復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（課堂PPT）

1、.1任任 群群北京理工大學(xué)理學(xué)院北京理工大學(xué)理學(xué)院.2第二章第二章 解析函數(shù)解析函數(shù) 本章首先介紹連續(xù)函數(shù)與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的本章首先介紹連續(xù)函數(shù)與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念，重點(diǎn)研究解析函數(shù)，并探討了解析概念，重點(diǎn)研究解析函數(shù)，并探討了解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系，最后介紹幾個(gè)基函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系，最后介紹幾個(gè)基本的初等函數(shù)本的初等函數(shù). .32-1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、導(dǎo)數(shù)的概念及其求導(dǎo)法則二、微分的定義及其可微的充要條件.4如如果果極極限限，上上的的復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)是是定定義義于于區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè) , , )( 00DzzDzDzfw 1 1定定義義).( , )( . )( 000zfzzfzzf 記記作作的的導(dǎo)

2、導(dǎo)數(shù)數(shù)在在這這個(gè)個(gè)極極限限值值稱稱為為可可導(dǎo)導(dǎo)在在存存在在，則則稱稱 )()(lim 000zzfzzfz (1) 導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義一、導(dǎo)數(shù)的概念及其求導(dǎo)法則.5注意注意.)0(0的方式是任意的的方式是任意的即即 zzz.)()(,0000都趨于同一個(gè)數(shù)都趨于同一個(gè)數(shù)時(shí)時(shí)內(nèi)以任意方式趨于內(nèi)以任意方式趨于在區(qū)域在區(qū)域也即也即zzfzzfzDzz . )( , )( 可可導(dǎo)導(dǎo)在在區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)稱稱則則內(nèi)內(nèi)的的每每一一點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)在在區(qū)區(qū)域域如如果果函函數(shù)數(shù)DzfDzf0000)()(limdd)(0zzzfzfzwzfzzz ).(zfD 記記為為上上的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)構(gòu)構(gòu)成成導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)，此此時(shí)時(shí)，

3、在在區(qū)區(qū)域域.6.)(2的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)zzf 1 1例例zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz z2 zz2)(2 .7是是否否可可導(dǎo)導(dǎo)？問問yixzf32)( 2 2例例zzfzzfzfzz )()(limlim00解解yixyixiyyxxz32)(3)(2lim0yixyixz 32lim000 0 yxxz即即，軸軸的的直直線線趨趨向向于于沿沿著著平平行行于于設(shè)設(shè)xyoz0 y.8xyoz0 yyixyixz 32lim022lim0 xxx0 xyixyixz 32lim033lim0 yiyiy不不存存在在的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)

4、所所以以.32)(yixzf 00 0 yxyz即即，軸軸的的直直線線趨趨向向于于沿沿著著平平行行于于設(shè)設(shè).9(2) 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 函數(shù)函數(shù)f (z)在在z0 處可導(dǎo)，則在處可導(dǎo)，則在z0 處一定連續(xù)處一定連續(xù), , 但但函數(shù)函數(shù) f (z) 在在z0 處連續(xù)不一定在處連續(xù)不一定在z0 處可導(dǎo)處可導(dǎo). .必必有有點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)在在，由由 ,)(0zzf事事實(shí)實(shí)上上0)()()(lim0000 zfzzfzzfz)()()()( 000zfzzfzzfz 令令.10, 0)(lim 0 zz 再再由由 )()(00zfzzf , )()(lim 000zfzzfz 所所以以 .

5、 )(0連連續(xù)續(xù)在在即即zzf ,)( )(0zzzzf 可可知知，反反過過來來，由由例例2 ;32)(不不可可導(dǎo)導(dǎo)yixzf 不不可可導(dǎo)導(dǎo)續(xù)續(xù)性性定定理理，知知連連續(xù)續(xù)，由由連連，但但二二元元函函數(shù)數(shù).32)(3),(2),(yixzfyyxvxyxu .11(3) 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則 由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實(shí)函數(shù)由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實(shí)函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致，同時(shí)，復(fù)變中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致，同時(shí)，復(fù)變函數(shù)中的極限運(yùn)算法則也和實(shí)函數(shù)中一樣，因函數(shù)中的極限運(yùn)算法則也和實(shí)函數(shù)中一樣，因而實(shí)函數(shù)中的求導(dǎo)法則可推廣到復(fù)變函數(shù)中，而實(shí)函數(shù)中的求導(dǎo)法則可推廣到復(fù)變函數(shù)中，

6、且證明方法相同，此處略且證明方法相同，此處略.求導(dǎo)公式與法則求導(dǎo)公式與法則: . , 0)()1(為為復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)其其中中cc .,)()2(1為為正正整整數(shù)數(shù)其其中中nnzznn .12 ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其其中中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函函數(shù)數(shù)兩兩個(gè)個(gè)互互為為反反函函數(shù)數(shù)的的單單值值是是與與其其中中.13 由此可以看出，復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義與一

7、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義與一元實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義在形式上完全一樣，它們元實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義在形式上完全一樣，它們的一些求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則也一樣。的一些求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則也一樣。 然而，復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要求極限存在與然而，復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要求極限存在與 變變量量 z 趨于趨于 z0 的方式無關(guān)的方式無關(guān), 這與二元實(shí)函數(shù)的極限這與二元實(shí)函數(shù)的極限相一致，是否可以說明相一致，是否可以說明復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是兩個(gè)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？二元實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？上節(jié)例上節(jié)例 2說明問題不是那么簡單。說明問題不是那么簡單。.141. 可微的概念可微的概念 復(fù)變函數(shù)可微的概念在形式上與一元實(shí)變復(fù)變函數(shù)可微的概念

8、在形式上與一元實(shí)變函數(shù)的微分概念完全一致。函數(shù)的微分概念完全一致。 復(fù)變函數(shù)可微與可導(dǎo)是否也具有一元實(shí)變復(fù)變函數(shù)可微與可導(dǎo)是否也具有一元實(shí)變函數(shù)可微與可導(dǎo)的關(guān)系？函數(shù)可微與可導(dǎo)的關(guān)系？，使得，使得若存在復(fù)常數(shù)若存在復(fù)常數(shù)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定義：定義：Azzfw0)( )()(00zzAzfzzf 可可微微。在在點(diǎn)點(diǎn)，則則稱稱其其中中00)(0lim zzfz 二、微分的定義及其可微的充要條件二、微分的定義及其可微的充要條件.15可可導(dǎo)導(dǎo)的的充充要要條條件件是是在在復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)0)( zzfw 引引理理).()(00zfAzzf 處處可可微微，且且在在點(diǎn)

9、點(diǎn)，則則存存在在，且且記記設(shè)設(shè))()( 00zfAzf 證證明明 )()(lim 000zzfzzfz A )()( 00Azzfzzf 令令.16 )()(00zzAzfzzf 則則且且 . 0lim 0 z可可微微。在在點(diǎn)點(diǎn)這這說說明明函函數(shù)數(shù)0)(zzf反過來可容易證明反過來可容易證明.17與一元函數(shù)類似地與一元函數(shù)類似地, 記記 ,d)()(d00zzfzzfw .)(00可微等價(jià)可微等價(jià)可導(dǎo)與在可導(dǎo)與在在在引理告訴我們，引理告訴我們，zzzfw .)( ,)(內(nèi)可微內(nèi)可微區(qū)域區(qū)域在在則稱則稱內(nèi)處處可微內(nèi)處處可微區(qū)域區(qū)域在在如果函數(shù)如果函數(shù)DzfDzfzzfwd)(d .182. 充要

10、條件充要條件Cauchy-Rieman簡介.19定理定理: :設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域D D內(nèi)確定，則內(nèi)確定，則函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) 可導(dǎo)可導(dǎo)的充分必要條件是：的充分必要條件是： 與與 在在 可微可微 在在 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為條件條件( (* *) )常稱為常稱為柯西柯西黎曼條件黎曼條件（C. R.C. R.條件）條件）iyxvyxuzf),(),()()(zf),(yxviyxz000yvxuxvyu),(yxuiyuyvixvxuzf)( yixz *柯西黎曼條件方程（C. R.方程）Diyxz000.20 : ),(),()( 000處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)公公式式點(diǎn)點(diǎn)在在由由該該定定理理，可可得得

11、函函數(shù)數(shù)iyxzyxivyxuzf .1)(0yvyuixvixuzf.21推論：推論：設(shè)設(shè) 。若。若 和和 在在 的四個(gè)一階偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)的四個(gè)一階偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn) 均連續(xù)并且滿足均連續(xù)并且滿足 C-R C-R 方程，方程，則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可導(dǎo)。處可導(dǎo)。注意：注意：1 1） 在點(diǎn)在點(diǎn) 可微等價(jià)于它在該可微等價(jià)于它在該點(diǎn)可導(dǎo)。但不等價(jià)于其實(shí)部函數(shù)與虛部函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)。但不等價(jià)于其實(shí)部函數(shù)與虛部函數(shù)在點(diǎn) 可微?？晌?。2 2）一個(gè)二元實(shí)函數(shù)在某點(diǎn)可微的一個(gè)二元實(shí)函數(shù)在某點(diǎn)可微的充分充分條件是：條件是：它的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)不僅存在，而且是它的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)不僅存在，而且是連續(xù)。連續(xù)。iyxvy

12、xuzf),(),()(),(yxu),(yxv),(00yx)(zfiyxz000)(zfiyxz000),(00yx.22判別可導(dǎo)性判別可導(dǎo)性P33,4(3) 判斷函數(shù)f(z)=zRe(z)在哪些點(diǎn)可導(dǎo)，哪些點(diǎn)連續(xù)。f(z)zRe(z)=x2+ixy，u=x2，v=xyf(z)在整個(gè)復(fù)平面連續(xù)xyvyxvyuxxu, 0,2C-R方程2x=x，0=-y僅有解x=0且y=0，又因u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(0,0)可微，所以f(z)僅在點(diǎn)z=0處可導(dǎo)。.23 Q 研究 在 的可導(dǎo)性。（說明在上面定理中 的可微性不可去） Q 判別函數(shù) 的可導(dǎo)點(diǎn)。xyzf)(0z),(),(yxvyxuiy

13、xzf22)(.24例例1 1 試證函數(shù)試證函數(shù) （n n為自然數(shù)）在復(fù)平面為自然數(shù)）在復(fù)平面上處處可導(dǎo)，且上處處可導(dǎo)，且nzzf)(1)( nnzzf證證 用定義來證明用定義來證明對于復(fù)平面上的任意一點(diǎn)對于復(fù)平面上的任意一點(diǎn) z z ，由導(dǎo)數(shù)定義有，由導(dǎo)數(shù)定義有 于是，于是， 在點(diǎn)在點(diǎn)z z的導(dǎo)數(shù)存在且等于的導(dǎo)數(shù)存在且等于 由點(diǎn)由點(diǎn) z z 在復(fù)平面上的任意性，證得在復(fù)平面上的任意性，證得 在復(fù)平在復(fù)平面上處處可導(dǎo)面上處處可導(dǎo) 函數(shù)函數(shù) 在復(fù)平面解析在復(fù)平面解析 .25例例2 2 設(shè)設(shè) 定義在復(fù)平面上，試證定義在復(fù)平面上，試證 于復(fù)平面上僅在原點(diǎn)可導(dǎo)于復(fù)平面上僅在原點(diǎn)可導(dǎo)zzzfRe)()(

14、zf證用定義來證明證用定義來證明若若 ，則因，則因 所以，所以， 在點(diǎn)在點(diǎn) 可導(dǎo)可導(dǎo) )(zf.26若若 ，則有，則有 令令 ，于是有，于是有 由于上式當(dāng)由于上式當(dāng) 在過點(diǎn)在過點(diǎn) z z 平行于虛軸的直線上趨于平行于虛軸的直線上趨于（即（即 ）時(shí)，其極限為）時(shí)，其極限為 x x ，而當(dāng)，而當(dāng) 在過在過點(diǎn)點(diǎn) z z 平行于實(shí)軸的直線上趨于（即平行于實(shí)軸的直線上趨于（即 ）時(shí)，）時(shí)，其極限為其極限為 ，所以，當(dāng)，所以，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 不存在，故不存在，故 在點(diǎn)在點(diǎn) 處不可導(dǎo)處不可導(dǎo) )(zf.27 于復(fù)平面上僅在原點(diǎn)可導(dǎo)于復(fù)平面上僅在原點(diǎn)可導(dǎo)zzzfRe)(可證得函數(shù)可證得函數(shù) 在復(fù)平面上處處不可在

15、復(fù)平面上處處不可導(dǎo)該函數(shù)在復(fù)平面上是一個(gè)處處連續(xù)導(dǎo)該函數(shù)在復(fù)平面上是一個(gè)處處連續(xù), ,但又處但又處處不可導(dǎo)的函數(shù)處不可導(dǎo)的函數(shù). .zzf)(.28用用LHospital法則求法則求 型的極限型的極限00 設(shè)函數(shù)f(z)和g(z)在點(diǎn)z0可導(dǎo)且 ， 試證等式P34,60)(0zg0)()(00zgzf)()()()(lim000zgzfzgzfzz證證: )()()()()()(lim)()()()(lim)()(lim00000000000zgzfzzzgzgzzzfzfzgzgzfzfzgzfzzzzzz說明說明: (1)當(dāng) 而 時(shí)，極限為無窮大。0)(0zg0)(0zf(2)當(dāng) 時(shí)，可繼

16、續(xù)用LHospital法則求極限0)()(00zgzf(3) 的情形，可用 把問題轉(zhuǎn)化為求 的極限zz10如如:11coslimsinlim1sinlim00zzz.291789.8.211789.8.21生于法國、巴黎生于法國、巴黎1857.5.231857.5.23卒于法國、斯科卒于法國、斯科A. L. Cauchy(A. L. Cauchy(柯西柯西) )簡介簡介數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化的開拓者數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化的開拓者復(fù)變函數(shù)論的奠基人復(fù)變函數(shù)論的奠基人彈性力學(xué)理論的建立者彈性力學(xué)理論的建立者在方程、群論、數(shù)論、幾在方程、群論、數(shù)論、幾何、光學(xué)、天體力學(xué)等也何、光學(xué)、天體力學(xué)等也有出色貢獻(xiàn)。有出色貢獻(xiàn)。多產(chǎn)的科學(xué)家多產(chǎn)的科學(xué)家(800(800多篇論文多篇論文) )，分析大師，分析大師。.30Riemann(Riemann(黎