方案設計型問題

1、方案設計問題方案設計型問題是設置一個實際問題的情景，給出若干信息，提出解決問題的要求， 尋求恰當的解決方案，有時還給出幾個不同的解決方案，要求判斷其中哪個方案最優(yōu)方 案設計型問題主要考查學生的動手操作能力和實踐能力方案設計型問題，主要有以下幾 種類型：(1) 討論材料，合理猜想一一設置一段討論材料，讓考生進行科學的判斷、推理、證明； 畫圖設計，動手操作一一給出圖形和若干信息，讓考生按要求對圖形進行分割或設計美 觀的圖案；(3)設計方案，比較擇優(yōu)一一給出問題情境，提出要求，讓考生尋求最佳解決方案. 操作型問題是指通過動手實驗，獲得數學結論的研究性活動這類問題需要動手操作、合 理猜想和驗證，有助于

2、實踐能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，更有助于養(yǎng)成實驗研究的習慣常見 類型有：(1)圖形的分割與拼接；(2)圖形的平移、旋轉與翻折；(3)立體圖形與平面圖形之 間的相互轉化.三個解題策略(1) 方程或不等式解決方案設計問題：首先要了解問題取材的生活背景；其次要弄清題意， 根據題意建構恰當的方程模型或不等式模型，求出所求未知數的取值范圍；最后再結合實 際問題確定方案設計的種數.(2) 擇優(yōu)型方案設計問題：這類問題一般方案已經給出，要求綜合運用數學知識比較確定哪 種方案合理此類問題要注意兩點：一是要符合問題描述的要求，二是要具有代表性.(3) 操作型問題：大體可分為三類，即圖案設計類、圖形拼接類、圖形分割類等

3、對于圖案 設計類，一般運用中心對稱、軸對稱或旋轉等幾何知識去解決；對于圖形拼接類，關鍵是 抓住需要拼接的圖形與所給圖形之間的內在關系，然后逐一組合；對于圖形分割類，一般 遵循由特殊到一般、由簡單到復雜的動手操作過程.1 (2015 河北)如圖是甲、乙兩張不同的矩形紙片，將它們分別沿著虛線剪開后，各自要 拼一個與原來面積相等的正方形，則()A.甲、乙都可以 B .甲、乙都不可以C.甲不可以、乙可以 D .甲可以、乙不可以1 1 2 2 1、1Z1. 1禮1/才Ff1V才%1 X1IXIZ17甲乙2. (2014 江西)如圖，賢賢同學用手工紙制作一個臺燈燈罩，做好后發(fā)現上口太小了，于 是他把紙燈罩

4、對齊壓扁，剪去上面一截后，正好合適以下裁剪示意圖中，正確的是( )3. 一位園藝設計師計劃在一塊形狀為直角三角形且有一個內角為60°的綠化帶上種植四種不同的花卉，要求種植的四種花卉分別組成面積相等，形狀完全相同的幾何圖形圖案.某 同學為此提供了如圖所示的五種設計方案.其中可以滿足園藝設計師要求的有A. 2種 B . 3種 C . 4種 D . 5種4小明家春天粉刷房間，雇用了5個工人，每人每天做 8小時，做了 10天完成.用了某種涂料150升，費用為4800元；粉刷的面積是150 m2.最后結算工錢時，有以下幾種方案： 按工算，每個工 60元（1個工人干1天是一個工）：按涂料費用算，

5、涂料費用的60%乍為工錢；按粉刷面積算，每平方米付工錢24元；按每人每小時付工錢8元計算.你認為付錢最劃算的方案是 （）A . B . C . D .5. （2014 黃岡）如圖，在一張長為 8 cm，寬為6 cm的矩形紙片上，現要剪下一個腰長為5 cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余的兩個頂點 在矩形的邊上）則剪下的等腰三角形的面積為 cm2.利用方程（組）、不等式、函數進行方案設計【例1】（2015 瀘州）某小區(qū)為了綠化環(huán)境，計劃分兩次購進A, B兩種花草，第一次分別購進A, B兩種花草30棵和15棵，共花費675元；第二次分別購進 A、B兩種花草12棵

6、和5棵兩次共花費940元（兩次購進的A, B兩種花草價格均分別相同）.（1）A , B兩種花草每棵的價格分別是多少元？ 若購買A, B兩種花草共31棵，且B種花草的數量少于 A種花草的數量的2倍，請你給 出一種費用最省的方案，并求出該方案所需費用.對應訓練1. （2015 臨沂）新農村社區(qū)改造中，有一部分樓盤要對外銷售，某樓盤共23層，銷售價格如下：第八層樓房售價為4000元/米2,從第八層起每上升一層，每平方米的售價提高50元；反之，樓層每下降一層，每平方米的售價降低30元，已知該樓盤每套樓房面積均為120米2.若購買者一次性付清所有房款，開發(fā)商有兩種優(yōu)惠方案：方案一：降價8%另外每套樓房贈

7、送 a元裝修基金；方案二：降價10%沒有其他贈送.（1）請寫出售價y（元/米2）與樓層x（1 <x w 23, x取整數）之間的函數關系式；（2）老王要購買第十六層的一套樓房，若他一次性付清購房款，請幫他計算哪種優(yōu)惠方案更 加合算圖形類方案設計【例2】（2015 義烏市）某校規(guī)劃在一塊長 AD為18 m寬AB為13 m的長方形場地 ABCD 上，設計分別與 AD, AB平行的橫向通道和縱向通道，其余部分鋪上草皮.（1）如圖，若設計三條通道，一條橫向，兩條縱向，且它們的寬度相等，其余六塊草坪相同，其中一塊草坪兩邊之比 AM： ANk 8 : 9,問通道的寬是多少？ 為了建造花壇，要修改（1

8、）中的方案，如圖，將三條通道改為兩條通道，縱向的寬度 改為橫向寬度的2倍，其余四塊草坪相同，且每一塊草坪均有一邊長為8 m,這樣能在這些草坪上建造花壇.如圖，在草坪RPCQ中，已知 RELPQ于點E, CF丄PQ于點F,求花壇RECF的面積.圖形的分割與拼接【例3】（2014 廣安）在校園文化建設活動中，需要裁剪一些菱形來美化教室.現有平 行四邊形ABCD的鄰邊長分別為 1, a（a > 1）的紙片，先剪去一個菱形，余下一個四邊形, 在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又余下一個四邊形，依此類推，請畫出剪三次 后余下的四邊形是菱形的裁剪線的各種示意圖，并求出a的值.3. （2015 泉州

9、）如圖是某個多面體的表面展開圖. 請你寫出這個多面體的名稱，并指出圖中哪三個字母表示多面體的同一點； 如果沿BC, GH將展開圖剪成三塊，恰好拼成一個矩形，那么 BMC應滿足什么條件？（不 必說理）M圖形的平移、旋轉與翻折【例4】（2014 江西）如圖，邊長為 4的正方形ABCD中，點E在AB邊上（不與點A, B重合），點F在BC邊上（不與點B, C重合）.第一次操作：將線段 EF繞點F順時針旋轉，當點E落在正方形上時，記為點第二次操作：將線段 FG繞點G順時針旋轉，當點F落在正方形上時，記為點依此操作下去BFC圖BF C圏g FC備用圖(1)圖中的三角形EFD是經過兩次操作后得到的，其形狀為

10、等邊三角形，求此時線段EF的長；（2）若經過三次操作可得到四邊形EFGH(3)請判斷四邊形EFGH的形狀為,此時AE與BF的數量關亥曰' 系是;(4)以中的結論為前提，設AE的長為x,四邊形EFGH的面積為y,求y與x的函數關系式及面積y的取值范圍.(5)對應訓練4. (2015南昌)(1)如圖，紙片？ABCD中，A» 5, S?ABCD= 15,過點 A作AE丄BC,垂足 為E,沿AE剪下 ABE將它平移至 DCE的位置，拼成四邊形 AEE D,則四邊形AEE D的形狀為A 平行四邊形 B 菱形 C 矩形 D 正方形如圖，在(1)中的四邊形紙片AEE'D中，在EE&

11、#39;上取一點F,使EF= 4,剪下AEF,將它平移至 DE F '的位置，拼成四邊形 AFF' D. 求證：四邊形 AFF D是菱形. 求四邊形AFF' D的兩條對角線的長.立體圖形與平面圖形之間的相互轉化【例5】(2015 山西)綜合與實踐：制作無蓋盒子任務一：如圖，有一塊矩形紙板，長是寬的2倍，要將其四角各剪去一個正方形，折成高為4 cm，容積為616 cm3的無蓋長方體盒子(紙板厚度忽略不計).(1) 請在圖的矩形紙板中畫出示意圖，用實線表示剪切線，虛線表示折痕.(2) 請求出這塊矩形紙板的長和寬.任務二：圖是一個高為4 cm的無蓋的五棱柱盒子(直棱柱)，圖是

12、其底面，在五邊形ABCDE中 BC= 12 cm , AB= DC= 6 cm，/ ABC=Z BCD= 120。，/ EAB=Z EDC= 90 ° .(1) 試判斷圖中AE與DE的數量關系，并加以證明.(2) 圖中的五棱柱盒子可按圖所示的示意圖，將矩形紙板剪切折合而成，那么這個矩形紙板的長和寬至少各為多少 cm?請直接寫出結果(圖中實線表示剪切線， 虛線表示折痕.紙 板厚度及剪切接縫處損耗忽略不計).圖對應訓練5. （2015資陽）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12 cm,底面周長為10 cm，在容器內壁離容器底部3 cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器

13、外壁，且離容器上沿3 cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（）A. 13 cm B . 2 61 cm C. 61cm D . 2 34 cm方案設計與動手操作型問題一、選擇題（每小題6分，共30分）1. （2015荊州）如圖所示，將正方形紙片三次對折后，沿圖中AB線剪掉一個等腰直角三角形，展開鋪平得到的圖形是 （）,A),B),C),D)2. (2014臺灣)圖為歌神KTV的兩種計費方案說明.若曉莉和朋友們打算在此KTV的一間包廂里連續(xù)歡唱 6 小時，經服務生試算后，告知他們選擇包廂計費方案會比人數計費 方案便宜，則他們至少有多少人在同一間包廂里歡唱？ ()A . 6 B . 7

14、C . 8 D . 9ABC現由水廠A向B，C兩廠供水，要 ( 圖中實線為鋪設管道路線 ) ，其中最合3 如圖，水廠A和工廠B, C正好構成等邊 在 A， B， C 間鋪設輸水管道，有如下四種設計方案 理的方案是 ()4. （2013黃石）把一副三角板如圖甲放置，其中/ ACB=Z DEC= 90。，/ A= 45°,/ » 30°,斜邊AB= 6, DC= 7,把三角板 DCE繞點C順時針旋轉15°得到 DCE（如圖乙）， 此時AB與CD交于點O,則線段AD的長為（）A. 3 B. 5 C. 4 D.5. （2015莆田）數學興趣小組開展以下折紙活動：

15、（1）對折矩形ABCD使AD和 BC重合，得到折痕 EF,把紙片展平；（2）再一次折疊紙片，使點 A落在EF上，并使折痕經過點 B,得到折痕BM同時得到線 段 BN. 觀 察 ， 探 究 可 以 得 到 / ABM 的 度 數 是 （）A. 25°B. 30°C. 36°D. 45°二、填空題（每小題6分，共18分）6某班級為籌備運動會，準備用365元購買兩種運動服，其中甲種運動服20元/套，乙種運動服35元/套，在錢都用盡的條件下，有種購買方案.7 .動手折一折：將一張正方形紙片按下列圖示對折3次得到圖，在 AC邊上取點D,使AD= AB沿虛線BD剪開

16、，展開 ABD所在部分得到一個多邊形，則這個多邊形的一個內 角的度數是度.8 . （2015 杭州）如圖，在四邊形紙片 ABCD中，AB= BC, AD= CD / A=Z C= 90°,/ B= 150° 將紙片先沿直線 BD對折，再將對折后的圖形沿從一個頂點出發(fā)的直線裁剪， 剪開后的圖形打開鋪平.若鋪平后的圖形中有一個是面積為2的平行四邊形，則CD= _三、解答題 （ 共 52 分 ）9. （10分）（2014溫州）如圖，在所給方格紙中，每個小正方形邊長都是1，標號為的三個三角形均為格點三角形 （頂點在方格頂點處 ） ,請按要求將圖甲,圖乙中的指定 圖形分割成三個三角形

17、，使它們與標號為的三個三角形分別對應全等.（1）圖甲中的格點正方形 ABCD；（2）圖乙中的格點平行四邊形ABCD.10. （10分）（2014珠海）為慶祝商都正式營業(yè)，商都推出了兩種購物方案.方案一：非會員購物所有商品價格可獲九五折優(yōu)惠,方案二：如交納 300 元會費成為該商都會員,則所有商品價格可獲九折優(yōu)惠.（1）以x（元）表示商品價格，y（元）表示支出金額，分別寫出兩種購物方案中y關于x的函數解析式；（2）若某人計劃在商都購買價格為5880元的電視機一臺，請分析選擇哪種方案更省錢？11. （10分）（2015龍巖）下列網格中的六邊形 ABCDE是由邊長為6的正方形左上角剪去邊 長為2的正

18、方形所得，該六邊形按一定的方法可剪拼成一個正方形.（1）根據剪拼前后圖形的面積關系求出拼成的正方形的邊長；（2）如圖甲，把六邊形 ABCDEI沿 EH BG剪成三部分，請在圖甲中畫出將與 拼成的正方形，然后標出變動后的位置，并指出屬于旋轉、平移和軸對稱中的 哪一種變換；（3）在圖乙中畫出一種與圖甲不同位置的兩條裁剪線，并在圖乙中畫出將此六邊形剪拼成的正方形.12. （10分）（2015甘孜州）一水果經銷商購進了 A, B兩種水果各10箱，分配給他的 甲、乙兩個零售店（分別簡稱甲店、乙店）銷售，預計每箱水果的盈利情況如下表：A種水果/箱B種水果/箱甲店11元17元乙店9元13元（1）如果甲、乙兩店各配貨 10箱，其中A種水果兩店各5箱，B種水果兩店各5箱，請 你計算出經銷商能盈利多少元？（2） 在甲、乙兩店各配貨 10箱（按整箱配送 ） ，且保證乙店盈利不小于 100 元的條件下， 請你設計出使水果經銷商盈利最大的配貨方案，并求出最大盈利為多少？13（12 分） 小明聽說“武黃城際列車”已經開通，便設計了如下問題：如圖，以