2019高考數(shù)學(xué)(理)考前沖刺提分課——破解難點(diǎn)優(yōu)質(zhì)課：導(dǎo)數(shù)與方程

1、 破解難點(diǎn)優(yōu)質(zhì)課(二)導(dǎo)數(shù)與方程破解難點(diǎn)一判斷、證明或討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)兩類零點(diǎn)問題的不同處理方法:利用零點(diǎn)存在性定理的條件為函數(shù)圖像在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0.直接法:判斷一個(gè)零點(diǎn)時(shí),若函數(shù)為單調(diào)函數(shù),則只需取值證明f(a)·f(b)<0; 分類討論法:判斷幾個(gè)零點(diǎn)時(shí),需要先結(jié)合單調(diào)性,確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn),再利用零點(diǎn)存在性定理,在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明f(a)·f(b)<0.案例方法與思維【直接法】2017·全國卷 已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)0.(1)求a;(2)證明:

2、f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0,且e-2<f(x0)<2-2.(2)證明:由(1)知f(x)=x2-x-xln x,f'(x)=2x-2-ln x.設(shè)h(x)=2x-2-ln x,則h'(x)=2-1x.當(dāng)x0,12時(shí),h'(x)<0;當(dāng)x12,+時(shí),h'(x)>0.所以h(x)在0,12上單調(diào)遞減,在12,+上單調(diào)遞增.【關(guān)鍵1:構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】又h(e-2)>0,h12<0,h(1)=0,所以h(x)在0,12上有唯一零點(diǎn)x0,在12,+上有唯一零點(diǎn)1,【關(guān)鍵2:利用零點(diǎn)存在性定理判斷導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的位置】

3、且當(dāng)x(0,x0)時(shí),h(x)>0;當(dāng)x(x0,1)時(shí),h(x)<0;當(dāng)x(1,+)時(shí),h(x)>0.因?yàn)閒'(x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn).由f'(x0)=0得ln x0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0).由x00,12得f(x0)<14.【關(guān)鍵3:求二次函數(shù)值域得到f(x0)的范圍】因?yàn)閤=x0是f(x)在(0,1)上的最大值點(diǎn),由e-1(0,1),f'(e-1)0得f(x0)>f(e-1)=e-2,所以e-2<f(x0)<2-2.【關(guān)鍵4:利用函數(shù)最值證明不等式】【分類討論法】2015

4、·全國卷 已知函數(shù)f(x)=x3+ax+14,g(x)=-ln x.(1)當(dāng)a為何值時(shí),x軸為曲線y=f(x)的切線;(2)用minm,n表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)=minf(x),g(x)(x>0),討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)當(dāng)x(1,+)時(shí),g(x)=-ln x<0,從而h(x)=minf(x),g(x)g(x)<0,故h(x)在(1,+)上無零點(diǎn).【關(guān)鍵1:對x的取值分類討論,適當(dāng)放縮,判斷h(x)的符號,確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)】當(dāng)x=1時(shí),若a-54,則f(1)=a+540,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,故x=1是h(x)的零點(diǎn);

5、若a<-54,則f(1)<0,h(1)=minf(1),g(1)=f(1)<0,故x=1不是h(x)的零點(diǎn).【關(guān)鍵2:當(dāng)x的取值固定時(shí),對參數(shù)a的取值分類討論,確定函數(shù)值的符號得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)】當(dāng)x(0,1)時(shí),g(x)=-ln x>0,所以只需考慮f(x)在(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(i)若a-3或a0,則f'(x)=3x2+a在(0,1)上無零點(diǎn),故f(x)在(0,1)上單調(diào).而f(0)=14,f(1)=a+54,所以當(dāng)a-3時(shí),f(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a0時(shí),f(x)在(0,1)上沒有零點(diǎn).(ii)若-3<a<0,則f(x)在0,-a3上

6、單調(diào)遞減,在-a3,1上單調(diào)遞增,故在(0,1)上,當(dāng)x=-a3時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f-a3=2a3-a3+14.若f-a3>0,即-34<a<0,則f(x)在(0,1)上無零點(diǎn);若f-a3=0,即a=-34,則f(x)在(0,1)上有唯一零點(diǎn);若f-a3<0,即-3<a<-34,由于f(0)=14,f(1)=a+54,所以當(dāng)-54<a<-34時(shí),f(x)在(0,1)上有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)-3<a-54時(shí),f(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn).【關(guān)鍵3:當(dāng)x的取值固定在一個(gè)范圍內(nèi)時(shí),對參數(shù)a的取值分類討論,利用函數(shù)單調(diào)性、最值、零點(diǎn)存在性

7、定理得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)】綜上,當(dāng)a>-34或a<-54時(shí),h(x)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a=-34或a=-54時(shí),h(x)有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)-54<a<-34時(shí),h(x)有三個(gè)零點(diǎn).例1 2018·安徽“皖南八?！比?lián) 已知函數(shù)f(x)=x2+x-aln x(aR),g(x)=12x2+x+12.(1)若曲線y=f(x)與y=g(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線互相垂直,求a的值;(2)討論函數(shù)y=f(x)-g(x)+12的零點(diǎn)個(gè)數(shù).     總結(jié)反思 根據(jù)參數(shù)確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有兩種解決方法:一種是利用單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理求解,另

8、一種是化原函數(shù)為兩個(gè)函數(shù),利用兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)來求解.變式題 2018·雅安三診 設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)ex-k2x2.(1)當(dāng)k<1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)k0時(shí),討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).   破解難點(diǎn)二根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)范圍常用的方法:(1)分離參數(shù)法:一般命題情境為給出區(qū)間,求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍,通常解法為從f(x)中分離出參數(shù),然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值,根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分類討論法:一般命題情境為沒有固定區(qū)間,求滿足

9、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍,通常解法為結(jié)合單調(diào)性,先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn),在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意,將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起,即為所求參數(shù)范圍.案例方法與思維【由導(dǎo)數(shù)特點(diǎn)分類討論】2018·全國卷 已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,證明:當(dāng)x0時(shí),f(x)1;(2)若f(x)在(0,+)只有一個(gè)零點(diǎn),求a.(2)設(shè)函數(shù)h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,+)只有一個(gè)零點(diǎn).【關(guān)鍵1:構(gòu)造函數(shù)h(x),將f(x)的零點(diǎn)情況轉(zhuǎn)化為h(x)的零點(diǎn)情況】(i)當(dāng)a0時(shí),h(x)>0,h(x)沒有零點(diǎn).【關(guān)鍵

10、2:對參數(shù)a分類討論,結(jié)合函數(shù)值判斷函數(shù)零點(diǎn)情況】(ii)當(dāng)a>0時(shí),h'(x)=ax(x-2)e-x.當(dāng)x(0,2)時(shí),h'(x)<0;當(dāng)x(2,+)時(shí),h'(x)>0.所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+)單調(diào)遞增.故h(2)=1-4ae2是h(x)在0,+)的最小值.【關(guān)鍵3:分類討論,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,求函數(shù)最值】若h(2)>0,即a<e24,h(x)在(0,+)沒有零點(diǎn);若h(2)=0,即a=e24,h(x)在(0,+)只有一個(gè)零點(diǎn);若h(2)<0,即a>e24,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)

11、有一個(gè)零點(diǎn).由(1)知,當(dāng)x>0時(shí),ex>x2,所以h(4a)=1-16a3e4a=1-16a3(e2a)2>1-16a3(2a)4=1-1a>0.故h(x)在(2,4a)有一個(gè)零點(diǎn),因此h(x)在(0,+)有兩個(gè)零點(diǎn).【關(guān)鍵4:對函數(shù)最小值的符號分類討論,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性判斷零點(diǎn)情況,求出參數(shù)值】綜上,f(x)在(0,+)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),a=e24.(續(xù)表)案例方法與思維【直接分類討論】2017·全國卷 已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.(2)(i)若a0,由(1)知,f(x

12、)至多有一個(gè)零點(diǎn).【關(guān)鍵1:針對f(x)解析式的特點(diǎn),可對參數(shù)a直接分類討論】(ii)若a>0,由(1)知,當(dāng)x=-ln a時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(-ln a)=1-1a+ln a.【關(guān)鍵2:結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最小值,進(jìn)而根據(jù)最小值直接判斷零點(diǎn)的情況】當(dāng)a=1時(shí),由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a(1,+)時(shí),由于1-1a+ln a>0,即f(-ln a)>0,故f(x)沒有零點(diǎn);當(dāng)a(0,1)時(shí),1-1a+ln a<0,即f(-ln a)<0.又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,故f(x

13、)在(-,-ln a)上有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)正整數(shù)n0滿足n0>ln3a-1,則f(n0)=en0(aen0+a-2)-n0>en0-n0>2n0-n0>0.由于ln3a-1>-ln a,因此f(x)在(-ln a,+)上有一個(gè)零點(diǎn).【關(guān)鍵3:對參數(shù)a分類討論,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與最小值判斷函數(shù)零點(diǎn)情況,求參數(shù)取值范圍】綜上,a的取值范圍為(0,1).例2 2018·武漢調(diào)研 已知函數(shù)f(x)=xex-a(ln x+x),aR.(1)當(dāng)a=e時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.    總

14、結(jié)反思 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)取值范圍的核心思想是“數(shù)形結(jié)合”,即通過函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù),或者通過兩個(gè)相關(guān)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)滿足的條件,進(jìn)而求得參數(shù)的取值范圍,解決問題的步驟是“先形后數(shù)”.變式題 2018·唐山模擬 已知a>0,函數(shù)f(x)=ln x+4ax+a2-2.(1)記g(a)=f(a2),求g(a)的最小值;(2)若f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn),求a的取值范圍.   破解難點(diǎn)三可化為函數(shù)零點(diǎn)的函數(shù)問題(與函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)研究)本探究點(diǎn)包括兩個(gè)方向:一是與函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)有關(guān)的問題(更多涉及構(gòu)造函數(shù)法);二是可以轉(zhuǎn)化為

15、函數(shù)零點(diǎn)的函數(shù)問題(更多涉及整體轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等方法技巧).能夠利用等價(jià)轉(zhuǎn)換構(gòu)造函數(shù)法求解的問題常涉及參數(shù)的最值、曲線交點(diǎn)、零點(diǎn)的大小關(guān)系等.求解時(shí)一般先通過等價(jià)轉(zhuǎn)換,將已知轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題,再構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等,并結(jié)合分類討論,通過確定函數(shù)的零點(diǎn)達(dá)到解決問題的目的.案例方法與思維【可化為函數(shù)零點(diǎn)的函數(shù)問題】2014·全國卷 已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2.曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.(1)a;(2)證明:當(dāng)k<1時(shí),曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).(2)證明:由(1)知,f(x)

16、=x3-3x2+x+2.設(shè)g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.【關(guān)鍵1:等價(jià)轉(zhuǎn)換,構(gòu)造函數(shù)】由題設(shè)知1-k>0.當(dāng)x0時(shí),g'(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)單調(diào)遞增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-,0上有唯一實(shí)根.【關(guān)鍵2:利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,判斷實(shí)根情況】當(dāng)x>0時(shí),令h(x)=x3-3x2+4,則g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).h'(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+)上單調(diào)遞增,所以g(x)>h(x)h(2)=

17、0,所以g(x)=0在(0,+)上沒有實(shí)根.綜上,g(x)=0在R上有唯一實(shí)根,【關(guān)鍵3:利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷實(shí)根情況】即曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).【函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)研究】2016·全國卷 已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求a的取值范圍;(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2<2.(2)證明:不妨設(shè)x1<x2.由(1)知,x1(-,1),x2(1,+),2-x2(-,1),f(x)在(-,1)單調(diào)遞減,所以x1+x2<2等價(jià)于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x

18、2)<0.【關(guān)鍵1:利用分析法轉(zhuǎn)化要證明的不等式】由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.【關(guān)鍵2:將代入,利用整體代入消元】設(shè)g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,【關(guān)鍵3:構(gòu)造函數(shù)】則g'(x)=(x-1)(e2-x-ex).所以當(dāng)x>1時(shí),g'(x)<0,而g(1)=0,故當(dāng)x>1時(shí),g(x)<0,從而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.【關(guān)鍵4:利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、用最值證明不等式】例3 2018·南寧期中 設(shè)函數(shù)f(x)=12x2-mln x,g(x)=x2-(m+1)x.(1)當(dāng)m=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)m0時(shí),討論函數(shù)f(x)與g(x)圖像的