石凳 E, F, M ,且BE=CF, M在BC的中點，試說明三只石凳 E, F, M 恰好在一條直線上.A E證明：連接EF AB / CDB=ZC是BC中點.BM=CM在 BEMF 口 CFMBE=CFZ B=ZCBM=CM . BEMA CFMAS）CF=BECDF.31 .已知：點 A、F、E、C 在同一條直線上， AF =CE, BE / DF,BE= DF .求證： ABEA,.AF=CE,FE=EF.AE=CF. .DF/ZBE,，“EB= ZCFD （兩直線平行，內(nèi)錯角相等） .BE=DF : ABEA CAS I32.已知：如圖所示， AB=AD, B

23、C= DC, E、F分別是 DC、BC的中點，求證： AEAF。連接BD ;.AB=AD BC=D.ZADB= /ABD ZCDB= /ABD;兩角相力口， ZADC= ZABC ;-.BC=DCEF是中點，DE=BF ;5= Z 6.AB=AD DE=BF證明：在AADC , AABC 中. AC=AC , ZBAC= ZDAC , ZBCA= ZDCA.ADCzABC （兩角加一邊）.AB=AD , BC=CD在ADEC與4BEC中ZBCA= ZDCA , CE=CE , BC=CDZDECzBEC (兩邊夾一角)JDEC= /BEC34 .已知 AB/DE, BC/EF, D, C 在

24、AF 上，且 AD=CF,求證：ABCDEF.AD=DF.AC=DF.AB/DE ./ A=Z EDFX.BC/EF ./ F= Z BCA . ABCA DAFA()35 .已知：如圖，AB= AC , BD AC, CE AB,垂足分別為 D、E, BD、CE相交于點F,求證：BE= CD.證明：,. BD ±ACZBDC=90 ° .CEXABZBEC=90 °ZBDC= /BEC=90 ° .AB=ACZDCB= ZEBC .BC=BC Rt ABDC 率t 旭EC (AAS).BE=CD36、如圖，在ABC中，AD為/BAC的平分線，DE，AB

25、于E, DF±AC于Fo求證：DE=DF .證明：.AD是/BAC的平分線ZEAD= /FAD1 . DEXAB , DF ±AC2 .ZBFD= ZCFD=90 °. "ED 與/AFD=90 °在ZAED與FD中ZEAD= /FADAD=ADZAED= ZAFD3 .AEDzAFD (AAS ).AE=AF在ZAEO 與祥FO中ZEAO= /FAOAO=AOAE=AF.叢EOzaFO (SAS)，"OE= ZAOF=90 °.-.AD ±EF37.已知：如圖，AC BC 于 C,DE AC 于 E , AD A

26、B 于 A , BC =AE.若 AB = 5，求AD的長？AD± AB .ZBAC= /ADE又; AC± B(3r C, DE± AC于 E根據(jù)三角形角度之和等于 180度 .ZABC= /DAE .BC=AE , GABC 空DAE (ASA). AD=AB=538 .如圖：AB=AC , ME LAB, MF LAC,垂足分別為 E、F, ME=MF。求證：MB=MC證明：.AB=AC.ZB= ZC. ME ±AB , MF LACZBEM= /CFM=90 °在ABME和ACMF中 ZB= ZC ZBEM= /CFM=90 °

27、; ME=MFZBMEzCMF (AAS) . MB=MC .39.如圖，給出五個等量關(guān)系：AD BCAC BDCE DE D C DABCBA.請你以其中兩個為條件，另三個中的一個為結(jié)論，推出一個正確的結(jié)論(只需寫出一種情況)，并加以證明.已知： AD=BC ,/ DAB=Z CBA求證： DABA CBA證明： AD=BC, / DAB=Z CBA 又 AB=AB . DABA CBA40 .在ABC 中， ACB 90 , AC BC ,直線 MN 經(jīng)過點 C ,且 AD MN 于 D ,BE MN于E .(1)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證： ADC色CEB ; DE AD

28、BE ;的位置時，(1)中的結(jié)論還成成立，說明理由.(2)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2立嗎？若成立，請給出證明；若不圖1CD,. ZADC= ZACB= /BEC=90 ° ,ZCAD+ ZACD=90 ° , zBCE+ ZCBE=90 ° , zACD+ ZBCE=90 ° .ZCAD= /BCE.-.AC=BC ,.ADC zCEB .必DC zCEB, .CE=AD , CD=BE . .DE=CE+CD=AD+BE(2) ZADC= ZCEB= ZACB=90 ° , ，"CD= /CBE.X /AC=BC ,.ACD zCB

29、E.CE=AD , CD=BE .DE=CE - CD=AD - BE(2)41 .如圖所示，已知 AEXAB , AFLAC, AE=AB , AF=AC 。求證：(1) EC=BF ; ECXBF(1 ) . AE ±AB , AFLAC ,ZBAE= ZCAF=90 ° ,ZBAE+ ZBAC= ZCAF+ ZBAC ,即 / EAC= ZBAF , 在ZABF和祥EC中，. AE=AB , ZEAC= ZBAF , AF=AC , ABFjEC (SAS),.EC=BF ;(2)如圖，根據(jù)(1), 那BF0公EC,"EC= /ABF ,. AE ±

30、;AB , ZBAE=90 ° , "EC+ ZADE=90 ° , "DE= ZBDM (對頂角相等)， .ZABF+ ZBDM=90 ° ,在ABDM 中，/BMD=180-ZABF- ZBDM=180 -90 =90 ECXBF.42 .如圖：BEX AC , CFXAB , BM=AC , CN=AB。求證：(1) AM=AN ; (2) AM ±AN 。4,3BC證明：(1)1 .BEXAC, CFXAB "BM+ ZBAC=90 ° , zACN+ ZBAC=90"BM= ZACN2 .BM=

31、AC , CN=AB . .ABM *AC.AM=AN3 . ABM *ACZBAM= ZN4 .ZN+ ZBAN=90ZBAM+ ZBAN=90即/MAN=90.-.AM ±AN43 .如圖，已知/A= /D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BC /EF在ZABF和ACDE中,AB=DEZA= ZDAF=CD二.ABF三zCDE （邊角邊）.FB=CE在四邊形BCEF中FB=CEBC=EF四邊形BCEF是平行四邊形5 .BC |EF44 .如圖，已知 AC /BD , EA、EB分別平分/ CAB和/DBA , CD過點E,則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由Ed在AB上

32、取點N ,使彳導(dǎo)AN=AC6 ZCAE= /EAN. AE為公共，7 CAEzEAN，"NE= /ACE又. AC平彳亍BD8 "CE+ ZBDE=180而/ANE+ ZENB=1809 .ZENB= ZBDEZNBE= /EBN.BE為公共邊10 .ZEBN 0ZEBD.BD=BN.AB=AN+BN=AC+BD45、（10分） 如圖，已知：AD 是BC上的中線，且DF=DE ,求證：BE /CF.證明：.AD是 ABC勺中線BD=CD11 DF=DE （已知）/ BDE=Z FDC . BDEA FDC 貝U/ EBD=/ FCDBE/ CF （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。46、（10 分）已知：如圖