極值點偏移問題

1、極值點偏移問題極值點偏移問題總結(jié)一、判定方法1、極值點偏移的定義對于函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個極值點Xo,方程f(x)0的解分別為x1、x2，且ax1x2b,1假設(shè)義/xo,則稱函數(shù)yf(x)在區(qū)間優(yōu)區(qū))上極值點x0偏移；2假設(shè)七上x。，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(xe)上極值點左偏，簡稱極值點x。左偏；3假設(shè)之/x。，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(xi,x2)上極值點x。右偏，簡稱極值點x0右偏。2、極值點偏移的判定定理判定定理1對于可導(dǎo)函數(shù)yf(x),在區(qū)間(a,b)上只有一個極大小值點x。，方程f(x)。的解分別為xx2,且ax1x2b,1假設(shè)f'(紅)。，則紅二2()x。，

2、即函數(shù)yf(x)在區(qū)間(xx2)上極大22小信點x。右左偏；2。假設(shè)f'(12)。，則土六()x。，即函數(shù)yf(x)在區(qū)間(x，x2)上極大小值點x。左右偏。證明：1因為可導(dǎo)函數(shù)yf(x),在區(qū)間(a,b)上只有一個極大小信點x。，則函數(shù)yf(x)的單調(diào)遞增減區(qū)間為(a,x。)，單調(diào)遞減增區(qū)間為(選,可，又ax1x2b,有土/(a,b)由于f'(±/2)。，故土廣(a,x。)，所以至22()x。，即函數(shù)極大小值點x。右左偏。2判定定理2對于可導(dǎo)函數(shù)yf(x),在區(qū)間(a,b)上只有一個極大小值點小,方程f(x)0的解分別為x1、x2，且ax1x2b,1假設(shè)f(x，f(

3、2x0x2),則上/()x0即函數(shù)yf(x)在區(qū)間(xx2)上極大小值點/右左偏；2假設(shè)f(x。f(2x0x2),則口2()x0即函數(shù)yf(x)在區(qū)間(xi，x2)上極大小值點/左右偏。證明：1因為對于可導(dǎo)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上只有一個極大小值點x°,則函數(shù)yf(x)的單調(diào)遞增減區(qū)間為(a,x。)，單調(diào)遞減增區(qū)間為(,b),又axix2b,有xi刈，且2x0%x°,又f(x1)f(2&x2),故xi()2x0x2,所以土/()x0,即函數(shù)極大小值點x。右左偏.結(jié)論2證明略。二、運用判定定理判定極值點偏移的方法1.方法概述：1求出函數(shù)f(x)的極值點；2構(gòu)造

4、一元差函數(shù)F(x)f(x0x)f(x0x)3確定函數(shù)F(x)的單調(diào)性；4結(jié)合F(0)0,判斷F(x)的符號，從而確定f(x0x),f(x°x)的大小關(guān)系。2.抽化模型答題模板：假設(shè)已知函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x2),x0為f(x)的極值點，求證：x1x22x01討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性并求出f(x)的極值點x°假設(shè)此處f(x)在,Xo上單調(diào)遞減，在X0,上單調(diào)遞增。2構(gòu)造F(x)f(xox)f(xox);注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成F(x)f(x)f(2%x)3f(xox)與f(x。x)的大小關(guān)系;通過求導(dǎo)F'(x)談?wù)揊(x)的單調(diào)性，判斷處F(x)在某

5、段區(qū)間上的正負(fù)，并得出第10頁假設(shè)此處F(x)在o,上單調(diào)遞增，那么我們便可以得出F(x)F(0) f(xo)f(xo) o,從而得到：xx0時,f(x° x)f (xox)不妨設(shè)Xxo通過f(x)的單調(diào)性,f(xi)f(x2) , f (xox)與 f (xx)的大小關(guān)系得出結(jié)論;接上述情況:xo 時，f (xox)f (xox)且 x1xox2f(xi)f仇)故f(xi) f(x2) f xox2xof xo (x2xo)f (2Xo x2),又因為 Xi Xo ,2xo x2 /且f (x)在,xo上單調(diào)遞減,從而得到xi 2xo x2 ,從而xix22xo得證;假設(shè)要證明f&

6、#39;七漢)。還需進(jìn)一步討論 之廣與Xo的大小，得出x單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而結(jié)論得證;此處只需繼續(xù)證明：因為xix22xo故丫 xo,由于f(x)在，xo上單調(diào)遞減，故 f'(x-2x2說明:1此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導(dǎo)比較復(fù)雜，計算時須細(xì)心;2此類題目假設(shè)試題難度較低，會分解為三問，前兩問分別求f(x)的單調(diào)性、極值點，證明f(xox)與f(xox)或f(x)與f(2xox)題大小關(guān)系；假設(shè)試題難度較大，則直接給出形如x1 x2 2Xo或者七x2xo的結(jié)論，讓你給出證明，此時自己應(yīng)主動把該小問分解為三問逐步解題二、例題(一)不含參數(shù)的的極值點偏移

7、問題例1:2010天津理21已知函數(shù)f(x)xex(xR)1求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；2假設(shè)xx2,且f(x1)f(x2),求證：x1x221 ；1 xe0 ；x) f (1 x)1知 x11,x21,f 1 (x2 1)f(2 x2),1上增，即證x2 2 x11,x21,故 2 x 11, 上是單調(diào)遞減的，只需證f(x2)f (2 x1),1f'(x)1xex,f'(x)0,x2g(x)f(1x)f(1x)1xx1(1x)g'(x)xeeg(x)0,xx0時，g(x)g(0)0即f(1,Xx2,不妨設(shè)Xx2,由f(x1)f(x2)f1x21'X1,2x

8、21,f(x)在x12x2,即x1x22【法二】欲證xx22,由法一知0x又因為f(x)在,1增1,減極大值f(1)-e1xe1x,0減；0,增又因為f(Xi)f(X2),故也即證f(Xi)f(2為)，構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)f(2x),x0,11X2x2由h'(x)f'(x)f'(2x)1eeh(x)在0,1上單調(diào)遞增，h(x)h(1)0故原不等式x1x22成立【法三】由f(x1)f(x2)得，x1ex1x2ex2,化簡得ex2”上x1不妨設(shè)x2為，由法一知0%1*2,令tx2%,則t0,*2tx1，代入得：ett-x1,反解出：x1-，貝Ux1x22x1t12tt,

9、x1e1e1故要證Xx22即證三t2,又因為et10,e1等價于證明：2tt2et10構(gòu)造函數(shù)g(t)2tt2et1t0,則g'(t)t1et1,g''(t)tet0,故g'(t)在0,+上單調(diào)遞增，g'(t)g'(0)0從而g(t)在0,+上單調(diào)遞增，g(t)g(0)0【法四】由f(x"fG)得，xex1x?ex2,化簡得ex2.土，x1兩邊同時取以e為底的對數(shù)：得x2為ln迎lnx2ln為，即ln&lnx1,x1x2x1從而x1 x2In x2In x1x2x2xx2x2 x1x2Inx1、2 A+1x1x2In ,*1x1

10、x令t亂t 1 ,則欲證x1 x2 為一 一 t 1一2等價于證明-lnt 2,t1Int2構(gòu)造g(t)1Int,t1,t1t1則g'(t)2t212tlnt又令h(t)t212tlntt1則h'(t)2t21nti2t1Int,由于t1Int對t1,恒成立，故h'(t)0,h在1,上單調(diào)遞增，h(t)h(1)0,g'(t)。對t1,恒成立，g在1,上單調(diào)遞增，g(t)g(1)由洛必達(dá)法貝U知：limg(t)limnj21lim_limInt-12t1t1t1t1t1't1t即g(t)2,即證式成立，也即原不等式成立例2:2013湖南文21f(x)11x

11、1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2證明：當(dāng)f(x1)f(x2)(x1x2)時，x1x20(二)含參數(shù)的極值點偏移問題含參數(shù)的極值點偏移問題，在原有的兩個變元Xi,X2基礎(chǔ)上，有多了一個參數(shù)，故思路很自然的就會想到：想盡一切方法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決，或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個變元的新的函數(shù)。例1已知函數(shù)f(x)xaex有兩個不同的零點Xi,X2,求證：XiX22例2.已知函數(shù)f(x)lnXaX,a為常數(shù)，假設(shè)函數(shù)f(X)有兩個不同的零點X1,X2,求證：X1x2e2例3:已知x1,x2是函數(shù)f(x)exax的兩個零點，且x1X21求證：x1x222x1x21例4:已知函數(shù)f(x)xea

12、x(a0),假設(shè)存在為此x1x2，使f(x1)f(X2)0,求證：土aeX2變式訓(xùn)練：1 .設(shè)函數(shù)f(X)exaxa(aR)的圖像與x軸交于AXi,0,BX2,0XiX2兩點，1證明：f'(TXX')02求證：x1x2x1x22 .設(shè)函數(shù)f(x)alnxbx2,其圖像在點P2,f(2)處切線的斜率為3,當(dāng)a2時，令g(x)f(x)kx,設(shè)為此為X2是方程g(x)0的兩個根，x0是為？2的等差中項，求證：g'(%)013 .已知函數(shù)f(x)a-lnx(aR)x1假設(shè)a2,求函數(shù)f(x)在1,e2上的零點個數(shù)；2假設(shè)f(x)有兩零點X1,X2X2，求證：2x1x23ea11

13、1 a x aln x1c4 .已知函數(shù)f(x)x221討論f(x)的單調(diào)性；2設(shè)a0,證明：0xa時，f(ax)f(ax)(三)含對數(shù)式的極值點偏移問題根據(jù)f(x1)f(x2)建立等式，通過消參、何等變形轉(zhuǎn)化為對數(shù)平均，捆綁構(gòu)造函數(shù)，利用對數(shù)平均不等式鏈求解。對數(shù)平均不等式的介紹與證明兩個整數(shù)a和b的對數(shù)平均定義：L a,ba bIn a In b對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：,abLa,b-b2例1:已知函數(shù)f(x)Inxax22ax1討論f(x)的單調(diào)性；2設(shè)a0,證明：當(dāng)0x1時，f(-x)f(1x);aaa3假設(shè)函數(shù)yf(x)的圖像與x軸交于A,B兩點，線段AB中點的橫坐標(biāo)為x。,證明：f'(x0)0(四)含指數(shù)式的極值點偏移問題指數(shù)不等式：在對數(shù)平均的定義中，設(shè)aem,ben,則E(a,b)mnmn不等式有如下關(guān)系：e=E(a,b)e一-2mnee/(mmn(mn)例1全國1卷2016理21已知函數(shù)f(x)n),根據(jù)對數(shù)平均(x2)exa(x1)2