常微分方程試題B答案

1、常微分方程模擬試題（B）參考答案2012J一、填空題（每小題3分，本題共30分）25兒（兀）一兒0） +兒（只）3.1/(0 三 0或lV(fo)=Oo/dy dx4.亠5. y = I6. n7.充分9.sa,Re 5 10. (- oo,+oo(3分)令非齊次方程的特解為y = CG)嚴(yán)二、計(jì)算題（每小題5分，本題共20分）11.解：齊次方程的通解為代入原方程，確定出C（x） = J“+C原方程的通解為12.解:（5分）對(duì)應(yīng)的特征方程為：才+2 + 1=0,（3分）/3/?解得入=-4+/a： =-i-/22（5分）所以方程的通解為：x = e（c, cos 213.6dx所以此方程是恰當(dāng)

2、方程.（3分）14.湊微分，xdx - 2ydy + ydx + xdy = 0得一疋+小一y2 = C（5分）令 x-y = 5 = t,則仝=1-.dx dx原方程化為J-蟲=丄，變S分離(f-7M-7xdx t-1（3分）（5分）兩邊積分*2代回變量-(xy +5)-7(x-y + 5) = -7x+e乙三、計(jì)算題（每小題10分，本題共30分）15.特征方程為1-A41-/1=0.（4分）=Ci+C,（10 分）字= P（x）y,dx這是一個(gè)變量分離方程，通解為y =這里c是任意常數(shù)。假設(shè)y = c（x）00皿是型=P（xy + Q（x）的通解，代入方程，則有 dx16.解:(!)（4分

3、）特征根為人=3.幾2=-1=3對(duì)應(yīng)特征向量應(yīng)滿足1-3111o_ 41-3_o_可確崔出f2_同樣可算出兒=-1對(duì)應(yīng)的特征向量為1 -2_所以.原方程組的通解為如2=皿dx積分后得到c(x) = jQ(x)e gJx + c,（8分）這里？是任意常數(shù)，方程的通解為（10 分）I Pxdx f PCY)* ,y = e (I Qxe 丿 dx + cI17.解:設(shè)f(x. y)= - y則堂=丄門(丫工0)2 勿 2故在yHO的任何區(qū)域上堂 存在且連續(xù),（4分）因而方程在這樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件.顯然，y三0是通過點(diǎn)（0, 0）的一個(gè)解;（6分）又噲=討解得,3|y| =(A-

4、c)-所以，通過點(diǎn)（0, 0）的一切解為y三0及l(fā)ylh(xc),cG是常數(shù)（10 分）四、證明題（每小題10分,本題共20分）18.證明：必要性 若該方程為線性方程，則有d = P（%） +e（x）, drI P（ vlf/v（4分此方程有枳分因子（兀）=0丿a）只與X有關(guān).充分性若該方程有只與X有關(guān)的積分因子“（x）,則 pxdy-pxfx. ydx = 0 為恰當(dāng)方程,央而 6（-刃）心） 紗=/（X）dydx ，dy /（%）（8分）（10 分）于是方程可化為tfy-(P(x)y + 0(x)Mv = O即方程為一階線性方程19-證明：0（x），0（x）的朗斯基行列式Wx) =勿X) 肖(X)0(X)0(X)0（）,仔（X）是基本解組，故若存在如乩 使得0（兀）=0（%） = 0,則由行列式性質(zhì)可得VV（Xo） = 0矛屑.即 汎V）最多只能有簡(jiǎn)單零點(diǎn).同理對(duì)0（x）有同樣的性質(zhì).故 得證.若存在XqGR ,使得0（Xo）=肖（兀）=0,則由行列式性質(zhì)可得W（兀）= 0,矛盾.即0（x）w（x）無共同零點(diǎn).故（i