常微分方程自學練習題(20210112020234)

1、常微分方程自學習題及答案一填空題：一階微分方程的通解的圖像是維空間上的一族曲線.二階線性齊次微分方程的兩個解yi（x）;y2（x）為方程的基本解組充分必要條件是方程y-2y'+y = 0的基本解組是一個不可延展解的存在區(qū)間一泄是方程冬= Jl-y2的常數(shù)解是_ dx區(qū)間.方程x-p（tW+ = g,x = O 一個非零解為Xj，經過變換.若4是線性方程組X '=A（t）X的基解矩陣，則此方程組的任一解4“產8910一曲線上每一占切線的斜率為該點橫坐標的2倍，則此曲線方程為_ 滿足條件的解，稱為微分方程的特解.如果在微分方程中,自變量的個數(shù)只有一個我們稱這種微分方程為.一階線性方

2、程y'+p（x）y = qx有積分因子（“=12求解方程另一 S的解燃13 axy- + 3x-ydx + (x+ y)xfy = 0為恰當方程，則 八.dyr14dx ，./e：閔<ly|< 1由存在唯一性世理加解的存在區(qū)間是（）（0） = 015方程生-5型+ 6，= 0的通解是（、dx）dx 16方程 17若向量函數(shù)Y心）;丫2（/）；丫3（切Y“（x）在區(qū)間D上線性柑關,則它們的伏朗斯基行列式W （X）=18若P（X）是方程組空=A（x）Y的基本解方陣則該方程組的通解可表示為.ClX二單項選擇:1方程纟=兀-亍+ $滿足初值問題解存在且唯一楚理條件的區(qū)域是（ ax（

3、A）上半平而（B）xoy平而（C）下半平而（D）除y軸外的全平而2方程冬=Jy + K ）奇解dx(A)有一個(B)有兩個(C)無(D)有無數(shù)個在下列函數(shù)中是微分方程y'+y = 0的解的函數(shù)是(A) y = (B)y = x(C) y =sinx (D) y = e方程= 0*=兀的-個特解形如()(A)。/” =b(B) axe + hx (C) +hx + c(D)心g" + bx + cdvfy)連續(xù)可微是保證方程丄=fy)解存在且唯一的()條件.dx(A)必要 (B)充分 二階線性非齊次微分方程的所有解().(A)構成一個2維線性空間(C)不能構成一個線性空間(C)

4、充分必要(D)必要非充分(B)構成一個3維線性空間(D)構成一個無限維線性空間方程d = 3W過點(0,0)有( dx(A)無數(shù)個解(B)只有一個解(C)只有兩個解 (D)只有三個解在區(qū)間，-oO</< 8上的解是(初值問題*=(B)"=P(C) H(f=>、(D) M=z、el-f丿l-f丿0丿(A) %X , x(o> =方程 +cosx = 0是().dx(A) 一階非線性方程 (B)階線性方程(C) 超越方程(D)二階線性方程10方程生+3少=0的通解是().) dx(A)C +(2戶(B) CiX + C?”亠 (C)C,(D)C尹亠z/y+ 4-

5、+ 4y =。的-個基本解組耿(A)xe -(B)l,嚴dx12 若 yi 和 y2 是方程+/?(x)+ </(%)y = 0 的兩個解，則 y =+0莎 (5®V dx )dx為任意常數(shù))(A)是該方程的通解(B)是該方程的解（C）不一定是該方程的通解（D）是該方程的特解13方程 = Jl-y2過點（0,0）的解為y = sinx,此解存在（） （ix(A) (Y+8)(B) (-00.0(C)0,+oo)（D）-雪 16 求(3x" + ()xy+ (6x">' + 4y')dy = 0 的通解.14 方程 y=3Fy Y“是(（

6、A）可分離變量方程 （B）齊次方程（C）全微分方程（D）線性非齊次方程15微分方程生一丄y = 0的通解姥（ ）dx XC(C)y = + c (D) y =x + c X（A） y = -（B） y = bX16在下列函數(shù)中是微分方程）+y = 0的解的函數(shù)是（A)y = 1(B) y = x (C) y = sin x (D) y = e 17方程的一個數(shù)解y”形如（(A) ae +h(B) axe + hx(C) aQ +hx + c(D) eixe" + hx + c18初值問題*x；x(0) =A在區(qū)間一O0<z <8上的解是（I、(A)% = =(C)%)=(

7、D)叫“=rJ >H丿c /0三求下列方程的解：1求下列方程的通解或通枳分:dy(1)= yhiydx/ 2y2+上X</V5 y = xy'+2(y')(4) 2xydx + (犬2 - y)dy = 0求方程的解X一 tx=0解方程：d = y2 COSX并求出滿足初始條件:當X=0時滬2的特解 dx求方程：d = = + fg二clx X X5求方程：生=6上一小2的通解（ix X4伯努利方程5 Lipschitz 條件6線性相關求解方程：害辺害*0，亠十d'x1未方穆喬"的解求方程”一5)4 - 5/2的通解10求下列方程組的通解<d

8、x=y+dtdv=-X dtsin/y j-yb (-1) = 012求方程的通解11求初值問題2R:X+I<1< 1的解的存在區(qū)間并求出第二次近似解dy y話宀方法) d = n-dx X X+ 4y = 013訃算方程y'+4y = 3sm2x 的通解14訃算方程dx dx ,4 + 4.v = cosZ elt dt1516171819(3) (y - 3x" )dx - (4> - x)ciy = 0 (三種求下列常系數(shù)線性微分方程：y''-2y+Qy = w"試求x =試求矩陣A =試求矩陣A =X的基解矩陣-13-5的特

9、征值和對應的特征向量.的特征值和特征向量(y(3 2)11 2丿*解方程組需詞解釋1微分方程2常微分方程、偏微分方程3變量分離方程五證明題1 在方程 y *+/?(%)y+t7(x)y = 0 中已知 p(x);q(x)在(-oo;+s)上連續(xù)求證:該方程的任一非零解在xoy平而上不能與X軸相切. 2設X】、X2分別是非齊次性線方程cTx 嚴 r+喬r+ 6(5 = /；dX 叫證明：x,(t)+X2是方程+ G,(0- + - + Gjz)x = /,(z) + /,(r)的解。3設f(x)在0； +8上連續(xù)且lim f(x)=0求證J方程+y = f(x)的一切解y(x)： YTOCdx均

10、有 lim y (x)=04在方程y'+p(x)y'+q(x)y = 0中p(x)、q(x)在(一g+oo上連續(xù)：求證j若p(x)恒不為零：則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式W(X)是(-00,+8)上的嚴格單調函數(shù)。5證明：X|+X2是方程+ +A(0的解。deat6證明：函數(shù)組e-e (其中當心7時人工/1丿在任意區(qū)間(a,b)上線性 無關。常微分方程習題答案一填空題：2、3、4、2線性無關(或：它們的朗斯基行列式不等于零)7: xc'開5、6、X = J ydt7、,c為常數(shù)列向量y=x+c初始10、常微分方程8、9、11、ejp(x)dx12、x2+yjc;c

11、為任意正常數(shù)13、/14、15、5 P Cx =6 6 65 1 . y = -p-p6 616、417、018、0(x)G尖中c是確世的n維常數(shù)列向量二單項選擇I、D 2、 C 3、 CII、D 12、 B 13、 D 三求下列方程的解4、D5、B6、C7. A8、D9、A 10. C14、 D15、 B16、 C17、 D18、 D1(1)解：當時.分離變量取不定積分，得pL十+cJ yUiy J通枳分為lny= Cc*(2)解：令y= XU,則d = “ + x也，代入原方程，得 dxdx(in rX=VI dx分離變量，取不世積分，得右卄心。)通枳分為：arcsin = 1/iCvX(

12、3)解：方程兩端同乘以尸，得-5 dy -4y 辰"+X令y Z ,則-4y5 = ，代入上式，得dx dx1 dz z = x4dx通解為原方程通解為(4)解：因為罟f ,所以原方程是全微分方程。2解:取(xu,yo) = (0, 0)原方程的通積分為2xydx-£ ydy = Cxy $3 = C3”解：原方程是克萊洛方程通解為：y = cx+2c3/lxdx 1d Y設，=則方程化為y = 0 ,枳分后得 =（；1 KP = r/dtdttdt于是 X=CIt+CztVC3t-+C4l+C5集中 C八 C2，C3,C4、C5 為任意常數(shù)=譽+q（枠+ G”七+ - +

13、 G(Z)x.(Z) + - + G,(Z)-=fl(t) + f2(l)故 Xi(t)+X2為方程 d ；y)+ Gj (f)d 二y)+ + G”x(0 =fl(l)+f2 (t)的解。3解：將變量分離,得到兩邊積分，即得= sinx + c y因而，通解為y =-:sinx + c這里C是任意常數(shù)。以x=0.y=i代入通解中以決世任意常數(shù)S得到c =-7因而，所求特解為y =1-sinxdx dx解：以上=“及空=+ H代入，則原方程變?yōu)閐uX + " = / + tgu dxdu tgudx X將上式分離變量,即有,dxctgudu =X兩邊積分，得到fnsmu =tnx +

14、c這里q'是任意函數(shù),整理后，得到令=C 得到sin u =±£*sinu = CXX解：令"yi得代入原方程得到dxdz 6 Z + XX這是線性方程，求得它的通解為代回原來的變量幾得到1 c X"y " 7" T這就是原方程的通解。此外，方程還有解y=0 O 解： 這里 M =3x-H-6xy-N = 6x-y+4y ,這時因此方程是恰當方程?，F(xiàn)在求U,使它同時滿足如下兩個方程 = 6xy + 4y6由（1）對X 積分，得到 M = x+3x'y+（y）為了確定將（3）對y求導數(shù)并使它滿足（2）,即得i +讐 T+

15、4F于是如= 4y4dy枳分后可得將0（y）代入（3）,得到u = x+3xy + /因此，方程的通解為x? + 3xV + /=c這里C是任意常數(shù) 解：特征方程才+2才+ 1 = 0即特征根2 = ±i是重根，因此方程有四個實值解cost、(cost、Sint . tsint故通解為X = (Cl+C2t)COSt + (C3+C4t)Sin其中C】；C2 ； C3 ； C4為任意常數(shù)解：令喬=則方程化為：扌-嚴“積分后得丫=：1 即一 =C/于是 X=Clt5 + czt + Cjt- + C4l" + C5 dr其中C|；C2C5為任意常數(shù)，這就是原方程的通解。解 對

16、應齊次方程的特征方程為兄? -5兄=0, 特征根為人=0.兄2 =5齊次方程的通解為y=Ci+C2c5x因為a=0是特征根。所以，設非齊次方程的待解為 yi(x)=x (Ax-+Bx + C)代入原方程，比較系數(shù)確定出A=- , B=- , C= 3525原方程的通解為y = G+G嚴+丄»+丄疋+2兀352510解：先解出齊次方程的通解=Cicost一 sin/+C2Sintcosf13令非齊次方程特解為X=c,(t)COSZ+C2sin/3一 sinfcosfcosZsinfc,(叫-sinf cost=sinfc (Z)_0_J解得CM)= _G"積分，得 C,(Z)

17、 = lHsinZ,C2(/)=/通解為=GCOST-sinr+csin/cosZcosHnsinZ +zsinr-sin Zin sill Z +tcost11解:M=max f(X,y) =4 /z =)=故解的存在區(qū)間為 x + 1 < -M 42)qo(x)=0qi(x)=0+F(£2-0)dg = r=+ -q2(x)=O+Pg- - + -8-dg=- + -sr999363369XXX X 1 1=3918 60 42求方程的通解：1) 1=ax x + y解：變形g =匕二= ±v + y,將y看作自變量.x為未知函數(shù) dx解齊線性方程 = -x.通解

18、為x = cy 心 y令微分得齊理址繆vq）dydy, L XJc(y)c(v)y由(1)(2)知一+y = +Vydyy蟲型=1 積分得c(y=Y + c故x = (y + C y(?是任意常數(shù)) dy2)生=上+3上 dx X XVdvdudx dx解：令=u則y =于是=X+ UXdx則原方程變?yōu)閤 + u = u + tanudxdu tan»即=dx X將上式分離變量有coutdti =枳分得In sin”= Uix+e.c為任意常數(shù)。整理sinw = ±£' X令土ec =c0得sinM = cx(c H0)方程還有解lanu=0即sinu=0

19、,故通解為sinu = ex （c為任意常數(shù)） 3) (y - 3x- )dx - (4y - x)dy = 0(H種方法)解：法一，這里 M=y-3x-. N= - (4y-x )= 4-4yan辦.T因此此方程是恰當方程現(xiàn)求。使驚，詈對(1)中 X 積分得 w = yx-x'+0(y)(3)對（3）中y求導色=牙+0"）=-4y6dy積分得0（y） = -2r，代入（3）得 =）戈一x'-2y2故通解為)戈-x'-2r=c, C為任意常數(shù)法二，重新組合得ydx - 3xdx - 4ydy + xJy = 0 ,即 ydx 一 dx' - 2dy +

20、 xdy = 0于是通解為Ay-，-2r =c次中C是任意常數(shù)。4)(字)“-5(字)2+4y = 0 ax ax解： 令 p =則 p4 -5/7" +4y = 0, v = /?" - "4dx44對 X 求導得 P = p業(yè)-p' = ( p- p),( p - p')dp- pdx = 02 clx dx 2dx 25 254 P 積分得(/?" _ ) _ px = c,x = 44-Y氣.4513 C= =P_ = P 一一 P44P于是方程通解為51 3 C乳=屮)一一卩-一4 4/75 21 4y = -p -P44(p=

21、0)13方程)N+4y = 3sm2工的通解解：齊次方程是 y-+4y = 0,2-+4 = 0,42 =±2/y = c, cos2z + s sin 2/由于2i是特征方程單根故所求特解應具形式Vi =x(Acos2x + Zjsm2x)3代入原方程-4A = 39B = O=> A = -.B = 043 ry, =xcoszx八 4故通解為y = -xcos2x + r, coslt + c sin2r，其中c©為任意常數(shù)cPx 4dx .14+ 4x = cosrdt clt解：特征方程2-42 + 4 = 0有重根2, =/U =2因此對應齊線性方程的通解

22、為X =（C, +，英中cbCz為任意常數(shù)。因為土f不是特征根，現(xiàn)求形如x=Acost + Bsint的特征解.代入原方程化簡(3A-4B)cost+(4A + 3B)smt=coslA-23A-4B = W 25 于是故，4A + 3B = 0D 4D =25故通解為兀=C+ COSZ- sinA其中CI,C2為任意常數(shù)252515求下列常系數(shù)線性微分方程對應的齊次方程為y"-2/+IOy = O特征方程為才一？兄+ 10 = 0特征根為幾a = ±3i a不是特征根,故原方程有形如y*=（ax+b）e上、的特解代入原方程得t/-,/? = - 故原方程通解為y*（心gs

23、in3f） + （才 =）幾"2為任意常數(shù)）2 12 00 I=+0 20 2._0 0_16解：因為A =而且后而的兩個矩陣是可交換的'2o'0 1'y 1 'o r02Z - exp_0 0_t =0 0E +_0 0_得到 expAf = ex pt +° 1+但是,2!0 1"2'o o'0 0 _0 0_所以，級數(shù)只有兩項。因此，基解矩陣就是expAf = e"17解：特征方程為det(/l£ A)=X-2-11/1-4=加一6/1 + 9 = 0丙此，2 = 3是A的二重特征值為了尋求

24、對應于2 = 3的特征向量考慮方程組'1 -f1 -1e, =0(3E-Ac =是對應于特征值2 = 3的特征向量，苴中是任意常數(shù).18解A特征方程為det(A 一 AE =3-25-53-/1特征根為血2 =3±5f對應于l=3+5i的特征向is» =滿足19A-AE)u =-5i 5-5 -5i=0解得u=a為任意常數(shù)對應于幾2 =3-5/特征向量V =U"f滿足U1 /V丄V0為任意常數(shù)(A-/t,£)v = 0 解得v ="0HO解：A =32、1 2,的特征方程為detU£-A) =/1一3-I-2A-2= (A-l

25、)(/t-4)=021=1, /h=4 為特征根,(A-4£)n = 0=>»,=為方程組解a為任意常數(shù).(A 一 4Eu =0=>/(2 =這樣y2020為方程組解.為方程的解名詞解釋聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及它的導數(shù)的關系式，稱之為微分方程。如果在微分方程中，自變量的個數(shù)只有一個，稱這種微分方程的個數(shù)為兩個或兩個以上 的微分方程稱為偏微分方程。形如的方程,dv稱為變量分離方程，這里/(x)0(y)分別是X y的連續(xù)函數(shù)。形如的方程，稱為伯努利方程，這里P(x)，ew為X的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù)5函數(shù)f(x.y)稱為在R上關于y滿足Lipschitz條件，如果存在常數(shù)1>0使得不等式/(兒”)-/(兒2)S ” 一對于所有(X, ”)9(X,兒) R都成立丄稱為Lipschitz常數(shù).6世義在區(qū)間a<t<hh的函數(shù)“("心("大<'(0如果存在不全為零的常數(shù)CI.C2,.Ck使得恒等式C|Xj(r) +(