八年級數學競賽輔導講義

1、全國初中數學聯賽 一 全國初中數學聯賽簡介中國數學會所舉辦的全國高中數學聯賽、全國初中數學聯賽，以及小學數學奧林匹克，都是群眾性的數學課外活動，是大眾化、普及型的數學競賽，目前，每年有12萬名學生參加。競賽簡介獎項名稱：全國初中數學聯合競賽創(chuàng)辦時間：1984年主辦單位：由各省、市、自治區(qū)聯合舉辦，輪流做莊競賽介紹：同時，各地都提出了舉行“全國初中數學聯賽”的要求。1984年，中國數學會普及工作委員會商定，委托天津市數學會舉辦一次初中數學邀請賽，有14個省、市、自治區(qū)參加，當時條件較簡陋，準備時間也較倉促，天津數學會在南開大學數學系和天津師范大學數學系的大力支持下，極其認真負責地把這次活動搞得很

2、成功，為后來舉辦“全國初中數學聯賽”摸索了很多經驗。 當年11月，在寧波召開的中國數學會第三次普及工作會議時，一致通過了舉辦“全國初中數學聯賽”的決定，并詳細商定了一些具體辦法，規(guī)定每年四月的第一個星期天舉行“全國初中數學聯賽”。會上湖北省數學會、山西省數學會、黑龍江省數學會分別主動承擔了1985年、1986年、1987年的“全國初中數學聯賽”承辦單位，從此，“全國初中數學聯賽”也形成了制度?！叭珖踔袛祵W聯賽”原來不分一試、二試。為了更好地貫徹“在普及的基礎上不斷提高”的方針，1989年7月，在濟南召開的“數學競賽命題研討會”上，各地的代表商定，初中聯賽也分兩試進行，并對一、二試各種題型的數

3、目，以及評分標準作出明確的規(guī)定，使初中聯賽的試卷走向規(guī)范化。中國數學會所舉辦的全國高中數學聯賽、全國初中數學聯賽，以及小學數學奧林匹克，都是群眾性的數學課外活動，是大眾化、普及型的數學競賽，目前，每年有12萬名學生參加。為了讓更多學生都能發(fā)揮他們的聰明才智，培養(yǎng)興趣，充分發(fā)掘他們學習上的潛力，調動學習數學的積極性，我們力求讓試題能夠適合全國多數參賽學生。從1991年起，我們力求降低試題的難度。題目不難，又要有點意思，還要有競賽氣氛，要做到是不容易的。所謂“聯賽”，就是各省、市、自治區(qū)聯合舉辦，輪流做莊，由各省、市、自治區(qū)數學競賽組織機構具體承辦，大家提供試題。為了更好地規(guī)范初中數學競賽的內容、

4、難度，中國數學會制定了“初中數學競賽大綱”，以“大綱”為準， 命題堅持“大眾化、普及型、不超綱、不超前”的原則。二 競賽的意義"全國初中數學聯賽"是初中生初中階段最為重要的競賽之一，方式較為規(guī)范，也是許多高中入學考察的對象之一，因此，許多初中生為此而加緊培優(yōu)，從某種意義上講，這種為大眾認可的競賽提升了中國初中生的整體數學成績。在北京，全國數學聯賽的獲獎成績常常被作為人大附中、四中等重點高中提前錄取的一個重要參考。三 競賽大綱數學競賽對于開發(fā)學生智力，開拓視野，促進教學改革，提高教學水平，發(fā)現和培養(yǎng)數學人才都有著積極的作用。目前我國中學生數學競賽日趨規(guī)范化和正規(guī)化，為了使全國

5、數學競賽活動健康、持久地開展，應廣大中學師生和各級數學奧林匹克教練員的要求，特制定初中數學競賽大綱（修訂稿）以適應當前形勢的需要。本大綱是在國家教委制定的九年義務教育制“初中數學教學大綱”精神的基礎上制定的。教學大綱在教學目的一欄中指出：“要培養(yǎng)學生對數學的興趣，激勵學生為實現四個現代化學好數學的積極性?！本唧w作法是：“對學有余力的學生，要通過課外活動或開設選修課等多種方式，充分發(fā)展他們的數學才能”，“要重視能力的培養(yǎng)，著重培養(yǎng)學生的運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，要使學生逐步學會分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等重要的思想方法。同時，要重視培養(yǎng)學生的獨立思考和自學的能力”。四

6、參賽對象全國在校初中生，采取自愿與學校推薦相結合的辦法報名參加。五 聯賽題目結構一試 70 分選擇6題，填空4題 （每題7分）代數 幾何 數論 組合（一般選填壓軸）歸納知識點：實數化簡；三角形的五心等方面是考察重點。但是其涵蓋知識體系相對單一，有時候，選擇題、填空題還是要用技巧性搞的；舉特殊值；（08年的二次根式一題）二試 70分第一大題 一元二次方程和二次函數的互相轉化、根的分布、整數根問題（沖刺獎項的必對大題）第二大題 幾何綜合題（沖刺一等獎的必對大題）考察點05 、06三線共點、梅涅勞斯、賽瓦、09幾何計算 （四點共圓）、07，10 相似三角形.幾何方面應該多下功夫，爭取能夠拿下第三大題

7、 二試最后一題25分 以數論為基礎和其他結合，思路清楚的話簡單5分能拿下來六 競賽題型 全國初中數學聯賽每年4月舉行，分為一試和二試。成績公布的時間各省市不盡相同，北京市公布時間大約在五月底至六月。 第一試著重基礎知識和基本技能，題型為選擇題6題、填空題4題，共70分。第二試著重分析問題和解決問題的能力，題型為三道解答題，內容分為代數題、幾何題、幾何代數綜合題或雜題，共70分，兩試合計共140分。教學大綱中所列出的內容，是教學的要求，也是競賽的要求。除教學大綱所列內容外，本大綱補充列出以下內容。這些課外講授的內容必須充分考慮學生的實際情況，分階段、分層次讓學生逐步地去掌握，并且要貫徹“少而精”

8、的原則，處理好普及與提高的關系，這樣才能加強基礎，不斷提高。第一講 實數的概念及性質一.知識鏈接:1、實數的分類 正有理數 有理數 零 有限小數和無限循環(huán)小數( , 這里、是互質的整數，且)實數 負有理數 正無理數 無理數 無限不循環(huán)小數 負無理數2、無理數在理解無理數時，要抓住“無限不循環(huán)”這一特點，歸納起來有四類：（1）開方開不盡的數，如等；（2）有特定意義的數，如圓周率，或化簡后含有的數，如+8等；（3）有特定結構的數，如0.1010010001等；（4）某些三角函數，如sin60o等3有理數和無理數對加、減、乘、除的封閉的特性： 有理數對加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個有理數的和、差

9、、積、商還是有理數； 無理數對加、減、乘、除不具有封閉性，即兩個無理數的和、差、積、商不一定是無理數二經典例題【例1】解答以下各選擇題:(1). (99年武漢市選拔賽試題) 設是一個無理數，且a、b滿足abab+1=0，則b是一個( ) A小于0的有理數 B大于0的有理數 C小于0的無理數 D大于0的無理數（2）.（93年河北初中數學聯賽）若都是有理數，則的值是（ ）.A.二者均為有理數 B.二者均 為無理數C. 一個為有理數，另一個為無理數 D.以上三種情況均有可能（3）.(95年湖北初中數學競賽)今有四個命題：若兩實數的和與積都是奇數，則這兩數都是奇數；若兩實數的和與積都是偶數，則這兩數都

10、是偶數；若兩實數的和與積都是有理數，這兩數都是有理數；若兩實數的和與積都是無理數，這兩數都是無理數.其中正確命題的個數為（ ）.A. 0 B. 1 C. 2 D.3.( 9 9年全國初中數學聯賽) 有下列三個命題：若是不相等的無理數，則是無理數；若是不相等的無理數，則是無理數；若是不相等的無理數，則是無理數。其中正確命題的個數是( ).（A）0； （B）1； （C）2； （D）3?！纠?】(全國初中數學聯賽試題) 若a、b滿足=7，則S的取值范圍是 【例3】已知a 、b是有理數，且，求a、b的值【例4】 解答以下兩題：(1) (南昌市競賽題)已知a、b為有理數，x，y分別表示的整數部分和小數部

11、分，且滿足axy+by21，求a+b的值(2) (江蘇省競賽題)設x為一實數，x表示不大于x的最大整數，求滿足77.66x=77.66x+1的整數x的值注： 設x為一實數，則x表示不大于x的最大整數，x又叫做實數x的整數部分，有以下基本性質：(1)x1<xx ； (2)若y< x，則yx； (3)若x為實數，a為整數，則x+a= x+ a【例5】( 第十三屆“希望杯”試題) 已知在等式中，a、b、c、d都是有理數，x是無理數，解答：(1)當a、b、c、d滿足什么條件時，s是有理數；(2) 當a、b、c、d滿足什么條件時，s是無理數三經典練習1已知x、y是實數， ，若，則a= 2.

12、(2002年全國初中聯賽題) 一個數的平方根是和，那么這個數是 3方程的解是 4(濟南市中考題) 請你觀察思考下列計算過程：112121，；同樣1112=12321，；由此猜想 5(江西省中考題)如圖，數軸上表示1、的對應點分別為A、B，點B關于點A的對稱點為C，則點C所表示的數是( )A B C D6( “希望杯”邀請賽試題) 已知x是實數， 則的值是( ) A B C D無法確定的7( “希望杯”邀請賽試題) 代數式的最小值是( ) A0 B C1 D不存在的8(山西省中考題) 若實數a、b滿足，求2b+a1的值9(煙臺市中考題) 細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答問題，；，；，； (1

13、)請用含有n(n是正整數)的等式表示上述變化規(guī)律； (2)推算出A10的長； (3)求出Sl2+S22+S32+S210的值 10已知實數 a、b、c滿足，則a(b+c)= 11( “希望杯邀請賽試題) 設x、y都是有理數，且滿足方程，那么,xy的值是 12(黃岡市競賽題) 已知正數a、b有下列命題： 若a=1，b1，則； 若，則； 若a2，b=3，則； 若a=1，b=5，則 根據以上幾個命題所提供的信息，請猜想，若a=6，b=7，則 13. (重慶市競賽題) 已知：，那么代數式的值為( )A B C D14(“五羊杯”邀請賽試題) 設x表示最接近x的整數(xn+0.5，n為整數)，則+的值為

14、( ) A5151 B5150 C5050 D504915. (全國初中數學競賽題) 設a<b<0，則的值為( ) A B C D316.若a、b、c為兩兩不等的有理數，求證：為有理數17. (安徽省中考題) 某人用一架不等臂天平稱一鐵塊a的質量，當把鐵塊放在天平左盤中時，稱得它的質量為300克，當把鐵塊放在天平的右盤中時，稱得它的質量為900克，求這一鐵塊的實際質量 18(泰州市中考題) 閱讀下面材料，并解答下列問題： 在形如ab=N的式于中，我們已經研究過兩種情況： 已知a和b，求N，這是乘方運算， 已知b和N，求a，這是開方運算 現在我們研究第三種情況；已知a和N，求b，我們

15、把這種運算叫做對數運算 定義：如果ab=N (a>0，a1，N>0)，則b叫做以a為底的N的對數，記作b=logaN 例如：因為23=8，所以log28=3；因為2-3=，所以log2=3 (1)根據定義計算: log3 81= ； log33= ； log3l= ； 如果logx 16=4，那么x= (2)設ax=M，ayN，則logaM=x；logaNy(a>0，a1，N>0，M，N均為正數)用logAM，logAN的代數式分別表示logaMN及l(fā)oga，并說明理由第二講 二次根式的運算一.知識鏈接1.二次根式的定義和運算法則式子 (0)叫二次根式，二次根式的運算是

16、以下列運算法則為基礎 (1) (0)； (2) ()； (3) ()； (4) ,(0)2.二次根式有如下重要性質： (1)， (2) (0)， (3) ， (4) (5) 同類二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它們貫穿于二次根式運算的始終，因為二次根式的加減實質就是合并同類二次根式，二次根式除法、混合運算常用到有理化概念二次根式的運算是在有理式(整式、分式)運算的基礎上發(fā)展起來的，常常用到有理式運算的方法與技巧，如換元、字母化、拆項相消、分解相約等二.經典例題【例1】(重慶競賽題) 已知，則= 【例2】(武漢選拔賽試題) 化簡，所得的結果為（ ） A B C D【例3】計算： （1）；

17、（2）；（3）； (4) 【例4】解答以下各題:(1) (北京競賽題) 化簡； (2) (“希望杯”試題) 計算 (3) (湖北“英才杯”競賽題) 計算 【例5】(山東競賽題) 已知，求的值三.經典練習1(四川競賽題) 如果，那么= 2(成都中考題) 已知，那么的值為 3(天津選拔賽試題) 計算= 4(淄博中考題) 若 ab0，則等式成立的條件是 5(徐州中考題) 如果式子 化簡的結果為，則x的取值范圍是( ) Ax1 Bx2 C1x2 Dx >0 6如果式子 根號外的因式移入根號內，化簡的結果為（ ） A B C D7已知，則的值為( ) A B C D8已知，那么的值等于（ ）A B

18、 C D3 9計算以下各題： (1)； （2）(北京數學競賽題) ；（3） ；（4）(“希望杯”試題) 10(1)已知與的小數部分分別是a和b，求ab3a+4b+8的值；(2)設，n為自然數，如果成立，求n11(T1杯全國初中聯賽題) 已知，那么= 12. (北京競賽題) 若有理數x、y、z滿足，則= 13.設，其中a為正整數，b在0，1之間，則= 14. (北京競賽題) 正數m、n滿足，則= 15. (全國初中聯賽題) 化簡等于( ) A54 B4一1 C 5 D1 16(武漢市選拔賽試題) 若，則等于( ) A B C1 D117計算以下各題：（1）（“希望杯”競賽題） ； （2）（山東競

19、賽題） ； （3）（四川賽題） ； (4)； (5) (新加坡中學生數學競賽題) 18（“祖沖之杯”邀請賽試題）(1)求證 ； (2) 計算 19(上海競賽題 )(1)定義，求的值；(2)設x、y都是正整數，且使，求y的最大值第三講 勾股定理及其應用一.知識鏈接1、勾股定理: 直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即2、勾股定理的逆定理: 如果三角形的三邊長a，b，c有關系，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股數：滿足不定方程的三個正整數a，b，c，稱為勾股數。如果勾股數a、b、c滿足（a, b, c）=1,則a、b、c叫做基本勾股數組。性質1.如果a、b、c是一組勾股數，則ka、

20、kb、kc(k是正整數)也是一組勾股數。性質2.若a、b、c是一個基本勾股數組，則a、b、c不能同是奇數，也不能同是偶數，c不能為偶數。性質3.不定方程的基本勾股數組解a、b、c且a是偶數的公式為其中 m和n中一奇一偶。（羅士琳法則）性質4.如果k是大于1的奇數，那么k， ，是一組勾股數性質5. 如果k是大于2的偶數，那么k， ，是一組勾股數常見的勾股數有：（6,8,10）（3,4,5）（5, ，12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）規(guī)律：（1）短直角邊為奇數，另一條直角邊與斜邊是兩個連續(xù)的自然數，兩邊之和是短直角邊的平方。即當a為奇數且ab時，如果b+c=a2那

21、么a,b,c就是一組勾股數.如 （ 3, 4, 5）,（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）（2）大于2的任意偶數，2n(n1)都可構成一組勾股數分別是：2n,n2-1,n2+1 。如：（6,8,10）（8,15,17）等。4、常見題型應用：（1）已知任意兩條邊的長度，求第三邊/斜邊上的高線/周長/面積（2）已知任意一條的邊長以及另外兩條邊長之間的關系，求各邊的長度/斜邊上的高線/周長/面積（3）判定三角形形狀： a2 +b2c2銳角，a2 +b2=c2直角，a2 +b2c2鈍角直角三角形判定方法：.找最長邊； .比較長邊的平方與另兩條較短邊的平方和之間的大小關系；.確定形狀

22、 （4）構建直角三角形解題二.經典例題【例1】(山東省中考題) 2002年8月在北京召開的國際數學家大會會標取材于我國古代數學家趙爽的勾股圓方圖，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示)如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b，那么(a+b)2的值為( ) A13 B 19 C25 D169 例1圖 例2圖 例3圖【例2】(重慶市中考題) 如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊向內作等邊ABD，連結DC，以DC為邊作等邊DCE，B、E在CD的同側，若AB=，則BE= 【例3】(“祖沖之杯”邀請賽試題) 如圖，P

23、為ABC邊BC上的一點，且PC2PB， 已知ABC45°，APC60°，則ACB的度數= 【例4】 如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，設ACb，BCa，AB=c，CD=h求證：（1） ；（2） ；（3） 以、為邊的三角形，是直角三角形【例5】.（1） （90年全國初中聯賽試題）中，邊有100個不同的點，記· ( 1，2，100) 則 = 第(1)題圖 第(2)題圖 第(3)題圖（2）（97年全國初中聯賽試題）如圖：已知A=B，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，則APPB等于

24、（ ）A12 B13 C14 D15（3）(第七屆希望杯初二試題).如圖,P是等邊三角形ABC中的一個點,PA=2,PB= ,PC=4,則三角形ABC的邊長為 三.經典練習1(山西省中考題). 如圖，AD是ABC的中線，ADC=45°，把ACD沿AD對折，點C落在點C的位置，則BC與BC之間的數量關系是 第1題圖 第2題圖 第3題圖2如上圖，ABC是直角三角形，BC是斜邊，將ABP繞點A逆時針旋轉后，能與ACP'重合，若AP3，則PP的長等于 3(武漢市選拔賽試題)如上圖，已知AB=13，BC=14，AC=15，ADBC于D，則AD= 4.如下圖在四邊形ABCD中，A=60&

25、#176;，B=D90°，BC=2，CD=3，則AB=( ) A4 B5 C2 D第4題圖 第5題圖5(北京市競賽題如上圖)在由單位正方形組成的網格圖中標出了AB，CD，EF，GH四條線段，其中能構成一個直角三角形三邊的線段是( ) ACD，EF，GH BAB，CD，EF CAB，CD，GH DAB，EF，GH6(湖北省預賽試題)如下圖，在ABC中，AB=5，AC=13，邊BC上的中線AD=6，則BC的長為 第6題圖 第7題圖 第8題圖7(天津市競賽題)如上圖，用3個邊長為l的正方形組成一個對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為( )A B C D 8如上圖，RtABC中，ACB

26、90°，CDAB于D，AF平分CAB交CD于E，交CB于F，且EGAB交CB于G，則CF與GB的大小關系是( ) A CF>GB B CFGB CGF<GB D無法確定9(“祖沖之杯”邀請賽試題)在銳角ABC中，已知某兩邊a=1，b=3，那么第三邊的變化范圍是( )A2<c<4 B2< c3 C 2< c D.< c 10(武漢市選拔賽試題)ABC三邊BC、CA、AB的長分別為a、b、c，這三邊的高依次為、，若，則這個三角形為( )A等邊三角形 B等腰非直角三角形 C直角非等腰三角形 D等腰直角三角形11如圖，在RtABC中，A=90

27、6;，D為斜邊BC中點，DEDF，求證：12如圖，已知ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DEDF，若BE=12，CF=5，求DEF的面積13如圖，在ABC中，AB=AC，(1)若P是BC邊上的中點，連結AP，求證：BP×CP=AB2一AP2；(2)若P是BC邊上任意一點，上面的結論還成立嗎? 若成立，請證明，若不成立，請說明理由；(3)若P是BC邊延長線上一點，線段AB、AP、BP、CP之間有什么樣的關系?請證明你的結論14(河南省競賽題)如圖，ACB=90°，AD是CAB的平分線，BC=4，CD=，求AC的長15(煙臺

28、市中考題) (1)四年一度的國際數學家大會于2002年8月20日在北京召開大會會標如圖甲它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形若大正方形的面積為13，每個直角三角形兩直角邊的和是5，求中間小正方形的面積(2)現有一張長為6.5cm寬為2的紙片，如圖乙，請你將它分割成6塊，再拼合成一個正方形(要求：先在圖乙中畫出分割線，再畫出拼成的正方形并標明相應數據)16(北京市競賽題)如圖，在四邊形ABCD中，ABC=30°，ADC=60°，AD=CD，求證：BD2=AB2+BC2第四講 位置與坐標一.知識鏈接1.平面直角坐標系及各象限內點的坐標符號:在平面內，兩條

29、互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐標系y軸（縱軸）x軸（橫軸）原點Oxy12345-4-3-2-131425-2-4-1-3第一象限第二象限第三象限第四象限注意:坐標軸上的點不屬于任何象限。(,)(,)(,)(,)2. 點關于x軸、y軸或原點等對稱點坐標的特征：.關于x軸的對稱點為； .關于y軸的對稱點為；.關于原點的對稱點為； 關于的對稱點為；.關于的對稱點為； .關于點的對稱點為。3.點到坐標軸、原點和直線的距離：（1）到x軸的距離等于； （2）到y(tǒng)軸的距離等于； （3）到原點的距離等于； （4）到直線的距離是.4.兩點間的距離公式: 已知兩點，則 .特別地，.若ABX軸,則; .若

30、ABY軸,則.5. 分點坐標公式：已知，若點分線段為,則點的坐標為.（定比分點坐標公式）特別地，當點為線段的中點時，P點坐標為（中點坐標公式）.6.三角形重心坐標公式: ABC三頂點坐標為,則ABC的重心坐標為:.7.坐標變化與圖形變化的規(guī)律：坐標（ x ， y ）的變化 圖形的變化 或 被橫向或縱向拉長（壓縮）為原來的 a倍， 放大（縮?。樵瓉淼?a倍 或 關于 y 軸或 x 軸對稱 ， 關于原點成中心對稱或沿 x 軸或 y 軸平移 a個單位， 沿 x 軸平移 a個單位，再沿 y 軸平移 a個單位二.經典例題例1. 解答以下各題：第1題圖（2013年綿陽市中考）如圖，把“QQ”笑臉放在直角

31、坐標系中，已知左眼A的坐標是（-2，3），嘴唇C點的坐標為（-1，1），則將此“QQ”笑臉向右平移3個單位后，右眼B的坐標是 。 第2題圖 第2題圖如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點O出發(fā)，按向上，向右，向下，向右的方向不斷地移動，每移動一個單位，得到點A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），那么點A4n+1（n為自然數）的坐標為 （用n表示）. 如圖，動點P從（0，3）出發(fā)，沿所示方向運動，每當碰到矩形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當點P第2013次碰到矩形的邊時，點P的坐標為（）A（1，4）B（5，0）C（6，4）D（8，3） 第（3）題圖 第（4）題圖.

32、在直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數的點叫做整點且規(guī)定，正方形的內部不包含邊界上的點觀察如圖所示的中心在原點、一邊平行于x軸的正方形：邊長為1的正方形內部有1個整點，邊長為2的正方形內部有1個整點，邊長為3的正方形內部有9個整點，則邊長為8的正方形內部的整點的個數為（ ）    A64  B49  C36 D25 例2. 解答下列競賽試題：.(第二十三屆“希望杯”) 如下圖，在平面直角坐標系內，A、B、C三點的坐標分別是（0，0），（4，0），（3，-2），以A、B、C三點為頂點畫平行四邊形，則第四個頂點不可能在（ ）（A）第一象限 （B）

33、第二象限（C）第三象限 （D）第四象限FEMGDACB 第題圖.（2013年全國初中數學聯賽初二組) 如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，M點為CD邊上的中點，若M點是A點關于線段EF的對稱點，則等于（ ）A、 B、 C、2 D、(第二十四屆“希望杯”)點和點都在直線上，則和的大小關系是（ ）（A） （B） （C） （D）不能確定的.(四川省競賽題) 若關于的方程組的解為坐標的點在第二象限，則符合條件的實數m的范圍是（ ）.A. B. C. D. (澳洲數學競賽題) 設平面直角坐標系的軸以1cm作為長度單位，PQR的頂點坐標為P(0，3),Q(4,0),R(k,5),其中0<k<4

34、,若該三角形的面積為8，則k的值是（ ）A. 1 B. C. 2 D. （6）（全國初中數學聯賽題) 在直角坐標系中，x軸上的動點M(x,0)到定點P(5，5),Q(2，1)的距離分別為MP和MQ,那么當MP+MQ取最小值時，點M的橫坐標為 例3. (2009年四川省初中數學聯賽）.(如圖，直線是一次函數的圖象，點的坐標為，在直線上找點，使得為等腰三角形，點坐標。例4 . （2013年全國初中數學聯賽初二組) 如圖，已知直角梯形OABC的A點在x軸上，C點在y軸上，交AC于D點，且，求D點的坐標。yQxOPACBD三.經典練習1. 在平面直角坐標系中，點P(2，1)所在的象限是（ ）A第一象限

35、 B第二象限 C第三象限 D第四象限2. 一只跳蚤在第一象限及x軸、y軸上跳動，在第一秒鐘，它從原點跳動到(0，1)，然后接著按圖中箭頭所示方向跳動即(0，0)(0，1) (1，1) （1，0），且每秒跳動一個單位，那么第35秒時跳蚤所在位置的坐標是（ ） A(4，O)B.(5，0) C(0，5) D(5，5) 第2題圖  第3題圖ABCOyx3. 如圖，把RtABC放在直角坐標系內，其中CAB=90°，BC=5，點A、B的坐標分別為（1，0）、（4，0），將ABC沿x軸向右平移，當點C落在直線y=2x6上時，線段BC掃過的面積為（ ）A4 B8 C16 D4. 如圖，點的

36、坐標是，若點在軸上，且是等腰三角形，則點的坐標不可能是（ ）A（2，0） B（4，0） C（，0） D（3，0） 第5題圖1234-112xyA0第4題圖 5. 在直角坐標系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、A3B3C3C2、AnBnCnCn1按如圖所示的方式放置，其中點A1、A2、A3、An均在一次函數的圖像上，點C1、C2、C3、Cn均在x軸上。若點B1的坐標為（1，1），點B2的坐標為（3，2），則點An的坐標為 6. 對點（x，y ）的一次操作變換記為P1（x，y ），定義其變換法則如下：P1（x，y ）=（，）；規(guī)定（為大于1的整數）如P1（1，2 ）=（3，），P2（1

37、，2 ）= P1（P1（1，2 ）=P（3，）=（2，4），P3（1，2 ）= P1（P2（1，2 ）= P1（2，4）=（6，）則P2011（1，）=（ ）.A（0,21005 ） B（0,-21005 ） C（0,-21006） D（0,21006） 7.如圖，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B的坐標為（3，2）點D、E分別在AB、BC邊上，BD=BE=1沿直線DE將BDE翻折，點B落在點B處則點B的坐標為（A）（1，2） （B）（2，1） （C）（2，2） （D）（3，1） 第7題圖 8.如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在軸、軸正半軸上，B點坐標為（3，2），OB與AC

38、交于點P，D、E、F、G分別是線段OP、AP、BP、CP的中點，則四邊形DEFG的周長為 .9.如圖，在平面直角坐標系中，有若干個橫縱坐標分別為整數的點，其順序按圖中“”方向排列，如（1，0），（2，0）（2，1），（1，1）（1，2）（2，2），根據這個規(guī)律，第2012個點的橫坐標為 .10題 （9 題）10. 如圖10，在直角坐標系中，第一次將OAB變換成OA1B1，第二次將OA1B1變換成OA2B2，第三次將OA2B2變換成OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)觀察每次變換前后的三角形有

39、何變化，按照變換規(guī)律，第五次變換后得到的三角形A5的坐標是_，B5的坐標是_;的重心坐標是_；的面積是_。11. （1）對數軸上的點P進行如下操作：先把點P表示的數乘以，再把所得數對應的點向右平移1個單位，得到點P的對應點P. 點A，B在數軸上，對線段AB上的每個點進行上述操作后得到線段AB，其中點A，B的對應點分別為A，B如圖1，若點A表示的數是，則點A表示的數是 ；若點B表示的數是2，則點B表示的數是 ；已知線段AB上的點E經過上述操作后得到的對應點E與點E重合，則點E表示的數是 ；（2）如圖2，在平面直角坐標系xoy中，對正方形ABCD及其內部的每個點進行如下操作：把每個點的橫、縱坐標都

40、乘以同一種實數a，將得到的點先向右平移m個單位，再向上平移n個單位（m0,n0），得到正方形ABCD及其內部的點，其中點A,B的對應點分別為A,B。已知正方形ABCD內部的一個點F經過上述操作后得到的對應點F與點F重合，求點F的坐標。12.在平面直角坐標系中，我們把橫 、縱坐標都是整數的點叫做整點已知點，點是軸正半軸上的整點，記內部（不包括邊界）的整點個數為當時，點的橫坐標的所有可能值是 ；當點的橫坐標為（為正整數）時， （用含的代數式表示）（第12題圖） （第13題圖）13. 【閱讀】在平面直角坐標系中，以任意兩點P（x1，y1）、Q（x2，y2）為端點的線段中點坐標為（，）【運用】（1）如

41、圖，矩形ONEF的對角線交于點M，ON、OF分別在x軸和y軸上，O為坐標原點，點E的坐標為（4，3），則點M的坐標為_；（2）在直角坐標系中，有A（-1，2），B（3，1），C（1，4）三點，另有一點D與點A、B、C構成平行四邊形的頂點，求點D的坐標14.在平面直角坐標系中，點A關于y軸的對稱點為B，點A關于原點O的對稱點為點C（1）若點A的坐標為（1，2），請你在給出的坐標系中畫出ABC.設AB與y軸的交點為D，則=_;(2)若點A的坐標為（a,b）(ab0),則ABC的形狀為_.15.如圖.平面直角坐標系中，ABC為等邊三角形，其中點A、B、C的坐標分別為（3，1）、（3，3）、（3+，2

42、)，現以為對稱點作ABC的對稱圖形，得A1B1C1，再以軸為對稱軸作A1B1C1的對稱圖形，得A2B2C2（1）分別寫出A1B1C1 和A2B2C2的頂點坐標； （2）A1B1C1 和A2B2C2重心之間的距離。第五講 一次函數及其應用一.知識鏈接1.形如（）的函數, 稱y是x的一次函數. 特別地，當時，稱y是x的正比例函數.2.一次函數的圖象是一條直線, k反映了直線對于x軸正方向的傾斜程度，故稱k為直線的斜率。b是直線和y軸交點的縱坐標，稱為直線的截距。若（）是直線上的兩點，則。2. 直線與直線（）的位置關系相交，其交點坐標是方程組的解。特別地。平行，且之間的距離是：。重合.3.一次函數式

43、的確定：一次函數的確定需要兩個獨立的條件，根據條件的不同，選擇不同的形式確定函數表達式。直線方程說明名稱y=kx+bk斜率 b縱截距斜截式y(tǒng)-y0=k(x-x0)(x0，y0)直線上已知點，k斜率點斜式=(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩個已知點（）兩點式+=1a直線的橫截距 ； b直線的縱截距截距式4.幾類直線系方程：由一個條件確定一次函數，則只能確定一個直線系方程，如果再根據其他條件則可確定直線方程。和直線平行的直線為. (為待定參數)和直線垂直的直線為.(為待定參數)過兩條直線和直線（交點的直線為： (為待定參數)過定點的直線為. (為待定參數)5.一次函數圖象的變換（1）沿x軸向

44、左（或右）平移a個單位，則 (a>0)；（2）沿y軸向上（下）平移h個單位，則 (h>0).（3）關于x軸對稱的函數是：；（4）關于y軸對稱的函數是：；（5）關于原點對稱的函數是：。6.一次函數的保號性：由于一次函數y隨x增大而一直地增大（或減小），所以當時： ，或。二.經典例題例1.（2006年“信利杯”數學競賽題）已知直線經過(2，0)和(0，4)，把直線沿軸的反方向向左平移2個單位，得到直線，則直線的解析式為 .例2.（2006年全國初中聯賽決賽試題）設0k1，關于x的一次函數，當1x2時的最大值是（ ）（A）k （B） （C） （D）例3（2005年遼寧省初中數學競賽題）為

45、鼓勵用戶節(jié)約用電，某市電力公司制定新的民用電收費標準，每月用電量x(度)與應付電費y(元)的關系如圖所示(1)根據圖象，分別求出當0x50和x50時，y與x的函數關系式；(2)當每月用電量不超過50度時，收費標準是怎樣的?當每月用電量超過50度時，收費標準是怎樣的?例4（2013年四川省初中數學聯賽試題）已知：為三個非負實數，且滿足，設，則的最大值是（ ）（A） （B） （C） （D）例5（2013年四川省初中數學聯賽試題）已知一次函數的圖像與軸的正半軸交于E 點，與軸的正半軸交于F點，與一次函數的圖像相交于A (m,2)，且A點為EF的中點.（1）求一次函數的表達式；（2）若一次函數的圖像與

46、軸相交于P點，求三角形APE的面積。例6（2013河北省中考題）如圖15，A（0，1），M（3，2），N（4，4）.動點P從點A出發(fā)，沿軸以每秒1個單位長的速度向上移動，且過點P的直線l：yx+b也隨之移動，設移動時間為t秒.（1）當t3時，求l的解析式；（2）若點M，N位于l的異側，確定t的取值范圍； （3）直接寫出t為何值時，點M關于l的對稱點落在坐標軸上.例7.（2012年全國初中數學聯賽試題）.如圖，一次函數的圖象與兩坐標軸分別交于P、Q兩點，在線段PQ上有一點A,過點A分別作坐標軸的垂線，垂足分別為B、C.若矩形ABOC的面積為4，求點A的坐標。.若點A在線段PQ上移動，求矩形ABOC面積的最大值。例8. （2006年四川省數學聯賽試題）已知一次函數的圖象與x軸、y軸的交點是為坐標原點，設D的面積是Sk