高中數(shù)學(xué) 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(經(jīng)典練習(xí)題)

1、高中數(shù)學(xué) 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(經(jīng)典練習(xí)題)  高中數(shù)學(xué)精英講解-冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)  【第一局部】知識(shí)復(fù)習(xí)     【第二局部】典例講解  考點(diǎn)一：冪函數(shù)  例1、比擬大小     例2、冪函數(shù)，(mN)，且在(0，)上是減函數(shù)，又，那么m=  A0 B1 C2 D3  解析：函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)，那么有  又，故為偶函數(shù)，故m為1 ，  

2、;例3、冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)  (1)求函數(shù)的解析式； (2)討論的奇偶性 冪函數(shù)在區(qū)間  又上是減函數(shù)，是偶數(shù)，解得 ， (2)，  當(dāng)且時(shí)，是非奇非偶函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，是奇函數(shù)； 當(dāng) 且時(shí)，是偶函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，奇又是偶函數(shù)  例4、   下面六個(gè)冪函數(shù)的圖象如下圖，試建立函數(shù)與圖象之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系  (1)     變式訓(xùn)練： (A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B).  

3、;1、以下函數(shù)是冪函數(shù)的是   Ay=2x By=2x1 Cy=(x1)2 Dy=  2、以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是   Ay=x4是冪函數(shù)，也是偶函數(shù) By=x3是冪函數(shù)，也是減函數(shù)  是增函數(shù)，也是偶函數(shù) Dy=x0不是偶函數(shù) C  3、以下函數(shù)中，定義域?yàn)镽的是   Ay= By= Cy= Dy=x1   4、函數(shù)的圖象是   ABCD  5、以下函數(shù)中，不是偶函數(shù)的是   Ay=3x2 By=3

4、x2 C  6、假設(shè)f(x)在5，5上是奇函數(shù)，且f(3)f(1)，那么 Dy=x2x1  Af(1)f(3) Bf(0)f(1) Cf(1)f(1) Df(3)f(5)  7、假設(shè)   y=f(x) 是奇函數(shù)，那么以下坐標(biāo)表示的點(diǎn)一定在y=f(x)圖象上的是   A(a，f(a) B(a，f(a) C(a，f(a) D(a，f(a )  8、，那么以下正確的選項(xiàng)是   A奇函數(shù)，在R上為增函數(shù) B偶函數(shù)，在R上為增函數(shù)  C奇函數(shù)，在

5、R上為減函數(shù) D偶函數(shù)，在R上為減函數(shù)  9、假設(shè)函數(shù)f(x)=x2ax是偶函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a=   A2 B1 C0 D1  10、f(x)為奇函數(shù)，定義域?yàn)?，又f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)，且f(1)=0，那么滿足f(x)>0的的取值范圍是   A B(0，1) C D  11、假設(shè)冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，那么_  12、函數(shù)的定義域是_  13、假設(shè)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_  14、DACAD ABACD 是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，那

6、么整數(shù)a的值是_  9、  ax，所以有a=0 ，函數(shù)為偶函數(shù)，那么有f(x)=f(x)，即xax=x22  10、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上有相同的單調(diào)性，那么有函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，那么當(dāng)x<1時(shí)，f(x)<0，當(dāng)1<x<0時(shí)，f(x)>0，又f(1)=f(1)=0，故當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0那么滿足f(x)>0的  11、 解析：點(diǎn)代入得，所以  12、解：  13、 解析： &

7、#160; ，解得  14、解：那么有，又為偶函數(shù)，代入驗(yàn)證可得整數(shù)a的值是5     考點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)  例1、假設(shè)函數(shù)y=axm1(a>0)的圖像在第一、三、四象限內(nèi)，那么   A.a>1 B.a>1且m<0 C.0<a<1且m>0 D.0<a<1  例2、假設(shè)函數(shù)y=4x3·2x3的值域?yàn)?,7，試確定x的取值范圍  例3、假設(shè)關(guān)于x的方程有負(fù)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

8、0; 例4、函數(shù)  (1)證明函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)； (2)求函數(shù)f(x)的值域  例5、如果函數(shù)a>0，且a1在1，1上的最大值是14，求a的值 例1、解析：y=ax的圖像在第一、二象限內(nèi)，欲使其圖像在第一、三、四象限內(nèi)，必須將y=a向下移動(dòng)而當(dāng)0<a<1時(shí)，圖像向下移動(dòng)，只能經(jīng)過(guò)第一、二、四象限或第二、  三、四象限只有當(dāng)a>1時(shí)，圖像向下移動(dòng)才可能經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，故a>1又圖像向下移動(dòng)不超過(guò)一個(gè)單位時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，向下移動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，x  

9、;圖像恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和第一、三象限欲使圖像經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，那么必須向下平移超過(guò)一個(gè)單位，故m1<1，m<0應(yīng)選B  答案：B  例2、分析：在函數(shù)y=4x3·2x3中，令t=2x，那么y=t23t3是t的二次函數(shù)，由y1,7可以求得對(duì)應(yīng)的t的范圍，但t只能取正的局部. 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性我們可以求出x的取值范圍  解答：令t=2x,那么y=t23t3，依題意有：     x0或1x2，即x的范圍是(，01,2  小結(jié)：當(dāng)遇到y(tǒng)=f(ax)類的函數(shù)時(shí)

10、，用換元的思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)處理，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到原問(wèn)題的解  例3、分析：求參數(shù)的取值范圍題，關(guān)鍵在于由題設(shè)條件得出關(guān)于參數(shù)的不等式 解答：因?yàn)榉匠逃胸?fù)實(shí)數(shù)根，即x0，  所以，  解此不等式，所求a的取值范圍是  例4、分析：對(duì)于(1)，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義去證明；對(duì)于(2)，可用反解法求得函數(shù)的值域  解答：(1)，設(shè)x1x2，那么        因?yàn)閤1x2，所以2x12x2，所以  0

11、, ,所以又110,所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故函數(shù)f(x)在其定義域(，)上是增函數(shù)  (2)設(shè)，那么，因?yàn)?02x0，所以，解得1y1，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?1，1)  例5、分析：考慮換元法，通過(guò)換元將函數(shù)化成簡(jiǎn)單形式來(lái)求值域  解：設(shè)t=ax>0，那么y=t22t1，對(duì)稱軸方程為t=1  假設(shè)a>1，x1，1，t=ax，當(dāng)t=a時(shí)，ymax=a22a1=14 解得a=3或a=5(舍去)  假設(shè)0<a<1，x1，1，t=ax 

12、 當(dāng)時(shí)， 解得舍去  所求的a值為3或  變式訓(xùn)練：  1、函數(shù)在R上是減函數(shù)，那么的取值范圍是   A B C D  2、函數(shù)是   A奇函數(shù) B偶函數(shù) C既奇又偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù)  3、函數(shù)的值域是   A B C D  4、,那么函數(shù)的圖像必定不經(jīng)過(guò)   A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限  5、函數(shù)的定義域?yàn)?  A B C

13、 D  6、函數(shù)，滿足f(x)>1的x的取值范圍是   A B C D  7、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是   A B C D  8、，那么以下正確的選項(xiàng)是   A奇函數(shù)，在R上為增函數(shù) B偶函數(shù)，在R上為增函數(shù)  C奇函數(shù)，在R上為減函數(shù) D偶函數(shù)，在R上為減函數(shù)  9、函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是   A B C D  10、以下說(shuō)法中，正確的選項(xiàng)是   任取x

14、R都有； 當(dāng)a>1時(shí)，任取xR都有； 是增函數(shù)； 的最小值為1； 在同一坐標(biāo)系中，的圖象對(duì)稱于y軸  A B C D     11、假設(shè)直線y=2a與函數(shù)y=|ax1|(a0且a1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么a的取值范圍_.  12、函數(shù)的定義域是_  13、不管a取怎樣的大于零且不等于1的實(shí)數(shù)，函數(shù)y=ax21的圖象恒過(guò)定點(diǎn)_  14、函數(shù)y=的遞增區(qū)間是_.  15、9x10·3x90，求函數(shù)y=()x14()x2的最大值和最小值

15、0; 16、假設(shè)關(guān)于x的方程25|x1|4·5|x1|m=0有實(shí)根，求m的取值范圍  17、設(shè)a是實(shí)數(shù)，  (1)試證明對(duì)于a取任意實(shí)數(shù)，f(x)為增函數(shù)；  (2)試確定a的值，使f(x)滿足條件f(x)f(x)恒成立  18、f(x)a>0且  1求f(x)的定義域、值域2討論f(x)的奇偶性3討論f(x)的單調(diào)性 答案及提示：1-10 DADAD DDACB  1、可得0<a21<1，解得.  2、函數(shù)定義域?yàn)镽

16、，且，故函數(shù)為奇函數(shù).  3、可得2x>0，那么有  4、通過(guò)圖像即可判斷. ，解得y>0或y<1.  5、.  6、由，由，綜合得x>1或x<1.  7、即為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，由，可得， 又，那么函數(shù)在上為減函數(shù)，故所求區(qū)間為.  8、函數(shù)定義域?yàn)镽，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，  又函數(shù). ，函數(shù)在R上都為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在R上為增  9、可得.  10、中當(dāng)x=0時(shí)，兩式相等，式也一

17、樣，式當(dāng)x增大，y減小，故為減函數(shù) 11、0a 提示：數(shù)形結(jié)合.由圖象可知02a1，0a.  12、 提示：由得23x2，所以3x1，  13、(2,2) 提示：當(dāng)x=2時(shí)，y=a01=2  14、(，1  提示：y=()x在(，)上是減函數(shù)，而函數(shù)y=x22x2=(x1)21的遞減區(qū)間是(，1，原函數(shù)的遞增區(qū)間是(，1  15、解：由9x10·3x90得(3x1)(3x9)0，解得13x9.  0x2，令()x=t，那么t1，y=4t24t2=4(t)21.

18、60; 當(dāng)t=即x=1時(shí)，ymin=1；當(dāng)t=1即x=0時(shí)，ymax=2.  16、解法一：設(shè)y=5|x1|，那么0y1，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程y24ym=0在(0，1內(nèi)有實(shí)根.設(shè)f(y)=y24ym，其對(duì)稱軸y=2，f(0)0且f(1)0，得3m0. 解法二：m=y24y，其中y=5|x1|(0，1，m=(y2)243，0)  17、(1)設(shè)，     即f(x1)f(x2)，所以對(duì)于a取任意實(shí)數(shù)，  f(x)在(，)上為增函數(shù)  (2)由f(x)=f(x)得 

19、 18、解：1定義域?yàn)镽 ，解得a=1，即當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=f(x)            值域?yàn)?，1  2  f(x)為奇函數(shù) ，  3設(shè)，那么 當(dāng)a>1時(shí)，由，得，     ，  當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在R上為增函數(shù)  同理可判斷當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在R上為減函數(shù)     

20、考點(diǎn)三：對(duì)數(shù)函數(shù)  例1、求函數(shù)的定義域和值域，并確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例2、函數(shù)f(x)=lg(ax22x1)aR.  1假設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；  2假設(shè)函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.  例3、  例4、f(x)=loga(ax1)a0，a1.  1求f(x)的定義域；  2討論f(x)的單調(diào)性； 的最大值和最小值以及相應(yīng)的x值.  3求函數(shù)y=f(2x)與y=f1(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo). &

21、#160; 例1 解：由x22x30 ，得 x22x30，1x3， 定義域?yàn)?(1，3)； 又令 g(x)=x22x3=(x1)24，當(dāng) x(1，3) 時(shí)， 0g(x)4. f(x)=2 ，即函數(shù) f(x) 的值域?yàn)?，；   g(x)=(x1)24 的對(duì)稱軸為 x=1.  當(dāng)1x1 時(shí)， g(x) 為增函數(shù)，  當(dāng) 1x3 時(shí)， g(x)為減函數(shù)， f(x)為增函數(shù) 為減函數(shù).  即 f(x) 在1，1 上為減函數(shù)；在 1，3 上為增函數(shù)  例2、分析：令g(x)=ax2x1，由f(

22、x)的定義域?yàn)镽，故g(x)0對(duì)任意xR均成立，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x)0恒成立，求a的取值范圍問(wèn)題；假設(shè)f(x)的值域?yàn)镽，那么g(x)的值域?yàn)锽必滿足B0，通過(guò)對(duì)a的討論即可  22解答：1令g(x)=ax2x1，因f(x)的定義域?yàn)镽， g(x)0恒成立  函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽時(shí)，有a1.  0，. 2因f(x)的值域?yàn)镽，設(shè)g(x)=ax22x1的值域?yàn)锽，那么B  假設(shè)a0，那么B=，10，；  假設(shè)a=0，那么B=R，滿足B0，.  假設(shè)a0，那么=44a0， a1

23、.  綜上所述，當(dāng)f(x)的值域?yàn)镽時(shí)，有0a1.  例3、分析：題中條件給出了后面函數(shù)的自變量的取值范圍，而根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，   可將函數(shù)  數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題來(lái)求解. 化成關(guān)于log2x的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函  解答：      當(dāng)t=3時(shí)，y有最大值2，此時(shí)，由log2x=3，得x=8.  當(dāng)x=2時(shí)，y有最小值.  當(dāng)x=8時(shí)，y有最大值2.  例4、 分析：題設(shè)中既含有指數(shù)型的

24、函數(shù)，也含有對(duì)數(shù)型的函數(shù)，在討論定義域，討論單調(diào)性時(shí)應(yīng)注意對(duì)底數(shù)a進(jìn)行討論，而3中等價(jià)于求方程f(2x)=f1(x)的解 解答：1ax10得ax1.  當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，  當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?.  2令g(x)=a1，那么當(dāng)a1時(shí)，g(x)=a1在0，上是增函數(shù). 即對(duì)0x1x2，有0g(x1)g(x2)，  而y=logax在0，上是增函數(shù)，   logag(x1) logag(x2)，即f(x1)f(x2)   f(x)= loga(

25、ax1)在0，上是增函數(shù)；  當(dāng)0a1時(shí)，g(x)=ax1在(,0)上是減函數(shù).  即對(duì)x1x20，有g(shù)(x1)g(x2)0  而y=logax在0，上是減函數(shù)，   logag(x1) logag(x2)，即f(x1)f(x2)   f(x)=loga(a1)在，0上是增函數(shù).  綜上所述，f(x)在定義域上是增函數(shù)  3 f(2x)= loga(a2x1)，令y=f(x)= loga(ax1)，  那么ax1=ay， ax=ay1，

26、 x= loga (ay1)(yR) xxx   f(x)= loga (a1)xR  由f(2x)=f1(x)，得loga(a2x1)= loga(ax1)   a2x1= ax1，即(ax)2ax2=0.   a=2或a=1舍   x=loga2.  即y=f(2x)與y= f1(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=loga2 xx1x  變式訓(xùn)練：  一、選擇題  1、當(dāng)a>1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax與y

27、=logax的圖象是   A BC D  2、將y=2x的圖象 ，再作關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象，可得函數(shù)y=log2(x1)和圖象  A先向左平行移動(dòng)1個(gè)單位 B先向右平行移動(dòng)1個(gè)單位  C先向上平行移動(dòng)1個(gè)單位 D先向下平行移動(dòng)1個(gè)單位  3、函數(shù)的定義域是   A1， B2， C，2 D1，2  4、函數(shù)y=lg(x1)3的反函數(shù)f1(x)=   A10x31 B10x31 C10x31 D10x31  5、函數(shù)

28、的遞增區(qū)間是   A，1 B2， C， D，  6、f(x)=|logax|，其中0<a<1，那么以下各式中正確的選項(xiàng)是   A B  C D  7、是   A奇函數(shù)而非偶函數(shù) B偶函數(shù)而非奇函數(shù)  C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)  8、0<a<1,b>1，且ab>1，那么以下不等式中正確的選項(xiàng)是   A B  C D  9、

29、函數(shù)f(x)的圖象如下圖，那么y=log0.2f(x)的圖象示意圖為      A BC D  10、關(guān)于x的方程a0，a1，那么   A僅當(dāng)a1時(shí)有唯一解 B僅當(dāng)0a1時(shí)有唯一解  C必有唯一解 D必?zé)o解  二、填空題  11、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_.  12、函數(shù)  _. 在2x4范圍內(nèi)的最大值和最小值分別是  13、假設(shè)關(guān)于x的方程至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，那么a的取值范圍是_. 

30、0;14、  圍. a0，b0，求使f(x)0的x的取值范  15、設(shè)函數(shù)f(x)=x2xb，log2f(a)=2，且f(log2a)=b(a>0且a1)，  (1)求a，b的值；  (2)試在f(log2x)>f(1)且log2f(x)<f(1)的條件下，求x的取值范圍  16、函數(shù)f(x)=loga(x3a)a0且a1，當(dāng)點(diǎn)Px，y是函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Qx2a，y是y=g(x)圖象上的點(diǎn).  1寫(xiě)出y=g(x)的解析式； 

31、0;2假設(shè)當(dāng)xa2，a3時(shí)，恒有|f(x)g(x)|1，試求a的取值范圍.  答案及提示：1-10 DDDDA BBBCC  1、當(dāng)a>1時(shí)，y=logax是單調(diào)遞增函數(shù)，  D正確. 應(yīng)選D. 是單調(diào)遞減函數(shù)，對(duì)照?qǐng)D象可知  2、解法1：與函數(shù)y=log2(x1)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的曲線是反函數(shù)y=2x1的圖  象，為了得到它，只需將y=2x的圖象向下平移1個(gè)單位.  解法2：在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出y=2x與y=log2(x1)的圖象，直接觀察，即可得D.  3、由0，得 0<x11， 1<x2.  5、應(yīng)注意定義域?yàn)椋?2，答案選A.  6、不妨取，可得選項(xiàng)B正確  7、由f(x)=f(x)知f(x)為偶函數(shù)，答案為B.  8、由ab>1，知，故且，故答案選B.  10、當(dāng)a1時(shí)，01，當(dāng)0a1時(shí)，1，  作出y=ax與y=的圖象知，兩圖象必有一個(gè)交點(diǎn).  11、答案：，6  提示： x24