動(dòng)態(tài)幾何解題方法與思考策略

1、動(dòng)態(tài)幾何解題方法與思考策略重慶市渝中區(qū)第57中劉曉豐以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形部分規(guī)律的問(wèn)題，稱之為動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題.動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“變”與“不變”的和諧統(tǒng)一，其特點(diǎn)是圖形中的某些元素（點(diǎn)、線段、角等）或某部分幾何圖形按一定的規(guī)律運(yùn)動(dòng)變化，從而又引起了其它一些元素的數(shù)量、位置關(guān)系、圖形重疊部分的面積或某部分圖形等發(fā)生變化，但是圖形的一些元素?cái)?shù)量和關(guān)系在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中卻互相依存，具有一定的規(guī)律可尋.一、動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題涉及的幾種情況動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題就其運(yùn)動(dòng)對(duì)象而言，有：1、點(diǎn)動(dòng)（有單動(dòng)點(diǎn)型、多動(dòng)點(diǎn)型）.2、線動(dòng)（主要有線平移型、旋轉(zhuǎn)型）。線動(dòng)實(shí)質(zhì)就是點(diǎn)動(dòng)，即點(diǎn)動(dòng)帶動(dòng)線動(dòng)，進(jìn)而還會(huì)產(chǎn)生形動(dòng)，因

2、而線動(dòng)型幾何問(wèn)題可以通過(guò)轉(zhuǎn)化成點(diǎn)動(dòng)型問(wèn)題來(lái)求解.3、 形動(dòng)（就其運(yùn)動(dòng)形式而言，有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動(dòng)）二、解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的基本思考策略與分析方法：動(dòng)態(tài)型問(wèn)題綜合了代數(shù)、幾何中較多的知識(shí)點(diǎn),解答時(shí)要特別注意以下七點(diǎn):1、把握運(yùn)動(dòng)變化的形式及過(guò)程；2、思考運(yùn)動(dòng)初始狀態(tài)時(shí)幾何元素的關(guān)系，以及可求出的幾何量；3、動(dòng)中取靜：（最重要的一點(diǎn)）要善于在“動(dòng)”中取“靜”（讓圖形和各個(gè)幾何量都“靜”下來(lái)），抓住變化中的“不變量”和不變關(guān)系為“向?qū)А?，求出相關(guān)的常量或者以含有變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量;4、找等量關(guān)系：利用面積關(guān)系、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、特殊圖形等的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系，找出基本的等量關(guān)

3、系式;5、列方程：將相關(guān)的常量和含有變量的代數(shù)式代入等量關(guān)系建立方程或函數(shù)模型；(某些幾何元素的變化會(huì)帶來(lái)其它幾何量的變化，所以在求變量之間的關(guān)系時(shí)，通常建立函數(shù)模型或不等式模型求解。在解決有關(guān)特殊點(diǎn)、特殊值、特殊位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)常結(jié)合圖形建立方程模型求解)6、是否分類討論：將變化的幾何元素按題目指定的運(yùn)動(dòng)路徑運(yùn)動(dòng)一遍，從動(dòng)態(tài)的角度去分析觀察可能出現(xiàn)的情況，看圖形的形狀是否改變，或圖形的有關(guān)幾何量的計(jì)算方法是否改變，以明確是否需要根據(jù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的特殊位置分類討論解決，7、確定變化分界點(diǎn)：若需分類討論，要以運(yùn)動(dòng)到達(dá)的特殊點(diǎn)為分界點(diǎn)，畫出與之對(duì)應(yīng)情況相吻合的圖形，找到情況發(fā)生改變的時(shí)刻，確定變化的范

4、圍分類求解。例：如圖，有一邊長(zhǎng)為5cm的正方形ABCD和等腰三角形RQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，點(diǎn)B、C、Q、R在同一條直線上，當(dāng)C、Q兩點(diǎn)重合時(shí)開(kāi)始，t秒后正方形ABCD與等腰PQR重合部分的面積為Scm.解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t=3秒時(shí)，求S的值； （2）當(dāng)t=5秒時(shí)，求S的值；（3）當(dāng)5秒t8秒時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.ABQCRPD分析：當(dāng)?shù)妊黀QR從C、Q兩點(diǎn)重合開(kāi)始，以1cm/秒的速度沿直線向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，正方形ABCD與等腰PQR重合部分圖形的形狀在改變，因此，我們需要根據(jù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的特殊位置分類討論解決。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有四個(gè)特殊位置點(diǎn),它們分別是點(diǎn)B、

5、C、R和等腰PQR底邊的中點(diǎn)E,這四個(gè)特殊位置點(diǎn)就是分類討論問(wèn)題的“分界點(diǎn)”.因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為5cm，等腰三角形RQR的底邊QR=8cm，（1）所以當(dāng)t4秒時(shí)，QE逐漸地與與BC完全重合，則S是QCG的面積，所以，當(dāng)t=3秒時(shí)，S是QCG的面積（如圖一的“靜態(tài)”）；（2）當(dāng)4秒t5秒時(shí)，即在點(diǎn)E落在線段上到點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，S是四邊形QCGP的面積（如圖二的“靜態(tài)”）；CB （圖一）AQRPDGE(圖一)（3）當(dāng)5秒t8秒時(shí)，點(diǎn)Q、R都在線段BC外，點(diǎn)E在BC上，S是一個(gè)五邊形BCGPH的面積（如圖三的“靜態(tài)”）.RABCD（Q）PEG(圖二)ABCDPQREHG(圖三)即1、運(yùn)動(dòng)規(guī)律

6、；2、思考初始；3、動(dòng)中取靜；4、找等量關(guān)系; 5、列方程；6、是否分類討論：7、確定分界點(diǎn)。三、 典型例題（2006重慶）如圖1所示，一張三角形紙片ABC，ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成和兩個(gè)三角形（如圖2所示）.將紙片沿直線（AB）方向平移（點(diǎn)始終在同一直線上），當(dāng)點(diǎn)于點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移.在平移過(guò)程中，與交于點(diǎn)E,與分別交于點(diǎn)F、P.(1) 當(dāng)平移到如圖3所示的位置時(shí)，猜想圖中的與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2) 設(shè)平移距離為，與重疊部分面積為，請(qǐng)寫出與的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；（3）對(duì)于（2）中的結(jié)論是否存在這樣的的值，使重

7、疊部分的面積等于原面積的.若存在，求x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. PEFAD1BD2C1C2圖2圖1圖3分析：1、把握運(yùn)動(dòng)變化的形式及過(guò)程：題目條件：將沿直線（AB）方向平移（點(diǎn)始終在同一直線上），當(dāng)點(diǎn)于點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移.所以這是一個(gè)圖形的平移運(yùn)動(dòng)2、思考初始；找出初始位置時(shí)某些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系：（1）因?yàn)樵谥?，所以由勾股定理，得?）因?yàn)?，CD是斜邊上的中線，所以，即.（3），.第1問(wèn)：“動(dòng)”中取“靜”：讓圖形和各個(gè)幾何量都“靜”下來(lái)。因?yàn)槭瞧揭?，所以，所?所以，所以，.同理：.又因?yàn)?，所?所以第2問(wèn)：（1）是求變量之間的關(guān)系，則建立函數(shù)模型。（2）按題目指定的運(yùn)動(dòng)路徑運(yùn)動(dòng)一遍

8、，重疊部分圖形的形狀不發(fā)生改變，則不需要分類討論解決。（3）找等量關(guān)系式：用面積割補(bǔ)法知道（4）“動(dòng)”中取“靜”，求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。為便于求其面積，注意選擇三角形的底和高。三角形BD1E的底為BD1，需求高。需求直角三角形C2OF的底和高。我們視自變量為“不變量”，以為“向?qū)А比デ蟪鋈切蔚牡缀透?。（A）、的面積等于面積的一半，等于12.（B）、又因?yàn)?，所以，所以，由得，又的邊上的高，?設(shè)的邊上的高為，所以.所以.（C）、又因?yàn)椋?在直角三角形PFC2中，C2F=X，又因?yàn)椋?所以 ，而所以第3問(wèn)：是求特殊值問(wèn)題，則建立方程模型求解；存在. 當(dāng)時(shí)，即

9、整理，得解得，.即當(dāng)或時(shí)，重疊部分的面積等于原面積的.解析 （1）.因?yàn)?，所?又因?yàn)?，CD是斜邊上的中線，所以，即所以，所以所以，.同理：.又因?yàn)椋?所以（2）因?yàn)樵谥?，所以由勾股定理，得即又因?yàn)椋?所以在中，到的距離就是的邊上的高，為.設(shè)的邊上的高為，由探究，得，所以.所以.又因?yàn)椋?又因?yàn)椋?所以 ，而所以(3) 存在. 當(dāng)時(shí)，即整理，得解得，.即當(dāng)或時(shí)，重疊部分的面積等于原面積的.（2006山東青島）如圖，有兩個(gè)形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起（點(diǎn)A與點(diǎn)E重合），已知AC8cm，BC6cm，C90°，EG4cm，EGF90°，O是EFG斜

10、邊上的中點(diǎn)如圖，若整個(gè)EFG從圖的位置出發(fā)，以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移，在EFG 平移的同時(shí)，點(diǎn)P從EFG的頂點(diǎn)G出發(fā)，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，EFG也隨之停止平移設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），F(xiàn)G的延長(zhǎng)線交 AC于H，四邊形OAHP的面積為y（cm2)（不考慮點(diǎn)P與G、F重合的情況）（1）當(dāng)x為何值時(shí)，OPAC ?（2）求y與x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍（3）是否存在某一時(shí)刻，使四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324？若存在，求出x的值；若不存在，說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：1142 12996，1152 13225，

11、1162 13456或4.42 19.36，4.52 20.25，4.62 21.16）分析：1、把握運(yùn)動(dòng)變化的形式及過(guò)程：題目條件：若整個(gè)EFG從圖的位置出發(fā)，以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移，在EFG 平移的同時(shí)，點(diǎn)P從EFG的頂點(diǎn)G出發(fā)，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，EFG也隨之停止平移（1）整個(gè)EFG從圖的位置出發(fā)，以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移；（2）點(diǎn)P從EFG的頂點(diǎn)G出發(fā)，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)；0x3.2、思考初始；（1）注意參考數(shù)據(jù)運(yùn)用于計(jì)算平方、平方根或估算。（2）找出初始位置時(shí)某些幾何元素

12、的數(shù)量和關(guān)系；RtEFGRtABC ，F(xiàn)G3cmEGAC第1問(wèn)：（1）是特殊位置關(guān)系問(wèn)題，建立方程模型求解。（2）“動(dòng)”中取“靜”，讓圖形和各個(gè)幾何量都在特殊位置關(guān)系（OPAC）“靜”下來(lái)，畫出與對(duì)應(yīng)情況相吻合的圖形。O是EFG斜邊上的中點(diǎn)當(dāng)P為FG的中點(diǎn)時(shí)，OPEG ，EGAC ，OPAC x ×31.5（s）當(dāng)x為1.5s時(shí)，OPAC 第2問(wèn)：（1）是求變量之間的關(guān)系，則建立函數(shù)模型。（2）題目明確了是求四邊形OAHP的面積，則不需要分類討論解決。（3）找等量關(guān)系式：用面積割補(bǔ)法知道Y=S四邊形OAHP SAFH SOFP（4）“動(dòng)”中取“靜”，求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代

13、數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。為便于求其面積，選擇OFD的底為FP，需求邊FP上的高。我們視自變量為“不變量”，以PG=X為“向?qū)А比デ蟪鯫FD的底和高。在RtEFG中，由勾股定理得：EF5cmEGAH ，EFGAFH AH（ x 5），F(xiàn)H（x5）過(guò)點(diǎn)O作ODFP ，垂足為 D 點(diǎn)O為EF中點(diǎn)，ODEG2cmFP3x ，S四邊形OAHP SAFH SOFP·AH·FH·OD·FP·（x5）·（x5）×2×（3x ）x2x3 （0x3第3問(wèn)：是求特殊值問(wèn)題，則建立方程模型求解；假設(shè)存在某一時(shí)刻x，使得四邊形OAHP面積與A

14、BC面積的比為1324則S四邊形OAHP×SABCx2x3××6×86x285x2500 （計(jì)算時(shí)注意參考數(shù)據(jù)的運(yùn)用）解得 x1， x2 （舍去）0x3，當(dāng)x（s）時(shí)，四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324解析 （1）RtEFGRtABC ，F(xiàn)G3cm 當(dāng)P為FG的中點(diǎn)時(shí)，OPEG ，EGAC ， x ×31.5（s）當(dāng)x為1.5s時(shí)，OPAC （2）在RtEFG 中，由勾股定理得：EF5cmEGAH ，EFGAFH AH（ x 5），F(xiàn)H（x5）過(guò)點(diǎn)O作ODFP ，垂足為 D 點(diǎn)O為EF中點(diǎn)，ODEG2cmFP3x ，S四邊形OAHP

15、SAFH SOFP·AH·FH·OD·FP·（x5）·（x5）×2×（3x ）x2x3 （0x3（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻x，使得四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324則S四邊形OAHP×SABCx2x3××6×86x285x2500解得 x1， x2 （舍去）0x3，當(dāng)x（s）時(shí)，四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324（2006河北）如圖，在RtABC中，C90°，AC12，BC16，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊向點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出

16、發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PCQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱的圖形是PDQ設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（1）設(shè)四邊形PCQD的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）t為何值時(shí)，四邊形PQBA是梯形？（3）是否存在時(shí)刻t，使得PDAB？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；APCQBD（4）通過(guò)觀察、畫圖或折紙等方法，猜想是否存在時(shí)刻t，使得PDAB？若存在，請(qǐng)估計(jì)t的值在括號(hào)中的哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)（0t1；1t2；2t3；3t4）；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由 分析：1、把握運(yùn)動(dòng)變化的形式及過(guò)程：題目條件：動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A

17、出發(fā)沿AC邊向點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PCQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱的圖形是PDQ所以，這是雙動(dòng)點(diǎn)P、Q+圖形PCQ翻折的運(yùn)動(dòng)。（1）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；（3）PCQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱的圖形是PDQ.2、思考初始；找出初始位置時(shí)某些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系；在RtABC中，C90°，AC12，BC16，AB=20，第1問(wèn)：（1）是求變量之間的關(guān)系，則建立函數(shù)模型。（2）題目明確了是求四邊形PC

18、QD的面積，則不需要分類討論解決。（3）找等量關(guān)系式：PCQ與PDQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱，y=2SPCQ（4）“動(dòng)”中取“靜”，求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。為便于求其面積，注意選擇直角PCQ的兩直角邊為底和高。我們視自變量（動(dòng)量）為“不變量”（靜量），則以CQ4t，AP=3t為“向?qū)А鼻蟪鯬C123t，SPCQ =PCQ與PDQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱，y=2SPCQ 第2問(wèn)：（1）實(shí)質(zhì)是特殊位置關(guān)系問(wèn)題，建立方程模型求解。（2）“動(dòng)”中取“靜”，讓圖形在特殊情況（四邊形PQBA是梯形）“靜”下來(lái)，畫出與對(duì)應(yīng)情況相吻合的圖形.當(dāng)四邊形PQBA是梯形時(shí)有PQAB.（2）PQAB時(shí)

19、，應(yīng)有，則以此建立方程模型求解.（3）求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。）當(dāng)時(shí)，有PQAB，而AP與BQ不平行，這時(shí)四邊形PQBA是梯形，CA=12，CB=16，CQ4t， CP123t， ，解得t2當(dāng)t2秒時(shí)，四邊形PQBA是梯形第3問(wèn)：題目條件：是否存在時(shí)刻t，使得PDAB？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（1）實(shí)質(zhì)是求兩線的特殊位值關(guān)系，則仿照第2問(wèn)的方法建立比例方程求解.（2）“動(dòng)”中取“靜”，讓圖形在PDAB的情況“靜”下來(lái). 畫出與對(duì)應(yīng)情況相吻合的圖形.設(shè)存在時(shí)刻t，使得PDAB，那么延長(zhǎng)PD交BC于點(diǎn)M，如下圖，PDAB，APCQBDM（3）視“動(dòng)

20、量”為“靜量”，求出相關(guān)的常量或者以含有變量t的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。 若PDAB，則，QD=CQ=4t，CP=AC-AP=12-3t, AC12，AB=20，QMD=B，QDM=C=90°，RtQMDRtABC，從而，QM= CM=CQ+QM=4t+，解得t當(dāng)t秒時(shí)，PDAB 第4問(wèn)：通過(guò)觀察、畫圖或折紙等方法，猜想是否存在時(shí)刻t，使得PDAB？若存在，請(qǐng)估計(jì)t的值在括號(hào)中的哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)（0t1；1t2；2t3；3t4）；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由 (1)“動(dòng)”中取“靜”，讓圖形 “靜”下來(lái). 畫出與對(duì)應(yīng)情況相吻合的圖形.(2)由第3問(wèn)知道當(dāng)秒1t秒時(shí)，PDAB應(yīng)有1t，（3）“動(dòng)

21、”中取“靜”，讓圖形“靜”下來(lái). 畫出與對(duì)應(yīng)情況相吻合的圖形.假設(shè)PDAB于D， AP=3t，CPPD=123t，RtAPDRtABC4t=20-5t ，t= 存在時(shí)刻t，使得PDAB時(shí)間段為：2t3 解析 （1）由題意知 CQ4t，PC123t，SPCQ =PCQ與PDQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱，y=2SPCQ （2）當(dāng)時(shí)，有PQAB，而AP與BQ不平行，這時(shí)四邊形PQBA是梯形，CA=12，CB=16，CQ4t， CP123t， ，解得t2當(dāng)t2秒時(shí)，四邊形PQBA是梯形 （2） 設(shè)存在時(shí)刻t，使得PDAB，延長(zhǎng)PD交BC于點(diǎn)M，如下圖，若PDAB，則，QD=CQ=4t，CP=AC-AP=12-3

22、t, AC12，AB=20，APCQBDMQMD=B，QDM=C=90°，RtQMDRtABC，從而，QM= CM=CQ+QM=4t+，解得t當(dāng)t秒時(shí)，PDAB （4）存在時(shí)刻t，使得PDAB 時(shí)間段為：2t3 （2010年河北?。┤鐖D16，在直角梯形ABCD中，ADBC，AD=6，BC=8，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿MB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立刻以原速度沿BM返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度在射線MC上勻速運(yùn)動(dòng)在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以PQ為邊作等邊三角形EPQ，使它與梯形ABCD在射線BC的同側(cè)點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P返回到點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動(dòng)

23、，點(diǎn)Q也隨之停止設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t0)（1）設(shè)PQ的長(zhǎng)為y，在點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，寫出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫t的取值范圍）（2）當(dāng)BP=1時(shí)，求EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積（3）隨著時(shí)間t的變化，線段AD會(huì)有一部分被EPQ覆蓋，被覆蓋線段的長(zhǎng)度在某個(gè)時(shí)刻會(huì)達(dá)到最大值，請(qǐng)回答：該最大值能否持續(xù)一個(gè)時(shí)段？若能，直接寫出t的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由MADCBPQE圖1ADCB（備用圖）M分析：1、把握運(yùn)動(dòng)變化的形式及過(guò)程：題目條件：點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿MB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立刻以原速度沿BM返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)以每秒1

24、個(gè)單位長(zhǎng)的速度在射線MC上勻速運(yùn)動(dòng)在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以PQ為邊作等邊三角形EPQ，使它與梯形ABCD在射線BC的同側(cè)點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P返回到點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止表明上動(dòng)的是兩點(diǎn)，實(shí)際上由兩點(diǎn)引出的等邊三角形EPQ是運(yùn)動(dòng)圖形。題目中點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿MB向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立刻以原速度沿BM返回；而點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)在射線MC上勻速運(yùn)動(dòng)，由于點(diǎn)P的往返運(yùn)動(dòng)，且P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相同，所以這兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的等邊三角形EPQ的特征為：當(dāng)0t4時(shí)，三角形EPQ的大小隨著時(shí)間的增加逐漸變大，但PQ邊的中點(diǎn)始終是點(diǎn)M,相當(dāng)于位似變換；當(dāng)t>4時(shí)，隨著時(shí)間的增加，三角形EPQ的大

25、小始終不變，相當(dāng)于平移變換。（這樣的變換非常新穎，但是涉及的變換又是很簡(jiǎn)單的）2、思考初始；找出初始位置時(shí)某些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系；在直角梯形ABCD中，ADBC，AD=6，BC=8，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，則MB=MC=4. CD可求。PCQ與PDQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱，第1問(wèn)：在點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相同，y=MP+MQ=t+t=2t第2問(wèn)：（1）BP=1有點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B點(diǎn)前、后兩種情況，則需分類討論解決。當(dāng)BP=1時(shí)，有兩種情形：如圖2，若點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，有MB = 4，MP=MQ =3，ADCBPMQE圖2PQ=6（現(xiàn)在判斷點(diǎn)E落在梯形ABCD內(nèi)、外的位置，以確定

26、EPQ與梯形ABCD重疊部分的圖形形狀。連接EM，EPQ是等邊三角形，EMPQAB=，點(diǎn)E在AD上EPQ與梯形ABCD重疊部分就是EPQ，其面積為若點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，由題意得t=4+1=5PQ=BM+MQBP=4+5-1=8，PC=8-1=7(此時(shí)點(diǎn)E顯然是在AD上方。“動(dòng)”中取“靜”，讓圖形 “靜”下來(lái)，畫出與對(duì)應(yīng)情況相吻合的圖形. 以確定EPQ與梯形ABCD重疊部分的圖形形狀) .ADCBPMQEFHG圖3設(shè)PE與AD交于點(diǎn)F，QE與AD或AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P作PHAD于點(diǎn)H，則HP=，AH=1在RtHPF中，HPF=90°-60°=30°， HF

27、=3，PF=6FG=FE=PE-PF=PQ-PF=8-6=2又FD=AD-(AH+HF)=6-(1+3)=2，F(xiàn)G= FD=2，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合。如圖3此時(shí)EPQ與梯形ABCD的重疊部分就是梯形FPCG，其面積為（把握運(yùn)動(dòng)變化的全過(guò)程，確定EPQ與梯形ABCD重疊關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵）第3問(wèn)：求隨著時(shí)間t的變化，線段AD被EPQ覆蓋線段的長(zhǎng)度能否持續(xù)一個(gè)時(shí)段達(dá)到最大值。因?yàn)楫?dāng)t4時(shí)，隨著時(shí)間的增加，三角形EPQ的大小始終不變，相當(dāng)于平移變換。這樣，線段AD被EPQ覆蓋線段的長(zhǎng)度達(dá)到最大值，且持續(xù)到被覆蓋線段的右端點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)，根據(jù)前面的解答知，此時(shí)t=5。所以，能4t5解：（1）y=2t；（2）當(dāng)BP=1時(shí)，有兩種情形：ADCBPMQE圖2如圖2，若點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，有MB = 4，MP=MQ =3，PQ=6連接EM，EPQ是等邊三角形，EMPQAB=，點(diǎn)E在AD上EPQ與梯形ABCD重疊部分就是EPQ，其面積為 若點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，由題意得 PQ=BM+MQBP=8，PC=7設(shè)PE與AD交于點(diǎn)F，QE與AD或AD的ADCB