華理線代作業(yè)答案第七冊(可直接使用).doc

1、華東理工大學線性代數(shù)作業(yè)薄(第七冊)任課教師5.1方陣的特征值與特征向量精選-1 1 01 2 2(1)A =-4 3 0；(2)A =2 1 2_ I 0 22 2 11 AI0解：(1：)ill-43-20102-兄解得A的特征值為：入=人二L 人=2,1.求下列矩陣的特征值與特征向量:=(2_兄)(1_兄)2 =0,-3 1 O""1 0 o""o"-4 100 1 0,得基礎(chǔ)解系為血=0_ 1 0 0_0 0 0_1(A 2£)x = 0, tilA-2/ =故對應(yīng)A =2的全部特征向量為切2伙MO).-2 1 O"

2、'1 0 fTA-f =-4 2 00 1 2,得基礎(chǔ)解系為p,=2_ 1 0 1_0 0 0.-1當人=人=1時.解方程(A-/)x = 0, Itl故對應(yīng)人=人=1的全部特征向量為伙H0); 當入=2時，解方程l-A22解:tlllA-ZZI=21-2 2=(2 + 1)2(5-/1) = 0,221-2解得A的特征值為:J =1, Aj=5,當人=2, =1時，解方程(A + /)x = 0. ill'2 2 2"1 11"-A + 1 =2 2 20 00,得基礎(chǔ)解系為 P,=12 2 20 000Pl =kP +2/A(|2 HO)；當3=5時，解

3、方程：(A-5/)x = 0,山-422"'10 -1"TA-5/ =2-4201 -1,得基礎(chǔ)解系為P,=122-400 01故對應(yīng)=5的全部特征向量為炯伙工0).,故對應(yīng)人=則=_1的全部特征向量為2.已知3階矩陣A的特征值為=的特征值.3設(shè)矩陣A =且A的特征值為123.求兀y,z解：容易證明，當幾是A的特征值時，則矩陣A的多項式丁(A)必 有特征值fW .設(shè)B = /(A) =屮-5人2 ,則B有特征值： /(1)=7 /(-!) =-6, /(2) = -12.1-2解：IA-z/l=Z1-/1= (l-/l)(l-/)(>'-A)-2x1

4、= 0,因為A有特征值為123得：q(l-2)a-2)(y-2)-2x| = 0(l_3)(l-3)(y-3)-2 刻=0存二二解得:二込無限制,故4設(shè) A =4一3、且A有特征值人=6 “2 = 2 9則a=()(A) 2;(C)4;(D)-4.-1 1解：B. 一方面IAI= A,A.A,=24； 乂IAI=24«-3 -3 5=6(6 + a),所以得a =-2,5設(shè)向量a = 1A1 r是矩陣A =的逆矩陣獷的特征向量，試求常數(shù)&的值.解：設(shè)A'a = Aa,左乘A得a = /L4a-即T"2 1 fTk=AI 2 1kIJ I 21x = -hy

5、= 1,zR二d解睜入=1 人=1/4封右k 2 k、一 k=_2 或 £ = 16設(shè)歹2分別是矩陣A屬于不同特征值人以2的特征向量試證: 小,不扁能是A的特征向量.解：冬是A的對應(yīng)于特征值幾。的特征向量，即有A© +生）=入（§1 +歹2）=入）歹I +人）歹2 *另一方面，乂有+ 歹2）=+ A© =人 + 易込 9綜合得（y?y -入冷 + （兒-兄2）§2 = 0 '再山定理“矩陣對應(yīng)于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的J知必有 人一人=人，一 A=o.即得 人=幾2.與已知條件人工人矛 盾，故命題得證.7.設(shè)AB為耳階矩陣，證明

6、ABiBA有相同的特征根. 證明：只要證明的特征值都是34的特征值即可.如果0是AB的特征值，則得IABI=O,從而IBAMAIIBM ABI=O.故0也是BA的特征值；再設(shè)兄是AB的任意一個非零特征值，對應(yīng)的特征向量為X, 即有(AB)x = Ax,兩邊左乘B得B(AB)x = /lBx,即(BA)(Bx) = /l(Bx),顯然BxhO (否則有Ax = (AB)x = A(Bx) = Q,得到幾=0,矛盾)， 故兄也是BA的特征值，對應(yīng)的特征向量為Bv.8設(shè)A為實正交矩陣即AA = h證明：A的特征值的絕對值只 能是1或-1證明：設(shè)兄是A的特征值，X是對應(yīng)兄的特征向量，即有Ax=Ax所以

7、有(Ay)7 Ar = (Av)Zv =才x" x, 另一方面，乂有Axf Ax = x Ax = + /x = f , 結(jié)合上述兩式得A- = l,即A = ±l.5.2相似矩陣1 已知A是“階可逆矩陣, 題中，WABBA 相似，獷打8-1相似， 正確的命題共有(). (A)4;(B)3；如果A與矩陣B相似，則下列四個命屮與32相似,"與M相似,(C)2;(D)l解：A(2)、(3)、(4)顯然；(1)成立是因為B-BAB = AB.(3) A =一3023-2解：(1)顯然A有三個不同的特征值123.特征向量從而A相似于對角陣A =故A有三個線性無關(guān)的0202

8、A-AI =-2-2012-幾103-/1III A-Al =_(2 /1)2(2+i)=o得A 的特征值人=心=2人=一1-40-4'101"101000101_000_知方程組再 III 4 一 2/ =(A-2I)x = 0有兩個線性無關(guān)的特征向量;而單根=-1必有另一特征向量故A有三個線性無關(guān)的特征向量，從而三階矩陣A能夠相似于對角陣3)A-AI =2-A5-12-3-/130 -2-2itl A-AJ =-(/l + l)3 =0得A 的特征值& =/U =/l3=-L2問下列矩陣能否與對角陣相似？為什么？'1 2 3"-2 0 -4(1)

9、A =0 2 3；(2)A =1 2 10 0 3103"3 -I 2""1 0 1"再 th A+i =5-230 1 1-1 0 -10 0 0知方程組（A + I）x = 0只有一個線性無關(guān)的特征向量即三階矩陣A沒有三個線性無關(guān)的特征向量故A不能相似于任何對角矩陣.4-3一33設(shè)矩陣力=6 0-5 0-6 1證明A可對角化；（2）訃算從00精選解：（1）山4一刀=_（2一1）2（2 + 2）,可得矩陣A的特征值位對應(yīng)特征值人=人=1,有兩個線性無關(guān)特征向量-2"ro'Pl =1,"2=00I對應(yīng)特征值入=-2有一個線性無

10、關(guān)特征向量幾=1因為A有三個線性無關(guān)的特征向量所以A可對角化.-2 0 -則有取戶=曲2門=1 00 1-2(2)山(1)知 A = PAP=而 PJ =-1-21 2/T =(PAP-)” =啟 P"-2 0j-1 -1 0"I 01r-1 -2 10 1 1 _(一 2)"_ I 20_2-(-2)"1 + (-2)"-1 + (-2/2 - 2(-2)”-1 + 2(-2)"-2 + 2(-2)"'2 0 o'"2 0 0"4.已知矩陣人=0 0 1與8 =0 y 001 X0 0-

11、1相似,2-2 0 02-A000 -Z 1=0y-/l001 X A00-1-/1(1)求x；(2)求一個滿足P'AP=B的可逆陣P 解:(l)(ll-4相似于3.得即亦即(2-/l)/l(A-x)-ll = (2-/l)(A-y)U + l) 解之得x = 0, y = 1 ；(2)4打有相同的特征值人=2,/i, =1,/13=-1, 解方程組 解方程組解方程組取 P = ""23=(A-2/)x = 0,得特征向量 a=1A0 (A-/)x = O,得特征向量 宀=0丄0， (A + /)a- = O,得特征向量 幾=0，-1匚10 00 1 10 1 一5

12、.3實對稱矩陣1求正交矩陣2.將下列矩陣正交對角化.精選 2-20 "22-2"(1)A =-21-2；(2) A =25-40-20-2-45解：山|力一劉|=2-/1-20-2l-A-20-2-2= -(1 +2)(2-1)(/1-4),可得特征值為入=一24=1,人=4,當人=-2,解方程組(A + 2/)x = 0,得基礎(chǔ)解系§1 =位化得q=t2當入=1,解方程組(A-/)x = O,得基礎(chǔ)解系§2=1-2位化得42=1 一22當Aj = 4,解方程組A 4)% = 0,得基礎(chǔ)解系§3= -22-2取2 =【務(wù)冊2山/=亍23 222

13、1-2-21一2則有2-Z2-2(2) 11 A-aI=25-A-4-2-45-A特征值為A=2=1A =10,= -U-1)-(1-10),可得-2當A, = t解方程組(A-/)x = 0,得基礎(chǔ)解系§1 =-2卩弋=再單位化得'=血£，“2 =厶=丄102135當人=10,解方程組(A-10/)x = 0,得基礎(chǔ)解系§3= 2-22-2取2 =彳1畑03】 =7502754詼532亍2"3則有102.已知3階實對稱矩陣A的特征值為6,3,3,對應(yīng)于特征值3的特 征向量為a, =-l,0J a,=I-2a求A的對應(yīng)于特征值6的 特征向量及矩陣A.乜、"-11 f'3-11fA = P3P-* =0 -2 130-21< 6,1 1 16I11所以解：實對稱矩陣的不同特征值所對應(yīng)的特征向量是正交的，所以 A的對應(yīng)特