上海市虹口區(qū)2019屆高三二模數(shù)學(xué)試題

1、上海市虹口區(qū)2019屆高三二模數(shù)學(xué)試題作者:日期：上海市虹口區(qū)2019屆高三二模數(shù)學(xué)試卷一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1 .設(shè)全集U=若8=”|x引1,則C/=【答案】【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合A,再利用補(bǔ)集定義直接求解.【詳解】.全集U=R,集合A=x|x-3|1=x|x4或xv2）,?uA=x|2NW4=2,4故答案為：2,4【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集的求法，考查補(bǔ)集定義、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.2 .若復(fù)數(shù)志=iQi）（為虛數(shù)單位），則的共軻復(fù)數(shù),二【答案】.【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由共軻復(fù)數(shù)的概念

2、得答案.【詳解】由z=i（2-i）=1+2i,得，=1-.故答案為：1-2i.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查共軻復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.1.江3.已知ssS=5，日在第四象限，則8S（0+9）=【解析】【分析】n利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式，求得8式+日）的值.1,丁22【詳解】cos0=且。是第四象限角，則sin懺-2-85%=-受,又+9-sin2位故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符11號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.2019開(kāi)4.行列式57T9cosOTT的元素叮的代數(shù)余子式的值等于COS-3【答案】7【解析】【

3、分析】利用代數(shù)余子式的定義和性質(zhì)直接求解.201949【詳解】行列式y(tǒng)r-匚。5n,_.,八、業(yè)j,.疔汗的兀素兀的代數(shù)余子式的值為:r55m-COS23(-1)2+1/7r=-(4cos-9sin)=(29)=7.Sincosq7/23匕故答案為：7.【點(diǎn)睛】本題考查行列式的元素的代數(shù)余子式的值的求法，考查代數(shù)余子式的定義和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.5.5位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為【答案】.16【解析】【分析】設(shè)A=周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)，計(jì)算出事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)，除以基本事件的總數(shù)可得.【詳解

4、】設(shè)A=周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng),基本事件的總數(shù)為25=32個(gè)，而5人都選同一天包含2種基本事件，故A包含32-2=30個(gè)基本事件，3015p(A)二-p-321615故填：詬【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算，考查了利用對(duì)立事件來(lái)求事件A包含的基本事件的方法，屬于基礎(chǔ)題.Ky26.已知匕、是橢圓。;彳十而二1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓。上的點(diǎn)，修七1二8,若為線段儲(chǔ)的中點(diǎn)，則線段OM的長(zhǎng)為【答案】2【解析】【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化求解即可.22【詳解】Fi、F2是橢圓。一十二二1的兩個(gè)焦點(diǎn)，可得Fi(-3,0),F2(3,0)3627點(diǎn)P為橢圓C上的點(diǎn)，|PFi|=8

5、,則|PF2|=4,M為線段PFi的中點(diǎn)，則線段OM的長(zhǎng)為：1PF2|=2.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查.7.若函數(shù)人為二間二一創(chuàng)一4(&ER)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)白的取值范圍是【答案】【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合，通過(guò)a與0的大小討論，轉(zhuǎn)化求解a的范圍即可.【詳解】函數(shù)f(x)=x|x-a|-4有三個(gè)不同的零點(diǎn)，就是x|x-a|=4有三個(gè)不同的根；2當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)y=x|x-a產(chǎn)產(chǎn)一年“弓口與y=4的圖象如圖：ox-x,x0必須卜1口二4,解得a4；I24,2.當(dāng)awo時(shí)，函數(shù)y=x|x-a|=心了曰與y=4的圖象如圖:才一x,x211r4故棱錐

6、的體積VSh=QX2X2=3，J1%?口4故答案為-.-1【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積，其中由已知中的三視圖判斷出幾何體的形狀，及棱長(zhǎng)，高等幾何量是解答的關(guān)鍵.10.在平面直角坐標(biāo)系工。了中，邊長(zhǎng)為1的正六邊形MKBEF的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)J如圖所示，雙曲線是以C、F為焦點(diǎn)的，且經(jīng)過(guò)正六邊形的頂點(diǎn)、R、口、E,則雙曲線1的方程為【答案】2-乖乖2T【解析】【分析】求出B的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，結(jié)合焦距，求出a,b即可得到雙曲線方程.【詳解】由題意可得c=1,邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,如圖所示,雙曲線r是以C、F為焦點(diǎn)的，且經(jīng)過(guò)正六邊形的頂點(diǎn)A、B、D、E,可得B

7、(-：，*)，代入雙曲線方程可得：白一白二1,a2+b2=1,解得a2=V坦，b2屋，/24a4b2222所求雙曲線的方程為：2-書(shū).2T22故答案為：2-書(shū)書(shū).22【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用以及雙曲線方程的求法，是基本知識(shí)的考查.11 .若函數(shù)f(x)=汽萬(wàn)_1孑_；_2)0，則八2019)的值為【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出f(0)與f(-1)的值，據(jù)此依次求出f(1)、f(2)、f(3)的值，分析可得f(x)=f(x+6),(x0),據(jù)此可得f(2019)=f(3+336X6)=f(3),即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)當(dāng)xwo時(shí)，f(x)=2x,則f

8、(0)=20=1,f(-1)=21=2,當(dāng)x0時(shí)，f(x)=f(x1)-f(x-2),f(x+1)=f(x)-f(x-1),+彳導(dǎo)f(x+1)=-f(x-2),f(x+4)=-f(x+1)=f(x2),即f(x+6)=f(x),x0,又f(2019)=f(3+336X6)=f(3)而f(1)=f(0)-f(-1)=1-2=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1-1=-2,f(3)=f(2)-f(1)=-2-(-1)=-1,f(2019)=f(3+336X6)=f(3)=-1;故答案為：-1.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)值的計(jì)算，考查了周期性的推導(dǎo)與應(yīng)用，屬于中檔題.147712 .過(guò)點(diǎn)產(chǎn)卬一刁作

9、圓二加)+m+1)=1(m6R)的切線，切點(diǎn)分別為八、R,則前-曲的最小值為【答案】272-3【解析】【分析】根據(jù)圓心到點(diǎn)P的距離以及平面向量的數(shù)量積定義，求出PC的最小值，計(jì)算再計(jì)算的最小值.44【詳解】圓C：（x-：m）2+（y-m+1）2=1的圓心坐標(biāo)為（-m,m-1）,半徑為1,PA=PB=dPC*T,cos/APC=瓦，.cos/APB=2(無(wú))2-1=1-記I,鼠?成二(PC2-1)X(1-焉)=-3+PC2+焉2-3+2：*，嬴-3+2松,尸1LJrLajjC當(dāng)且僅當(dāng)PC二電2主元時(shí)取等號(hào)，而，藁的最小值為皿-3.故答案為：22-3.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積的定義及基本

10、不等式求最值問(wèn)題，考查了直線與圓的位置關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題.二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13 .已知叫口是兩個(gè)不同平面，山為江內(nèi)的一條直線，則你是住邛”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】m/3不一定得到直線與平面平行，由此可判斷不充分，由面面平行的定義及性質(zhì)可判斷必要性.【詳解】“、3表示兩個(gè)不同的平面，直線m?”，m/3,不一定得到直線與平面平行，還有一種情況可能是直線和平面相交，.不滿(mǎn)足充分性；當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，由面面平行的定義及性質(zhì)可知：其中一個(gè)平面上的直線一定平行于另一個(gè)平面，一定存在m/就，滿(mǎn)足

11、必要性,m/3是“23的必要不充分條件故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷和線面、面面平行的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面與平面平行的判定與性質(zhì)定理，是一個(gè)基礎(chǔ)題.1L14.鈍角三角形的面積是Z,=阮=也則人。等于（）A.1B.2C.D.5【答案】C【解析】【分析】由三角形的面積公式求得角B,再由余弦定理求得AC的值.【詳解】由題意，鈍角評(píng)BC的面積是11K近1S=5?AB?BC?sinB=5乂1xxsinB=sinBsinB,2if，b=2或-（不合題意，舍去）；44在cosB,212由余弦定理得：AC2=AB2+CB2-2AB?CB?cosB=1+2-2X1x也x（嶗）

12、=5,解得AC的值為故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式和余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.（x2y+10表示的平面區(qū)域，且與圓5/+/3=16相交于、R兩點(diǎn)，則當(dāng)ABty-20最小時(shí)，直線i的方程為（）A.12-B.1+!：C.D.3工十入一i.：:【答案】D【解析】【分析】畫(huà)出不等式組表示的區(qū)域，過(guò)點(diǎn)P的直線l與圓C：x2+y2=16相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值時(shí)，區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)（0,0）的距離最大.由此可得結(jié)論.【詳解】不等式組表示的區(qū)域如圖陰影部分，其中AB的中點(diǎn)為P,則APXOP,所以|OP|最長(zhǎng)時(shí)，AB最小，因?yàn)樽钚經(jīng)過(guò)可行域，由圖形可知點(diǎn)P為直線x-2y+1=0與

13、y-2=0的交點(diǎn)（3,2）時(shí)，|OP局長(zhǎng)，因?yàn)?3kop=4,則直線l的方程為：y2=-（x4）,即五十13=0.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是|AB|的最小值時(shí)，區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)（0,0）的距離最大.16.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為2,公比為-g,其前,四項(xiàng)和記為若對(duì)任意的HEN*,均有月工3況廠2式村恒成立，則日一八的最小值為（7 A.B.U C.13D. 15【答案】B【解析】【分析】Sn=1-1?（.-,n為奇數(shù)時(shí)，Sn=!+?.,根據(jù)單調(diào)性可得：Sn-, . -SnSi=2;乙 QJLfiMn為奇數(shù)時(shí)，Sn = /+?）3,可知：Sn單調(diào)遞

14、減，且-+3313313I3n為偶數(shù)時(shí)，Sn-?J11,可知：Sn單調(diào)遞增，且?ny,-S2Sn0，白羊1）.（1）若函數(shù)fM的反函數(shù)是其本身，求。的值;(2)當(dāng)*=：時(shí)，求函數(shù)y=f(x+八一牙)的最小值.【答案】(1)1=3；(2)-3【解析】【分析】(1)由互為反函數(shù)的函數(shù)定義域和值域互換得反函數(shù)解析式.(2)得到解析式后根據(jù)基本不等式求最小值.【詳解】(1)由題意知函數(shù)f(x)的反函數(shù)是其本身，所以f(x)的反函數(shù)ay=9-3x,x=l0%(9-qL),反函數(shù)為y=h的內(nèi)-吟=/(幻=.沁g式9-：3,),所以a=3.(2)當(dāng)”:時(shí)，f(x)J,-巖f飛(9-廣勺，9r則y=f(x)+

15、f(-x)=-(+9-3)工-3,故最小值為-3.【點(diǎn)睛】本題考查了反函數(shù)和基本不等式的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.18 .如圖，在多面體88。力/1。1中，公、R%、A均垂直于平面ABC44=4,(,匚1=312。.(1)求百出與平面4/G所成角的大?。?2)求二面角力-%-g的大小.【答案】(1) arcsm；(2) arccns【解析】【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系.(1)由已知分別求出用向的坐標(biāo)與平面A1B1C1的一個(gè)法向量，則線面角可求;(2)求出平面AA1B1的一個(gè)法向量，結(jié)合(1),由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A-A1B1-C1的大小.【詳解】由題意建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,.A

16、A1=4,CC1=3,BB1=AB=AC=2,/BAC=120,A(0,0,0)，Ai(0,0,4),Bi橫,-1,2),Ci(0,2,3)(1)ZlRrW*L=-1,2),2,L),設(shè)平面AiBiCi的一個(gè)法向量為m=(與y、刃,m-A.=h/3x-y-2z=0-JL，取y=i,得加=m/l1C1=2y-z=0ABi與AiBiCi所成角的最小值，ABi與AiBiCi所成角的大小為arcsm-(2)設(shè)平面AAiBi的一個(gè)法向量為=(與，勺)，取 xi =1，得也=(1,取,0) 面角A-AiBi-Ci的大小為arccos-.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法求解空間角，考查計(jì)算能力，是中檔題.19

17、 .如圖，一塊長(zhǎng)方形區(qū)域*BCDABlAD=2在邊/八的中點(diǎn)。處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈，其照射角上EOF始終為:設(shè)“=探照燈照射在長(zhǎng)方形總內(nèi)部區(qū)域的面積為S.(i)求*關(guān)于b的函數(shù)關(guān)系式;i3立，(2)當(dāng)工我工彳時(shí),求的最大值.17Ttana + tan- a),1 11rt;+)*2 tana3rrtan(- a)7T0 工 a C4n7r42(2) 2-亞n. 1 3nB1 _- =) t07l(= 一 Ct)；,n 3k2-a-T【解析】【分析】(1)根據(jù)條件討論 a的范圍，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.(2)利用兩角和差的三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.JT【

18、詳解】(1) BEO,彳),則 OA= 1,即 AE = tan a71H HOF =-民,4ffHF =tan (彳 - a),1tana則AAOE, AHOF得面積分別為-x 1 x tanJT則陰影部分的面積 S= 1_tana _tOn(V , 2 -27T 7T當(dāng)C J,)時(shí)，E在BH上，F(xiàn)在線段CH上，如圖,1 1 11 = =+71EH二就，F(xiàn)H g喘.3dEF 口口1 +則S=”f m4)，產(chǎn) 7T 5 = %十金)即“%，2 gmmdL,)；4同理當(dāng) a G -, ? 5 = 1- -tan(a -2317T-taw + tanC-.1 1(12 ta7iatan.(3n-)

19、.7T0 M t 七 47F n ffR 1 3h1 - 一- ff),3nTT(2)當(dāng) 0 E 4 _ 時(shí)，S= 1 tana4-2?r ct) 12、v4 2- (1+tan a+)=21 + tana0wtan a 苧即 1 w 1+tan a 2 (1 + tana)1 + tana %-=2盤(pán),1 + tana當(dāng)且僅當(dāng)1+tan a=,即1+tan a= 4I時(shí)取等號(hào),1 + tana17即5 = 2 -(1 + tuna + )衛(wèi)2 - yZ,即S的最大值為2-位21+ tanaDO 圖 AD0 圖 A【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，結(jié)合三角形的面積公式以及兩角和差的正切公式以

20、及利用基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.20 .設(shè)廣為拋物線匚：/二41的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)產(chǎn)的直線I與拋物線C相交于八、B兩點(diǎn).(1)若WF=2曲,求此時(shí)直線的方程；(2)若與直線1垂直的直線I1過(guò)點(diǎn)F,且與拋物線。相交于點(diǎn)叭N,設(shè)線段孫的中點(diǎn)分別為P、Q,如圖，求證：直線PQ過(guò)定點(diǎn)；【答案】(1)=士酒f;(2)0);(3)/=202)【解析】【分析】(1)求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立后利用4T=2病得直線1方程.122(2由(1)得點(diǎn)PizmZ+L2m),又直線與直線,垂直，將m換為-一，同理可得Q(二十1，-).由此

21、thnj.m可求直線PQ的方程，可得結(jié)論；(3)利用$rrF的面積是的面積的兩倍，求出N的坐標(biāo)，再利用直線的斜率公式及點(diǎn)差法求TS中點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】(1)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),設(shè)直線t方程為x=my+1,設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(X2,y2),聯(lián)立x my +y2 = 4#,得：y2- 4my- 4=0,則由韋達(dá)定理有：y+y2=4m,，yy2=-4,-1-X1=2（X21）,一y1=2y2,由可得m2 =m= -=,8， 網(wǎng)2.直線方程為x= 土 j=y+1,即 y = %也丈-1)(2)由(1)得點(diǎn)P(2m2 + L 2m),又直線乙與直線垂直，將m換為-，,22同理可得Q

22、(+ 1 ,- 一).mm+ 2mmmm于1時(shí)，直線PQ的斜率kpQ =丁=一2/一;加 Tm2m直線PQ的方程為：y-2m = (x- 1 -2m2),整理為 m (x-3)(m2-1) y=0,于是直線 PQ恒過(guò)定點(diǎn) E (3, 0),m= 土?xí)r，直線PQ的方程為：x=3,也經(jīng)過(guò)點(diǎn)E (3, 0)綜上所述：直線 PQ恒過(guò)定點(diǎn)E (3, 0).(3)設(shè) S (x1, y1) , T (x2, y2),F (1, 0),準(zhǔn)線為 x= - 1, 5&%T/ = 乂 2|%71|=卜1 丫2|,設(shè)直線TS與x軸交點(diǎn)為N,1Satsf一 .|FN |y1 - 丫2|,心51 7/的面積是 BSF的面

23、積的兩倍,1 1型=2, . |FN|=1,N(2,0).設(shè)TS中點(diǎn)為(y1=4#122M(x,y),由得Vi_巧=4(xx2),f/2一tx2x-2，=?即y2=2x-4-，TS中點(diǎn)軌跡方程為y2=2x-4.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查軌跡方程的求解，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，是中檔題.21.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列品的前項(xiàng)和為又，且口1=1,成二又+又.1SE/V,之2),數(shù)列勾滿(mǎn)足n(n+1)3=2士(EEN).(1)求數(shù)列6)、g小的通項(xiàng)公式；1 1(2)設(shè)二二一,是的前訂項(xiàng)和，求正整數(shù)m,使得對(duì)任意的hen*,2 nun11均有

24、丁撥左丁曲；(3)設(shè)甘=工快=也也+加也+一+%,且#0,其中-4一,=E-1口(日e曠，n2),求集合中所有元素的和.【答案】(1)%=凡，與(2)m=4；(3)見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)a1=1,an=Sn+Sn1(nCN,n?,%，=Sn+1+Sn,相減可得：%i工-播=an+l+an,化簡(jiǎn)利用已知條件及其等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an.數(shù)列bn滿(mǎn)足比.玩與=2、(nCN*).n2時(shí)，”b2?bn-1=工叱/，相除可得bn._1111_111(2)品齊一逅二二7一所亍=9一丁E，利用求和公式與裂項(xiàng)求和方法可得：111Tn=一作差Tn+1-Tn,利用其單調(diào)性即可得出士*(3)x=k1b1+

25、k2b2+-+knbn,且x0,其中k1，k2,，kn-1,1(nCN*,n2,要使x0,則必須kn=1,其它k1,k2,，kn1e-1,1(nCN*,n2),可任取1,-1.通過(guò)放縮及其求和公式即可證明.另外kn=1.此時(shí)：x2-22-2n1+2n0.其它k1，k2,，kn1e-1,1(nCN*,n),可任取1,-1.此時(shí)集合內(nèi)的元素x共有2n一1個(gè)互不相同的正數(shù)，利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n一1個(gè).利用反證法證明這2n一1個(gè)式子所表示的x互不相等，再分析求解所有元素的和.【詳解】(1)a1=1,an2=Sn+Sn1(nCN*,n0,an+l=Sn+1+Sn,相減可得：3-吊=an+1+an,化為：(an+1+an)(an+1an1)=0,an+i+an0an+ian=1,又域=S2+S,可得W-a2-2=0,a20,解得：a2=2,a2a1=1).數(shù)列an設(shè)等差數(shù)列，3n=1+n-1=n.數(shù)列bn滿(mǎn)足的血=2(neNjnfTi-1)n2時(shí)，bb2?bn1_q-z,1(2) cn2并%.111111,-()%,%2fl0(n+1)2n幾幾+1，1+2n1 1IT)n n 4- 1722口111Tn(1_一川+1n1,12231 2_1(11i1_