版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權,請進行舉報或認領
文檔簡介
1、三等分任意角的方法探究西工大附中孫開鋒三等分任意角的方法探究摘要:三等分角是古希臘幾何三大作圖問題之一,本文關鍵詞:只準用直角和圓規(guī),你能將一個任意的角進行兩等分嗎?這可太簡單了,幾千前的數(shù)學家們就會做。紙上任意畫一個角,以其頂點O為圓心,任意選一個長度為半徑畫弧,找出弧與角的兩邊的交點,分別命名為A和B。然后分別以A點和B點為圓心,以同一個半徑畫弧,這個半徑要大于A、B之間距離的一半。找出兩段弧的相交點C,用直尺把O和C連接起來,那么直線OC就將角AOB平分成了兩部分。用同樣的方法,我們可以把一個角任意分成4等分、8等分、16等分,也就是說,只要你有耐心,可以把任意一個角等分為2的任意次方。
2、但是,如果只用直尺和圓規(guī),并且,這直尺還不能有刻度,你能將任意一個角三等分嗎? 早在公元前5世紀,古希臘的巧辯學派就提出了在只用直尺畫直線、圓規(guī)畫弧的限定下,將任意給定的角三等分的命題。很多偉大的數(shù)學家如阿基米德、笛卡兒、牛頓等都試圖拿起直尺和圓規(guī)挑戰(zhàn)自己的智力,但終于都以失敗告終。直至公元1837年,法國數(shù)學家聞脫茲爾宣布:“只準使用直尺與圓規(guī),想三等分一個任意角是不可能的!”, 才暫時了結了這宗長達幾千年的數(shù)學懸案。但是,如果沒有幾何作圖法的限制,任意角三等分問題當然可以解決,不妨舉幾個例子以共享。一 、利用工具三等分任意角如圖1所示,叫做“三等分儀”吧 ,CE=EG=DG,MECD,弧E
3、D是以G為圓心的半圓,故ME與半圓G相切于點E.具體操作:將該儀器置于 的內(nèi)部,使得點C落在OA上,ME經(jīng)過點O,半圓G與OB相切于點F,則OE,OG為的三等分線。數(shù)理證明:分別連接OG,GF,故GFOB,而EGOE,所以易證:GOEGOF;同理可證GOECOE;故可得到:COE=GOE=FOG.所以,OE、OG為的三等分線。二、中考中的三等分角題目:(廣東佛山市)三等分一任意角是數(shù)學史上一個著名的問題,用尺規(guī)不可能“三等分一任意角”。下面是數(shù)學家帕普斯借助函數(shù)給出的一種“三等分銳角”的方法:將給定的銳角置于直角坐標系中,邊OB在x軸上,邊OA與函數(shù)的圖象交于點P,以P為圓心,以2OP為半徑作
4、弧交函數(shù)的圖象于點R,分別過點P和R作x軸和y軸的平行線,兩直線交于點M,連結OM得到,則。要明白帕普斯的方法,請研究以下問題。(1)設P(),R()求直線OM對應的函數(shù)表達式(用含的代表式表示);(2)分別過點P和R作y軸與x軸的平行線,兩直線相交于點Q,請證明點Q在直線OM上,并據(jù)此證明;(3)應用上述方法得到的結論,你如何三等分一個鈍角(用文字簡要說明)。分析:三等分角問題是二千四百年前古希臘人提出的幾何三大作圖不能問題之一。本題以數(shù)學家帕普斯借助函數(shù)給出的一種“三等分銳角”的方法為線索,提出了相關的問題,要求學生研究解決,頗有新意。同時,引導同學們了解數(shù)學史、了解數(shù)學家的探索過程,可以
5、幫助同學們認識自我,建立學好數(shù)學的信心。為了減輕同學們證明中的困難,命題者設計了兩道簡單的小題,用以過渡。對前兩道小題,首先用待定系數(shù)法易求得直線OM的解析式為。接著由于點Q的坐標()滿足,因此可得點Q在直線OM上。有了上面的基礎,再證明,就不太困難。簡證如下:四邊形PQRM是矩形,MQ與PR交于點S。則,即。最后將(3)解答如下:方法(1)因為鈍角的一半是銳角,所以先把鈍角平分為兩銳角,再利用題給方法把相等的兩銳角都三等分即可。方法(2)可把鈍角分為一個直角和一個銳角,然后利用題給方法把銳角三等分后,再將直角利用作等邊三角形(或其它方法)三等分即可。方法(3)若設已知鈍角為??上葘⒌难a角三等
6、分得:角,然后從大小為的角中通過作圖去掉角即可。這道壓軸題的第(3)小題具有一定的開放性和個性化設計,它可以根據(jù)自己的理解程度,提出一個解決的方法,并且為了減緩難度,設計了3小題,讓同學們拾級而上,入口較寬。這一系列的、有層次的命題設計,體現(xiàn)了新課程標準倡導的“承認差異,尊重個性,給每一位學生以充分發(fā)展的空間”的理念。數(shù)學思想方法在解決數(shù)學問題中具有理念性的地位,這道壓軸題是一道典型的數(shù)形結合題。近年來,不少試題,都重視考查同學們對數(shù)學思想方法的理解與應用,有效抑制了題海戰(zhàn)術,促進了學生學習方式的變革。三、尺規(guī)作圖的方法探究PABOO1KMbc圖3d三等分任意角作圖(如圖3)1.1 用無刻度尺的直尺作任意角; 1.2 用圓規(guī)作的平分線;1.3 取任意長半徑,作的內(nèi)切圓;1.4 由d圓周上作b;作c相交于點K;1.5 過點K作等圓;1.6 過O點再作的切線OP,則OP就是任意角的三等分線。下面做簡單的數(shù)理證明: (如圖4)2.1 以O為圓心,以為半徑作弧;2.2作距離切線OP為d的平行線p與相交于;2.3由作圖知=d,K到OB的距離為2d;過K點作與OB和c相切且與相交于K,圓心在O的軌跡
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 二零二五年無人機安防監(jiān)控系統(tǒng)采購合同2篇
- 2025版委托持股業(yè)務盡職調(diào)查與風險評估合同3篇
- 2025版塔吊租賃合同解除及賠償協(xié)議6篇
- 2025版小企業(yè)勞動合同修訂與完善建議5篇
- 光纖通信在高速鐵路信號系統(tǒng)中的應用考核試卷
- 《企業(yè)文化圣經(jīng)》課件
- 初中生財經(jīng)素養(yǎng)的培養(yǎng)與財經(jīng)知識普及教育的實踐探索策略考核試卷
- 人力資源管理培訓課程課件-高效招聘與面試技巧
- 2025版高端商務區(qū)門面房使用權購買合同4篇
- 2025版商業(yè)地產(chǎn)物業(yè)委托居間合同范本3篇
- 2024年蘇州工業(yè)園區(qū)服務外包職業(yè)學院高職單招職業(yè)適應性測試歷年參考題庫含答案解析
- 人教版初中語文2022-2024年三年中考真題匯編-學生版-專題08 古詩詞名篇名句默寫
- 2024-2025學年人教版(2024)七年級(上)數(shù)學寒假作業(yè)(十二)
- 山西粵電能源有限公司招聘筆試沖刺題2025
- 醫(yī)療行業(yè)軟件系統(tǒng)應急預案
- 使用錯誤評估報告(可用性工程)模版
- 《精密板料矯平機 第2部分:技術規(guī)范》
- 2024光伏發(fā)電工程交流匯流箱技術規(guī)范
- 旅游活動碳排放管理評價指標體系構建及實證研究
- 2022年全國職業(yè)院校技能大賽-電氣安裝與維修賽項規(guī)程
- 2024年黑龍江省政工師理論知識考試參考題庫(含答案)
評論
0/150
提交評論