重積分及其計算和多重積分

1、三重積分和多重積分方法在第三節(jié)中我們討論了二重積分，本節(jié)將之推廣到一般的n 維空間中去 .類似于第三節(jié) ,我們先定義一個R3 中集合的可求體積性. 同樣可以給出一列類似的結(jié)論 .讀者自己推廣 . 這里將不再贅述 .一、引例設(shè)一個物體在空間 R3 中占領(lǐng)了一個有界可求體積的區(qū)域V ，它的點密度為 f x, y, z ，現(xiàn)在要求這個物體的質(zhì)量假設(shè)密度函數(shù)是有界的連續(xù)函數(shù)，可以將區(qū)域V 分割為若干個可求體積的小區(qū)域V1 ,V2 ,.,Vn ，其體積分別是V1 ,V2 ,., Vn ，直徑分別是 d1 , d2 ,., dn ，即 di sup| WQ |W , Q Vi ,(i=1,2, ,n ）

2、,|WQ|表示 W, Q兩點的距離設(shè)max d1 , d 2 ,., d n ，則當(dāng)很小時， fx, y, z 在 Vi 上的變化也很小可以用這個小區(qū)域上的任意一點xi , yi , zi 的密度 fxi , yi, zi來近似整個小區(qū)域上的密度，這樣我們可以求得這個小的立體的質(zhì)量近似為fxi , yi , ziVi，所有這樣的小的立體的質(zhì)量之和即為這個物體的質(zhì)量的一個近似值即nMf xi , yi , ziVi i 1當(dāng)0 時，這個和式的極限存在，就是物體的質(zhì)量即nM limf xi , yi , zi Vi 0i 1從上面的討論可以看出， 整個求質(zhì)量的過程和求曲頂柱體的體積是類似的， 都是

3、先分割，再求和，最后取極限所以我們也可以得到下面一類積分二、 三重積分的定義設(shè) f x, y, z 是空間 R3 中的一個有界可求體積的閉區(qū)域V 上的有界函數(shù)， 將 V 任意分割為若干個可求體積的小閉區(qū)域V1,V2 ,.,Vn ，這個分割也稱為V 的分劃，記為 P: V1 ,V2 ,.,Vn .Vi oV j o(空 , ij ), 其體積分別是V1 ,V2 ,.,Vn ，直徑分別是d1 , d 2 ,., dn 設(shè)max d1 , d 2 ,., d n , 或記為 |P|. 在每個小區(qū)域中任意取一點xi , yi , ziVi ，作和nf xi , yi , ziVi (稱為 Rieman

4、n 和 )，若當(dāng)0 時，這個和式的極限存在，則稱其極i 1Word 文檔限為函數(shù) f x, y, z 在區(qū)域 V 上的三重積分 ，記為f x, y, z dV 并稱函數(shù) f x, y, z 在V區(qū)域 V 上可積 f x, y, z稱為被積函數(shù) ,x,y,z 稱為 積分變量 ., V 稱為 積分區(qū)域 .特別地，在直角坐標(biāo)系下，可以記為f x, y, z dxdydzV我們同樣可以引入 Darboux 大 ,小和 來判別可積 , 也有同樣的結(jié)論 (略 ).1.若 f x, y, z 是有界閉區(qū)域 V 上的連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)f x, y, z 在區(qū)域 V 上可積2.若 f x, y, z =1 時 ,

5、dxdydzV的體積 .V3.若 f x, y, z 在有界閉區(qū)域 V 上的間斷點集合是0 體積時 , f x, y, z 在 V 可積 .三重積分有著與二重積分類似的性質(zhì)下面簡單敘述一下可積函數(shù)的和（或差）及積仍可積.和（差）的積分等于積分的和(差 )可積函數(shù)的函數(shù)k 倍仍可積 . 其積分等于該函數(shù)積分的k 倍設(shè)是可求體積的有界閉區(qū)域，f x,y,z 在上可積，分為兩個無共同點的可求體積的閉區(qū)域1 ,2 之并，則f x, y, z 在1 ,2 上可積，并有f x, y, z dVfx, y, z dVf x, y, z dV 12等等 .三、三重積分的計算方法同二重積分一樣, 我們這里給出三

6、重積分的計算方法,理論上的證明讀者自己完成.1. 利用直角坐標(biāo)系計算三重積分先給一個結(jié)論 .定理 12.14若函數(shù)f x, y, z 是長方體 V= a,b × c,d× e,h 上的可積 , 記 D= c,d× e,h,對任意 x a,b, 二重積分I ( x)f x, y, z dydzDbbb存在 , 則I ( x)dxf x, y, z dydz dx (記為dxf x, y, z dydz)aaDaDbbdh也存在 , 且f x, y, z dVdxf x, y, z dydzdx dyf x, y, z dz.VaDace這時右邊稱為三次積分或累次積分

7、, 即三重積分化為三次積分.證明分別中 a,b,c,d, e,h插入若干個分點ax0x1x2xnb ;Word 文檔c y0y1y2ymd ;ez0z1z2zsh作平面 x xi ,yy j ,zzk,(i=0,1,2, , n; ,j i =0,1,2, , m; k=0,1,2, , s,)得到 V 的一個分劃 P. 令 vijk xi1 , xi y j 1 , y j zk 1 , zk , (i=1,2, , n; ,j i =1,2, , m; k=1,2, , s,),M ijk , mijk 分別是 fx, y, z在 vijk 上的上 , 下確界 .那么在 D jk y j

8、1 , y j zk 1 , zk 上有mijky jzkf ( i , y, z) dydzM ijky jzkD jk其中 xiii-1,yj,= yj- yj -1,kkk-1, (i=1,2, , n; ,j i =1,2, , m; k=1,2, , s,).,= x - xz,= z- zf (i , y, z) dydzf (i , y, z)dydzI (i )j ,k D jkDnmijkxi y j zkI ( i )xiM ijkxiy j zki, j ,ki 1i , j ,k因可積，所以當(dāng)|P|趨于 0 時， Darboux 大 ,小和趨于同一數(shù)，即三重積分.故定理

9、得證 .z如果 V如右圖 ,he z h, z=z 與 V 的截面Dz面積為 Dz ,zey圖 12-4-1不難得到 ,xh若函數(shù) fx, y, z 在 V 上的可積 , 那么f x, y, z dVdzf x, y, z dxdy .VeDzWord 文檔下面給出一般三重積分的具體計算方法，理論證明讀者可參照二重積分自己完成設(shè)函數(shù) f (x, y, z) 在有界閉區(qū)域上連圖 12-4-2續(xù)，我們先討論一種比較特殊的情況, ,|,z, ，其中x y zx yD z1 x yz2 x yD xy 為 在 xoy 平面上的投影， 且 D xy x, y| axb, y1 ( x)yy2x 如圖 1

10、我們現(xiàn)在 z 軸上做積分，暫時將x, y 看成是常數(shù)把函數(shù)fx, y, z 看作是 z 的函數(shù)，將它在區(qū)間 z1 x, y , z2 x, y 上積分得到z2x, yf x, y, z dzz1 x, y顯然這個結(jié)果是 x, y 的函數(shù)，再把這個結(jié)果在平面區(qū)域D xy 上做二重積分z2 x , yf x, y, z dz dxdy z1 x, yD xy在利用二重積分的計算公式便可以得到所要的結(jié)果若平面區(qū)域Dxy 可以用不等式a x b, y1 x y y2 x 表示，則bxz2 x , yy2x, y, z dz f x, y, z dVdxdyfy1xz1 x , ya這個公式也將三重積分

11、化為了三次積分Word 文檔如果積分區(qū)域是其他的情形，可以用類似的方法計算例 1 計算三重積分xdV ，其中是由三個坐標(biāo)面和平面xyz1所圍的立體區(qū)域解積分區(qū)域如圖所示，可以用不等式表示為0 x1,0y1x,0 z1 x y ，所以積分可以化為11x1xyxdVdx0dyxdz0011xxy dydx0x 101 12dxx 1x0 211111圖 12-4-3x4x3x 2834024四、三重積分的積分變換和二重積分的積分變換一樣，有如下的結(jié)果:定理 12.15設(shè) V 是 uvw 空間 R3 中的有界可求體積的閉區(qū)域，T： x=x(u,v,w), y=y(u,v,w),z=z(u,v,w),

12、是 V 到 xyz 空間 R3 中的一一映射，它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且xxx(x, y, z)uvzyyyV (稱為 Jacobi).(u,v, w)uv0, (u, v, w)zzzzuvz如果 f( x,y,z) 是 T(V)上的可積函數(shù)，那么f ( x, y, z)dxdydzf (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) ( x, y, z) dudvdwT(V)V(u, v, w)在 R3 中有兩種重要的變換柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo).1. 利用柱面坐標(biāo)計算三重積分前面我們可以看到， 由于積分區(qū)域與被積函數(shù)的特點， 二重積分可以用極坐標(biāo)來計算 同樣對于三重積分可

13、以用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計算我們先討論用柱面坐標(biāo)來計算三重積分設(shè)空間中有一點M x, y, z ，其在坐標(biāo)面xoy 上的投影點 M ' 的極坐標(biāo)為r ,，這樣三個數(shù) z, r ,就稱為點 M 的柱面坐標(biāo)（如圖12-4-4 ）Word 文檔zM(x,y,z)yM x圖 12-4-4圖 12-4-5這里規(guī)定三個變量的變化圍是0 r02 ，z注意到，當(dāng) r 常數(shù)時，表示以z 軸為中心軸的一個柱面當(dāng)=常數(shù)時，表示通過 z 軸，與平面 xoy 的夾角為的半平面當(dāng) z常數(shù)時，表示平行于平面xoy ，與平面 xoy 距離為 z 的平面空間的點的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)之間的關(guān)系, 即是 R3到 R3的映射

14、:xr cosyr sinzz所以其 Jacobi 為cosr sin0( x, y, z)r cos0r ,sin( r, , z)010故容易得到 : 如果 f(x,y,z) 是 R3 中的有界可求體積的閉區(qū)域V 上的可積函數(shù),則f x, y, z dVf r cos , r sin , z rdrd dz,VV其中 ,變換前后區(qū)域都用V 表示 .我們也可以從幾何直觀的意義來描述這個公式的由來.用三組坐標(biāo)面rC1 ,C1 , zC 3 將積分區(qū)域劃分為若干個小區(qū)域，考慮其中有代表性的區(qū)域， 如圖 12-4-5 所示的區(qū)域可以看成是由底面圓半徑為r和rdr 兩個圓柱面， 極角為和d的兩個半平

15、面， 以及高度為z和zdz 的兩個平面所圍成的它可以近似的看作一個柱體，其底面的面積為rdrd，高為 dz所以其體積為柱面坐標(biāo)下的體積元素，即dVrdrd dz 再利用兩種坐標(biāo)系之間的關(guān)系，可以得到Word 文檔f x, y, z dVf r cos , r sin , z rdrddz VV在柱面坐標(biāo)下的三重積分的計算也是化為三次積分例 2 計算三重積分x2y 2dV ，其中是由橢圓拋物面z 4 x2y 2 和平面z 4所圍成的區(qū)域解 如圖所示，積分區(qū)域在坐標(biāo)面 xoy 上的投影是一個圓心在原點的單位圓所以0 r1,02,4r 2z4 于是x2y 2dVr 2 rdrd dz21r 2 rd

16、r40d4r2 dz0214r 34r 5 dr20d03圖 12-4-62利用球面坐標(biāo)計算三重積分我們知道球面坐標(biāo)用數(shù)r , ,來表示空間的一個點設(shè)有直角坐標(biāo)系的空間點M x, y, z ，點 M 在坐標(biāo)面 xoy 上的投影 M ' ，其中 r| OM | ，為 x 軸到射線 OM ' 轉(zhuǎn)角為向量 OM 與 z 軸的夾角如圖12-4-7 規(guī)定三個變量的變化圍是0r020我們可以看到，注意到，當(dāng)r常數(shù)時，表示以原點為球心的球面當(dāng)=常數(shù)時，表示通過 z 軸的半平面當(dāng)常數(shù)時，表示以原點為頂點，z 軸為中心的錐面M 兩種坐標(biāo)系之間的關(guān)系如下：xr sincosyr sinsin 圖

17、12-4-7zr cos即又是一個即是R3 到 R3 的映射 .它的 Jacobi 是( x, y, z)sincosr cossinr sinsinsinsinr coscosr sincosr 2 sin ,(r , , )cosr sin0Word 文檔由一般的重積分變換公式容易得到:如果 f(x,y,z) 是 R3 中的有界可求體積的閉區(qū)域V 上的可積函數(shù),則f x, y, z dVf r sincos , r sinsin , r cosr 2 sin drd d,VV其中 ,變換前后區(qū)域都用V 表示 .用幾何直觀的意義可以如下理解: 已知 f(x,y,z) 閉區(qū)域 V 上的可積函數(shù)

18、.用三組坐標(biāo)r常數(shù)，常數(shù)，常數(shù)，將積分區(qū)域V 劃分為若干個小的區(qū)域. 考慮其中有代表性的區(qū)域，此小區(qū)域可以看成是有半徑為r和rdr 的球面，極角為和d的半平面， 與中心軸夾角為和d的錐面所圍成， 它可以近似的看作邊長分別是 dr , rd, r sind的小長方體，從而得到球面坐標(biāo)系下的體積元素為dVr 2 sindrd d 再由直角坐標(biāo)系與球面坐標(biāo)之間的關(guān)系，可以得到下面的公式f x, y, z dVf r sincos , r sin sin , r cosr 2sindrd dVV例 3 計算三重積分x2y2 dV ，其中是右半球面 x 2y2z 2a 2 , y0 所圍成的區(qū)域解 在球

19、面坐標(biāo)下，積分區(qū)域可以表示為 0ra,0,0所以x2y 2 dVr 2 sin 2r 2 sindrd ddda4 sin3 dr0r001ad0sin 3r 5d0505a 5cos1cos34a53015與二重積分 ,三重積分一樣可以定義一般n 重積分 .我們這里只是簡單介紹.當(dāng) V 是 R n 中的有界閉區(qū)域. 依照可求面積的方法定義V 的可求“體積”或可測 (略 ). 設(shè)f(x1, x2, xn,) 是 R n 中的有界可測閉區(qū)域V 上的函數(shù) , 任取 V 的分劃 P, 即把分成若干個可測小區(qū)域V1 ,V2 ,Vm , 它們的 ”體積 ”或測度分別記為V1 ,V2 ,Vm , 當(dāng)令Wo

20、rd 文檔d isup | Q1Q2 | Q1 ,Q2Vi ,| Q1Q2|表示兩點的距離,|P|max d1, d 2 , dm, 對任取 ( x1(i ) , x2(i ) , xn(i ) )Vi , (i1,2, , m) ,如果mlim(i )(i ),(i )Vi 存在12nf ( x1, x2, xn,稱 f(x , x , x ,)是 V 上的可積函數(shù) .其極限值稱為|P|01if(x1, x2, , xn,)在 V 上的 n 重積分 ,記為nnf (x1 , x2 , , xn ) dV或f (x1 , x2 , , xn )dx1 dx2 dxn .VV特別 當(dāng) V= a1

21、,b1× a2,b2× × an,bn時 ,nb1b2bnf ( x1 , x2 , , xn )dx1 dx2dxndx1 dx2f (x1 , x2 , , xn )dxn .Va1a2an若 V 上有一一映射 Tx1x1 (u1 ,u2 , , un )T :x2x2 (u1 ,u2 , u n ) ，其每個分量的函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，xnxn (u1 ,u2 , , un )當(dāng) V 是有界可測區(qū)域， f( x1, x2, , xn,)在 T(V)上可積，并且 Jacobix1x1x1u1u2un( x1 , x2 , xn )x2x2x2u1u2un 0, (

22、u1 ,u2 , , un ) V(u1 ,u2 , un )xnxnxnu1u2un那么nf (x1 , x2 , xn ) dx1dx2dxnT(V)nf (x1 (u1, u2 ,un ), x2 (u1 , u2 ,un ), xn (u1 ,u2 , un )V(x1 , x2 , xn ) du1 du2 dun(u1 , u2 ,u n ).特別是 R n 中的球坐標(biāo)變換Word 文檔T : x1r cos1 , x2r sin 1 cos2 , x3r sin1 sin2 cos3,xn1r sin1 sin2 sin3sinn 2 cosn 1 ,xnr sin1 sin2

23、sin3sinn 2 sinn 1 ,在 R n 中 ,0r,01,2,3, n 2,0n 12 .這時的 Jacobi 是x1x1x1r1n1( x1, x2 , xn )x2x2x2r n 1 sin n21 sin n3,r1n12sinn 2。( r, 1 ,n1 )xnxnxnr1n1同樣可以得到相應(yīng)的公式 .n例 4 求dx1 dx2dxn .x12 x2 2xn2 R 2解 用球坐標(biāo) .這時 , 0rR,01 ,2 ,3,n2,0n12. ,nR2dx1 dx2dxndrd1dn2r n1 sin n21 sin n 32sinn 2 d n 1x1 2 x2 2xn2 R20000Rnn2n 312 ,其中 ksin kxdx, k1,2, .n0nR 2 mm, n2mm!從而有dx1