二項(xiàng)式定理十大典型例題純WORD版

1、1二項(xiàng)式定理：(a b)n C：an C：an 1b L Qa" rbr L C：bn(n N ),2. 基本概念： 二項(xiàng)式展開(kāi)式：右邊的多項(xiàng)式叫做(a b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式。 二項(xiàng)式系數(shù)：展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù) C" (r 0,1,2,n). 項(xiàng)數(shù)：共(r 1)項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式 通項(xiàng)：展開(kāi)式中的第r 1項(xiàng)C"an rbr叫做二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)。用Tr1 C"an rbr表示。3. 注意關(guān)鍵點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：展開(kāi)式中總共有 (n 1)項(xiàng)。 順序：注意正確選擇 a,b,其順序不能更改。(a b)n與(b a)n是不同的。 指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項(xiàng)減到0，是降幕

2、排列。b的指數(shù)從0逐項(xiàng)減到n，是升幕排列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于 n . 系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是 c0，c",c2， ,cn, ,C；.項(xiàng)的系數(shù)是a與b的系數(shù)(包括二項(xiàng)式系數(shù))。4. 常用的結(jié)論：令 a1,bx,(1 x)nCOC：xC2x2LC：xrLC：xn(n N)令 a1,b x,(1 x)nC0c"xCn2x2LC；xrL( 1)nC；xn(n N )5. 性質(zhì)：C，Cnk二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性：與首末兩端“對(duì)距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即二項(xiàng)式系數(shù)和：令ab 1,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為 c0 c" C2Lc"LC：2n ,

3、變形式C1c2LCrLCnnCnLCnLCnn.2 1。奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令a1,b1，則 C； c" CnC； L (1)nC；(11)n0 ,從而得到：c0 c2c4c2rc1c3CnCnCnCnLC：r 1丄22n2n10 nC；1奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和:2(a(x 令X 令XnX)a)C0anxo C°a0 則a。Clan 1xC：axn 11,1,則 aoaia2a3La2a3得,a。a2a4Lann 0 nLCna xLC：anx°1)n(a 1)n(a * (a “奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和C；an 2x2C；a

4、2xn 2anan(aa0 a1x1 anXn L2a2xa2xnL anX1a1xa。得,a1a3an2(a 1) (a 1)(偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和ncn取為A1,A2, ,An 1，設(shè)第r 1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有Ar 1Ar 1A ，從而解出r來(lái)。Ar 2二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)n是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)得最大值。1 n 1如果二項(xiàng)式的幕指數(shù) n是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)同時(shí)取得最大值。系數(shù)的最大項(xiàng)：求(a bx)n展開(kāi)式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)分別專題一題型一：二項(xiàng)式定理的逆用；例：C： Cn 6 C3 62 L C 6n 1.解：(1 6)n

5、 C°C：6Cn62C；63 L C；6n與已知的有一些差距，Cn Cn 6C；62 LCn6n1(C： 6Cn 62 L Cn 6n)6(Cn cn 6 Cn 62 L Cn 6n 1)丄(1 6)n 11 (7n 1)6 6 6練：c1 3C2 9C； L 3n1C： .123n 1 n解：設(shè) Sn Cn 3Cn 9Cn L 3 Cn，則12 23Sn Cn3 Cn 3C；33 L C；3n C° C：3 C；32n nnCn3 L Cn 31(1 3)1S (1 3)n1Sn3題型二：利用通項(xiàng)公式求xn的系數(shù);例:在二項(xiàng)式(4x3 x2）n的展開(kāi)式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為

6、45 ,3求含有x的項(xiàng)的系數(shù)?解:由條件知C；2245，即 Cn 45，解得9（舍去）或n 10，Tr 1C；0(x 4)10 r(x3)rC；02 r3，由題意1043,解得r 6，練:解:363則含有x的項(xiàng)是第7項(xiàng)T6 1 C10X求（x2 丄）9展開(kāi)式中x2x的系數(shù)?3210x ,系數(shù)為210。Tn C9(x2)9r(勿C；x182r( *xr 1 rC9( 1)18 x3r令18 3r 9,則故x°的系數(shù)為c；（ ）321O2題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng);例:求二項(xiàng)式（x210的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)?解:rTr1 C；0(X2)10r51 20 _rC；0(1)rx 22令200

7、,得r 8，所以練:解:T9 Cw(-)8 空22561 6求二項(xiàng)式(2x)的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)？2xr6 rr . 1 . rr r 6 r . 1 . r 6Tr 1 C6(2x) ( 1) ()( 1) C62( ) x2x22x2r，令 6 2r0，得r 3，所以練:T4( 1)3C；201若（x2 -）n的二項(xiàng)展開(kāi)式中第 5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則nx解：t542、n4/1、44 2 n 12Cn(x ) ( )Cnx，令 2n 12 0,得 n 6.X題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng); 例：求二項(xiàng)式 C. X 3 X)9 展開(kāi)式中的有理項(xiàng)?1 1解：Tr 1 C9(X2)9 r( X

8、3)r27 r(1)rC9xF，令27 rZ ,(0 r 9)得 r3或r9，627 r所以當(dāng)r 3時(shí)，W丄627 r當(dāng) r 9 時(shí)，27-3，64，T4( 1)3C93x484 x4，T10( 1)3C；x3X3。題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;例:n展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為若(. x2256，求解:設(shè)LX7n展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為ao, ai,an ,練:解:令x 1，則有aoa°a1 a 2a3將-得：2(ai有題意得，2若(3x)n的展開(kāi)式中,a1an 0,，令xa3a5256QC： Cn2 C： C：r1則有1)nan2n,aia3a52* 128，所有

9、的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1024，求它的中間項(xiàng)。LC；r 12n 1，2n11024，解得n 11所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為n 6,nC；(£)6( p)5462 x 4，61T6 1462 X題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng)；1例：已知(2x)n，若展開(kāi)式中第25項(xiàng),第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少?解：QCn C； 2C5, n221n980,解出n 7或 n 14，當(dāng)n 7時(shí)，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5 T4的系數(shù)c3(1)423 35,2 2T5的系數(shù)c；()324 70,當(dāng)n 14時(shí)，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8,21T8的系數(shù)C；4

10、(2)727 3432。練：在(a b)2n的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：二項(xiàng)式的幕指數(shù)是偶數(shù) 2n,則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即T2nTn 1，也就是第芝1n 1項(xiàng)。，亠亠 x練：在(2A的展開(kāi)式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是多少?解：只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則 -15，即n 8,所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于2C；"272練：寫出在(a b)7的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？解：因?yàn)槎?xiàng)式的幕指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)(第4,5項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取2d?得最大值，從而有 T4C7a b的系數(shù)最小,T5C；a3b4系數(shù)最大。練:若展

11、開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求1(22x)n的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)?解:12CnCn79,解出1 12 1 12 12n 12,假設(shè) Tr 1 項(xiàng)最大，Q(? 2x)12 (?) (1 4x)ArArArAr 2Cr 4r12r rC12411，化簡(jiǎn)得到 9.4 r 10.4，又Q0 r 12，10，展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11,有 T11(2)12C；410 x1016896x10解：假設(shè)Tr 1項(xiàng)最大,Q Tr 1G； 2rxrAr 1ArCr 2rC102r 1 r 1C102解得2(11 r) r，化簡(jiǎn)得到Ar 1Ar 2Cr 2rC102C1；12r 1,r 12(10 r)6

12、.3 k 7.3，又Q0 r10，r 7,展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T8Cw27x715360 x7.2x)10的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少?題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng)在(1練:例：求當(dāng)解法:Tr i的展開(kāi)式中才有X的一次項(xiàng),此時(shí)TrT2 C5(x22)43x，所以 x 得一次2 525r 25 rr(x 3x 2)(x2)3x，Tr 1 C5 (x 2)(3x)，當(dāng)且僅當(dāng) r 1 時(shí),項(xiàng)為 C；C：243x它的系數(shù)為C；C：243240 。解法:(X2 3x 2)5 (x 1)5(x 2)5 (C；x5C；x4Cs)(C50x5 C；x42C；25)455故展開(kāi)式中含X的項(xiàng)為C5 XC5 2小4 J

13、C5 x2240x，故展開(kāi)式中X的系數(shù)為240.練：求式子(X32)的常數(shù)項(xiàng)?解：(Xx2)3(I X6，設(shè)第1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則rrTr 1 C6(1)6 r 1 r6 r(X)(1)C62r，得62r 0,r 3,T31 ( 1)3C；20.題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘;例:求(1 2x)3(1 x)4展開(kāi)式中x2的系數(shù).解:Q(1 2x)3的展開(kāi)式的通項(xiàng)是CT (2x)m CT 2m(1 X)4的展開(kāi)式的通項(xiàng)是c4 ( X)n c41n Xn,其中 m 0,1,2,3, n 0,1,2,3, 4,令 m n 2,則 m 0且 n 2,m1且 n1,m2 且 n0,因此(1 2x)3(1 x)4的展

14、開(kāi)式中x2的系數(shù)等于C0 20 C2 (1)2 c3 21C； ( 1)1 Cf 22 C： ( 1)06練:求(1 Vx)6(10展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)解:(1奴)6(1 命)mn10展開(kāi)式的通項(xiàng)為C6tx? G0x 44m 3nC6n G0 xFm 0,m 3,m 6其中m 0,1,2, ,6,n 0,1,2, ,10,當(dāng)且僅當(dāng)4m 3n,即或或n 0,n 4,n 8,時(shí)得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C； Cio C； C14) C； Ci80 4246.練：1 *已知(1 x x2)(x )n的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，n N且2 n 8,則n .x解：(x -1y)n展開(kāi)式的通項(xiàng)為cn xn r x3r c

15、n xn 4r,通項(xiàng)分別與前面的三項(xiàng)相乘可得xr n 4 r r n 4 r 1 r Cn x ,C n x,C nn 4r x2,Q展開(kāi)式中不含常數(shù)項(xiàng),2 nn 4r且 n 4r 1且 n4r 2,即 n 4,8且 n 3,7且 n 2,6, n 5.題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和；例：在(x J2)2006的二項(xiàng)展開(kāi)式中，含x的奇次幕的項(xiàng)之和為S,當(dāng)x 時(shí),S 解： 設(shè)(x 2) 2006=a0 a1x1 a2x2 a3x3 La2006x2006 2006 1 2(x 2)=a0 a1xa2x2006a2006x得 2(a1x 盼3 a5x5 La2005x2005) (x 2)

16、 2006 (x 2)2006(x、2)2006展開(kāi)式的奇次幕項(xiàng)之和為 S(x) *(x -.2) 2006 (x -&)20063 2006當(dāng) x三時(shí),S(&)丄(、2V) 2006 (& -.2 ) 20062 30082 2題型十：賦值法；例：設(shè)二項(xiàng)式(33匸 )n的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為 p，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為s,若xps 272 ,則n等于多少？解：若(33 x n a0 a1x a2x2anx，有 P a0 a1an ,xSCnC：2n ,令 x 1 得 P 4n，又 p s 272，即 4n 2n 272(2n 17)(2n 16) 0 解得2n 16或

17、 2n17(舍去),n 4.1、(x- 1)11展開(kāi)式中x的偶次項(xiàng)系數(shù)之和是 練:若 3.x 1的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 64，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為多少?解:A令 x 1，貝 y 3 jx 了n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為2n64，所以6，則展開(kāi)練:式的常數(shù)項(xiàng)為C；(3、&)3 (1 3x)54°.若(1 2x)2009a° ax12a?x3a3X2009a2009x(xR),則 a1a222a20092 2009的值為解:令x丄,可得a。魚2 2 22在令x 0可得a01 因而色2a200922009a20,aaa2009a222a200922009ao練：若(x 2)

18、5 a5X5 a4X43a3x解：令x 0得a032,令xa1 a? a3 a4 a531.題型十一：整除性;2n 2例：證明：3 8n 9( n證：32n 2 8n222a2x01C：18n1C：18nCn 18n 1C：18n0 n 1 1Cn 1 8Cn 18n220091axa?a3N )能被64整除8n 9(8n 11) 8n1.a°,則 a1a4a5a2a3a4a51,Cnn；82n 1n 1Cn 18 Cn 1 8n8(n1) 1 8n 9由于各項(xiàng)均能被64整除32n 2 8n 9(n N*)能被64整除1、設(shè)f(x)=(x-1) 11,偶次項(xiàng)系數(shù)之和是2、C03C13

19、2C：3ncn2、4n3、(3 5f f( 1)211(2)/210242、A-.5)20的展開(kāi)式中的有理項(xiàng)是展開(kāi)式的第項(xiàng).3、3,9,15,214、(2x-1)5展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和是4、(2x-1)5展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)系數(shù)絕對(duì)值之和實(shí)為(2x+1)5展開(kāi)式系數(shù)之和，故令x=1，則所求和為35+5、求(1+x+x 2)(1-x)10展開(kāi)式中X4的系數(shù)+2 105、(1 x x2)(1 x)10(1x3)(1 x)9，要得到含x4的項(xiàng)，必須第一個(gè)因式中的1與(1-x)9展開(kāi)式中的項(xiàng)c4( x)4作積,1第一個(gè)因式中的一x3與(1-x)9展開(kāi)式中的項(xiàng)Cg( X)作積，故x4的系數(shù)是c； C9135.6、求(1+x)+(1+x) 2+(1+x)10展開(kāi)式中 x3的系數(shù)+6、 (1 x) (12 10x)(1 x)(1 x)1 (1 X)10 (x1)11(x 1)，原式中 x3x1(1 x)實(shí)為這分子中的X4,則所求系數(shù)為7、若