(完整版)數(shù)學分析知識點總結(jié)(定積分)

1、第一篇分析基礎(chǔ)1.1 收斂序列（收斂序列的定義）定義：設(shè) xn 是實數(shù)序列，a 是實數(shù)，如果對任意0 都存在自然數(shù)N ，使得只要nN，就有xna那么 xn 收斂，且以 a 為極限，稱為序列 xn 收斂收斂于a ，記為lim xn a 或者 xna(n)定理 1：如果序列 xn 有極限，那么它的極限是唯一的。定理 2（夾逼原理） ：設(shè) xn ， yn 和 zn 都是實數(shù)序列，滿足條件xnynzn ,nN如果 lim xnlimzna ，那么 yn 也是收斂序列，且有l(wèi)im yna定理 3：設(shè) xn 是實數(shù)序列，a 是實數(shù)，則以下三陳述等價（ 1） 序列 xn 以 a 為極限；（ 2） xn a

2、是無窮小序列；（3）存在無窮小序列 an 使得xnaan ,n1,2,L .（收斂序列性質(zhì)）定理4：收斂序列 xn 是有界的。定理5：（1）設(shè) lim xna ，則lim xna。（2）設(shè) lim xna ， lim ynb ，則lim( xnyn )ab 。（3）設(shè) lim xna ， lim ynb ，則lim( xn yn )ab 。（4）設(shè) xn0 ， lim xna0，則 lim 11。xna（5）設(shè) xn0 ， lim xna0， lim ynb ，則 limynlim ynb 。xnlim xna（收斂序列與不等式）定理 6：如果 lim xnlim yn ，那么存在 N 0N

3、，使得 nN 0時有xnyn定理 7：如果 xn 和 yn 都是收斂序列，且滿足xnyn ,nN 0 ,那么lim xnlim yn1.2 收斂原理（單調(diào)序列定義）定義：（）若實數(shù)序列 xn 滿足xnxn 1 ,nN ,則稱 xn 是遞增的或者單調(diào)上升的，記為 xn .（）若實數(shù)序列 yn 滿足ynyn 1 ,nN ,則稱 yn 是遞減的或者單調(diào)下降的，記為 yn（）單調(diào)上升的序列和單調(diào)下降的序列統(tǒng)稱為單調(diào)序列。定理： 遞增序列 xn 收斂的充分必要條件是它有上界，其上確界記為sup xn 。定理 1 推論： 遞減序列 yn 收斂的充分必要條件是它有下界，其下確界記為inf xn 。擴展：因為

4、一個序列的收斂性及其極限值都只與這序列的尾部（即從某一項之后的項）有關(guān)，所以定理1 和它的推論中單調(diào)性條件可以虛弱為“從某一項之后單調(diào)”，即為xnxn 1 ,nN0 ,及ynyn 1 ,nN 0 ,（自然對數(shù)的底e）自然對數(shù)的底e 通過下面這個式子求得ne lim 1 1nn1 1n我們先來證明序列 xn是收斂的。n（1）序列 xn11nn是單調(diào)上升的。n1 (11 )1 (11 )(12)xn1111n2!n3!nnL1(112(1k1k !)(1)Ln)nnL1 (11 )(12) L(1n1)n!nnn1n 11 (111 (112xn 1111)1)(1)n 12!n13!nn1L1

5、(11)(1n21)L(1k1)k !n1n1L11)(12)L(1n1)(1n1n1n!1n1(1n1)(12)L(1n)(n1)!1n1n1對比 xn 和 xn 1 的展開式， xn1 前面 n1項的每一項都比xn 中相應(yīng)項要大，即1 (11)(12) L(1k1)1 (11 )(12 )L(1k1)k !n 1n 1n 1 k !nnn除此之外 xn 1 還比 xn 在最后多一個正項。因此我們得出xn 是單調(diào)上升的，即xnxn1 ,nN ,（2）序列 xn11nn是有上界的。1n11 ) L1 (11 )(12)L (1n 1)xn111(1n2!nn!nnn1111L12222nn11

6、21113111122序列 xn11nn是單調(diào)上升且有上界，因此必是收斂的， 此收斂值用 e 表示。通過計算機模擬，我們可以得到e 的近似值，前幾位是2.718281828459045在數(shù)學中，以e 為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，e 稱為自然對數(shù)的底，正實數(shù)x 的自然對數(shù)通常記為 ln x ， log x 或者 log e x 。（閉區(qū)間套原理）定理 2（閉區(qū)間套原理） ：如果實數(shù)序列an和 bn（或閉區(qū)間序列an, bn）滿足條件（1）an , bnan 1 ,bn 1（或者an 1anbnbn 1 ,n1 ）（2） limbnan0那么（i ）閉區(qū)間序列an ,bn形成一個閉區(qū)間套。（ii ）實

7、數(shù)序列an和 bn收斂于相同的極限值c 。lim anlim bnc（iii ） c 是滿足以下條件的唯一實數(shù)值。ancbn ,nN證明：（ii ）由條件（ 1）可得an 1 anbnbn 1L b1我們可以看到 an單調(diào)上升而有上界，bn單調(diào)下降而有下界，因此 an和 bn都是收斂序列。由條件 （ 2）可得 lim blim alimba0 ，因此實數(shù)序列a和b收斂nnnnnn于相同的極限值。lim anlim bnc（iii ）因為csup aninfbn所以顯然有ancbn ,nN假如還有一個實數(shù)c ' 滿足anc 'bn ,nN由于lim anlim bnc那么根據(jù) 夾

8、逼準則 ，有c 'lim c 'lim anlim bnc則證明了 c 是唯一的。（ Bolzano-Weierstrass 定理）定義： 設(shè) xn 是實數(shù)序列，而n1n2 n3L nknk 1 L是一串嚴格遞增的自然數(shù)，則xn1 , xn2 , xn3 ,L , xnk , xnk 1 ,L也形成一個實數(shù)序列。我們把序列xn 叫做序列xn的子序列（或部分序列） ，要注意的k是子序列 xnk的序號是 k 。定理 3：設(shè)序列x收斂于 a ，則它的任何子序列xn也都收斂于同一極限 a 。nk證明： 對于任意0，存在 N0N ，使得只要 nN0 ，就有xna當 k N 0 時就有 n

9、kk N0 ，因而此時有xnka定理 4（ Bolzano-Weierstrass ）：設(shè)xn 是有界序列，則它具有收斂的子序列。（柯西收斂原理）柯西序列定義： 如果序列xn 滿足條件： 對于任意0 ，存在 N 0N ，使得當 m, nN 0時，就有xmxn則此序列為柯西序列，又稱基本序列。引理： 柯西序列xn 是有界的。證明： 對于任意1 ，存在 N 0N ，使得當 m, nN 0 時，就有xmxn1于是對于 nN 0 ，我們有xnxn xN0 1 xN0 1 1 xN0 1若記Kmax x1 , x2 ,L , xN0 ,1 xN 01則有xn K , n N定理 5（收斂原理） ：序列

10、xn收斂的必要充分條件是：對任意0 ，存在 N0N ，使得當 m, nN 0 時，就有xmxn換句話說：序列xn 收斂序列 xn 是柯西序列1.3 無窮大定義：（ 1）設(shè)xn是實數(shù)序列，如果對任意正實數(shù)E ，存在自然數(shù)N ，使得當 nN 時就有xnE那我們就說實數(shù)序列xn 發(fā)散于，記為lim xn（2）設(shè)yn 是實數(shù)序列，如果對任意正實數(shù)E ，存在自然數(shù)N ，使得當 nN 時就有ynE那我們就說實數(shù)序列yn 發(fā)散于，記為lim yn（3）設(shè)zn是實數(shù)序列， 如果序列zn發(fā)散于，即 lim zn，那么我們就稱zn為無窮大序列，記為lim zn注記：（ 1）若集合 ER 無上界，則記sup E（2

11、）若集合 FR 無下界，則記sup F定理 1：單調(diào)序列必定有（有窮的或無窮的）極限，具體而言是：（1）遞增序列xn 有極限，且lim xnsup xn（2）遞減序列yn 有極限，且lim yninfyn定理 2：設(shè)xn 和yn 是實數(shù)序列，滿足條件xnyn ,nN則有：（1）如果 lim xn，那么 lim yn；（2）如果 lim yn，那么 lim xn。定理 3：如果 lim xn（或，或），那么對于 xn的任意子序列xnk 也有l(wèi)im xnk（或，或）定理 4：設(shè) xn 0, nN ，則xn 是無窮大序列1是無窮小序列xn擴充的實數(shù)系：RR,定理 5：實數(shù)序列xn 至多只能有一個極限

12、。擴充的實數(shù)系R 中的運算：（1）如果（2）如果x R，那么x()()xx()mxR， x0 ，那么x ()() x如果 yR ， y0 ，那么y ()() ym（3）如果 xR，那么xx0（4） ()()， () ( )()()， ()()()()， ()()()()() ()（5）除此之外，其余都沒有定義。1.4 函數(shù)的極限x0點的 領(lǐng)域： U ( x0 , )( x0, x0) xR | xx0 |,x0 ,R,0x0點的去心領(lǐng)域：(, x0) x0 x R | 0 | x x0 |,x0,R,0U ( x0 , ) (x0(, H )(H ,) xR | xH ,HR,H 0的去心 H

13、領(lǐng)域： U(, H )(, H ) xR | xH ,HR , H0的去心 H領(lǐng)域： U(統(tǒng)一敘述： 對于 aR ，我們用 U ( a) 表示 a 的某個去心鄰域， 當 a 為有窮實數(shù)時， U (a) 的() ，當 a(形式為 U (a,時， U (a) 的形式為 U ( , H ) 。函數(shù)極限的序列式定義： 設(shè) a, AR（ a 和 A 都可以是有窮實數(shù)或者），并設(shè)函數(shù) f (x)(xna 的序列 xn(在 a 的某個去心鄰域 U (a) 上有定義。如果對于任何滿足條件U (a) ，相應(yīng)的函數(shù)值序列 f ( x)都以 A 為極限， 那么我們說當 xa 時，函數(shù) f ( x) 的極限為 A ，

14、記為lim f (x)Axa簡 單 例 子 如 ： limsin xsin a ； limcos xcosa ； lim | x | a | ； lim xa ；x ax ax ax alim x sin 10 ，因為 | xsin 1 | x | ；limx1 ，因為 cos xx1；lim sin x0 ，x 0xxx 0 sin xsin xxx因為 | sin x |1。x| x |定理 1：函數(shù)極限lim( )是唯一的。x afx(定理 2（夾逼原理） ：設(shè) f ( x) ， g ( x) 和 h( x) 在 a 的某個去心鄰域U (a) 上有定義，并且滿足不等式(f (x)g( x

15、)h(x),xU (a)如果lim f ( x)lim h( x)Axaxa那么lim g( x)Axa定理 3：關(guān)于函數(shù)的極限，有以下的運算法則：lim( f ( x) g (x)limf (x)lim g( x)x axaxalim( f ( x) g( x)lim f (x)lim g (x)xaxax ag( x)lim g(x)limxax af (x)lim f (x)xa定理 4（復(fù)合函數(shù)求極限） ：設(shè)函數(shù) g 在 b 點的某個去心鄰域(U (b) 上有定義， lim g( y) c 。y b又設(shè)函數(shù) f 在 a 點的某個去心鄰域(U (a) 上有定義， f 把 U (a) 中的

16、點映射到 U (b) 之中（用(f (x) b ，則有記號表示就是：f (U (a) U (b) ）并且 limx alim g( f ( x)cxa多項式函數(shù)與有理數(shù)分式函數(shù)求極限的法則如下：（ 1）設(shè) P( x) 是任意多項式，aR ，則lim P(x)P(a)xa（ 2）設(shè) P( x) 是任意多項式，Q ( x) 是非零多項式 a R ， Q(a) 不都是 0，則lim P(x)P(a)xa Q( x)Q(a)P( x) a0 xma1xm 1 Kam,，則（3）設(shè)b0 xnb1 xn 1Q( x)Kbn ,a00,b00,如果 mnlimP(x)a0,如果 mnQ(x)b0x0,如果

17、mn因為P(x)a0a1Lama0,如果 mnxxmlimxm n,如果 mnlimb1bnxQ(x)xb0Lb0xxn0,如果 mn1.5 單側(cè)極限定義（序列方式） ：設(shè) aR, AR ，并設(shè)函數(shù)f ( x) 在 ( a, a) 有定義。如果對任意滿足條件 xna 的序列 xn (a, a) ，相應(yīng)的函數(shù)值序列 f (xn ) 都以 A 為極限，那么我們就說： xa 時函數(shù)f (x) 的極限為A ，記為lim f ( x)Axa定義（方式）：設(shè) a, AR ，并設(shè)函數(shù)f ( x) 在 (a, a) 有定義。如果對任意0 ，存在0 ，使得只要axa就有| f (x)A |那么我們就說：xa 時

18、函數(shù) f ( x) 的極限為A ，記為lim f ( x)Axa定義（方式，特殊的 AR, A）：設(shè) aR ，并設(shè)函數(shù) f (x) 在 (a, a) 有定義。如果對任意 E0 ，存在0 ，使得只要axa就有f ( x)E那么我們就說：xa 時函數(shù) f ( x) 的極限為，記為lim f ( x)xa可用類似的方式來定義xa 的極限。定理 1：設(shè) aR ，并設(shè)函數(shù)f (x) 在 a 點的去心鄰域 U (a,) 上有定義。 則極限 lim f (x) 存xa在的充分必要條件是兩個單側(cè)極限存在并且相等：lim f (x)lim f (x)Axaxa當這條件滿足時，我們有l(wèi)im f ( x)Axa單調(diào)

19、函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)f 在集合 SR 上有定義。（1）如果對任意x1, x2S ， x1x2 ，都有f ( x1 )f ( x2 )那么我們就說函數(shù)f 在集合 S 上是遞增的或者單調(diào)上升的。（2）如果對任意x1, x2S ， x1x2 ，都有f ( x1 )f ( x2 )那么我們就說函數(shù)f 在集合 S 上是遞減的或者單調(diào)下降的。（3）單調(diào)上升函數(shù)與單調(diào)下降函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。1.6 連續(xù)與間斷定義 I ：設(shè)函數(shù) f( x) 在 x0 點的鄰域 U ( x0 ,) 上有定義。如果對任何滿足條件xnx0 的序列 xn U ( x0 ,) ，都有l(wèi)im f ( xn ) f (x0 )xn x0那么我

20、們就說函數(shù)f 在 x0 點連續(xù)，或者說x0點事函數(shù) f 的連續(xù)點。定義 II ：設(shè)函數(shù)f (x) 在 x0 點的鄰域 U ( x0 ,) 上有定義。如果對任意0 ，存在0 ，使得只要 | x x0 |，就有| f ( x)f ( x0 ) |那么我們就說函數(shù)f 在 x0 點連續(xù)，或者說x0點事函數(shù) f 的連續(xù)點。定理 1：設(shè)函數(shù) f 在 x0 點連續(xù)，則存在0 ，使得函數(shù)f 在 U ( x0 ,) 上有界。（證明過程參考函數(shù)極限）定理 2：設(shè)函數(shù) f ( x) 和 g( x) 在 x0 點連續(xù)，則（ 1） f ( x) g (x) 在 x0 點連續(xù)；（ 2） f ( x) g( x) 在 x0

21、 點連續(xù)；（3） f ( x) 在使得 g (x0 )0 的 x0 處連續(xù)；g( x)（4） cg (x) 在 x0 點連續(xù)。定理 3：設(shè)函數(shù) f ( x) 在 x0 點連續(xù)，則函數(shù)| f ( x) | 也在 x0 點連續(xù) .證明： | f (x) | f ( x0 ) | | f ( x)f (x0 ) | ，余下易證。定理 4：設(shè)函數(shù)f ( x) 和 g( x) 在 x0 點連續(xù)。如果f ( x0 )g (x0 ) ，那么存在0 ，使得對于 xU ( x0 ,) 有f (x)g( x)定理 5（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性） ：設(shè)函數(shù) f ( x) 在 x0 點連續(xù)，函數(shù)g( y) 在 y0f ( x

22、0 ) 點連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)g( f (x) 在 x0 點連續(xù) .定義單側(cè)連續(xù)： 設(shè)函數(shù) f (x) 在 ( x0, x0 上有定義，如果lim f (x) f ( x0 )xx0那么我們就說函數(shù)f (x) 在 x0 點左側(cè)連續(xù)。類似的可以定義右側(cè)連續(xù)。引入記號f ( x0 )lim f (x), f ( x0 )lim f ( x)x x0x x0我們知道極限存在的充分必要條件是兩個單側(cè)極限存在并且相等（這個相等值為極限值A(chǔ) ，不一定是該點的函數(shù)值f ( x0 ) ），可以寫成f ( x0 )f ( x0 )A但是如果在x0 點左連續(xù)和右連續(xù)，則說明在x0 點兩個單側(cè)極限存在并且相等，且這個

23、相等的值一定是該點的函數(shù)值f ( x0 ) ），可以寫成f ( x0 )f ( x0 )f (x0 )f ( x) 在 x0 點左連續(xù)和右連續(xù)是f ( x) 在 x0 點連續(xù)的充分必要條件。簡單的說就是：f ( x)在x0點連續(xù)f (x)在x0點左連續(xù) , 右連續(xù)f ( x)在x0點連續(xù)f (x)在x0點兩個單側(cè)極限存在 , 且值為 f (x0 )定理 6：設(shè)函數(shù) f ( x) 在 U ( x0 ,) 上有定義，則f (x) 在 x0 點連續(xù)的充分必要條件是f ( x0 )f ( x0 )f (x0 )反過來說，如果f ( x) 在 U ( x0 ,) 上有定義，但f ( x) 在 x0 點不

24、連續(xù)，則稱x0 為間斷點。有情形 I 和情形 II ，這兩種情形下x0 點分別成為第一類間斷點和第二類間斷點。情形 I （第一類間斷點） ：兩個單側(cè)極限都存在，但f ( x0 )f ( x0 )或者f (x0 )f ( x0 )f ( x0 )情形 II （第二類間斷點） ：至少一個單側(cè)極限不存在。注意： 單側(cè)極限存在并不代表單側(cè)連續(xù)，如果 f ( x) 在 x0 點單側(cè)極限存在，并且此極限值等于 f (x) 在 x0 點的函數(shù)值f (x0 ) ，那么就說f (x) 在 x0 點單側(cè)連續(xù)。簡單的例子，例如函數(shù)f (x)sin x ,x0x0,x0f (0 )f (0 )f (0) ， 0 為第

25、一類間斷點。如果改成f (x)sin x ,x0x1,x0f (0 )f (0 )f (0)1 ，則 0 是連續(xù)點。例如函數(shù)f (x)sin 1 ,x0x0,x0左右側(cè)不連續(xù)，故0 是第二類間斷點。狄里克萊（ Dirichlet ）函數(shù)1,如果 x是有理數(shù)D( x)0,如果 x是無理數(shù)任何 xR 都是函數(shù) D 的第二類間斷點。黎曼（ Riemann ）函數(shù)1 q,如果 x是既約分數(shù) p q, q0R(x)0,如果 x是無理數(shù)所有五里店都是黎曼函數(shù)的連續(xù)點；所有有利點都是第一類間斷點。1.7 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的重要性質(zhì)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的定義：如果函數(shù)f 在閉區(qū)間 a, b 上有定義，在每一點x

26、(a,b) 連續(xù)，在 a 點右側(cè)連續(xù)，在b 點左側(cè)連續(xù)，那么我們就說函數(shù)f 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)。引理： 設(shè) xn a,b ， xnx0 ，則 x0a,b 。定理1 ：設(shè)函數(shù)f 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)。如果f (a) 與 f (b) 異號，那么必定存在一點c( a, b) ，使得f (c)0定理2 （介值定理） ：設(shè)函數(shù)f 在閉區(qū)間a, b 上連續(xù)。如果閉區(qū)間的兩端點的函數(shù)值f (a)與 f (b)不相等，那么在這兩點之間函數(shù)f 能夠取得介于與之間的任意值。這就是說，如果f (a)f (b) ，那么存在c( a, b) ，使得f (c)定理 3：設(shè)函數(shù) f 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)

27、，則f 在閉區(qū)間 a,b 上有界。定理 4（最大值與最小值定理）：設(shè)函數(shù)f 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)， M ， m 分別是函數(shù)f 在閉區(qū)間 a,b 上的最大值與最小值，記M sup f (x), mxinf f (x)x a ,b a ,b則存在 x ', x '' a,b ，使得f (x ') M ,f ( x '') m一致連續(xù)定義： 設(shè) E 是 R 的一個子集，函數(shù) f在 E 上有定義，如果對任意0 ，存在0 ，使得只要x1 , x2E,| x1x2 |就有| f ( x1 )f (x2 ) |那么j 我們就說函數(shù)f 在 E 上是一致連續(xù)的

28、。定理 5（一致連續(xù)性定理） ：如果函數(shù)f 在閉區(qū)間 Ia,b 連續(xù)，那么它在I 上是一致連續(xù)的。1.8 單調(diào)函數(shù)和反函數(shù)引理：集合JR 是一個區(qū)間的充分必要條件為：對于任意兩個實數(shù),J，介于和之間的任何實數(shù)也一定屬于J 。定理 1：如果函數(shù)f 在區(qū)間 I 上連續(xù)，那么Jf (I ) f (x) | xI 也是一個區(qū)間。定理2f 在區(qū)間I上單調(diào)。則函數(shù) f 在區(qū)間I上連續(xù)的充分必要條件為：f (I ) 也：如果函數(shù)是一個區(qū)間。反函數(shù)定義： 設(shè)函數(shù) f 在區(qū)間 I上連續(xù)，則 Jf ( I ) 也是一個區(qū)間。如果函數(shù)f 在區(qū)間 I上嚴格單調(diào)，那么f 是從 I 到 Jf (I ) 的一一對應(yīng)。這時，

29、對任意 yJf (I ) ，恰好只有一個 xI 能使得 f ( x) y 。我們定義一個函數(shù)g 如下：對任意的 yJ ，函數(shù)值 g( y) 規(guī)定為由關(guān)系f ( x)y 所決定的唯一的xI 。這樣定義的函數(shù) g 稱為是函數(shù)f 的反函數(shù)，記為g f1我們看到，函數(shù)f 及其反函數(shù) gf1 滿足如下關(guān)系：g ( y)ff ( x) y定理 3：設(shè)函數(shù) f 在區(qū)間 I 上嚴格單調(diào)并且連續(xù)，則它的反函數(shù) gf 1在區(qū)間 Jf (I ) 上嚴格單調(diào)并且連續(xù)。1.9 指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)和初等函數(shù)連續(xù)性小結(jié)定理 1：設(shè) aR, a1 ，則有（ 1） lim a xx（2） lim ax0x定理 2：初等函數(shù)在其

30、有定義的范圍內(nèi)是連續(xù)的。1.10 無窮小量（無窮大量）的比較，幾個重要的極限(無窮小量定義：設(shè)函數(shù)(x) 在 a 點的某個去心鄰域U ( a) 上有定義，如果lim (x)0x a那么我們就說( x) 是 xa 時的無窮小量。無窮大量定義： 設(shè)函數(shù) A(x) 在 a 點的某個去心鄰域(U ( a) 上有定義，如果lim A(x)0xa那么我們就說A( x) 是 xa 時的無窮大量。定義 3：設(shè)函數(shù)( x) 和 ( x) 在 a 點的某個去心鄰域(U (a) 上有定義，并設(shè)在 U (a) 上( x)0 。我們分別用記號O ， o 與 : 表示比值( x) 在 a 點鄰近的幾種狀況：(x)（1）(

31、 x)O ( x) 表示( x) 是 xa 時的有界變量，即lim( x) 有界。( x)x a( x)（2）( x)o( x) 表示( x) 是 xa 時的無窮小量，即lim(x)0 。我們可以說( x)x a(x)( x) 是比(x) 更高階的無窮小（或者更低階的無窮大） 。（3）( x) :( x) 表示(x)lim1x a (x)注意： O ， o 與 : 都是相對于一定的極限過程而言的，使用時一定要附加上記號xa例如：sin xo( x)(x)sin x :x( x0)特別的：記號(x)O (1)表示(x) 在 a 點的某個去心鄰域上有界；而記號( x)o(1)表示 lim (x)0

32、。x a定理 1：設(shè)函數(shù)( x) 和( x) 在 a 點的某個去心鄰域(U (a) 上有定義， ( x) 0 。則有( x) : (x)( x)( x) o( (x)常見的極限：（1） lim sin x1x0x（2）下面幾個等價lim(11 ) xexx1lim(1x) xex 0lim ln(1 x)1x 0xxlim1x0 ln(1x)logb (1x)1limxln bx0lim exx11x0lim (1x)a1ax0x定理 3：對于極限過程x 0 ，我們有（1） sin xxo(x),tan x x o( x)（2） cos x11x2o( x2 )2（3） ex1 x o( x)（4） ln(1 x)xo( x)（5） (1 x)1x o( x)上面的內(nèi)容很有用，因為我們在求乘積或商的極