反比例函數(shù)中的面積問題

1、反比例函數(shù)中的面積問題       由于反比例函數(shù)解析式及圖象的特殊性，很多中考試題都將反比例函數(shù)與面積結(jié)合起來進(jìn)行考察。這種考察方式既能考查函數(shù)、反比例函數(shù)本身的基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)容，又能充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查的題型廣泛，考查方法靈活，可以較好地將知識(shí)與能力融合在一起。下面就反比例函數(shù)中與面積有關(guān)的問題的四種類型歸納如下：    一、利用反比例函數(shù)中|k|的幾何意義求解與面積有關(guān)的問題設(shè)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足分別為M、N，則兩垂線段與坐標(biāo)軸所圍成的的矩形PMON

2、的面積為S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|       xy=k     故S=|k|    從而得結(jié)論1：過雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積S為定值|k|    對(duì)于下列三個(gè)圖形中的情形，利用三角形面積的計(jì)算方法和圖形的對(duì)稱性以及上述結(jié)論，可得出對(duì)應(yīng)的面積的結(jié)論為：    結(jié)論2：在直角三角形ABO中，面積S=    結(jié)論3：在直角三

3、角形ACB中，面積為S=2|k|    結(jié)論4：在三角形AMB中，面積為S=|k|    1已知面積，求反比例函數(shù)的解析式（或比例系數(shù)k）   例1（1）(2008廣東省深圳市)如圖，直線OA與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于A點(diǎn)，ABx軸于點(diǎn)B，OAB的面積為2，則k分析：由圖象知,k>0,由結(jié)論及已知條件得 k=4  （2）（2008甘肅省蘭州市）如圖，已知雙曲線（）經(jīng)過矩形的邊的中點(diǎn)，且四邊形的面積為2，則      

4、;  分析：連結(jié)OB，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)   而      由四邊形OEBF的面積為2得  解得 k=2評(píng)注：第小題中由圖形所在象限可確定k>0，應(yīng)用結(jié)論可直接求k值。第小題首先應(yīng)用三角形面積的計(jì)算方法分析得出四個(gè)三角形面積相等，列出含k的方程求k值。例2（2008貴州省黔南州）如圖，矩形ABOD的頂點(diǎn)A是函數(shù)與函數(shù)在第二象限的交點(diǎn)，軸于B，軸于D，且矩形ABOD的面積為3（1）求兩函數(shù)的解析式（2）求兩函數(shù)的交點(diǎn)A、C的坐標(biāo)（3）若點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)解：（1）由圖象知k

5、<0，由結(jié)論及已知條件得-k=3                         反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為（2）由，解得，              點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（，3），（3，）  

6、60;                （3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m）直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（0，2）                             PM，即m2，或，點(diǎn)

7、P的坐標(biāo)為（0，）或（0，）評(píng)注：依據(jù)圖象及結(jié)論求k值是本題的關(guān)鍵，只有求出k代值，才能通過解方程組求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后才能解決第小問。2 已知反比例函數(shù)解析式，求圖形的面積例3（1）（2008湖北省鄂州市）在反比例函數(shù)的圖象中，陰影部分的面積不等于4的是（   B ）    A                  B     

8、0;            C                 D分析：因?yàn)檫^原點(diǎn)的直線與雙曲線交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B、C、D的面積易求。對(duì)于A：S=4，對(duì)于B：陰影中所含的三個(gè)小直角三角形面積相等，故S= ，對(duì)于C：S=4，對(duì)于D：S=4 故選（B）（2）(2009年牡丹江市)如圖，點(diǎn)、是雙曲線上的點(diǎn)，分別經(jīng)過、兩點(diǎn)向軸、軸作垂線段，若則

9、0;       分析：由結(jié)論知，S1+1=S2+1=3  S1=S2=2  S1+S2=4 評(píng)注：過雙曲線上作坐標(biāo)軸垂線所圍成的矩形的面積可直接由結(jié)論求解，過程簡(jiǎn)單。二、利用點(diǎn)的坐標(biāo)及面積公式求面積例4（2008四川省南充市）如圖，已知，是一次函數(shù)的圖像和反比例函數(shù)的圖像的兩個(gè)交點(diǎn)（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）求直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)及三角形的面積解：（1）在上  反比例函數(shù)的解析式為：點(diǎn)在上       經(jīng)過，解之得 &

10、#160; 一次函數(shù)的解析式為：（2）是直線與軸的交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，    點(diǎn)     例5(2009年達(dá)州)如圖，直線與反比例函數(shù)（0）的圖象相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4.（1）試確定反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）求AOC的面積.解：（1）點(diǎn)A（-2，4）在反比例函數(shù)圖象上k=-8反比例函數(shù)解析式為y=（2）B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-4，縱坐標(biāo)為y=2     B(-4，2)點(diǎn)A（-2，4）、 點(diǎn)B（-4，2）在直線y=kx+b上 4=-2k+b 且2=-

11、4k+b解得 k=1    b=6直線AB為y=x+6與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)C（-6，0）S=12 評(píng)注：對(duì)于例4、例5類型的題目，其解題方法基本上都是分三步：先由條件求函數(shù)解析式，再通過解方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，最后由面積公式計(jì)算面積。難度屬中檔題。三、利用對(duì)稱性求反比例函數(shù)有關(guān)的面積問題例6（2009年福州）已知, A、B、C、D、E是反比例函數(shù)（x>0）圖象上五個(gè)整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)），分別以這些點(diǎn)向橫軸或縱軸作垂線段，由垂線段所在的正方形邊長(zhǎng)為半徑作四分之一圓周的兩條弧，組成如圖5所示的五個(gè)橄欖形（陰影部分），則這五個(gè)橄欖形的面積總和是 

12、;     （用含的代數(shù)式表示）分析：x,y為正整數(shù)，x=1,2,4,8,16即A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)，因五個(gè)橄欖形關(guān)于y=x對(duì)稱，故有S=13-26例7（2009年濟(jì)寧市）如圖，A和B都與x軸和y軸相切，圓心A和圓心B都在反比例函數(shù)的圖象上，則圖中陰影部分的面積等于            . 分析：因?yàn)閳A心A中的非陰影部分與圓B中的陰影部分為對(duì)稱圖形，圓A中的陰影部分與圓B

13、中的非陰影部分也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故兩陰影部分面積的和等于圓的面積。設(shè)圓A的圓心A的坐標(biāo)為(x,y)，由圖可知，x=y    A點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，    解得x=1從而所求面積為評(píng)注：對(duì)于較復(fù)雜的圖形面積計(jì)算問題，先應(yīng)觀察圖形的特征，若具有對(duì)稱特征，則應(yīng)用對(duì)稱關(guān)系可以簡(jiǎn)化解題過程。四、 討論與面積有關(guān)的綜合問題例8（2008山東?。?）探究新知：           如圖1，已知ABC與ABD的面積相等， 試判斷AB與CD的位置關(guān)系，

14、并說明理由 （2）結(jié)論應(yīng)用：   如圖2，點(diǎn)M，N在反比例函數(shù)（k0）的圖象上，過點(diǎn)M作MEy軸，過點(diǎn)N作NFx軸，垂足分別為E，F(xiàn) 試證明：MNEF     若中的其他條件不變，只改變點(diǎn)M，N 的位置如圖3所示，請(qǐng)判斷 MN與EF是否平行。解：（1）證明：分別過點(diǎn)C，D，作CGAB，DHAB，垂足為G，H，則CGADHB90° CGDH    ABC與ABD的面積相等，  CGDH     四邊形CGHD為平行四邊形 ABCD（2）證明：連結(jié)MF，NE利用同底等高的三角形面積相等，可知SEFM SEF N由（1）中的結(jié)論可知：MNEF如圖所示， MNEF評(píng)注：本題綜合性較強(qiáng)，難度較大。既考查分析問題的能力，又考查轉(zhuǎn)化能力，知識(shí)與能力的考查融合的恰當(dāng)。例9（2009年濟(jì)南）已知：如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)（1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？（3）是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，其中過點(diǎn)作直線軸，交軸于點(diǎn)；過點(diǎn)作直線軸交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)當(dāng)四邊形的面積為6時(shí)，請(qǐng)判斷線段與的大小關(guān)系