高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)案含解析

1、2. 3.2離散型隨機(jī)變量的方差層析教材.新知無師自通A, B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率如下表:A機(jī)床次品數(shù)X0123P0.70.20.060.04B機(jī)床次品數(shù)X20123P0.80.060.040.10問題 1:試求 E(X) , E(X2),提示：E(Xi) =0X0.7 + 1X0.2 +2X0.06 +3X0.04 = 0.44.E(X) =0X0.8 +1 X0.06 +2X0.04 +3X0.10 = 0.44.問題2:由E(X)和E(X2)的值能比較兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？提示：不能，因?yàn)?E(X)=HX2).問題3:試想利用什么指標(biāo)可以比較加工

2、質(zhì)量.提示：樣本方差.1 .定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為XX1X2XiXnPP1P2PiPn則(x E(X) 2描述了 xi(i=1,2,，n)相對(duì)于均值 E(X)的偏離程度，而QX)=nZ Xi-E X2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均1 =1偏離程度.稱 受為為隨機(jī)變量X的方差，其算術(shù)平方根 ，D X為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.2 .意義隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離平均值的平均程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小.3 .性質(zhì)設(shè) a, b 為常數(shù)，則 口 aX+ b) = a2D(X).4.兩點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布的方差XX

3、服從兩點(diǎn)分布XB(n, p)D(X)p(1 p)( p為成功概率)np(1 -P)1.方差與標(biāo)準(zhǔn)差的作用隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差一樣，都是反映隨機(jī)變量的取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、 集中與離散程 度的，方差越小，取值越集中，穩(wěn)定性越高，波動(dòng)性越小；反之，方差越大，取值越不集中， 穩(wěn)定性越差，波動(dòng)性越大.2.隨機(jī)變量的方差與樣本方差的關(guān)系隨機(jī)變量的方差是總體的方差，它是一個(gè)常數(shù)，樣本的方差則是隨機(jī)變量，是隨樣本的變化而變化的.對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本的方差越來越接近于總體的 方差.鎖定考向，考題干變不離其宗21突破求離散型隨機(jī)變量的方差袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上

4、n號(hào)的有n個(gè)(n=1,2.3.4) ,現(xiàn)從袋中任取一個(gè)球，X表示所取球的標(biāo)號(hào).(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若 Y= a(X) + b(a, bCR), E(M = 1, D(Y) = 11,試求 a, b 的值.(1) X的分布列為X01234P1113122010205 - E(X) =0X 2 + 1X20+2X 110+3X 20 + 4X 5=1.5. 2201020521212123D(X) = (0 - 1.5) X 2 +(11.5) X 20+(21.5) X 而+(3 1.5) X . 十 (4 1.5) 2X1 = 2.75.5(2)由 D(Y =a2D(X),得

5、 a2x2.75= 11,即 a=±2.又 E(Y) =aE(K +b,，當(dāng) a=2 時(shí)，由 1=2X1.5+ b,得 b= 一2；當(dāng) a= 2 時(shí)，由 1 = 2X1.5 + b,得 b=4,a= 2,a=- 2,即為所求.土或Vb= - 2b= 41 .離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差是三個(gè)緊密聯(lián)系的有機(jī)統(tǒng)一體，一般在試題中綜合在一起考查，其關(guān)鍵是求出分布列.2 .在求分布列時(shí)，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算 概率，并注意結(jié)合分布列的性質(zhì)，簡(jiǎn)化概率計(jì)算.3 .對(duì)于已知D(X)求D(aX+ b)型，利用方差的性質(zhì)求解， 即利用D(aX+ b) = a2

6、D(X)求解.編號(hào)為1,2,3的三位同學(xué)隨意入座編號(hào)為1,2,3的三個(gè)座位，每位同學(xué)一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的個(gè)數(shù)為X,求口的.解：由題意可知，X的所有可能的取值為0,1,3.213116.RX= 0) = 3T=3； P(X= 1) = 3T=r1R X= 3)= 3!所以，x的分布列為X013P111326111日X)=0x +1x +3X =1,326D(X>=(0-1)2x1+ (1 -1)2x1+(3-1)V1=1.326I求兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差、標(biāo)準(zhǔn)差某廠一批產(chǎn)品白合格率是一98%(1)計(jì)算從中抽取一件產(chǎn)品為正品的正品數(shù)的方差；(2)從中有放回地隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品

7、，計(jì)算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的方差及標(biāo)準(zhǔn)差.(1)用七表示抽得的正品數(shù)，則七=0,1.七服從兩點(diǎn)分布，且P(七=0)=0.02 ,P(七 =1) =0.98 ,所以由 D( E ) = p(1 p) =0.98 X(1 0.98) =0.019 6.(2)用X表示抽得的正品數(shù)， 則X曰10, 0.98),所以D(X) =10X0.98 X0.02 = 0.196, 標(biāo)準(zhǔn)差“D X =0.44.解此類問題，首先要確定正確的離散型隨機(jī)變量，然后確定它是否服從特殊分布，若它服從兩點(diǎn)分布，則其方差為p(1 -p);若其服從二項(xiàng)分布，則其方差為np(1 -p)(其中p為成功概率).一個(gè)人每天開車上班，

8、從他家到上班的地方有 6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈一，.I 1,、，一 ,一 、，的事件相互獨(dú)立，并且概率都是看設(shè)X為這人途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的均值和方差.3X與Y,且X, Y的分解：由題意知 Xb'6, 1 |- .E(X) = np = 6x；=2, D(X)=np(1 p)=6x1x I'11 ；= 4. 33333離散型隨機(jī)變量的均值、方差的實(shí)際應(yīng)用甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量布列如下:X123Pa0.10.6Y123P0.3b0.3(1)求a, b的值；(2)計(jì)算X, Y的期望與方差，并以此分析甲、乙技術(shù)狀況.(1)由離散型隨機(jī)變

9、量的分布列的性質(zhì)可知a+0.1 +0.6 =1,得a= 0.3.同理 0.3 +b+0.3 = 1,得 b= 0.4.(2) E(X) =1X0.3+2X0.1 +3X0.6= 2.3 ,E(Y) =1X0.3 +2X0.4 +3X0.3 = 2,D(X) =(1 -2.3) 2X0.3 + (2-2.3) 2X0.1 + (3 -2.3) 2X0.6= 0.81 ,D(Y) =(1 2) 2X0.3+ (2 2)2X0.4+ (3-2)2X0.3= 0.6.由于 E(X)>E(Y)，說明在一次 射擊中，甲的平均得分比乙高，但D(X)>D(Y),說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙

10、兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì).均值體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，但有時(shí)僅知道均值大小是不夠的，比如：兩個(gè)隨機(jī)變量的均值相等(即均值相等)，這時(shí)還需要知道隨機(jī)變量的取值如何在均值附近變化，即計(jì)算其方差，方差大說明隨機(jī)變量取值比較分散；方差小說明隨機(jī)變量的取值比較集中、穩(wěn)士 7E.甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等.兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為甲保護(hù)區(qū)X0123P0.30.30.20.2乙保護(hù)區(qū)Y012P0.10.50.4試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平.解：甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)X的均值和方差分別為：E(X) =0X0.3

11、 + 1X0.3 +2X0.2 +3X0.2 = 1.3 ;D(X) =(0 - 1.3) 2X0.3 + (1 1.3) 2X0.3 + (2 -1.3) 2X0.2 + (3 1.3) 2X0.2 = 1.21.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的均值和方差分別為：E(Y) =0X0.1 +1X0.5 +2X0.4 = 1.3 ;D(Y) =(0 -1.3) 2X0.1 + (1 -1.3) 2X0.5+ (2 -1.3) 2X0.4= 0.41.因?yàn)?日 X) = E(Y , D(X)>D(Y),所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的平均違規(guī)次數(shù)是相同的，但乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲保護(hù)區(qū)

12、的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散，故乙保護(hù)區(qū)的管理水平較高.修補(bǔ)短板.拉分噩一分不丟押金系列7.錯(cuò)用公式D aX+ b =a2D X已知隨機(jī)變量X的分布列如下表:X-21012P0.10.20.40.10.2且 Y= 3X+ 1,求 E(Y) , RY» .因?yàn)?E(X) =-2X0.1 + ( 1) X0.2 +0X0.4 + 1X0.1 +2X0.2 = 0.1 ,所以 E(Y) = E(3X+ 1) =3E(X) +1 = 1.3.又因?yàn)?口X) = ( 2 0.1) 2X0.1 + ( 1 0.1) 2X0.2 + (0 0.1) 2X0.4 + (1 0.1) 2X0.1 + (2

13、-0.1) 2X0.2 = 1.49 ,所以 D(Y) = U3X+ 1) =9D(X) = 13.41.1.求解D(Y)時(shí)錯(cuò)誤類比均值的關(guān)系，把D(Y)錯(cuò)誤地求解為 D(Y=D(3X+ 1) =3D(X) +1 = 5.47.2.求解此類問題，學(xué)會(huì)利用公式E(aX+ b) =aE：X) +b, D( aX+ b) = a2D(閃，將求E( aX+ b), D(aX+ b)的問題轉(zhuǎn)化為求 日X) , D(X)的問題，從而可以避免求aX+ b的分布列的煩瑣的計(jì)算，解題時(shí)可根據(jù)兩者之間的關(guān)系列出等式，進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.已知隨機(jī)變量 X的分布列如下表:X01P0.20.22340.30.20.1試求 D

14、(X)和 D(2X- 1).解：E(X) =0X0.2+ 1X0.2+2X0.3+3X0.2+4X0.1 =1.8 ,所以D(X)=(0 1.8) 2X0.2 + (1 1.8) 2X0.2 + (2 1.8) 2X0.3 + (3 1.8) 2X0.2 + (4 1.8) 2X0.1 = 1.56.所以 D(2X- 1) = 4D(X) =4X1.56= 6.24.Ml醬你宅幽自主演練.百煉方成鋼1 .已知隨機(jī)變量 X的分布列為 P(X= k)=! k= 3,6,9.則口 X)等于()3A. 6B. 9C. 3D. 4 ,111解析：選 A E(X)=3X -+6X-+9X-=6.33321

15、2121D(X)=(3-6) x3+(66) x3+(9 6) x- = 6.2 .已知 七B(n, p),日E ) = 8, D(E ) =1.6，則n與p的值分別為()A. 100 和 0.08B . 20 和 0.4C. 10 和 0.2D, 10 和 0.8np= 8,np 1 - p =1.6 ,解析：選D由于EB(n, p),所以,解得 n= 10, p=0.8.3 .有兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)甲與乙，包裝質(zhì)量分別為隨機(jī)變量X, Y,已知E(K=E(Y),RX)>RY),則自動(dòng)包裝機(jī)的質(zhì)量較好.解析：在均值相等的情況下，方差越小，說明包裝的質(zhì)量越穩(wěn)定， 所以自動(dòng)包裝機(jī)乙的答案：乙1&#

16、39;a+ b+c+= 1,11 Xa + 0x b+1x c+2x 12= 0, -1-0 2xa+ 0-0 2xb+ 1-0 2xc+ 2-0 2x5=i,1251解得a=瓦，b=c= 4.答案:5 112 45.已知某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率p=0.6.(1)求一次投籃命中次數(shù)E的均值與方差；(2)求重復(fù)5次投籃時(shí)，命中次數(shù) Y的均值與方差.解：(1)投籃一次命中次數(shù)E的分布列為E01P0.40.6貝U E( E ) =0X0.4+1X0.6= 0.6 ,D( E ) = (0 0.6) 2X 0.4 + (1 0.6) 2X 0.6 = 0.24.(2)由題意知，重復(fù)5次投籃，命中次數(shù) Y服從

17、二項(xiàng)分布，即 YB(5,0.6)由二項(xiàng)分布均值與方差的計(jì)算公式，有：E( Y ) = 5X0.6 = 3, D( Y) ) = 5X0.6 X 0.4 = 1.2.、選擇題1.如果 七是離散型隨機(jī)變量， 刀=3E +2,那么()A.E(刀)= 3E( E ) + 2,D( y ) = 9D( UB.旦刀)=3E( E ) , 口刀)=3D( E ) + 2C. E(刀)= 3E( E )+2, 口刀)=9受衛(wèi))+4D. E(刀)= 3E( E )+4, D( r ) = 3D( U + 2解析：選A 直接代入均值與方差的公式中.2.同時(shí)拋兩枚均勻硬幣 10次，設(shè)兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)反面的次數(shù)為八1

18、5A. 8B 15 B.4X,則RX)等于()C.5D. 5解析：選 a . xbo, 4D(x) =10x ；x3=185.3.已知E的分布列如下表:101P12131 6若刀=2衛(wèi)+2,則D( r)的值為()A. 1 B.31020 91111-、1 2 1 1 2 1解析：選 D )= -1*2+。><3+1、=二，Dm=L+3/2+ 戶3卜3+1215203/><6 = 9,所以 DU)=D(2 E +2)=4D( E ) =§4.隨機(jī)變量X的分布列如下:若E(X)=工，則D(X)等于(87 A. 3233C.64X123P12xy)B.3255D.6

19、4151x2+2x+3y=, 解析：選D由| 2+x + y=1, .2所以rx)J1引4,"春襄律. 828888 645 .已知隨機(jī)變量 X+ Y= 8,若XR10Q.6)，則E(Y» , D(Y)分別是()A. 6,2.4B. 2,2.4C. 2,5.6D. 6,5.6解析：選B由已知隨機(jī)變量X+ Y= 8,有Y=8 X.因此，求得E(Y)=8E(X)=8 10X0.6=2, D(Y) = (-1)2D(X) = 10X0.6 X0.4= 2.4.二、填空題6 .設(shè)投擲一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量X,則X的方差為.解析：解析：依題意 X的分布列為X123456P16161

20、6161616為1 7故 E(X> = (1 +2+ 3+4 + 5+6) X -= 2,7 217 21X)= -2,b 6+?-2卜 6+3512.-35答案：127 .一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)由25道選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng) 是正確的，每個(gè)答案選擇正確得 4分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分， 滿分100分，某學(xué)生選對(duì) 任一題的概率為0.6,則此學(xué)生在這一次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值與方差分別為 .解析：設(shè)該學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中選對(duì)答案的題目的個(gè)數(shù)為X,所得的分?jǐn)?shù)(成績(jī))為Y,則 Y= 4X.由題知XB(25,0.6),所以 旦X) =25X0.6= 15, D(X) =25X0

21、.6 X 0.4 = 6,E(Y) =E(4X) =4E(X) =60, D(Y) = 口4閃=42X 口為=16X 6= 96,所以該學(xué)生在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值與方差分別是60與96.答案：60,962 _1 一 一，4 _8 .若 X是離散型隨機(jī)變量， RX= xi) =-, RX= X2)=-,且 Xi<X2,又知 E(X) =-, D(X) 339=2,貝 U Xi + X2 =.解析：由題意可得 E(X)= 2xi + 1X2, 334 2 24 21DrX)= Xi-9 |X3+ X2-9 ,X3,2143X1+3X2=9,J-4卜 2+54 219 x3=2.解得 Xi

22、+ X2=197.9答案:I79"三、解答題9 .有甲、乙兩個(gè)建材廠，都想投標(biāo)參加某重點(diǎn)建設(shè)項(xiàng)目，為了對(duì)重點(diǎn)建設(shè)項(xiàng)目負(fù)責(zé), 政府到兩建材廠抽樣驗(yàn)查，他們從中各取等量的樣本檢查它們的抗拉強(qiáng)度指數(shù)如下：II0I20I25I30I35P0.i0.20.40.i0.2i00ii5I25I30I45P0.i0.20.40.i0.2其中E和刀分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強(qiáng)度，比較甲、乙兩廠材料哪一種穩(wěn)定性好.解：E( E ) mIIOXO.I +I20X 0.2 +I25X0.4 + I30X0.I +I35X 0.2 =I25,E( r ) = I00X 0.i +II5X0.2 +I25X0.4 + I30X 0.i +I45X0.2 =I25,D( E ) = 0.i X(ii0 I25) 2+0.2 X(i20 I25) 2+0.4 X(i25 i25)2 + 0.i X(i30 i25)2 + 0.2 X(i35 i25) 2=50,D( r ) = 0.i X(i00 I25) 2+0.2 X(ii5 I25) 2+0.4 X(i25 i25)2 + 0.i X(i30 I25)2 + 0.2 X(i45 I25)2=i65,由于E(E ) = E" ) , D( E )< DU ),故甲廠的材料穩(wěn)定性