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1、勾股定理(知識(shí)點(diǎn))【知識(shí)要點(diǎn)】 1. 勾股定理的概念: 如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么 a2b2c2. 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。常用關(guān)系式由三角形面積公式可得:ABCD=ACBC2. 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有下面關(guān)系:a2b2c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形,其中為斜邊。 3. 勾股數(shù): 滿足a2b2c2的三個(gè)正整數(shù)叫做勾股數(shù)(注意:若a,b,c、為勾股數(shù),那么ka,kb,kc同樣也是勾股數(shù)組。)記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度,如;8,15,17等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù):(為正整數(shù));(為正整數(shù))(,為正整數(shù))4.
2、判斷直角三角形:(1)有一個(gè)角為90的三角形是直角三角形。(2)有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。 (3)如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形。(4)如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2 ,那么這個(gè)三角形是直角三角形。(經(jīng)典直角三角形:勾三、股四、弦五)用勾股定理逆定理判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是:(1)確定最大邊(不妨設(shè)為c);(2)若c2a2b2,則ABC是以C為直角的三角形;若a2b2c2,則此三角形為鈍角三角形(其中c為最大邊);若a2b2c2,則此三角形為銳角三角形(其中c為最大邊)5.直角三角形的性質(zhì) (1)直角三角形的兩個(gè)銳角互余
3、??杀硎救缦拢篊=90A+B=90 (2)在直角三角形中,30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 A=30 可表示如下: BC =AB C=90 (3)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 ACB=90 可表示如下: CD =AB = BD = AD D為AB的中點(diǎn) 6.數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)第一步:分析所有表示二次根式中被開(kāi)方數(shù)可以寫成哪兩個(gè)有理數(shù)的和第二步:在數(shù)軸上畫出其中一個(gè)有理數(shù),以該有理數(shù)為垂足做垂線,在垂線上標(biāo)出第二個(gè)有理數(shù)的長(zhǎng)度。連接端點(diǎn)和原點(diǎn),以原點(diǎn)為圓心,端點(diǎn)為半徑畫圓,于數(shù)軸交點(diǎn)即為所有無(wú)理數(shù)。勾股定理專項(xiàng)練習(xí)一、基本應(yīng)用考點(diǎn)1:勾股定理1.下列是勾股數(shù)的一組是( D )A.4,5
4、,6 B.5,7,12 C.12,13,15 D.21,28,352.ABC中,A:B:C=2:1:1,a,b,c分別是A、B、C的對(duì)邊,則下列各等式中成立的是( )A.a2+b2=c2 B.a2=2b2 C.c2=2a2 D.b2=2a23.矩形ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,則這個(gè)矩形的面積為 60 cm2. 4.如圖,在ABC中,BAC=90,AB=15,AC=20,ADBC,垂足為D,則ABC斜邊上的高AD= 12 5.已知等腰三角形底邊長(zhǎng)為10cm,腰長(zhǎng)為13cm,則腰上的高為( C )A.12cm B. C. D.6.一個(gè)直角三角形的三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù),則它的三邊長(zhǎng)分別
5、為 6,8,10 7.(易錯(cuò)題)已知直角三角形的兩邊x,y的長(zhǎng)滿足x4+=0,則第三邊的長(zhǎng)為 5或7 .8.若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為2,4,x,則x的可能值有( )A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)9.已知直角三角形兩邊長(zhǎng)分別為3、4,則第三邊長(zhǎng)為 10.已知直角三角形的兩直角邊之比為3:4,斜邊為10,則直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為 11.如圖,分別以Rt ABC三邊為邊向外作三個(gè)正方形,其面積分別用S1、S2、S3表示,容易得出S1、S2、S3之間有的關(guān)系式 S1+S2=S3 12.(易錯(cuò)題)如圖,已知在RtABC中ACB=90,AB=4,分別以AC,BC為直徑作半圓,面積分別記為
6、S1,S2,則S1+S2的值等于 2 13.如圖,所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形邊長(zhǎng)為7cm,則正方形A,B,C,D的面積之和為 49 cm2。第4題 第11題 第12題 第13題14.在RtABC,C=90(1)已知c=17,b=8, 求a。(a=15)(2)已知ab=12,c=5, 求a。(a=5)(3)已知b=15,A=30,求a,c。(a=53,c=103)15.若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是n+1,n+2,n+3,求n。(n=2)16.若直角三角形兩直角邊的比是3:4,斜邊長(zhǎng)是20,求此直角三角形的面積。(S=96)考點(diǎn)2.勾股定理逆定理1.以下列各
7、組線段為邊長(zhǎng),能構(gòu)成三角形的是_,能構(gòu)成直角三角形的是_(填序號(hào))3,4,5 1,3,4 4,4,6 6,8,10 5,7,2 13,5,12 7,25,242.在下列以線段a、b、c的長(zhǎng)為三邊的三角形中,不能構(gòu)成直角三角形的是(D)A.a=9,b=41,c=40 B.a=b=5,c= C.abc=345 D.a=11,b=12,c=153.若一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)的平方分別為:32,42,x2,則此三角形是直角三角形的x2的值是( D )A42 B52 C7 D52或74.下列說(shuō)法不正確的是( B )A.三個(gè)角的度數(shù)之比為134的三角形是直角三角形B.三個(gè)角的度數(shù)之比為345的三角形是直角三角形C
8、.三邊長(zhǎng)度之比為345的三角形是直角三角形 D.三邊長(zhǎng)度之比為51213的三角形是直角三角形5.若ABC的三邊a、b、c,滿足(ab)(a2b2c2)=0,則ABC是( C )A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形6.有下列說(shuō)法:若兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,則此三角形是直角三角形;在ABC中,a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊,若a2+b2c2,則ABC是鈍角三角形;在ABC中,a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊,若b2+c2=a2,則C=900;在ABC中,a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊,C900,則a2+b2c2。其中正確的是( D )A. B.
9、 C. D.7.下列說(shuō)法中正確的有( )如果A+B+C=3:4:5,則ABC是直角三角形;如果A+B=C,那么ABC是直角三角形;如果三角形三邊之比為6:8:10,則ABC是直角三角形;如果三邊長(zhǎng)分別是n2-1,2n,n2+1(n1),則ABC是直角三角形。A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)8.若+|a-12|+(b-5)2=0,則以a、b、c為三邊的三角形是 直角 三角形.9.如果ABC的三邊a,b,c滿足關(guān)系式 +(b-18)2+=0則ABC是 三角形。10.已知:a、b、c為ABC的三邊,且滿足a2c2-b2c2=a4-b4,試判斷ABC的形狀.解:a2c2-b2c2=a4-b4,c
10、2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).c2=a2+b2.ABC是直角三角形.問(wèn):(1)在上述解題過(guò)程中,從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤?請(qǐng)寫出該步的代號(hào): (2)錯(cuò)誤的原因?yàn)?除數(shù)可能為零 ;11.已知ABC的三邊為a、b、c,且,求三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比(A:B:C=1:1::2)12.ABC的三邊a、b、c滿足試判斷ABC的形狀(直角三角形)13.已知ABC的三邊為a、b、c,且a+b=4,ab=1,c=,試判定ABC的形狀。 (直角三角形)14.若ABC的三邊a,b,c滿足條件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,試判定ABC的形狀(直角三角形)15.一根24米繩子,折成三邊
11、為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的三角形,則三邊長(zhǎng)分別為多少米?此三角形的形狀為?(6;8;10;直角三角形)16.若ABC的三邊長(zhǎng)為a,b,c,根據(jù)下列條件判斷ABC的形狀.(1)a2+b2+c2+200=12a+16b+20c (2)a3a2b+ab2ac2+bc2b3=0考點(diǎn)3.數(shù)軸表示無(wú)理數(shù)(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)1.用圓規(guī)與尺子在數(shù)軸上作出表示的點(diǎn),并補(bǔ)充完整作圖方法2.在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)?3.在數(shù)軸上作出表示3-的點(diǎn)考點(diǎn)4:勾股定理幾何應(yīng)用1.如圖在矩形ABCD中,M是CD中點(diǎn),AB=8,AD=3(1)求AM的長(zhǎng);(2)MAB是直角三角形嗎?為什么?(AM=5;不是直角三角形)2.如圖
12、所示,在RtABC中,ACB=90,CD是AB邊上高,若AD=8,BD=2,求CD(CD=4)3.一個(gè)長(zhǎng)方體木箱沿斜面下滑,當(dāng)木箱滑至如圖位置時(shí),AB=3m,已知木箱高BE=m,斜面坡角為30,求木箱端點(diǎn)E距地面AC的高度EF。(EF=3)4.有一塊土地形狀如圖所示,B=D=90,AB=20米,BC=15米,CD=7米,請(qǐng)計(jì)算這塊地的面積.(S=234)5.四邊形ABCD中,B=90,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四邊形ABCD的面積。(S=36)6.如圖,在四邊形ABCD中,AB=12 cm,BC=3 cm,CD=4 cm,C=90(1)求BD的長(zhǎng);(BD=5)(2)當(dāng)AD為
13、多少時(shí),ABD=90?(AD=13)7.農(nóng)民牛伯伯承包了一塊四邊形水稻田ABCD,他量得邊長(zhǎng)AB=90m,BC=120m,CD=130m,DA=140m,且邊AB、BC正好位于兩條相互垂直的公路的拐角處,請(qǐng)你幫牛伯伯計(jì)算一下這塊水稻田的面積。(S=13800)8.如圖所示的一塊地,AD=12m,CD=9m,ADC=90,AB=39m,BC=36m,求這塊地的面積(二)、實(shí)際應(yīng)用:1. 梯子滑動(dòng)問(wèn)題:1.一架長(zhǎng)2.5的梯子,斜立在一豎起的墻上,梯子底端距離墻底0.7(如圖),如果梯子的頂端沿墻下滑0.4,那么梯子底端將向左滑動(dòng) 0.8 米2.如圖,一個(gè)長(zhǎng)為10米的梯子,斜靠在墻面上,梯子的頂端距
14、地面的垂直距離為8米,如果梯子的頂端下滑1米,那么,梯子底端的滑動(dòng)距離 51-1 米3.小明想知道學(xué)校旗桿的高度,他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面上還多1 m,當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)5米后,發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好觸到地面,試問(wèn)旗桿的高度為 12 米4.如圖,一根12米高的電線桿兩側(cè)各用15米的鐵絲固定,兩個(gè)固定點(diǎn)之間的距離是 18 。 第1題 第2題 第4題5.如圖,一個(gè)3米長(zhǎng)的梯子AB,斜著靠在豎直的墻AO上,這時(shí)AO的距離為2.5米求梯子的底端B距墻角O多少米?(1.66)如果梯的頂端A沿墻下滑0.5米至C算一算,底端滑動(dòng)的距離近似值(結(jié)果保留兩位小數(shù))(0.58)6.如圖所示,梯子AB靠在墻上,梯子的
15、底端A到墻根O 的距離為2m,梯子的頂端B到地面的距離為7m現(xiàn)將梯子的底端A向外移動(dòng)到A,使梯子的底端A到墻根O的距離為3m,同時(shí)梯子的頂端B下降到B,那么BB也等于1m嗎?(不等于1,小于1)2. 爬行距離最短問(wèn)題:1.如圖,正方體盒子的棱長(zhǎng)為2,AB中點(diǎn)為M,一只螞蟻從點(diǎn)M沿正方體的表面爬到點(diǎn),螞蟻爬行的最短距離是( B )A. B. C. D.2.如圖,一塊磚寬AN=5,長(zhǎng)ND=10,CD上的點(diǎn)F距地面的高FD=8,地面上A處的一只螞蟻到F處吃食,要爬行的最短路線是 17 cm3.如圖,是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階,它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm、3dm、2dm,A和B是這個(gè)臺(tái)階兩相對(duì)的端點(diǎn),A
16、點(diǎn)有一只昆蟲(chóng)想到B點(diǎn)去吃可口的食物,則昆蟲(chóng)沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是 25 分米?4.一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是3,高是8的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn),那么它所爬行的最短路線的長(zhǎng)是 10 .5.在一個(gè)長(zhǎng)為2米,寬為1米的矩形草地上,如圖堆放著一根長(zhǎng)方體的木塊,它的棱長(zhǎng)和場(chǎng)地寬AD平行且AD,木塊的正視圖是邊長(zhǎng)為0.2米的正方形,求一只螞蟻從點(diǎn)A處,到達(dá)C處需要走的最短路 2.6 第1題 第2題 第3題 第4題 第5題3.方向問(wèn)題:1.一座垂直于兩岸的橋長(zhǎng)15米,一艘小船自橋北頭出發(fā),向正南方向駛?cè)?因水流原因,到達(dá)南岸后,發(fā)現(xiàn)已偏離橋南頭9米,則小船實(shí)際行駛了_3_米.2.一職工下班后以50米
17、/分的速度騎自行車沿著東西馬路向東走了5.6分,又沿南北馬路向南走了19.2分到家,則他的家離公司距離為( D ) A.100m B.500m C.1 240m D.1 000m3.有一次,小明坐著輪船由A點(diǎn)出發(fā)沿正東方向AN航行,在A點(diǎn)望湖中小島M,測(cè)得MAN30,當(dāng)他到B點(diǎn)時(shí),測(cè)得MBN45,AB100米,你能算出AM的長(zhǎng)嗎?(x=50+503)4.“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口,各自沿一固定方向航行,“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里,“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里,它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行,能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎?(西北方向)5.一
18、輪船在大海中航行,它先向正北方向航行8 km,接著,它又掉頭向正東方向航行15千米 此時(shí)輪船離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)多少km? (17km) 若輪船每航行1km,需耗油0.4升,那么在此過(guò)程中輪船共耗油多少升?(9.2km)6.甲、乙兩船上午11時(shí)同時(shí)從港口A出發(fā),甲船以每小時(shí)20海里的速度向東北方向航行,乙船以每小時(shí)15海里的速度向東南方向航行,求下午1時(shí)兩船之間的距離.(50海里)4.折疊問(wèn)題:1.如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中,將ABC沿AC對(duì)折至AEC位置,CE與AD交于點(diǎn)F。(1)試說(shuō)明:AF=FC;(2)如果AB=3,BC=4,求AF的長(zhǎng)2.如圖,正方形ABCD中,E是BC邊上的中點(diǎn),F(xiàn)是AB上一點(diǎn),且,那么DEF是直角三角形嗎?為什么?3.如圖,矩形紙片AB
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