初三數(shù)學(xué)解直角三角形地應(yīng)用題

1、文檔解直角三角形應(yīng)用題考點一、直角三角形的性質(zhì)1、直角三角形的兩個銳角互余可表示如下：/ C=902、在直角三角形中，/ A+/ B=90°30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。/ A=30°C 1可表不如下:BC= AB23、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半/ ACB=90 、可表不如下:CD= - AB=BD=AD2D4、勾股定理為AB的中點直角三角形兩直角邊 a, b的平方和等于斜邊 c的平方，即a2 b25、攝影定理在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項, 每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項/ ACB=90CD!AB

2、-6、常用關(guān)系式由三角形面積公式可得:AB? CD=AC? BC考點二、直角三角形的判定CD2AC2BC2AD?BDAD? ABBD?ABD（35 分）1 、有一個角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a, b, c有關(guān)系a2.22b c ,那么這個三角形是直角三角形。（38 分）考點三、銳角三角函數(shù)的概念1 、如圖，在 ABC中，/ C=90°銳角 A的對邊與斜邊的比叫做/的正弦，記為sinA ,即斜邊sin AA的對邊a斜邊銳角 A的鄰邊與斜邊的比叫做/的余弦，記為cosA,即co

3、s AA的鄰邊b斜邊銳角A的對邊與鄰邊的比叫做/A的正切，記為tanA,即 tan AA的對邊aA的鄰邊bA的鄰邊 ba的對邊a(1)互余關(guān)系sinA=cos(90 A) , cosA=sin(90 A) tanA=cot(90 A), cotA=tan(90 A) (2)平方關(guān)系2 A2 A /sin A cos A 1A+/ B=90°abbaba,cot A一；sinB，cosB，tanB ,cotB一baccab銳角A的鄰邊與對邊的比叫做/A的余切，記為cotA,即cotA2、銳角三角函數(shù)的概念三角函數(shù)0 °30 °45 °60 °90

4、 °sin a012退2叵21cos a1332遍2120tan a0加31J3不存在cot a不存在<31V330銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做/A的銳角三角函數(shù)3、一些特殊角的三角函數(shù)值4、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系(3)倒數(shù)關(guān)系tanA ? tan(90 A)=1(4)弦切關(guān)系sin AtanA=cos A5、銳角三角函數(shù)的增減性當(dāng)角度在0°90°之間變化時,（1）正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?（2）余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?（3）正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?（4）余切值隨著角度的增大（或

5、減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅┛键c四、解直角三角形（35）1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已 知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理論依據(jù)在RtAABC中，/ C=90° , / A, /B, / C所對的邊分別為 a, b, c（1）三邊之間的關(guān)系：a2 b2 c2 （勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：/（3）邊角之間的關(guān)系： a b sin A ,cosA ,tan A初三數(shù)學(xué)解直角三角形的應(yīng)用知識精講【同步教育信息】:本周教學(xué)容：解直角三角形的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 . 了解解直角三角形在測

6、量及幾何問題中的應(yīng)用。2 .掌握仰角、俯角、坡度等概念，并會解有關(guān)問題。3 .會用直角三角形的有關(guān)知識解決某些簡單實際問題。二.重點、難點：1 .仰角、俯角在進(jìn)行測量時，視線與水平線所成角中，規(guī)定：視線在水平線上方的叫做仰角。視線在水平線下方的叫做俯角。2 . 坡度坡面的鉛直高度h和水平寬度L的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即i - oL如果把坡面與水平面的夾角記作（叫做坡角），那么i tan oL3 .直角三角形在實際問題中的應(yīng)用在解決實際問題時，解直角三角形有著廣泛的作用。具體來說，要求我們善于將某些實際問題中的數(shù) 量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形的邊，角之間的關(guān)系，這樣就可運用解直角三角形

7、的方法了。教學(xué)難點運用解直角三角形的知識，結(jié)合實際問題示意圖，正確選擇邊角關(guān)系，解決實際問題?！镜湫屠}】例1. “曙光中學(xué)”有一塊三角形形狀的花圃ABC現(xiàn)可直接測量到/ A=30° , AC=40米，BC=25米，請你求出這塊花圃的面積。解：分兩種情況計算（1）如圖1 ,過C作CDLAB于D,則CD 20, AD AC - cos30 °20V3DB JCB2 CD215,故SAABC 1 AB - CD 1(2073 15)X 20 (200V3 150)(米 2)文檔(2)如圖2,過C作CDLAB且交AB的延長線于 D,. 3(x 2) x 2圖2由(1)可得 CD=

8、20 AD 203, DB 15,所以S* 1AB YD (200% 150)(米 2)點撥：通過作高，把解某些斜三角形的問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題。例2.某片綠地的形狀如圖 3所示，其中/ A=60° , AB±BC, AD± CD AB=200m CD=100m求AR BC的 長。(精確到 1m, J3= 1.732 )圖3解：延長AD,交BC的延長線于點E,可構(gòu)成兩個直角三角形, 在 RtABE 中，/ A=60° , AB=200m BE AB - tan A 200V3(m)AEAB 200cos60400(m)2在 RtCDE中，/ CED

9、=30 , CD=100m .DE CD cot/CED 1005r3(m)CECDsin /CED100彳200mAD AE DE400100、3=227(m)BC BE CE 200J3 200= 146(m)點撥：其他四邊形，如平行四邊形，梯形等，常通過作高實現(xiàn)多邊形向直角三角形轉(zhuǎn)化。例3.如圖4所示，某電視塔 AB和樓CD的水平距離為100米，從樓頂C處及樓底D處測得塔頂A的仰 角分別為45°和60° ,試求塔高和樓高。圖4(精確到 0.1m,參考數(shù)據(jù)： J2 14142, J3 1.7320 )解：在RtADB中， . /ADB=60 , DB=100m AB D

10、Btan/ADB 100X tan60°10073 173.20(m)在 ACE中,A ACE=45 . AE=CE=100 . CD EB AB AE 17320 100 732 (m)答：電視塔高是173.2m,樓高是73.2m。點撥：搞清仰角、俯角等概念，同時要找合適的直角三角形。例4.如圖5,在比水面高2m的A地，觀測河對岸有一直立樹BC的頂部B的仰角為30° ,它在水中的倒影AEBE解：設(shè)樹高BC=x(m),過A作AE± BC于E, 在 Rt ABE中，BE x 2, / BAE 30° , cot / BAEAE BE - cot / BAE

11、(x 2) -& <3(x 2)/ B'AE=45 ° , AE± BC.B'E AE ,3(x 2)又 B'E B'C EC BC AD x 2 x (4 2.3)(m)答：樹高BC為（4 2J3）m點撥：樹與樹的倒影長度相等，即 BC=B'C,是此題的隱含條件。6,堤的上底寬 AD和堤高DF都是6例5.為防水患，在漓江上游修筑防洪堤，其橫截面為一梯形，如圖 米，其中/ B=/CDF圖E(1)求證： ABa CDF(2)如果tanB=2,求堤的下底 BC的長。(1)證明：- AE± BC, DF±

12、BC/ B=Z CDF. AB& CDF(2)解：在 RtABE中，tanB 些 2BE '在 RtCDF中,tan / CDFCFCF tanB 2DF .CF=2DF=12BC BEEF CF 36 12 21(m)答：堤的下底BC的長是21nl點撥：與堤壩有關(guān)的問題，首先要搞清坡度（坡比） 角三角形。例6.如圖7,水庫的橫斷面是梯形，壩頂寬6m,壩高,坡角等概念，同時還要將四邊形問題轉(zhuǎn)化為解直23m,斜坡CD坡度i'=1 : 1,斜坡AB坡度i 1: <3 ,求斜坡AB的長及坡角和壩底寬AD （精確到0.1m）。E解：過B, C兩點分別作則 E CF 23

13、m,圖BE! AD于 E, CF± AD于在 RtMBE中，tan文檔30°2BE46（m）BE - iAE23AE AE 23 ., 3（m）在 RtCFD中，i'CFFDFD=CF=23 （m） AD AE EFFD23 3 6 23 29 23,3"29 23X 1732 =688（m）答：斜坡AB長4nl坡角a為30° ,壩底寬AM為68.8m。 點撥：求出近似值要符合題目要求。例7.如圖8,某輪船沿正北方向航行，在 A點處測得燈塔 C在北偏西30。，船以每小時20海里的速度 航彳T 2小時到達(dá)B點后，測得燈塔C在北偏西75。，問當(dāng)此船到

14、達(dá)燈塔 C的正東方時，船距燈塔C有多遠(yuǎn)？ （結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）？圖8解：在 ABC中，AB=20X 2=40 （海里），Z A=30°Z BCA 75°30°45° , 過 B作 B已AC于 E203 （海里）20 20（J3 1）（海里）則 AE ABcos30BE ABsin30 °AC AE CE340 X240 x - 20 （海里）220.3 BE 20.3過C作CD! AB于D,則 CD CAsin30°10（百 1） = 27.32 （海里）答：船到達(dá)燈塔正東時，它距燈塔27.32海里。點撥：搞清方向角的概念，同時會

15、找合適的直角三角形。例8.今年入夏以來，松花江段水位不斷下降，達(dá)到歷史最低水位，一條船在松花江某水段自西向東沿直線航行，在A處測得航標(biāo) C在北偏東60°方向上，前進(jìn)100米到達(dá)B處，又測得航標(biāo)C在北偏東450方 向上，如圖9,在以航標(biāo)C為圓心，120米長為半徑的圓形區(qū)域有淺灘，如果這條船繼續(xù)前進(jìn)，是否有被淺 灘阻礙的危險？圖9解：如圖9,過點C作CD±AB,設(shè)垂足為D,在 Rt ADC中，AD CD - cot Z CAD CD - cot 30 °J3CD在 RtA BDC中，BD CD - cot/CBD CD - cot 45 ° CD .AB A

16、D BD . 3CD CD (.3 1)CD 100(m)CD100.3 150(73 1)=136.5(m) 136.5米120米，故沒有危險。答：若船繼續(xù)前進(jìn)沒有被淺灘阻礙的危險。點撥：熟記特殊三角函數(shù)值，注意所求結(jié)果符合實際情況，情景應(yīng)用題。例9.如圖10,某貨船以20海里/時的速度將一批重要物資由 A處運往正西方向的 B處，經(jīng)16小時的航 行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨。此時，接到氣象部門通知，一臺風(fēng)中心正以40海里/時的速度由A向北偏西60。方向移動，距臺風(fēng)中心 200海里的圓形區(qū)域（包括邊界）均會受到影響。圖10（1）問：B處是否會受到臺風(fēng)的影響？請說明理由。（2）為避免受到臺風(fēng)的影響

17、，該船應(yīng)在多少小時卸完貨？ （J2=14,石=17）。解：（1）過點B作BC± AC于D,依題意，/ BAC=30在 Rt ABD中，11BD AB X 20X 16 160 20022，B處會受到臺風(fēng)的影響。（2）以點B為圓心，200海里為半徑作圓交 AC于E, F由勾股定理，求得 DE 120, AD 160J3 AE AD DE (160/3 120)(海里)160 .3 1204038 (小時)，該船應(yīng)在3.8小時卸完貨物。點撥：不是純數(shù)學(xué)化的“已知”，“求解”的模式，而是結(jié)合一種情景，一種實際需求，以解決 際問題為標(biāo)志，旨在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。種實【模擬試題】（答題時間

18、：40分鐘）選擇題: 3 10.1 .如果坡度的余弦值為 3,那么坡度比為（）10A. 1: , 10B. 3: . 10C.1: 3D. 3 : 12 .如果由點A測得點B在北偏東15°的方向，那么由點B測點A的方向為A. 北偏東15C. 南偏西15B.北偏西75D.南偏東753.如圖1,兩建筑物的水平距離為a米，從A測得D點的俯角為 ，測得C點的俯角為則較低建筑物CD的高為（）A. a米C. a cot 米B. a cot 米D. a(tan tan )米4.如圖2斜坡AB和水平面的夾角為,下列命題中，不正確的是（A.斜坡AB的坡角為B.斜坡AB的坡度為BCABC.斜坡AB的坡度為tanD.斜坡AB的坡度為BCAC填空題5. 在 ABC中,/ C=90° ,若 a 8 J5 , b 8/15 ,則 c=, / A=, / B=.6. 一物體沿坡度為1: 8的山坡向上移動 J65米，則物體升高了 米。7. Rt 4ABC中，一銳角的正切值為 0.75,周長是36,則它的兩條直角邊的和是 。8. 在地面上一點，測得一電視塔尖的仰角 45。，沿水平方面，再向塔底前進(jìn)a米，又測得塔尖的仰角為60。，那么電視塔為 。9.