極坐標(biāo)與參數(shù)方程知識點及題型歸納總結(jié)

1、極坐標(biāo)與參數(shù)方程知識點及題型歸納總結(jié)知識點精講一、極坐標(biāo)系在平面上取一個定點 0,由點0出發(fā)的一條射線 Ox、一個長度單位及計算角度的正方向（通常取逆時針方向），合稱為一個極坐標(biāo)系點0稱為極點，Ox稱為極軸平面上任一點 M的位置可以由線段0M的長度 和從Ox到0M的角度 （弧度制）來刻畫（如圖16-31和圖16-32所示）.這兩個實數(shù)組成的有序?qū)崝?shù)對）稱為點M的極坐標(biāo).稱為極徑，稱為極角.二、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M為平面上的一點，其直角坐標(biāo)為（x, y），極坐標(biāo)為（,），由圖16-31和圖16-32可知，下面的關(guān)系式成立COSx2sinta n50)(對x0也成立）極坐標(biāo)的幾何意義r表示以

2、0為圓心，r為半徑的圓;0 表示過原點（極點）傾斜角為0的直線，0（0）為射線;2acos表示以（a,0）為圓心過0點的圓.（可化直角坐標(biāo)2a cosx2 y2 2 ax (x a)2 y2 a2.)四、直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程可以從其普通方程轉(zhuǎn)化而來，設(shè)直線的點斜式方程為y y k（x X。），其中k tan （為直線的傾斜角），代人點斜式方程y。sin , (x cosx°)(2）,即x X°cosy y。sin記上式的比值為t ,整理后得x x0 t cos y y° tsi n2也成立，故直線的參數(shù)方程為x x t cosuujiun(t為參數(shù)，為傾斜

3、角，直線上定點M0(Xo,y0)，動點M(x,y) , t為M0M的數(shù)量,y Yq tsin向上向右為正(如圖16-33所示).16-33五、圓的參數(shù)方程若圓心為點M(Xq,Yq)，半徑為r，則圓的參數(shù)方程為XqYqr cos.(Q r sin2 ).六、橢圓的參數(shù)方程2 2x y橢圓C ： r 21的參數(shù)方程為a ba cosbsi n為參數(shù)，(Q七、雙曲線的參數(shù)方程2 2雙曲線C寺殳1的參數(shù)方程為x asecy bta n尹Z).八、拋物線的參數(shù)方程x拋物線y2 2px的參數(shù)方程為y2 pt ( t為參數(shù)，參數(shù)2ptt的幾何意義是拋物線上的點與頂點連線的斜率的倒數(shù))題型歸納即思路提示題型1

4、極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程思路提示對于極坐標(biāo)方程給出的問題解答一般都是通過化為直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)方程求解.這里需注意的是極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系建立的對應(yīng)關(guān)系及其坐標(biāo)間的關(guān)系xcosysin例16.7在極坐標(biāo)系中，圓4sin 的圓心到直線一( R )的距離是6分析將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的一般方程求解解析極坐標(biāo)系中的圓4s in 轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的一般方程為2 2 2 2x y 4y，即x (y 2)4，其圓心為(0,2)，直線轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的方程6為：y上3x，即x 3 0.圓心(0,2)到直線x 3 0的距離為|0 2,31, 3.3變式1已知曲線Ci,C2的極坐

5、標(biāo)方程分別為cos 3， 4cos ，(0,0)，則曲線Cl與C2交點的極坐標(biāo)為2變式2 O 01和O 02的極坐標(biāo)方程分別為4cos , 4sin(1)把O Oi和O 02的極坐標(biāo)方程分別化為直角坐方程 求經(jīng)過O Oi和O 02交點的直線的直角坐標(biāo)方程變式3 已知一個圓的極坐標(biāo)方程是5 ._ 3cos 5sin，求此圓的圓心和半徑例16.8極坐標(biāo)方程(1)() 0(0)表示的圖形是()A.兩個圓 B.兩條直線 C. 一個圓和一條射線D.一條直線和一條射線分析將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.解析因為(1)()0(0)，所以1或(0).1、x2y21，得 x2y21,表示圓心在原點的單位圓；(0)

6、表示x軸的負(fù)半軸,疋條射線.故選C.變式1極坐標(biāo)方程cosx1 t和參數(shù)方程(t參數(shù))所表示的圖形分別是()y 2 3tA.圓、直線B.直線、圓C.圓、圓 D.直線、直線變式2在極坐標(biāo)系中，點 P(2,)到直線l : sin()1的距離是66變式3直線2 cos1與圓2cos相交的弦長為題型2直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程 思路提示如果題目中已知的曲線為直角坐標(biāo)方程，而解答的問題是極坐標(biāo)系下的有關(guān)問題，這里要利用直角x cos坐標(biāo)與極坐標(biāo)關(guān)系式，將直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程y sin例16.9 在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1 : x2 y2 4，圓C2: (x 2)2 y2 4.(1)在以O(shè)為極點，

7、x軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓C1;C2的極坐標(biāo)方程，并求出圓C1;C2的交點坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示)；(2)求出G與C2的公共弦的參數(shù)方程解析 （1 ）圓Ci的極坐標(biāo)方程為2，圓C2的極坐標(biāo)方程為4cos解得4cos,故圓Ci與圓C2的交點的坐標(biāo)為（2,）,（2,-）.333注：極坐標(biāo)系下點的表示不唯一x cos（2）解法一：由，得圓Ci與圓C2的交點的坐標(biāo)分別為y sin（1,j3）,（1, J3）.故圓Ci與C2的公共弦的參數(shù)方程為 1（3 t . 3）.C的極坐標(biāo)方程為_ 參數(shù)方程化普通方程y t解法二1：將x 1代入xycos得 cos1，從而sin1cos于是圓G與C2的公共弦的參

8、數(shù)方程為x 1(_y tan3曲線c的直角坐標(biāo)方程為變式12 xy2 2x 0，以原點為極點，x軸的正半軸為極抽建立極坐標(biāo)系,則曲線題型3思路提示性質(zhì)問題一般要通過消參（代入法、加減法，三角法已知直線或曲線的參數(shù)方程討論其位置關(guān)系、轉(zhuǎn)化為普通方程解答例16.10 若直線3x4ym 0與圓1 cos一（ 為參數(shù)）沒有公共點，則實數(shù) m的取值范圍2 sin解析將圓的參數(shù)方程1 cos(2 sin為參數(shù)）化為普通方程（x 1）2(y2)21，圓心(1, 2)，半徑1.直線與圓無公共點，則圓心到直線的距離大于半徑,|3 8 m|5|m 5| 5，得 m 10或即m的范圍是（，0）U（10,）.變式x在

9、平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線I的參數(shù)方程yt 3 (參數(shù)3 tR ），圓C的參數(shù)方程為x 2cosy 2si n（參數(shù)20,2 ），則圓C圓心坐標(biāo)為，圓心到直線I的距離為變式2（2013湖北理16）在莊角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程x acos(y bsi n為參數(shù)，a b 0），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點 O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，直線I與圓O的極坐標(biāo)方程分別為sin（ ）4#m（m為非零數(shù)）與b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點,且與圓0相切，則橢圓C的離心率為變式3參數(shù)方程sinsincos（是參數(shù)）的普通方程是cos例16.11已知動圓C:x2y2

10、2ax cos 2bysin 0（ a, b是正常數(shù)，a b，是參數(shù)），則圓心的軌跡是解析由動圓C : x22ax cos2bys in0 得(x a cos )2(ybsi n)2a2 cos2b2 sin2圓心坐標(biāo)為（acos ,bsin ）（ 為參數(shù)），設(shè)x acos ，ybsin1為所求軌跡方程，所以圓心的軌跡是橢圓變式1方程x 3t2y t212(05）表示的曲線是（A.線段B.雙曲線的一支 C. 圓弧D.射線變式2x已知直線C1 :y1 t costsin（t為參數(shù)），C2cos(1)當(dāng)亍時，求C1與C2的交點坐標(biāo);sin（為參數(shù)） 過坐標(biāo)原點O作G的垂線，垂足為 A，P為OA的中

11、點當(dāng)變化時，求點P軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線題型4普通方程化參數(shù)方程思路提示對于直線與圓錐曲線方程化為參數(shù)方程問題實質(zhì)是引入第三個變量的換元法，這里有代數(shù)換元（如拋x物線y 2px的參數(shù)方程y2 pt2x2y2x）或三角換兀（如橢圓 一2 -2 1的參數(shù)方程2 pta2b2ya cos)bsi n例16.12在平面直角坐標(biāo)系2xOy中，設(shè)P（x, y）是橢圓 y21上的一個動點，求3x y的最大分析利用橢圓的參數(shù)方程,建立x,y與參數(shù) 的關(guān)系，運用三角函數(shù)最值的求法，求解xy的最大值.解析2w點P（x, y）是橢圓y2 1上的一個動點，則3y sinx 3 cos （為參數(shù)），0,2

12、，則x y.3 cossin2sin() ,0,2 ，故3(x y)max 2 .變式1 已知點P(x, y)是圓x2 y2 2y 0上的動點.(1) 求2x y的取值范圍；(2) 若x y a 0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.變式2 直線|過P(1,1)，傾斜角 一.6(1) 寫出I的參數(shù)方程；(2) I與圓x2 y24相交于 代B兩點，求P到代B兩點的距離之積變式3已知拋物線C : y2 4x，點M(m,0)在x軸的正半軸上，過 M的直線I與C相交于 代B兩點,O為坐標(biāo)原點(1)若m 1時，I的斜率為1,求以AB為直徑的圓的方程；(2)若存在直線|使得| AM |,| OM |,| MB |

13、成等比數(shù)列，求實數(shù) m的取值范圍題型5參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化思路提示參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化問題，需要通過普通方程這一中間橋梁來實現(xiàn)，先將參數(shù)方程(極坐標(biāo) 方程)化為普通方程，再將普通方程化為極坐標(biāo)方程(參數(shù)方程)例 16.13已知曲線C的參數(shù)方程為2 cost、2 sin t(t為參數(shù))，C在點(1,1)處的切線為I，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則I的極坐標(biāo)方程為分析 把曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，求出切線I的普通方程，然后把求出的直線 I的普通方程化為極坐標(biāo)方程解析由sin2t cos2t 1得曲線C的普通方程為x2y22，過原點O及切點(1,1)的直線的斜率

14、為1，故切線I的斜率為 1，所以切線I的方程為y 1(x 1)，即 x y 20.把 xcos ，ysin代入直線I的方程可得 cos sin 20，即2 sin( )20，化簡得sin( ). 2 .44x t變式1 設(shè)曲線C的參數(shù)方程為2 ( t為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的正半軸為極y t2軸建立極坐標(biāo)系，則曲線 c的極坐標(biāo)方程為.有效訓(xùn)練題1.極坐標(biāo)方程cos2sin 2表示的曲線為(2.2（sin cos ）的圓心的一個極坐標(biāo)是（A. 一條射線和一個圓B.兩條直線C.一條直線和一個圓D. 一個圓5.過點A（2,3）的直線的參數(shù)方程為t （ t為參數(shù)），若此直線與直線2t

15、0相交于點B，A. ( .2, .2)3B.(2,)C.(2, 3 )44D.3.在極坐標(biāo)系中，若等邊厶ABC的兩個頂點是A（2,） , B（2,5-）.那么頂點C的坐標(biāo)可能是（)44人3代(4,)4B(2/3,)C.(/3,4)D.(3,)xtsin50o 14.直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則直線的傾斜角為（）yt cos50A. 40°B.50oC.140oD.130o2.圓)則|AB|=（）A. -/5B.2,5C.3.5D.x6.設(shè)曲線C的參數(shù)方程y3cos1 3si n為參數(shù)），直線I的方程為3y則曲線C上到直線l的距離為好的點的個數(shù)為（）A. 1B.C.D.7.已知直線l的極坐標(biāo)方程為sin（ -）乎，圓M的參數(shù)方程為2cos2sin為參數(shù)），則圓M上的點到直線l的最短距離為8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G和C2的參數(shù)方程分別為y5 cos、5sin為參數(shù)，21 t2( t為參數(shù))_2 t2，貝V曲線G與C2的交點坐標(biāo)為2x 2 pt9.已知拋物線的參數(shù)方程為N （t為參數(shù)），其中p 0,焦點為F，準(zhǔn)線為I，過拋物線上一y 2pt點M作準(zhǔn)線I的垂線，垂足為E ,若| EF | | MF |，點M的橫坐標(biāo)是3，貝U p =.2 10.在極坐標(biāo)系中,O為極點，已知