MATLAB精品教程課件 第04講 線性規(guī)劃

1、 線性規(guī)劃線性規(guī)劃數學建模與數學實驗數學建模與數學實驗后勤工程學院數學教研室實驗目的實驗目的實驗內容實驗內容2、掌握用數學軟件包求解線性規(guī)劃問題。、掌握用數學軟件包求解線性規(guī)劃問題。1、了解線性規(guī)劃的基本內容。、了解線性規(guī)劃的基本內容。* *2 2、線性規(guī)劃的基本算法。、線性規(guī)劃的基本算法。5 5、實驗作業(yè)。、實驗作業(yè)。3、用數學軟件包求解線性規(guī)劃問題。、用數學軟件包求解線性規(guī)劃問題。1、兩個引例。、兩個引例。4、建模案例：投資的收益與風險、建模案例：投資的收益與風險問題一問題一 ： 任務分配問題：某車間有甲、乙兩臺機床，可用于加工三種工件。假定這兩臺車床的可用臺時數分別為800和900，三種

2、工件的數量分別為400、600和500，且已知用三種不同車床加工單位數量不同工件所需的臺時數和加工費用如下表。問怎樣分配車床的加工任務，才能既滿足加工工件的要求，又使加工費用最低？ 單位工件所需加工臺時數 單位工件的加工費用 車床類 型 工件1 工件2 工件3 工件1 工件2 工件3 可用臺時數 甲 0.4 1.1 1.0 13 9 10 800 乙 0.5 1.2 1.3 11 12 8 900 兩個引例兩個引例解解 設在甲車床上加工工件1、2、3的數量分別為x1、x2、x3，在乙車床上加工工件1、2、3的數量分別為x4、x5、x6?？山⒁韵戮€性規(guī)劃模型：6543218121110913m

3、inxxxxxxz 6 , 2 , 1, 09003 . 12 . 15 . 08001 . 14 . 0500600400 x . .654321635241ixxxxxxxxxxxxtsi 解答問題二：問題二： 某廠每日8小時的產量不低于1800件。為了進行質量控制，計劃聘請兩種不同水平的檢驗員。一級檢驗員的標準為：速度25件/小時，正確率98%，計時工資4元/小時；二級檢驗員的標準為：速度15小時/件，正確率95%，計時工資3元/小時。檢驗員每錯檢一次，工廠要損失2元。為使總檢驗費用最省，該工廠應聘一級、二級檢驗員各幾名？解解 設需要一級和二級檢驗員的人數分別為x1、x2人,則應付檢驗員

4、的工資為：212124323848xxxx因檢驗員錯檢而造成的損失為：21211282)%5158%2258(xxxx故目標函數為：故目標函數為：2121213640)128()2432(minxxxxxxz約束條件為：0, 0180015818002581800158258212121xxxxxx線性規(guī)劃模型：線性規(guī)劃模型：213640minxxz0, 01594535 . .212121xxxxxxts 解答返 回1.1.線性規(guī)劃的標準形式：線性規(guī)劃的標準形式：xminz=)(xf. .ts )(xgi0 （), 2 , 1mi其中目標函數)(xf和約束條件中)(xgi都是線性函數min

5、min f = = cxs.t. s.t. Ax = = b （1 1） x 0 0這里 A = (ija)m,n , x = T 21nxxx b= T 21nbbb, c= nccc21用單純法求解時，常將標準形式化為：2. 線性規(guī)劃的基本算法線性規(guī)劃的基本算法單純形法單純形法線性規(guī)劃的基本算法線性規(guī)劃的基本算法單純形法單純形法例例 min z = 10 x1 + 9x2st6x1 + 5x2 60 10 x1 + 20 x2 150 x1 8 x1, x2 0引入松弛變量x3, x4, x5, 將不等式化為等式, 即單純形標準形: min z = 10 x1 + 9x2st6x1 + 5

6、x2 + x3 = 60 10 x1 + 20 x2 - x4 = 150 x1 + x5 = 8 xi 0 (i = 1,2,3,4,5)系數矩陣為: 6 5 1 0 0 A = 10 20 0 -1 0 = (P1 P2 P3 P4 P5) 1 0 0 0 1 b = (60, 150, 8 ) T 顯然A的秩ran(A)=3, 任取3個線性無關的列向量,如P3 P4 P5稱為一組基基, 記為B. 其余列向量稱為非基非基, 記為N .于是 f = cBxB + cNxN , Ax = BxB + NxN = b, 則 xB = B-1b-B-1NxN , f = cBB-1b + (cN

7、cBB-1N)xN 令非基變量 xN = 0, 解得基變量 xB = B1b, 稱(xB, xN)為基基解解.基解的所有變量的值都非負，則稱為基基可可行行解解，此時的基稱為可可行行基基. 若可行基進一步滿足: cN cBB-1N0, 即: cBB-1N - cN0則對一切可行解x, 必有f(x) cBB-1b, 此時稱基可行解x = (B-1b, 0) T為最優(yōu)解最優(yōu)解. 3. 最優(yōu)解的存在性定理最優(yōu)解的存在性定理將A的列向量重排次序成A = (B, N), 相應x = (xB, xN) T, c = (cB, cN)基對應的變量xB稱為基變量基變量, 非基對應的變量xN稱為非基變量非基變量.

8、定理定理1 1 如果線性規(guī)劃(1)有可行解，那么一定有基可行解.定理定理2 2 如果線性規(guī)劃(1)有最優(yōu)解，那么一定存在一個基可行解 是最優(yōu)解.4. 4. 基可行解是最優(yōu)解的判定準則基可行解是最優(yōu)解的判定準則因為 f = cBB-1b + (cN cBB-1N)xN，即 f - 0 xB + (cBB-1N- cN )xN = cBB-1b若基B=(1P,2P,mP), 非基N=(1mP,2mP,nP)，令j=Bc1BjP-jc，j=m+1,m+2, ,n ,則 (1) 可寫成min fs.t. Bx + 1BNNx = 1Bbf + 0Bx + nmjjjx1 = Bc1Bb x 0稱為（1

9、）式的典式典式.定定理理 3 3 設（1x,2x,mx）是規(guī)劃 (1) 的一個可行基，B是對應的基陣,如果典式中的1,2,m都不大于零,即對應的1m0,2m0,n0,則基（1x,2x,mx）對應的基可行解0X = 01bB 是最優(yōu)解.令1Bb = m21，1BN= nmmmmmnmmnmm,2,1, 22, 21, 2, 12, 11, 15.5.基可行解的改進基可行解的改進 線性規(guī)劃（1）的典式變?yōu)椋簃in fs.t. ix + nmjjijx1= i i=1,2, ,mf + 0Bx + nmjjjx1 =Bc1Bb x 0定定理理 4 4 設（1x,2x,mx）是規(guī)劃 (1) 的一個可行

10、基，B是對應的基陣,如果存在km0，使1) km, 1,km, 2,kmm,中至少有一個大于零；2) 所有的i0，i=1,2, ,m則一定存在另一個可行基，它對應的基可行解使目標函數值更小.令0=kmiikmi,0,min = kmll,則把lx從原有的基中取出來，把kmx加進后得到的（1x,2x,lx ,kmx,1lx,mx）仍是基，即是所要找的新基.改進方法：改進方法：返 回用用MATLAB優(yōu)化工具箱解線性規(guī)劃優(yōu)化工具箱解線性規(guī)劃min z=cX bAXts. .1、模型：命令：x=linprog（c，A，b） 2、模型：min z=cX bAXts. .beqXAeq命令：x=linpr

11、og（c，A，b，Aeq,beq）注意：若沒有不等式： 存在，則令A= ，b= .bAX 3、模型：min z=cX bAXts. .beqXAeqVLBXVUB命令：1 x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB） 2 x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB, X0） 注意：1 若沒有等式約束: , 則令Aeq= , beq= . 2其中X0表示初始點 beqXAeq4、命令：x,fval=linprog()返回最優(yōu)解及處的目標函數值fval.解解 編寫編寫M文件文件xxgh1.m如下：如下：c=-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -

12、0.64 -0.6; A=0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08; b=850;700;100;900; Aeq=; beq=; vlb=0;0;0;0;0;0; vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 例例1 max 6543216 . 064. 072. 032. 028. 04 . 0 xxxxxxz 85003. 003. 003. 001. 001. 001. 0. .654321xxxxxxt s 70005.

13、 002. 041xx 10005. 002. 052xx 90008. 003. 063xx 6, 2 , 10jxj To Matlab (xxgh1)例例 2 321436minxxxz 120. .321xxxts 301x 5002 x 203x解解: 編寫編寫M文件文件xxgh2.m如下：如下： c=6 3 4; A=0 1 0; b=50; Aeq=1 1 1; beq=120; vlb=30,0,20; vub=; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)To Matlab (xxgh2)321)436(minxxxz32120030 xxx5

14、0120010111 .321xxxtsS.t.Xz8121110913min 9008003 . 12 . 15 . 000000011 . 14 . 0X500600400100100010010001001X ，0654321xxxxxxX改寫為：例例3 問題一的解答 問題問題編寫編寫M文件文件xxgh3.m如下如下:f = 13 9 10 11 12 8;A = 0.4 1.1 1 0 0 0 0 0 0 0.5 1.2 1.3;b = 800; 900;Aeq=1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1;beq=400 600 500;vlb = zero

15、s(6,1);vub=;x,fval = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)To Matlab (xxgh3)結果結果:x = 0.0000 600.0000 0.0000 400.0000 0.0000 500.0000fval =1.3800e+004 即在甲機床上加工600個工件2,在乙機床上加工400個工件1、500個工件3，可在滿足條件的情況下使總加工費最小為13800。例例2 問題二的解答 問題問題 213640minxxz s.t. )45(3521xx改寫為：編寫編寫M文件文件xxgh4.m如下：如下：c = 40;36;A=-5 -3;b=-45;A

16、eq=;beq=;vlb = zeros(2,1);vub=9;15; %調用linprog函數：x,fval = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)To Matlab (xxgh4)結果為：結果為：x = 9.0000 0.0000fval =360即只需聘用9個一級檢驗員。 注：注：本問題應還有一個約束條件：x1、x2取整數。故它是一個整數線性規(guī)劃整數線性規(guī)劃問題。這里把它當成一個線性規(guī)劃來解，求得其最優(yōu)解剛好是整數：x1=9，x2=0，故它就是該整數規(guī)劃的最優(yōu)解。若用線性規(guī)劃解法求得的最優(yōu)解不是整數，將其取整后不一定是相應整數規(guī)劃的最優(yōu)解，這樣的整數規(guī)劃應用專門

17、的方法求解。返 回 投資的收益和風險投資的收益和風險一、問題提出一、問題提出 市場上有 n 種資產is（i=1,2n）可以選擇，現用數額為 M 的相當大的資金作一個時期的投資。這 n 種資產在這一時期內購買is的平均收益率為ir，風險損失率為iq，投資越分散，總的風險越小，總體風險可用投資的is中最大的一個風險來度量。 購買is時要付交易費，(費率ip)，當購買額不超過給定值iu時，交易費按購買iu計算。另外，假定同期銀行存款利率是0r，既無交易費又無風險。 （0r=5%）已知 n=4 時相關數據如下：isir（%）iq（%）ip（%）iu（元）S1282.51103S2211.52198S3

18、235.54.552S4252.66.540試給該公司設計一種投資組合方案，即用給定達到資金 M，有選擇地購買若干種資產或存銀行生息，使凈收益盡可能大，使總體風險盡可能小?；颈炯偌僭O設：1. 投資數額 M 相當大,為了便于計算，假設 M=1；2投資越分散，總的風險越??；3總體風險用投資項目is中最大的一個風險來度量；4n 種資產 Si之間是相互獨立的；5在投資的這一時期內, ri,pi,qi，r0為定值，不受意外因素影響；6凈收益和總體風險只受 ri,pi,qi影響，不受其他因素干擾。二、基本假設和符號規(guī)定二、基本假設和符號規(guī)定符符號號規(guī)規(guī)定定：Si 第 i 種投資項目，如股票，債券ri,

19、pi,qi -分別為 Si的平均收益率,風險損失率，交易費率ui -Si的交易定額 0r -同期銀行利率xi -投資項目 Si的資金 a -投資風險度Q -總體收益 Q -總體收益的增量三、模型的建立與分析三、模型的建立與分析1.總體風險用所投資的Si中最大的一個風險來衡量,即max qixi|i=1，2,n2購買 Si所付交易費是一個分段函數,即 pixi xiui 交易費 = piui xiui而題目所給定的定值 ui(單位:元)相對總投資 M 很小, piui更小,可以忽略不計,這樣購買 Si的凈收益為(ri-pi)xi 3要使凈收益盡可能大，總體風險盡可能小,這是一個多目標規(guī)劃模型:

20、目標函數 MAXniiiixpr0)( MINmax qixi 約束條件 niiixp0)1 (=M xi0 i=0,1,n4. 模型簡化：c投資者在權衡資產風險和預期收益兩方面時，希望選擇一個令自己滿意的投資組合。因此對風險、收益賦予權重 s（0s1)，s 稱為投資偏好系數.模模型型 3 目標函數：min smaxqixi -（1-s）niiiixpr0)( 約束條件 niiixp0)1 (=M， xi0 i=0,1,2,nb若投資者希望總盈利至少達到水平 k 以上，在風險最小的情況下尋找相應的投資組合。模型模型 2 固定盈利水平，極小化風險 目標函數： R= minmax qixi 約束條

21、件：niiiixpr0)(k， Mxpii)1 ( ， xi 0 i=0，1，na 在實際投資中，投資者承受風險的程度不一樣，若給定風險一個界限 a，使最大的一個風險 qixi/Ma，可找到相應的投資方案。這樣把多目標規(guī)劃變成一個目標的線性規(guī)劃。模型模型 1 1 固定風險水平，優(yōu)化收益 目標函數： Q=MAX11)(niiiixpr 約束條件： Mxqiia Mxpii)1 (， xi 0 i=0，1，n四、模型四、模型1 1的求解的求解 模型1為: minf = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185) (x0 x1 x2 x3 x 4 ) T x0 + 1

22、.01x1 + 1.02x2 +1.045x3 +1.065x4 =1s.t. 0.025x1 a 0.015x2 a 0.055x3 a 0.026x4a xi 0 (i = 0,1,.4) 由于a是任意給定的風險度，到底怎樣給定沒有一個準則，不同的投資者有不同的風險度。我們從a=0開始，以步長a=0.001進行循環(huán)搜索，編制程序如下：a=0;while(1.1-a)1 c=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185; Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065; beq=1; A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055

23、 0;0 0 0 0 0.026; b=a;a;a;a; vlb=0,0,0,0,0;vub=; x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); a x=x Q=-val plot(a,Q,.)，axis(0 0.1 0 0.5)，hold on a=a+0.001;end xlabel(a),ylabel(Q)To Matlab（xxgh5）a = 0.0030 x = 0.4949 0.1200 0.2000 0.0545 0.1154 Q = 0.1266a = 0.0060 x = 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212 Q = 0.2019a = 0.0080 x =