測量誤差的基本理論

1、第五章 測量誤差的基本理論本章摘要：在觀測過程中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差往往是同時存在的。當(dāng)觀測值中有顯著的系統(tǒng)誤差時，偶然誤差就居于次要地位，觀測誤差呈現(xiàn)出系統(tǒng)的性質(zhì)；反之，呈現(xiàn)出偶然的性質(zhì)。因此，對一組易除了粗差的觀測值，首先應(yīng)尋找、判斷和排除系統(tǒng)誤差，或?qū)⑵淇刂圃谠试S的范圍內(nèi)，然后根據(jù)偶然誤差的特性對該組觀測值進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，求出最接近未知量真值的估值，稱為最或是值；同時，評定觀測結(jié)果質(zhì)量的優(yōu)劣，即評定精度。這項工作在測量上稱為測量平差，簡稱平差。本章主要討論偶然誤差及其平差。 §5-1 概述摘要內(nèi)容：學(xué)習(xí)誤差理論知識的目的，使我們能了解誤差產(chǎn)生的規(guī)律，正確地處理觀測成果，即根據(jù)一組

2、觀測數(shù)據(jù)，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度；同時，根據(jù)誤差理論制定精度要求，指導(dǎo)測量工作選用適當(dāng)觀測方法，以符合規(guī)定精度。講課重點：測量誤差的概念、測量與觀測值分類、測量誤差及其來源、測量誤差的種類、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)。講課難點：偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)。講授重點內(nèi)容提要：一、測量誤差的概念人們對客觀事物或現(xiàn)象的認(rèn)識總會存在不同程度的誤差，這種誤差在對變量進(jìn)行觀測和量測的過程中反映出來，稱為測量誤差。二、測量與觀測值通過一定的儀器、工具和方法對某量進(jìn)行量測，稱為觀測，獲得的數(shù)據(jù)稱為觀測值。三、觀測與觀測值的分類1.同精度觀測和不同精度觀測觀測條件：構(gòu)成測量工作的要素包括觀測

3、者、測量儀器和外界條件，通常將這些測量工作的要素統(tǒng)稱為觀測條件。同精度觀測：在相同的觀測條件下，即用同一精度等級的儀器、設(shè)備，用相同的方法和在相同的外界條件下，由具有大致相同技術(shù)水平的人所進(jìn)行的觀測稱為同精度觀測，其觀測值稱為同精度觀測值或等精度觀測值。反之，則稱為不同精度觀測，其觀測值稱為不同（不等）精度觀測值。2.直接觀測和間接觀測直接觀測：為確定某未知量而直接進(jìn)行的觀測，即被觀測量就是所求未知量本身，稱為直接觀測，觀測值稱為直接觀測值。間接觀測：通過被觀測量與未知量的函數(shù)關(guān)系來確定未知量的觀測稱為間接觀測，觀測值稱為間接觀測值。（說明：例如，為確定兩點間的距離，用鋼尺直接丈量屬于直接觀測

4、；而視距測量則屬于間接觀測。）3.獨立觀測和非獨立觀測獨立觀測：各觀測量之間無任何依存關(guān)系，是相互獨立的觀測，稱為獨立觀測，觀測值稱為獨立觀測值。非獨立觀測：若各觀測量之間存在一定的幾何或物理條件的約束，則稱為非獨立觀測，觀測值稱為非獨立觀測值。（說明：如對某一單個未知量進(jìn)行重復(fù)觀測，各次觀測是獨立的，各觀測值屬于獨立觀測值。觀測某平面三角形的三個內(nèi)角，因三角形內(nèi)角之和應(yīng)滿足180°這個幾何條件，則屬于非獨立觀測，三個內(nèi)角的觀測值屬于非獨立觀測值。）四、測量誤差及其來源1.測量誤差的定義測量中的被觀測量，客觀上都存在著一個真實值，簡稱真值。對該量進(jìn)行觀測得到觀測值。真值與觀測值之差，

5、稱為真誤差，即：真誤差=真值-觀測值2.測量誤差的反映測量中不可避免地存在著測量誤差?！岸嘤嘤^測”導(dǎo)致的差異事實上就是測量誤差。換句話說，測量誤差正是通過“多余觀測”產(chǎn)生的差異反映出來的。（說明：例如，為求某段距離，往返丈量若干次；為求某角度，重復(fù)觀測幾測回。這些重復(fù)觀測的觀測值之間存在著差異。又如，為求某平面三角形的三個內(nèi)角，只要對其中兩個內(nèi)角進(jìn)行觀測就可得出第三個內(nèi)角值。但為檢驗測量結(jié)果，對三個內(nèi)角均進(jìn)行觀測，這樣三個內(nèi)角之和往往與真值180°產(chǎn)生差異。第三個內(nèi)角的觀測是“多余觀測”。） 3.測量誤差的來源（1）測量儀器（說明：任何儀器只具有一定限度的精密度，使觀測值的精密度受到

6、限制。例如，在用只刻有厘米分劃的普通水準(zhǔn)尺進(jìn)行水準(zhǔn)測量時，就難以保證估讀的毫米值完全準(zhǔn)確。同時，儀器因裝配、搬運、磕碰等原因存在著自身的誤差，如水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸不平行于水準(zhǔn)管軸，就會使觀測結(jié)果產(chǎn)生誤差。）（2）觀測者（說明：由于觀測者的視覺、聽覺等感管的鑒別能力有一定的局限，所以在儀器的安置、使用中都會產(chǎn)生誤差，如整平誤差、照準(zhǔn)誤差、讀數(shù)誤差等。同時，觀測者的工作態(tài)度、技術(shù)水平和觀測時的身體狀況等也是對觀測結(jié)果的質(zhì)量有直接影響的因素。）（3）外界環(huán)境條件（說明：如溫度、風(fēng)力、大氣折光等因素，這些因素的差異和變化都會直接對觀測結(jié)果產(chǎn)生影響，必然給觀測結(jié)果帶來誤差。）測量工作由于受到上述三方面因素的

7、影響，觀測結(jié)果總會產(chǎn)生這樣或那樣的觀測誤差，即在測量工作中觀測誤差是不可避免的。測量外業(yè)工作的責(zé)任就是要在一定的觀測條件下，確保觀測成果具有較高的質(zhì)量，將觀測誤差減少或控制在允許的限度內(nèi)。五、測量誤差的種類粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差三類。1.粗差粗差也稱錯誤。（說明：是由于觀測者使用儀器不正確或疏忽大意，如測錯、讀錯、聽錯、算錯等造成的錯誤，或因外界條件發(fā)生意外的顯著變動引起的差錯。粗差的數(shù)值往往偏大，使觀測結(jié)果顯著偏離真值。因此，一旦發(fā)現(xiàn)含有粗差的觀測值，應(yīng)將其從觀測成果中剔除出去。一般地講，只要嚴(yán)格遵守測量規(guī)范，工作中仔細(xì)謹(jǐn)慎，并對觀測結(jié)果作必要的檢核。粗差是可以發(fā)現(xiàn)和避免的。）2.系統(tǒng)誤差

8、（1）概念系統(tǒng)誤差：在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行的一系列觀測中，數(shù)值大小和正負(fù)符號固定不變或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。準(zhǔn)確度：是指觀測值對真值的偏離程度或接近程度。（說明：系統(tǒng)誤差具有累積性，它隨著單一觀測值觀測次數(shù)的增多而積累。系統(tǒng)誤差的存在必將給觀測成果帶來系統(tǒng)的偏差，反映了觀測結(jié)果的準(zhǔn)確度。）（2）系統(tǒng)誤差分析為了提高觀測成果的準(zhǔn)確度，首先要根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計的原理和方法判斷一組觀測值中是否含有系統(tǒng)誤差，其大小是否在允許的范圍以內(nèi)；然后采用適當(dāng)?shù)拇胧┫驕p弱系統(tǒng)誤差的影響。通常有以下三種方法：a.測定系統(tǒng)誤差的大小，對觀測值加以改正（說明：如用鋼尺量距時，通過對鋼尺的檢定求出尺長

9、改正數(shù)，對觀測結(jié)果加尺長改正數(shù)和溫度變化改正數(shù)，來消除尺長誤差和溫度變化引起的誤差這兩種系統(tǒng)誤差。）b.采用對稱觀測的方法（說明：使系統(tǒng)誤差在觀測值中以相反的符號出現(xiàn)，加以抵消。如水準(zhǔn)測量時，采用前、后視距相等的對稱觀測，以消除由于視準(zhǔn)軸不平行于水準(zhǔn)管軸所引起的系統(tǒng)誤差；經(jīng)緯儀測角時，用盤左、盤右兩個觀測值取中數(shù)的方法可以消除視準(zhǔn)軸誤差等系統(tǒng)誤差的影響。）c.檢校儀器（說明：將儀器存在系統(tǒng)誤差降低到最小限度，或限制在允許的范圍內(nèi)，以減弱其對觀測結(jié)果的影響。如經(jīng)緯儀照準(zhǔn)部水準(zhǔn)管軸不垂直于豎軸的誤差對水平角的影響，可通過精確檢校儀器并在觀測中仔細(xì)整平的方法，來減弱其影響。）系統(tǒng)誤差的計算和消除，取

10、決于我們對它的了解程度。用不同的測量儀器和測量方法，系統(tǒng)誤差的存在形式不同，消除系統(tǒng)誤差的方法也不同。必須根據(jù)具體情況進(jìn)行檢驗、定位和分析研究，采取不同措施，使系統(tǒng)誤差減小到可以忽略不計的程度。3.偶然誤差偶然誤差：在相同的觀測條件下對某量進(jìn)行一系列觀測，單個誤差的出現(xiàn)沒有一定的規(guī)律性，其數(shù)值的大小和符號都不固定，表現(xiàn)出偶然性，這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機(jī)誤差。偶然誤差反映了觀測結(jié)果的精密度。精密度：是指在同一觀測條件下，用同一觀測方法對某量多次觀測時，各觀測值之間相互的離散程度。（說明：例如，用經(jīng)緯儀測角時，就單一觀測值而言，由于受照準(zhǔn)誤差、讀數(shù)誤差、外界條件變化所引起的誤差、儀器自身不

11、完善引起的誤差等綜合的影響，測角誤差的大小和正負(fù)號都不能預(yù)知，具有偶然性。所以測角誤差屬于偶然誤差。）六、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)1.偶然誤差的特性偶然誤差單個出現(xiàn)時不具有規(guī)律性，但在相同條件下重復(fù)觀測某一量時，所出現(xiàn)的大量的偶然誤差卻具有一定的規(guī)律性。由于偶然誤差本身的特性，它不能用計算改正和改變觀測方法來簡單地加以消除，只能用偶然誤差的理論加以處理，以減弱偶然誤差對測量成果的影響。這種規(guī)律性可根據(jù)概率原理，用統(tǒng)計學(xué)的方法來分析研究。2.舉例說明例如，在相同條件下對某一個平面三角形的三個內(nèi)角重復(fù)觀測了358次，由于觀測值含有誤差，故每次觀測所得的三個內(nèi)角觀測值之和一般不等于180

12、76;。三角形各次觀測的真誤差i=180°-(a i +b i +c i)現(xiàn)取誤差區(qū)間d（間隔）為0.2，將誤差按數(shù)值大小及符號進(jìn)行排列，統(tǒng)計出各區(qū)間的誤差個數(shù)k及相對個數(shù)k/n，見表。 誤差統(tǒng)計表 誤差區(qū)間d負(fù)誤差正誤差個數(shù)k相對個數(shù)個數(shù)k相對個數(shù)0.00.2450.126460.1280.20.4400.112410.1150.40.6330.092330.0920.60.8230.064210.0590.81.0170.047160.0451.01.2130.036130.0361.21.460.01750.0141.41.640.01120.0061.6以上00.00000.

13、000總和1810.5051770.495從上表的統(tǒng)計數(shù)字中，可以總結(jié)出在相同的條件下進(jìn)行獨立觀測而產(chǎn)生的一組偶然誤差，具有以下四個統(tǒng)計特性：（1）有界性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度，即偶然誤差是有界的；（2）單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會大；（3）對稱性：絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等；（4）補(bǔ)償性：在相同條件下，對同一量進(jìn)行重復(fù)觀測，偶然誤差的算術(shù)平均值隨著觀測次數(shù)的無限增加而趨于零，即 式中： 表示求和。上述第四個特性是由第三個特性導(dǎo)出的，它說明偶然誤差具有補(bǔ)償性。這個特性對深入研究偶然誤差具有十分重要的意義。3.概率密度函數(shù)表中相對個

14、數(shù)k/n稱為頻率。若以橫坐標(biāo)表示偶然誤差的大小，縱坐標(biāo)表示頻率/組距，即k/n再除以（本例取d=0.2）,則縱坐標(biāo)代表k/0.2n之值，可繪出誤差統(tǒng)計直方圖。密度函數(shù)，其公式為4. 削減偶然誤差措施（1）在必要時或儀器設(shè)備允許的條件下適當(dāng)提高儀器等級。（2）多余觀測。（3）求最可靠值。一般情況下未知量真值無法求得，通過多余觀測，求出觀測值的最或是值，即最可靠值。最常見的方法是求得觀測值的算術(shù)平均值。（說明：由偶然誤差的特性可知，當(dāng)觀測次數(shù)無限增加時，偶然誤差的算術(shù)平均值必然趨近于零。但實際上，對任何一個未知量不可能進(jìn)行無限次觀測，通常為有限次觀測，因而不能以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論去理解這個表達(dá)式，它只

15、能說明這個趨勢。但是，由于其正的誤差和負(fù)的誤差可以相互抵消，因此，我們可以采用多次觀測，取觀測結(jié)果的算術(shù)平均作為最終結(jié)果。）§5-2 衡量精度的指標(biāo)摘要內(nèi)容：在測量中，用精度來評價觀測成果的優(yōu)劣。精密度簡稱精度。建立一個統(tǒng)一的衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)，給出一個數(shù)值概念，使該標(biāo)準(zhǔn)及其數(shù)值大小能反映出誤差分布的離散或密集的程度，稱為衡量精度的指標(biāo)。講課重點：精度、中誤差、容許誤差、相對誤差。講課難點：中誤差、容許誤差、相對誤差。講授重點內(nèi)容提要：一、精度精確度：是準(zhǔn)確度與精密度的總稱。準(zhǔn)確度主要取決于系統(tǒng)誤差的大??；精密度主要取決于偶然誤差的分布。精度：對基本排除系統(tǒng)誤差，而以偶然誤差為主的一組觀

16、測值，用精密度來評價該組觀測值質(zhì)量的優(yōu)劣。精密度簡稱精度。衡量精度的指標(biāo)：建立一個統(tǒng)一的衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)，給出一個數(shù)值概念，使該標(biāo)準(zhǔn)及其數(shù)值大小能反映出誤差分布的離散或密集的程度，稱為衡量精度的指標(biāo)。（說明：在相同的觀測條件下，對某量所進(jìn)行的一組觀測，這一組中的每一個觀測值，都具有相同的精度。為了衡量觀測值精度的高低，可以采用誤差分布表或繪制頻率直方圖來評定，但這樣做十分不便，有時不可能。）二、中誤差中誤差：為了避免正負(fù)誤差相抵消和明顯地反映觀測值中較大誤差的影響，通常是以各個真誤差的平方和的平均值再開方作為評定該組每一觀測值的精度的標(biāo)準(zhǔn)，即 （說明：m稱為中誤差，由于是等精度觀測，因此中誤差是

17、指該組每一個觀測值都具有這個值的精度，也稱為觀測值中誤差。它是一組真誤差的代表值，中誤差值的大小反映了這組觀測值精度的高低，而且它能明顯地反映出測量結(jié)果中較大誤差的影響。因此一般都采用中誤差作為評定觀測質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)。）例如，設(shè)有甲、乙兩個小組，對三角形的內(nèi)角和進(jìn)行了9次觀測，分別求得其真誤差為：甲組：；乙組：。從計算結(jié)果可以看出m甲=，m乙=，說明乙組的觀測精度比甲組高。三、容許誤差由偶然誤差的第一個特性可知，在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。如果在測量工作中某觀測值的誤差超過了這個限值，就認(rèn)為這次觀測的質(zhì)量不符合要求，該觀測結(jié)果應(yīng)該舍去重測，這個界限稱為容許誤差或限差。通常

18、以三倍中誤差作為偶然誤差的限差，即；在對精度要求較高時，常取二倍中誤差作為容許誤差，即。（說明：根據(jù)誤差理論和實踐的統(tǒng)計證明：在等精度觀測的一組誤差中，絕對值大于一倍中誤差的偶然誤差，其出現(xiàn)的機(jī)會為32%；大于兩倍中誤差的偶然誤差，其出現(xiàn)的機(jī)會只有5%；大于三倍中誤差的偶然誤差，其出現(xiàn)的機(jī)會僅有3）四、相對誤差相對誤差：就是中誤差的絕對值與相應(yīng)觀測量之比。它是一個無量綱數(shù)，在測量上通常以分子為1的分?jǐn)?shù)式表示。（說明：前面提及的真誤差、中誤差都是絕對誤差，單純比較絕對誤差的大小，有時還不能判斷觀測結(jié)果精度的高低。例如，丈量二段距離，第一段的長度為100m，其中誤差為D=±2cm；第二段

19、長度為200m，其中誤差為D=±3cm。如果單純用中誤差的大小評定其精度，就會得出前者精度比后者精度高的結(jié)論。實際上丈量的誤差與長度有關(guān)，距離愈大，誤差的積累愈大。K1=1/5000，K2=1/6600。后者精度高于前者） §5-3 算術(shù)平均值及其中誤差摘要內(nèi)容：在實際工作中，未知量的真值往往是不知道的，因此真誤差i也無法求得，因而不能直接求觀測值的中誤差，但未知量的最或是值x與觀測值li之差vi是可以求得的。講課重點：算術(shù)平均值、觀測值改正數(shù)、由觀測值改正數(shù)計算觀測值中誤差、算術(shù)平均值中誤差。講課難點：觀測值改正數(shù)。講授重點內(nèi)容提要：一、算術(shù)平均值當(dāng)觀測次數(shù)n趨于無限多時

20、，算術(shù)平均值就是該量的真值。但實際工作中觀測次數(shù)總是有限的，這樣算術(shù)平均值不等于真值，但它與所有觀測值比較都更接近于真值。因此，可認(rèn)為算術(shù)平均值是該量的最可靠值，故又稱為最或然值。（說明：設(shè)在相同的觀測條件下，對某一未知量進(jìn)行了n次觀測，得觀測值l1、l2ln，則該量的最可靠值就是算術(shù)平均值x，即 X為該量的真值，則有)二、觀測值改正數(shù)觀測值改正數(shù)：未知量的最或是值x與觀測值li之差vi是可以求得的，vi稱為觀測值改正數(shù)。（說明： ，根據(jù)中誤差定義，得， 即為利用觀測值改正數(shù)計算中誤差的公式。在實際工作中，未知量的真值往往是不知道的，因此真誤差i也無法求得，因而不能直接求觀測值的中誤差，但未知

21、量的最或是值x與觀測值li之差vi是可以求得的。對于任何一組等精度觀測值，其改正數(shù)代數(shù)和等于零，這就是觀測值改正數(shù)的特性，這一結(jié)論可檢查計算的算術(shù)平均值和改正數(shù)是否正確。）三、由觀測值改正數(shù)計算觀測值中誤差（說明：通過研究改正數(shù)v與真誤差之間的關(guān)系，從而導(dǎo)出以改正表示觀測值中誤差的公式。根據(jù)真誤差定義：真誤差=真值-觀測值；中誤差定義：各個真誤差的平方和的平均值再開方。）四、算術(shù)平均值中誤差算術(shù)平均值x的中誤差Mx，可由下式計算 或 §5-4 誤差傳播定律及其應(yīng)用摘要內(nèi)容：某些量的大小往往不是直接觀測到的，而是通過一定的函數(shù)關(guān)系間接計算求得的。表述觀測值函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間

22、關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。講課重點：誤差傳播定律、誤差傳播定律的應(yīng)用。講課難點：中誤差傳播公式。講授重點內(nèi)容提要：一、誤差傳播定律誤差傳播定律：表述觀測值函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。為觀測值中誤差與其函數(shù)中誤差的一般關(guān)系式，稱中誤差傳播公式。中誤差傳播公式在測量中應(yīng)用十分廣泛。利用這個公式不僅可以求得觀測值函數(shù)的中誤差，還可以用來研究容許誤差值的確定以及分析觀測可能達(dá)到的精度等。（說明：1.設(shè)Z為獨立變量xi的函數(shù)，即，其中Z為不可直接觀測的未知量，真誤差為，中誤差為；各獨立變量為可直接觀測的未知量，相應(yīng)的觀測值為，真誤差為，中誤差為。2.當(dāng)各觀測值帶有真誤差時

23、，函數(shù)也隨之帶有真誤差。3.按泰勒級數(shù)展開，取近似值。4.若對各獨立變量都測定了K次，取其平方和關(guān)系式。5.由偶然誤差的特性可知，當(dāng)觀測次數(shù)時，各偶然誤差的交叉項總和均趨向于零。）據(jù)此不難導(dǎo)出下列簡單函數(shù)式的中誤差傳播公式，見表。 中誤差傳播公式 函數(shù)名稱函數(shù)式中誤差傳播公式倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)二、誤差傳播定律的應(yīng)用下面舉例說明其應(yīng)用方法。例1：在1:500地形圖上量得某兩點間的距離d=234.5mm，其中誤差md =±0.2mm，求該兩點間的地面水平距離D的值及其中誤差mD。解：實距=比例尺×圖距（屬于倍數(shù)函數(shù)）；D=500d=117.25m； mD=±50

24、0md =±0.10m例2：設(shè)對某一個三角形觀測了其中、兩個角，測角中誤差分別為m =±3.5，m=±6.2，試求角的中誤差m。解：=A-（屬于和差數(shù)函數(shù)），=180- ；例3：試推導(dǎo)出算術(shù)平均值中誤差的公式：算術(shù)平均值：設(shè)，則（屬于和差數(shù)函數(shù)）。因為等精度觀測，各觀測值的中誤差相同，即 得算術(shù)平均值的中誤差為：所以： （說明：在相同的觀測條件下，算術(shù)均值的中誤差與觀測次數(shù)的平方根成反比。設(shè)觀測值的中誤差m=1，則算術(shù)平均值的中誤差M與觀測次數(shù)n的關(guān)系如圖所示。隨著觀測次數(shù)的增加，算術(shù)平均值的精度固然隨之提高，但是，當(dāng)觀測次數(shù)增加到一定數(shù)值后（例如n=10）算術(shù)平

25、均值精度的提高是很微小的。因此，不能單以增加觀測次數(shù)來提高觀測成果的精度，還應(yīng)設(shè)法提高觀測本身的精度。例如，采用精度較高的儀器，提高觀測技能，在良好的外界條件下進(jìn)行觀測等。）例4：推導(dǎo)用三角形閉合差計算測角中誤差公式。設(shè)等精度觀測了n個三角形的內(nèi)角，其測角中誤差為m。各三角形閉合差為：（屬于和差數(shù)函數(shù)）。按中誤差定義得三角形內(nèi)角和的中誤差為：由于內(nèi)角和是每個三角形各觀測角之和，即：其中誤差為：故測角中誤差： 上式稱為菲列羅公式，通常用在三角測量中評定測角精度。例5 分析水準(zhǔn)測量精度（1）設(shè)在A、B兩水準(zhǔn)點間安置了n站，每個測站后視讀數(shù)為a，前視讀數(shù)為b，每次讀數(shù)的中誤差均為m讀，由于每個測站高

26、差為：h=a-b（屬于和差數(shù)函數(shù)）。（2）根據(jù)誤差傳播定律，求得一個測站所測得的高差中誤差mh= m讀2（如果采用黑、紅雙面尺或兩次儀器高法測定高差，并取兩次高差的平均值作為每個測站的觀測結(jié)果，則可求得每個測站高差平均值的中誤差m站= m讀）（3）由于A、B兩水準(zhǔn)點間共安置了n個測站可求得n站總高差的中誤差m=m站n= m讀n（即水準(zhǔn)測量高差的中誤差與測站數(shù)的平方根成正比。）（4）設(shè)每個測站的距離S大致相等，全長，將代入上式：式中1/S為每公里測站數(shù)，為每公里高差中誤差，以表示，則：即水準(zhǔn)測量高差的中誤差與距離平方根成正比。（5）由此，現(xiàn)行規(guī)范中規(guī)定，普通（圖根）水準(zhǔn)測量容許高差閉合差分別為：

27、，（平地）；，（山地）例6 分析水平角測量的精度（1）DJ6級光學(xué)經(jīng)緯儀一測回的測角中誤差DJ6級光學(xué)經(jīng)緯儀通過盤左、盤右（即一測回）觀測同一方向的中誤差作為出廠精度，也就是一測回方向中誤差為。由于水平角為兩個方向值之差，。故其中誤差應(yīng)為：即DJ6級光學(xué)經(jīng)緯儀一測回的測角中誤差為?？紤]儀器本身誤差及其它不利因素，取。以兩倍中誤差作為容許誤差，則： 因而規(guī)范中當(dāng)用DJ6型光學(xué)經(jīng)緯儀施測一測回時，測角中誤差規(guī)定為。 （2）三角形角度容許閉合差用DJ6級光學(xué)經(jīng)緯儀等精度觀測三角形的三個內(nèi)角，各角均用一測回觀測。其三角形閉合差為：已知測角中誤差：按誤差傳播定律，三角形閉合差的中誤差為：，以代入最后結(jié)果

28、為： ，考慮儀器本身誤差和其它不利因素，。取3倍中誤差為容許誤差，則規(guī)范規(guī)定用DJ6級光學(xué)經(jīng)緯儀施測測回，三角形最大閉合差（容許閉合差）為。例7 分析距離測量精度（1）鋼尺量距的精度用尺長為的鋼尺丈量長度為的距離，共丈量個尺段，若已知每個尺段的中誤差為。則：按誤差傳播定律：式中為整尺段數(shù)，所以，將其代入上式：在一定的觀測條件下，采用同一把鋼尺和相同的操作方法，式中的和應(yīng)為常數(shù)，令，則：，即丈量距離中誤差與所量距離平方根成正比。上式中，當(dāng)時，即為丈量單位長度的中誤差，例如，則為丈量1km的中誤差。在實際工作中，通常以兩次丈量結(jié)果的較差與長度之比來評定精度。則：，以兩倍中誤差作為容許誤差，則：在良

29、好地區(qū)，一般用鋼尺丈量一尺段，完全可達(dá)到。則：以常用長度代入，則：因此距離丈量規(guī)定相對誤差不低于1/2000。（2）視距測量的測距精度按傾斜視距公式：， 水平距離中誤差 由于根式內(nèi)第二項的值很小，為討論方便起見將其略去。則：，式中：為標(biāo)尺視間隔的讀數(shù)中誤差。因=下絲讀數(shù)-上絲讀數(shù)，故 ，式中：為根視距絲讀數(shù)的中誤差。人眼的最小可分辨視角為。DJ6級經(jīng)緯儀望遠(yuǎn)鏡放大倍數(shù)為24倍，則人的肉眼通過望遠(yuǎn)鏡來觀測時，可達(dá)到的分辨視角。因此，一根視距絲的讀數(shù)誤差為，以它作為讀數(shù)誤差的代入上式后可得：又因視距測量時，一般情況下值都不大，當(dāng)很小時。則相對中誤差為：再考慮到其他因素的影響，可以認(rèn)為視距精度約。&

30、#167;5-5 權(quán)及加權(quán)平均值摘要內(nèi)容：在定權(quán)時，并不需要預(yù)先知道各觀測值中誤差的具體數(shù)值，在確定了觀測方法后權(quán)就可以預(yù)先確定。這一點說明可以事先對最后觀測結(jié)果的精度進(jìn)行估算，這在實際工作中具有很重要的意義。中誤差傳播定律表征的是觀測量的中誤差與觀測量函數(shù)中誤差之間的關(guān)系。但是，由于觀測量的中誤差在數(shù)據(jù)處理之前一般是不知道的，而觀測量的權(quán)都是可以預(yù)先確定的。因此，在數(shù)據(jù)處理中，更經(jīng)常遇到的是需要根據(jù)觀測量的權(quán)來確定觀測量函數(shù)的權(quán)。講課重點：權(quán)、測量中常用的確權(quán)方法、加權(quán)平均值及中誤差、權(quán)倒數(shù)傳播定律。講課難點：測量中常用的確權(quán)方法。講授重點內(nèi)容提要：一、權(quán)不同精度的觀測值所占 “比重”可以用

31、數(shù)值表示，稱這個數(shù)值為觀測值的“權(quán)”。中誤差求權(quán)的定義公式：設(shè)以Pi表示觀測值li的權(quán)，則權(quán)的定義公式為：式中是任意常數(shù)。是權(quán)等于1的觀測值的中誤差，通常稱等于1的權(quán)為單位權(quán)，權(quán)為1的觀測值為單位權(quán)觀測值。而為單位權(quán)觀測值的中誤差，簡稱為單位權(quán)中誤差。（說明：對未知量進(jìn)行n次不同精度觀測。在計算不同精度觀測值的最或然值時，精度高的觀測值在其中占的“比重”大一些，而精度低的觀測值在其中占的“比重”小一些。顯然，觀測值的精度愈高，即中誤差愈小，其權(quán)就大；反之，觀測值的精度愈低，即中誤差愈大，其權(quán)就小。當(dāng)已知一組觀測值的中誤差時，可以先設(shè)定值，然后按式確定這組觀測值的權(quán)。）二、權(quán)的性質(zhì)權(quán)和中誤差都是

32、用來衡量觀測值精度的指標(biāo)，但中誤差是絕對性數(shù)值，表示觀測值的絕對精度；權(quán)是相對性數(shù)值，表示觀測值的相對精度；權(quán)與中誤差平方成反比，中誤差越小，權(quán)越大，表示觀測值越可靠，精度越高；權(quán)始終取正號；由于權(quán)是一個相對性數(shù)值，對于單一觀測值而言，權(quán)無意義；權(quán)的大小隨觀測值li的不同而不同，但權(quán)之間的比例關(guān)系不變；在同一個問題中只能選定一個值，不能同時選用幾個不同的值，否則就破壞了權(quán)之間的比例關(guān)系。三、測量中常用的確權(quán)方法1.同精度觀測值的算術(shù)平均值的權(quán)算術(shù)平均值的權(quán)為：由此可知，取一次觀測值之權(quán)為1，則n次觀測的算術(shù)平均值的權(quán)為n，故權(quán)與觀測次數(shù)成正比。（說明：設(shè)一次觀測的中誤差為m，n次同精度觀測值的

33、算述平均值的中誤差M=m/n。由權(quán)的定義設(shè)=m2，則一次觀測值的權(quán)為P=1。在不同精度觀測中引入“權(quán)”的概念，可以建立各觀測值之間的精度比值，以便合理地處理觀測數(shù)據(jù)。例如，設(shè)一次觀測值的中誤差為m，其權(quán)為P0，并設(shè)=m2，則P0=1。對于中誤差為mi的觀測值（或觀測值的函數(shù)），則相應(yīng)的中誤差的另一表示式可寫為mi=(1/Pi)。）2.權(quán)在水準(zhǔn)測量中的應(yīng)用取c個測站的高差中誤差為單位權(quán)中誤差，即，則各水準(zhǔn)路線的權(quán)為，同理，可得 ，式中，為各水準(zhǔn)路線的長度。當(dāng)各測站觀測高差為同精度時，各水準(zhǔn)路線的權(quán)與測站數(shù)或路線長度成反比。（說明：設(shè)每一測站觀測高差的精度相同，其中誤差為m站，則不同測站數(shù)的水準(zhǔn)路

34、線觀測高差的中誤差為mi=m站Ni，Ni為各水準(zhǔn)路線的測站數(shù)。）3.權(quán)在距離丈量工作中的應(yīng)用取長度為c公里的丈量中誤差為單位權(quán)中誤差，即，則得距離丈量的權(quán)為：（說明：距離丈量的權(quán)與長度成反比。設(shè)單位長度（一公里）的丈量中誤差為m，則長度為s公里的丈量中誤差為）四、加權(quán)平均值及中誤差根據(jù)對未知量x進(jìn)行了不同精度觀測值求其最或是值的公式，稱為帶權(quán)平均值，或稱廣義算術(shù)平均值。（說明：設(shè)對某未知量x進(jìn)行了n次不同精度觀測，已知觀測值為Li，其相應(yīng)權(quán)為Pi。；，將這兩個公式對比一下，就可以發(fā)現(xiàn)，上述的相當(dāng)于個中誤差都為的觀測值的算術(shù)平均值，即 其中每個是同精度的，它們的中誤差都是。這樣就相當(dāng)于對未知量進(jìn)行