數(shù)學思想方法難點歸納--函數(shù)方程思想

1、函數(shù)方程思想重難點歸納 函數(shù)與方程的思想是最重要的一種數(shù)學思想，要注意函數(shù)，方程與不等式之間的相互聯(lián)系和轉化 考生應做到 （1）深刻理解一般函數(shù)y=f(x)、y=f1(x)的性質（單調性、奇偶性、周期性、最值和圖象變換），熟練掌握基本初等函數(shù)的性質，這是應用函數(shù)思想解題的基礎 （2）密切注意三個“二次”的相關問題，三個“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學數(shù)學的重要內容，具有豐富的內涵和密切的聯(lián)系 掌握二次函數(shù)基本性質，二次方程實根分布條件，二次不等式的轉化策略 典型題例示范講解 例1已知函數(shù)f(x)=logm(1)若f(x)的定義域為，（0），判斷f(x)在定義域上的增減

2、性，并加以說明；(2)當0m1時，使f(x)的值域為logmm(1)，logmm(1)的定義域區(qū)間為,(0)是否存在？請說明理由 命題意圖 本題重在考查函數(shù)的性質，方程思想的應用 知識依托 函數(shù)單調性的定義判斷法；單調性的應用；方程根的分布；解不等式組 錯解分析 第(1)問中考生易忽視“3”這一關鍵隱性條件；第(2)問中轉化出的方程，不能認清其根的實質特點，為兩大于3的根 技巧與方法 本題巧就巧在采用了等價轉化的方法，借助函數(shù)方程思想，巧妙解題 解 （1）x3或x3 f(x)定義域為,3設x1x2，有當0m1時，f(x)為減函數(shù)，當m1時，f(x)為增函數(shù) （2）若f(x)在,上的值域為log

3、mm(1),logmm(1)0m1, f(x)為減函數(shù) 即即,為方程mx2+(2m1)x3(m1)=0的大于3的兩個根 0m故當0m時，滿足題意條件的m存在 例2已知函數(shù)f(x)=x2(m+1)x+m(mR)(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的兩個實根，A、B是銳角三角形ABC的兩個內角 求證 m5;(2)對任意實數(shù),恒有f(2+cos)0，證明m3;(3)在(2)的條件下，若函數(shù)f(sin)的最大值是8，求m 命題意圖 本題考查函數(shù)、方程與三角函數(shù)的相互應用；不等式法求參數(shù)的范圍 知識依托 一元二次方程的韋達定理、特定區(qū)間上正負號的充要條件，三角函數(shù)公式 錯解分析 第(1)問中

4、易漏掉0和tan(A+B)0，第(2)問中如何保證f(x)在1,3恒小于等于零為關鍵 技巧與方法 深挖題意，做到題意條件都明確，隱性條件注意列 列式要周到，不遺漏 （1）證明 f(x)+4=0即x2(m+1)x+m+4=0 依題意 又A、B銳角為三角形內兩內角A+Btan(A+B)0，即m5(2)證明 f(x)=(x1)(xm)又1cos1，12+cos3，恒有f(2+cos)0即1x3時，恒有f(x)0即(x1)(xm)0mx但xmax=3，mxmax=3(3)解 f(sin)=sin2(m+1)sin+m=且2,當sin=1時，f(sin)有最大值8 即1+(m+1)+m=8，m=3例3關

5、于x的不等式2·32x3x+a2a30，當0x1時恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為 解析 設t=3x，則t1,3，原不等式可化為a2a32t2+t,t1,3 等價于a2a3大于f(t)=2t2+t在1,3上的最大值 答案 (,1)(2,+)例4對于函數(shù)f(x)，若存在x0R,使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動點 已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+(b1)(a0)（1）若a=1,b=2時，求f(x)的不動點；（2）若對任意實數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若y=f(x)圖象上A、B兩點的橫坐標是函數(shù)f(x)的不動點，且A、

6、B關于直線y=kx+對稱，求b的最小值 解 （1）當a=1,b=2時，f(x)=x2x3，由題意可知x=x2x3，得x1=1,x2=3 故當a=1,b=2時，f(x)的兩個不動點為1,3 （2）f(x)=ax2+(b+1)x+(b1)(a0)恒有兩個不動點，x=ax2+(b+1)x+(b1)，即ax2+bx+(b1)=0恒有兩相異實根=b24ab+4a0(bR)恒成立 于是=(4a)216a0解得0a1故當bR，f(x)恒有兩個相異的不動點時，0a1 （3）由題意A、B兩點應在直線y=x上，設A(x1,x1),B(x2,x2)又A、B關于y=kx+對稱 k=1 設AB的中點為M(x,y)x1,

7、x2是方程ax2+bx+(b1)=0的兩個根 x=y=，又點M在直線上有，即a0，2a+2當且僅當2a=即a=(0,1)時取等號，故b，得b的最小值 學生鞏固練習 1 已知函數(shù)f(x)=loga(2a)2對任意x,+都有意義，則實數(shù)a的取值范圍是( )A (0, B (0,) C ,1 D (,）2 函數(shù)f(x)的定義域為R，且x1，已知f(x+1)為奇函數(shù)，當x1時，f(x)=2x2x+1，那么當x1時，f(x)的遞減區(qū)間是( )A ，+ B (1, C ,+ D (1,3 關于x的方程lg(ax1)lg(x3)=1有解，則a的取值范圍是 4 如果y=1sin2xmcosx的最小值為4，則m

8、的值為 5 設集合A=x4x2x+2+a=0,xR （1）若A中僅有一個元素，求實數(shù)a的取值集合B；（2）若對于任意aB，不等式x26xa(x2)恒成立，求x的取值范圍6 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù)，且a0)滿足條件:f(x1)=f(3x)且方程f(x)=2x有等根 （1）求f(x)的解析式；（2）是否存在實數(shù)m，n(mn，使f(x)定義域和值域分別為m,n和4m,4n，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，說明理由 7 已知函數(shù)f(x)=6x6x2，設函數(shù)g1(x)=f(x), g2(x)=fg1(x), g3(x)=f g2(x),gn(x)=fgn1(x),（1）求

9、證 如果存在一個實數(shù)x0，滿足g1(x0)=x0，那么對一切nN，gn(x0)=x0都成立；（2）若實數(shù)x0滿足gn(x0)=x0，則稱x0為穩(wěn)定不動點，試求出所有這些穩(wěn)定不動點；（3）設區(qū)間A=（,0）,對于任意xA，有g1(x)=f(x)=a0, g2(x)=fg1(x)=f(0)0，且n2時，gn(x)0 試問是否存在區(qū)間B（AB），對于區(qū)間內任意實數(shù)x，只要n2，都有gn(x)0 8 已知函數(shù)f(x)= (a0,x0) （1）求證:f(x)在(0,+)上是增函數(shù)；（2）若f(x)2x在(0,+)上恒成立，求a的取值范圍；（3）若f(x)在m,n上的值域是m,n(mn)，求a的取值范圍

10、參考答案 1 解析 考查函數(shù)y1=和y2=(2a)x的圖象，顯然有02a1 由題意得a=，再結合指數(shù)函數(shù)圖象性質可得答案 答案 A2 解析 由題意可得f(x+1)=f(x+1) 令t=x+1，則x=1t，故f(t)=f(2t)，即f(x)=f(2x) 當x1,2x1，于是有f(x)=f(2x)=2(x)2，其遞減區(qū)間為，+) 答案 C3 解析 顯然有x3，原方程可化為故有(10a)·x=29,必有10a0得a10又x=3可得a 答案 a104 解析 原式化為 當1,ymin=1+m=4m=5 當11,ymin=4m=±4不符 當1，ymin=1m=4m=5 答案 ±

11、;55 解 (1)令2x=t(t0)，設f(t)=t24t+a 由f(t)=0在(0,+)有且僅有一根或兩相等實根，則有f(t)=0有兩等根時，=0164a=0a=4驗證 t24t+4=0t=2(0,+)，這時x=1f(t)=0有一正根和一負根時,f(0)0a0若f(0)=0，則a=0，此時4x4·2x=02x=0（舍去），或2x=4,x=2，即A中只有一個元素綜上所述，a0或a=4，即B=aa0或a=4（2）要使原不等式對任意a(,04恒成立 即g(a)=(x2)a(x26x)0恒成立 只須x26 解 （1）方程ax2+bx=2x有等根，=(b2)2=0,得b=2 由f(x1)=f

12、(3x)知此函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=1得a=1，故f(x)=x2+2x （2）f(x)=(x1)2+11，4n1，即n而拋物線y=x2+2x的對稱軸為x=1n時，f(x)在m,n上為增函數(shù) 若滿足題設條件的m,n存在，則又mn,m=2,n=0，這時定義域為2,0，值域為8,0 由以上知滿足條件的m、n存在，m=2,n=0 7 (1)證明 當n=1時，g1(x0)=x0顯然成立；設n=k時，有gk(x0)=x0(kN)成立，則gk+1(x0)=fgk(x0)=f(x0)=g1(x0)=x0即n=k+1時，命題成立 對一切nN,若g1(x0)=x0，則gn(x0)=x0 （2）解 由（1）知，穩(wěn)定不動點x0只需滿足f(x0)=x0由f(x0)=x0，得6x06x02=x0,x0=0或x0=穩(wěn)定不動點為0和 (3)解 f(x)0，得6x6x20x0或x1 gn(x)0fgn1(x)0gn1(x)0或gn1(x)1要使一切nN,n2，都有gn(x)0，必須有g1(x)0或g1(x)1 由g1(x)06x6x20x0或x1由g1(x)06x6x21故對于區(qū)間()和(1,+)內的任意實數(shù)x,只要n2,nN，都有gn(x)0 8 (1)證明 任取x1x20,f(x1)f(x2)=x1x20,x1x20，x1x20,f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(0,+