利用向量法求空間角

1、§3.2.3立體幾何中的向量方法利用空間向量求空間角教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生學(xué)會求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的向量方法；2.使學(xué)生能夠應(yīng)用向量方法解決一些簡單的立體幾何問題；3.使學(xué)生的分析與推理能力和空間想象能力得到提高.教學(xué)重點(diǎn)求解二面角的向量方法教學(xué)難點(diǎn) 二面角的大小與兩平面法向量夾角的大小的關(guān)系教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入1用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（化為向量問題）（2）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（進(jìn)行向

2、量運(yùn)算）（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（回到圖形）2向量的有關(guān)知識：（1）兩向量數(shù)量積的定義：abO（2）兩向量夾角公式：（3）平面的法向量：與平面垂直的向量二、知識講解與典例分析知識點(diǎn)1：面直線所成的角（范圍：）（1）定義：過空間任意一點(diǎn)o分別作異面直線a與b的平行線a´與b´，那么直線a´與b´ 所成的銳角或直角，叫做異面直線a與b 所成的角.（2）用向量法求異面直線所成角設(shè)兩異面直線a、b的方向向量分別為和，問題1： 當(dāng)與的夾角不大于90°時，異面直線a、b 所成的角與 和 的夾角的關(guān)系？ 問題 2：與的夾角大于90&#

3、176;時，異面直線a、b 所成的角與 和的夾角的關(guān)系？ 結(jié)論：異面直線a、b所成的角的余弦值為思考：在正方體中，若與分別為、的四等分點(diǎn)，求異面直線與的夾角余弦值？（1）方法總結(jié)：幾何法；向量法（2）與相等嗎？（3）空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么區(qū)別？ABCA1B1C1xyZD例1如圖，正三棱柱的底面邊長為,側(cè)棱長為，求和所成的角.解法步驟：1.寫出異面直線的方向向量的坐標(biāo)。 2.利用空間兩個向量的夾角公式求出夾角。解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 ， 即和所成的角為練習(xí)1：在RtAOB中，AOB=90°，現(xiàn)將AOB沿著平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置，已知OA=O

4、B=OO1，取A1B1 、A1O1的中點(diǎn)D1 、F1，求異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值。解：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)OA=1,則A(1,0,0) ，B(0,1,0) ，F(xiàn)1( ,0,1) ，D1( , ,1)所以，異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值為知識點(diǎn)2、直線與平面所成的角（范圍：）（圖1）思考：設(shè)平面的法向量為，則與的關(guān)系？（圖2）據(jù)圖分析可得：結(jié)論：例2、如圖，正三棱柱的底面邊長為,側(cè)棱長為，求和所成角的正弦值.分析：直線與平面所成的角步驟： 1. 求出平面的法向量2. 求出直線的方向向量3. 求以上兩個向量的夾角，(銳角)其余角為所求角解：如圖建立空間直角

5、坐標(biāo)系，則ABCA1B1C1xyZD 設(shè)平面的法向量為 由取，和所成角的正弦值.練習(xí)：正方體的棱長為1，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn).求直線與平面所成的角的正弦值.知識點(diǎn)3：二面角（范圍：）DCBAl方向向量法：將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的方向向量（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的夾角。如圖，設(shè)二面角的大小為，其中.結(jié)論：例3 、 如圖，甲站在水庫底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處.從A，B到直線 （庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為 a 和 b ,CD的長為c , AB的長為d .求庫底與水壩所成二面角的余弦值. 解：如圖根據(jù)向量的加法法則, 于是，得設(shè)向量與 的夾角為，就是庫與水壩所成的二面角.因此 所以 庫底與水壩所成二面角的余弦值是法向量法ll結(jié)論： 或歸納：法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角.例4、如圖，是一直角梯形，面，求面與面所成二面角的余弦值.解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 易知面的法向量為 設(shè)面的法向量為，則有 ，取，得， 又方向朝面內(nèi)，方向朝面外，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角 即所求二面角的余弦值為.練習(xí)：正方體的棱長為1，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn).求二面角的余弦值。解：由題意知，則