數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

1、第六章數(shù)列§6.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法考點(diǎn)梳理1 數(shù)列的概念（1）左義:按照一左順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的 數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（通 常也叫做），排在第位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)所以，數(shù)列的一般形式可以寫成其中色是數(shù)列的第n項(xiàng)，叫做數(shù)列的通項(xiàng).常把一般形式的數(shù)列簡(jiǎn)記作如（2 ）通項(xiàng)公式:如果數(shù)列“昇的與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.（3）從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是一個(gè)圧義域?yàn)檎麛?shù)集N"或它的有限子集1,2, 3,川）的函數(shù)（離散的），當(dāng)自變量從小到大

2、依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列（4）數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.（5）數(shù)列的表示方法有、2 數(shù)列的分類（1）數(shù)列按項(xiàng)數(shù)是有限還是無限來分，分為、（2）按項(xiàng)的增減規(guī)律分為、和_遞增數(shù)列O“皿 遞減數(shù)列0“計(jì)s 常數(shù)列Oa曲血遞增數(shù)列與遞減數(shù)列統(tǒng)稱為3.數(shù)列前門項(xiàng)和。與血的關(guān)系已知S小則"=錯(cuò)誤！自查自糾：1 項(xiàng)首項(xiàng)a, U2, “3,第項(xiàng)“（3）函數(shù)值（4 ） an a n.（5）通項(xiàng)公式法（解析式法）列表法 圖彖法遞推公式法2（1）有窮數(shù)列無窮數(shù)

3、列（2）遞增數(shù)列遞減數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列常數(shù)列v =單調(diào)數(shù)列典型例題講練類型一數(shù)列的通項(xiàng)公式例題1根據(jù)下而各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1) -1 ,7,-13, 19, ：(2) 錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!未定義書簽。錯(cuò)誤! 錯(cuò)誤!未定義書簽"錯(cuò)誤!，；(3) 錯(cuò)誤!,2,錯(cuò)誤!&錯(cuò)誤!未定義書簽；(4) 5, 5 5,5 5 5, 5 555, 解:偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故通項(xiàng)公式正負(fù)性可用(-1)"調(diào)節(jié)，觀察各項(xiàng)的絕對(duì)值后 一項(xiàng)的絕對(duì)值總比它前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6 ,故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為“(6” - 5).這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列,其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1X3,

4、 3X5, 5X7, 7X9, 9 X 11 ,，每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積.故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為( 2/j-I ) (2/1+1 ).(3 )數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù),可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察即 錯(cuò)謀！，錯(cuò)課!，錯(cuò)課！，錯(cuò)誤!未定義書簽。，錯(cuò)誤!未定義書簽，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 為刀二錯(cuò)誤!未定義書簽。.(4)將原數(shù)列改寫為錯(cuò)誤味定義書簽。X9,-|-X99 , 17( 5,9)X 999,易知數(shù) 歹IJ 9,99,9 9 9 ,的通項(xiàng)為10 - 1 ,故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為“=討0"-1 ).變式1寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1) -1，錯(cuò)誤味定義書簽。，

5、-錯(cuò)誤味定義書簽。，血，4), -4,；(2 )3.5. 97, 33；(3) 錯(cuò)誤!，二1.錯(cuò)誤!，：錯(cuò)誤味定義書簽。，錯(cuò)誤!，.(4) 1, 2,2, 4, 3, &4, 16,.解:(1)“二(-1 ) "錯(cuò)誤!；(2) 6二2"十1;(3 )由于-1= -1,故分母為 3,5,7,9,11,，即? + 1,分子為 2,5,1 0,17 , 26 , 即屆1).符號(hào)看作各項(xiàng)依次乘1 , - lflf-l，即(-1 )和,故“二(-1嚴(yán)1錯(cuò) 誤!未定義書簽。.觀察數(shù)列可知，奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等t域列，“”二錯(cuò)誤味定義書簽。類型二由前/I項(xiàng)和公式求通項(xiàng)公式

6、例題2 ( 1 )若數(shù)列 a的前”項(xiàng)和S；f=/72-10n,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為砒=_ 的前n項(xiàng)和S”=2" + l,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為二解：(1 )當(dāng)二 1 時(shí)- 10=-9;當(dāng)心2時(shí)，an= Sn - Sn.±=n2A0n - ( - 1 ) 2-10(? - 1) = 2 /7 - 1 1 -當(dāng) Z7=l 時(shí),2X 1 - 1 l=-9=</j.t/n= 2 /7-11.故填2 n-11.(2 )當(dāng)“二 1時(shí).J i=5i =2!+ 1=3；當(dāng)心2時(shí)Jn=Sn-Sn.x = (2n+ ) - (2M-*+l)=2 n-2n i=2”i .綜上有二錯(cuò)誤!未定義

7、書簽。故填錯(cuò)課！變式2已知下列數(shù)列 &”的前"項(xiàng)和S”，分別求它們的通項(xiàng)公式.(1) S/r=2,r-3/7； (2)3n+b.解：(l)i=S| = 2-3=-lf當(dāng)2 0r J,t = SirSn.=(2n2 - 3n) - 2 ( nA)2 - 3(w - 1)=4 - 5f“1也適合此等式J. n=4/?-5.(2) 二 3+b ,當(dāng) fl 22 時(shí),(In Sn-Sn-=(3 n + Z? ) - ( 3 小十 b)=23U當(dāng)b二-1時(shí)“適合此等式.當(dāng)方H- 1時(shí)八“不適合此等式.當(dāng)Z? = -1時(shí)，如二23"1;當(dāng)"-1時(shí)3沖錯(cuò)誤!未定義書簽。

8、類型三由遞推公式求通項(xiàng)公式例題3寫出下而各數(shù)列“”的通項(xiàng)公式.(1 )"1 = 2 M n+l =Un+ 77 + 1：(2) " = 1,前項(xiàng)和S“=錯(cuò)誤！ a”；(3) “i = 1 ,a *)=3 a ”+2.解：(1)由題意得，當(dāng)門2 2時(shí)如-iin-n ,：.Un = dl+(u 2 - "1)+("3 -(12)+ + ( ""- fln-1)=2 + (2+3十+“曰十錯(cuò)誤味定義書簽。=錯(cuò)誤! + 1.又 Ji=2= |/( 1X(1 + 1 ),2)+1，適合上式，因此“二錯(cuò)誤!未定義書簽。+1.(2) 由題設(shè)知,6二

9、1.當(dāng)心2時(shí)，U>1 = S”-S”-l=錯(cuò)誤味定義書簽。dn -錯(cuò)誤!未定義書簽。cin -.錯(cuò)誤!未定義書簽。二錯(cuò)誤!未定義書簽。. 錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤！,，錯(cuò)誤!未定義書簽。二錯(cuò)誤!未定義書簽。，錯(cuò)誤！二錯(cuò)誤!未定義書a 2 簽。，一二 3.6以上ml個(gè)式子的等號(hào)兩端分別相乘，得到晉二 I f( n(n +1 ) .2).又aan=錯(cuò)誤!未定義書簽。.(3) 解法一:(累乘法)D n*l = 3an+2，得 an+ + 1 = 3( n+l )，即./("“+1 + 1 , an+ 1) = 3,U4 + 1 錯(cuò)誤!未定義書簽。=3 ,錯(cuò)誤!未定義書簽。二3,-=3，錯(cuò)誤！二3

10、.J3+ 1將這些等式兩邊分別相乘得錯(cuò)誤! =3”.5".錯(cuò)誤味定義書簽。=3即 an + 1=2X3"-l(/7>l),/.</ = 2X3n,-l ( n2),又J 1=1也適合上式，故數(shù)列仏啲一個(gè)通項(xiàng)公式為“”二2><- 1 .解法二：(迭代法)6+二 + 2,即 Un+1 + 1=3(«+ 1) = 32 ( 6-1 + 1)=3 3( 6-2 十 1)=-=3w(<7l+l)=2X3n(/71)f:.Un=2 X 3;r-又二1也滿足上式,故數(shù)歹I</的一個(gè)通項(xiàng)公式為tin = 2X3"- 1.變式3寫出下而

11、各遞推公式表示的數(shù)列 &”的通項(xiàng)公式.(1) “ = 2,小 F+錯(cuò)誤!未定義書簽°:(2 )“=19 “” + i=2"s；(3) “i = ls+i=2a“+1.解：(1)當(dāng)心2時(shí),如尸錯(cuò)誤！二錯(cuò)誤!-錯(cuò)誤!未定義書簽.當(dāng)心2 時(shí) f an= ( an-a.)+(an.i-an.2)+ + ( a2-ai)+ai=錯(cuò)誤味定義書簽。+ 錯(cuò)誤!十+錯(cuò)誤! +錯(cuò)誤!未定義書簽。十2= 3 -錯(cuò)誤!.當(dāng)”二1時(shí)適合故"” =3 -錯(cuò)誤!未定義書簽。.(2) T 曲】，如)=2”,.錯(cuò)誤！二2】,錯(cuò)誤!未定義書簽。二2巳，錯(cuò)誤!=2一】，將這加個(gè)等式屋乘，得|.

12、脅,"”2®宀(刊二2錯(cuò)誤!未定義書簽如二2錯(cuò)誤!.當(dāng)“二1時(shí)，適合故6二2錯(cuò)誤!未定義書簽。.(3) 由題意知如1十1二2(血十1)八數(shù)列+1 是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,:.Un + 1=2 n , :.J n = 2n - 1.類型四數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)例題4已知數(shù)列“,且= (” + 1)錯(cuò)誤味定義書簽。錯(cuò)誤!未定義書簽。ZN T求數(shù)列為的最大項(xiàng).解：因?yàn)槿缍?“+1)銷徐'.錯(cuò)誤!未定義書簽。是積幕形式的式子且6>0,所以可用作 商法比較心與的大|解：令一(心2),Jn - 1即錯(cuò)誤!>1 ,逸得瞬未定義書簽。?錯(cuò)誤！,解得“W10 令錯(cuò)誤!未

13、定義書簽。>1 ,即錯(cuò)誤味定義書簽。勿，整理得2七, n十2詐錯(cuò)誤味定義書簽。,解得”29.從第1項(xiàng)到第9項(xiàng)遞增，從第10項(xiàng)起遞減故e二6。二翔吳味定義書簽。最大.變式4數(shù)列“”的通項(xiàng)錯(cuò)誤味定義書簽。，則數(shù)列伽中的最大項(xiàng)是()A3 r(10) B. 19 C.錯(cuò)誤！ D.錯(cuò)誤!未定義書簽。解：易得如錯(cuò)誤!運(yùn)用基本不等式得，錯(cuò)誤味定義書簽。W錯(cuò)誤!未定義書簽。，由于nGN不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)心9或10時(shí)“二錯(cuò)誤味定義書簽。最大故選C.方法規(guī)律總結(jié)1.已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.應(yīng)從以下幾方面考慮：(1) 如果符號(hào)正負(fù)相間，則符號(hào)可用(一 1)“或(一 1 )E來調(diào)節(jié).(2) 分式形式的數(shù)列扮

14、子和分母分別找通項(xiàng)，并充分借助分子和分母的關(guān)系來解決.(3 )對(duì)于比較復(fù)雜的通項(xiàng)公式,要借助于等差數(shù)列.等比數(shù)列和其他方法來解決.2“=錯(cuò)誤!注意ufSlS小的條件是 心2,還須驗(yàn)證山是否符合血522),是則合 并，否則寫成分段形式.3.已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)掌握先由山和遞推關(guān)系求出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想弘的方法，以及“累加法”“累 乘法”等(1)已知如且Un-Un- =f (n)9可以用"累加法"得:an = a +/(2)+/ (3) +血1)+/ (n).(2)已知且錯(cuò)誤味定義書簽。=f(n)，可以用“累乘法”得： an=a */(2)-/(3) f(n-l) /(

15、1;).注:以上兩式均要求/()易求和或積.4 數(shù)列的簡(jiǎn)單性質(zhì)(1) 單調(diào)性：若如】>如則跖為遞增數(shù)列;若“小5“則血為遞減數(shù)列.(2) 周期性：若為非零正整數(shù))，則伽為周期數(shù)列,&為如的一個(gè)周期.(3) 最大值與最小值:若錯(cuò)誤！則最大;若錯(cuò)誤！則血最小.課后練習(xí)1. 1,2,錯(cuò)誤!未定義書簽。錯(cuò)誤!未定義書簽。錯(cuò)誤!未定義書簽。，中,2錯(cuò)誤!未 定義書簽。是這個(gè)數(shù)列的()A第16項(xiàng)B第24項(xiàng)C.2 6項(xiàng)D.第28項(xiàng)解：觀察s二1=錯(cuò)誤！，6二2二錯(cuò)誤！ ,3二錯(cuò)誤味定義書簽。，“4=錯(cuò)誤!未定義書 簽。，如錯(cuò)誤味定義書簽。，所以6二錯(cuò)誤味定義書簽。令“”二褲=2錯(cuò)誤!未定義 書

16、簽。=a/76 r得川=26故選C2數(shù)列an的前門項(xiàng)積為"2,那么當(dāng),心2時(shí)，"=()A.2ZI-1 B.,P C.錯(cuò)誤!未定義書簽。D.錯(cuò)誤！解:設(shè)數(shù)列"”的前“項(xiàng)積為Tn ,則7>昭，當(dāng)“2 2時(shí)用尸錯(cuò)誤!未定義書簽。二 An2 , (n - I)2).故選 D.3數(shù)列“"滿足如+“”=2“3,若 “=2,510 8 8-6/4=()A. 7 B. 6 C.5 D 4解：依題意得仏 + 2 十 6+1) (如 + +如)=2(” + 1)-3 - ( 2 n-3),即如2 - n = 2 J J 8 -心二("Z6)+ (“6&quo

17、t;4 ) =2 + 2 = 4故選 D.4已知數(shù)列 “的前n項(xiàng)和S產(chǎn)加丄則滿足錯(cuò)誤味定義書簽。W2的正整數(shù)n的集合為A. 1,2居 1 , 2,3, 4 C1,2.3 D1, 2.4解：B5在數(shù)列 S 中“=2, %曲+ lg錯(cuò)誤!未定義書簽。，則血的值為() A. 2 +lg n 。 B 2 +(/?-l)Ig nC. 2 + 川 g n gD 1+nlgn解法:Vtfa+i - an - lg錯(cuò)誤!未定義書簽."/?二(Jn - an )+(an 1 - an 2 ) +("2 - ci ) + a=lg錯(cuò)誤!+lg錯(cuò)課!+ +"錯(cuò)誤!未定義書簽。+2=儀錯(cuò)

18、謀！十2 = 1 g”十2.解法二：如+1=如+1 g(n +1) 1 g/?,n+1-lg ( h+1) = slgu所以數(shù)列-1 g n 是常數(shù)列,an - 1 gn= l-lgl = 2r <7；r=2+lg/?故選A.6.若數(shù)列a滿足尙=2, a nci nUn 則"2017的值為()A.-l B.錯(cuò)誤！ C 2 D.3解：根據(jù)題意/ T數(shù)列仏滿足“1=2 # Un Jn=Un- /2»1二1錯(cuò)誤!未定義書簽° .2017=3X672+ 1 , :.an = ai2.故選心茶"3二-1, 6二2,，可知數(shù)列的周期為3C.且"2= 2，貝lj “8 =/二 4°貝! a3 二 “2x4 二"2 X 4=8 故填 8.血=7已知數(shù)列如滿足©.曰皿“，fW 2 ), 解:令 $=/=2 則 <?4 = </2X <72=4 r 令 5=2 , 8下列關(guān)于星星圖案的個(gè)邱構(gòu)成一 f數(shù)列，該數(shù)彈的一個(gè)通項(xiàng)令式是+產(chǎn)I申秦才解:從題圖中可觀察星星的個(gè)