微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)_史晉川_高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)習(xí)題集

1、習(xí)題集第一章1. 考慮理性偏好關(guān)系上。證明若意味著意味著 ，則二是一個(gè)代表上的效 用函數(shù)。2. 證明如果X是有限的，上是X上的理性偏好關(guān)系，則存在一個(gè)代表 二的效用函數(shù) u.X。提示：首先考慮個(gè)人在 X中的任何兩個(gè)元素之間的排序是嚴(yán)格的情形（即不存在任何無差異）構(gòu)造一個(gè)效用函數(shù)來代表這些偏好；然 后將你的論點(diǎn)擴(kuò)展到一般情形。3. 證明弱公理（定義1.C.1 ）等價(jià)于下述性質(zhì)成立：假定_ 1 o 若: TT 二丁 ，我們必然有4. 證明若X是有限的，則任何理性偏好關(guān)系都生成一個(gè)非空的選擇規(guī)則；也就是說，對(duì)于任意BqX,且恥,有C卩斥。第二章1. 假定是滿足弱公理、瓦爾拉斯定律和零次齊次性的可微需

2、求函數(shù)。證明若對(duì)匸是一次齊次的即對(duì)于所有/' 1/1和- '11，有'''J則需求法則即使對(duì)非補(bǔ)償價(jià)格變化也成立。 可以只證明這一結(jié)論的無窮小形式，即對(duì)于任意-匸，有 5= - ，如果這樣做更為容易的話。2. 證明若-是滿足弱公理的瓦爾拉斯需求函數(shù)，則-一定是零次齊次的。3. 考慮一個(gè)匚-的經(jīng)濟(jì)環(huán)境，以及消費(fèi)集為'的一個(gè)消費(fèi)者。假定其需求函數(shù) ? - '為（prw）= 3（AW）= 處，處,處（a）證明工匸i在.i上是零次齊次的，并且滿足瓦爾拉定律。（b）證明工；"山違反弱公理。（C）證明對(duì)于所有：_'，有丄I ：。第三

3、章1. 證明若"是代表二 的連續(xù)效用函數(shù)，則二 是連續(xù)的2. 假定在一個(gè)兩種商品的世界里，消費(fèi)者的效用函數(shù)為 嗆）二環(huán)f +逐對(duì)/。這一效用函數(shù)叫作常替代彈性（CES效用函數(shù)。（a）證明當(dāng)二二時(shí)，無差異曲線是線性的（b）證明當(dāng)'-時(shí)，這一效用函數(shù)代表的是和（廣義）科布一道格拉斯效用函數(shù)樣的偏好。（c）證明當(dāng)二"匸時(shí)，無差異曲線是一個(gè)“直角”；也就是說，該效用函數(shù)在極限處具有里昂惕夫效用函數(shù)的無差異圖3. 令-八代表消費(fèi)集，并假定偏好是嚴(yán)格凸的和擬線性的。標(biāo)準(zhǔn)化(a) 證明對(duì)商品.的瓦爾拉斯需求函數(shù)與財(cái)富無關(guān)。對(duì)于商品1的需求的財(cái)富效應(yīng)(參見2. E節(jié))而言，這意味著

4、什么？(b) 證明對(duì)于某一函數(shù) I，間接效用函數(shù)可以寫成：_-的形式。(c) 為簡化起見，假定二：，并把消費(fèi)者的效用函數(shù)寫成 .J。但是，令 消費(fèi)集為一，從而對(duì)本位商品1的消費(fèi)有一個(gè)非負(fù)性約束。固定價(jià)格/，考察當(dāng)財(cái)富變化時(shí)，消費(fèi)者的瓦爾拉斯需求如何變化。在什么情況下，對(duì)本位商品的非負(fù)性約束是無關(guān)緊要的？第四章1. 證明若是一次齊次的，則和 f - | 在u上是一次齊次的即它們可以寫成和二的形式。2. 考慮效用函數(shù):(a) 找岀依賴于價(jià)格和財(cái)富的對(duì)商品 1和商品2的需求函數(shù)。(b) 找岀補(bǔ)償需求函數(shù) '(c)找出支出函數(shù)，驗(yàn)證(d) 找岀間接效用函數(shù)，驗(yàn)證羅伊恒等式。第五章1. 利用UL

5、D和WA的（充分的）微分形式證明命題4.C.1的一種形式。（回憶一下2.F節(jié)的小體字部分，就 WA而言的充分條件是:只要v不是與p成比例的，就有 L'-:2. 證明若氣 丄I是一次齊次的，從而一是位似的，則對(duì)于所有 :，有：-：-：' 為命題4.C.3所定義的商。證明：如果Y是閉的、凸的，且那么自由處置性質(zhì)成立。第六章1.2.阿爾法公司（AI ）使用兩種投和品生產(chǎn)單一產(chǎn)出q。要求你來決定 AI的技術(shù)。你有100個(gè)月的觀測數(shù)據(jù)，其中有兩個(gè)月的觀測數(shù)據(jù)列表如下：投入品價(jià)格投入品數(shù)量產(chǎn)出品價(jià)格產(chǎn)出品數(shù)量月Pq3:31r 40504160 n95225540460根據(jù)這兩個(gè)月觀測數(shù)據(jù)，

6、你認(rèn)為你在完成任務(wù)過程中會(huì)遇到什么問題?3. 推導(dǎo)單一產(chǎn)岀技術(shù)的利潤函數(shù)'和供給函數(shù)（或?qū)?yīng)）：。該技術(shù)的生產(chǎn)函數(shù)為(a) /() = 4Z +zr(b) f(z) = Jmin 可環(huán)(N+哲y匕其中g(shù)第七章下面有三種規(guī)模報(bào)酬不變的單一生產(chǎn)技術(shù)，請(qǐng)分別推導(dǎo)其成本函數(shù)和條件要素需求函 數(shù)（或?qū)?yīng)）匚廠-。這三種技術(shù)的生產(chǎn)函數(shù)分別為= zx +zr （投入完全可替代）（b）/（z） = minfzj tz2）o （里昂惕夫技術(shù)）（c）/二可+時(shí)嚴(yán)（等替代彈性技術(shù)）1. 有兩種生產(chǎn)物品和勞動(dòng)。投入一一產(chǎn)出矩陣為0 1A-0。其中毗代表生產(chǎn)i單位物品k所需要的物品I的數(shù)量(a).1Cl 令 1

7、，并假設(shè)勞動(dòng)的系數(shù)向量為是生產(chǎn)i單位的物品i (或=2=2物品2）所需要投入的勞動(dòng)量。在可獲得的勞動(dòng)總量為 10的情況下，繪制出兩種物品的生產(chǎn)可能性集合（即可能的生產(chǎn)軌跡）（b）對(duì)于（a）中的二和b值，由利潤最大化條件（假設(shè)兩種物品產(chǎn)量為正）計(jì)算均衡價(jià)格（把工資標(biāo)準(zhǔn)化為1 ）。（c）對(duì)于（a）中的二和b值，計(jì)算生產(chǎn)1單位物品1的凈產(chǎn)出（即可用于消費(fèi)）過程中直接或間接投入的勞動(dòng)數(shù)量。這一數(shù)量與你在（b）的回答有什么關(guān)系？（d）假設(shè)生產(chǎn)物品2有第2種技術(shù)。對(duì)于現(xiàn)在我們加上1=2把兩種技術(shù)都考慮在內(nèi)，用圖描述生產(chǎn)1單位物品2所需要的物品1和勞動(dòng)的數(shù)量的軌跡。（假設(shè) 可以自由處置。）（e）在（d）的內(nèi)

8、容中，非替代定理是怎么說的？當(dāng)值為多少時(shí)，存在最優(yōu)技術(shù)轉(zhuǎn)換?第八章1.假定偏好關(guān)系一是局部非飽和的，而且 丄是集合： ! 中對(duì)一而言的最大值。證明下面的性質(zhì)成二-1：'給岀。立：“如果"占小，那么oW2.假定對(duì)每個(gè)人人來說有一個(gè)僅僅只依賴于他自己消費(fèi)的“快樂函數(shù)”，該函數(shù)由根據(jù)效用函數(shù)弘（心內(nèi)）=«（的（砧閔厲）廠詢（M每個(gè)人的效用都正向地依賴于他自己和其他每個(gè)人的“快樂”。證明：如果1是相對(duì)于-：U的帕累托最優(yōu)，那么它也是相對(duì)于！的帕累托最優(yōu)。這是否意味著一個(gè)利他主義者的社會(huì)可以經(jīng)由競爭性市場來達(dá)到帕累托最優(yōu)呢？你的結(jié)論依賴于1或一：的凹性嗎？2. 假定有一個(gè)具有

9、連續(xù)且強(qiáng)單調(diào)偏好的經(jīng)濟(jì)（消費(fèi)集是L ：）。還假定一個(gè)嚴(yán)格為正的生產(chǎn)是可能的；也就是說"J使得二一"“證明任何有轉(zhuǎn)移的價(jià)格準(zhǔn)均衡也一定是有轉(zhuǎn)移的價(jià)格均衡。3. 證明：一個(gè)有著凸生產(chǎn)和消費(fèi)集以及凹效用函數(shù)的經(jīng)濟(jì)，其效用可能性集U是凸的4. 在一種特定經(jīng)濟(jì)中有兩種商品，教育（e）和食品（f）,根據(jù)生產(chǎn)函數(shù)通過使用勞動(dòng)（L）和土地（T）來進(jìn)行生產(chǎn)。只有一個(gè)消費(fèi)者，其效用函數(shù)為 心）二譏嚴(yán) 和稟賦 為了便于計(jì)1算，我們投Q_ 以及 一。（a）從生產(chǎn)性用途來說，找出稟賦的最優(yōu)配置。（b）認(rèn)識(shí)到教育的生產(chǎn)體現(xiàn)了遞增規(guī)模報(bào)酬，該經(jīng)濟(jì)的政府決定控制教育行業(yè)，并且通過向消費(fèi) 者征收總額稅來資助其運(yùn)作。從消費(fèi)者可以在現(xiàn)行價(jià)格上選擇教育和食品的任何想要的數(shù)量這一意義上說，教育的消費(fèi)是競 爭性的。食品行業(yè)則在生產(chǎn)和消費(fèi)兩方面保持著競爭性。假設(shè)教育行業(yè)最小化了成本，找著了在最優(yōu)時(shí)的教育的邊際成本。 證明：如果宣布了教育的某種價(jià)格以及對(duì)當(dāng)教育部門以這種價(jià)格上生產(chǎn)了其最優(yōu)數(shù)量的產(chǎn)品而產(chǎn)生赤字必須進(jìn)行融資時(shí) 所需的總額稅，那么消費(fèi)者對(duì)教育的選擇將處在最優(yōu)水平。（c）以（b）中描述的方式來分散這一最優(yōu)時(shí)所必需的總額稅水平是什么？現(xiàn)在假定有兩個(gè)消費(fèi)者，而且他們的偏好與上面所假設(shè)的相同。一個(gè)消費(fèi)者擁有全部的土地，另一