人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教案《實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)》

1、實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)教材分析I）實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù) 是在學(xué)生學(xué)習(xí)了本章的二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程等知識(shí)之后對(duì)二次函數(shù)知識(shí)應(yīng)用的深入推進(jìn)，它是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的歸宿.新課標(biāo)中要求學(xué)生能通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的情境的分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式，體會(huì)其意義，能根據(jù)圖象的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.而本節(jié)解決的最值問(wèn)題又是生活中利用二次函數(shù)知識(shí)解 決最常見(jiàn)、最有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的問(wèn)題之一。本節(jié)教材是利用二次函數(shù)的最大值解決幾類(lèi)實(shí)際問(wèn)題，一開(kāi)始通過(guò)拋球的最大高度問(wèn)題讓學(xué)生先求出函數(shù)的解析式，再求出使函數(shù)值晨大的自變量的值.在此問(wèn)題的基礎(chǔ)上引出直接根據(jù)函數(shù)解析式求二次函數(shù)的最大值或最小值的結(jié)論。緊接著通過(guò)

2、探究場(chǎng)地最大面積、商品最大利潤(rùn)、水面寬度等三個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題都是建立二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)來(lái)解決的，讓學(xué)生深刻體會(huì)了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。教學(xué)目標(biāo)”LJ【知識(shí)與能力目標(biāo)】21、會(huì)求二次函數(shù) y =ax +bx+c的最?。ù螅┲?；2、能夠從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)求出實(shí)際問(wèn)題的最大（?。┲??！具^(guò)程與方法目標(biāo)】經(jīng)歷利用二次函數(shù)的最值解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想，感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活?！厩楦袘B(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)】通過(guò)將二次函數(shù)的最大值的知識(shí)靈活運(yùn)用于實(shí)際，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】從實(shí)際問(wèn)題中

3、抽象出二次函數(shù)關(guān)系并運(yùn)用二次函數(shù)的最大（?。┲到鉀Q實(shí)際問(wèn)題?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中建立二次函數(shù)模型。課前準(zhǔn)備、多媒體課件、教具等。教學(xué)過(guò)程1一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課2問(wèn)題1 填空：（1）二次函數(shù) y=a（xh$ +k的圖象和性質(zhì)當(dāng)a>0 時(shí)，二次函數(shù)的圖象（拋物線(xiàn)）開(kāi)口 , /自取點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸是_一，頂點(diǎn)坐標(biāo)是；當(dāng)a<0 時(shí)，二次函數(shù)的圖象（拋物線(xiàn)）開(kāi)口 , /自取點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是_頂點(diǎn)坐標(biāo)是O（2）二次函數(shù) y =ax2 bx c的圖象和性質(zhì)當(dāng)a>0 時(shí)，二次函數(shù)的圖象（拋物線(xiàn)）開(kāi)口 , /自取點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸是_一，頂點(diǎn)坐標(biāo)是；當(dāng)a<0 時(shí)，二次函數(shù)的圖象（拋物線(xiàn)）開(kāi)口 , /

4、自取點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是_一，頂點(diǎn)坐標(biāo)是。問(wèn)題2某商店銷(xiāo)售一種商品，每件的進(jìn)價(jià)為2.50元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷(xiāo)售量與銷(xiāo)售單 價(jià)滿(mǎn)足如下關(guān)系：在一段時(shí)間內(nèi)，單價(jià)是13.50元時(shí)，銷(xiāo)售量為500件，而單價(jià)每降低1元, 就可以多售出200件.你知道銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，商店獲利最大嗎?在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常會(huì)遇到類(lèi)似于問(wèn)題 2中的最值問(wèn)題，如拋球、圍墻、拱橋跨度 等，利用二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)研究和解決這些問(wèn)題，具有很現(xiàn)實(shí)的意義。從這節(jié)課開(kāi)始，我 們就共同解決這幾個(gè)問(wèn)題。設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}1復(fù)習(xí)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并由二次函數(shù)的解析式可以求出相應(yīng)函 數(shù)的最大（?。┲担瑸楸竟?jié)課根據(jù)函數(shù)最值解決實(shí)際問(wèn)題作準(zhǔn)備；問(wèn)題2通

5、過(guò)商品銷(xiāo)售最大利潤(rùn)問(wèn)題引出本節(jié)課所要解決的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。二、探索新知，形成概念問(wèn)題3 從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h （單位：m）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t（單位：s）之間的關(guān)系式是 h=30t -5t2（0wtw6）.小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是多少時(shí)，小球最高？ 小球運(yùn)動(dòng)中的最大高度是多少？追問(wèn)1:上面的問(wèn)題中有哪幾個(gè)變量？問(wèn)題中的兩個(gè)變量：小球的高度h （單位：m）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t （單位：s）追問(wèn)2:計(jì)算當(dāng)t=1、t=2、t=3、t=4、t=5、t = 6時(shí)，h的值分別是多少？t0123456h025404540250追問(wèn)3:你能根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，畫(huà)出函數(shù) h=30t-5t2 （

6、0wtw6）的圖象嗎?追問(wèn)4:根據(jù)函數(shù)圖象，觀察出小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是多少時(shí)，小球最高？小球運(yùn)動(dòng)中的最歸納：這個(gè)函數(shù)的圖象是一條拋物線(xiàn)的一部分.這條拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是這個(gè)函數(shù)的圖象的 最高點(diǎn)，也就是說(shuō)，當(dāng)t取頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，這個(gè)函數(shù)有最大值。追問(wèn)5:能直接根據(jù)函數(shù)的解析式 h =30t _5t2求出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和最大值嗎？2”2當(dāng) t= b_ = -/0一 = 3 時(shí)，h 有最大值 4acb = -30 = 45。2a2(-5)4a 4 (5)答：小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是 3s時(shí)，小球最高.小球運(yùn)動(dòng)中的最大高度是45m。追問(wèn)6:對(duì)于一般形式的二次函數(shù) y =ax2 bx c的最小(大)值又是怎么的呢？歸納：當(dāng)

7、a>0 (a<0),拋物線(xiàn)y =ax2+bx+c的頂點(diǎn)是最低(高)點(diǎn)，也就是說(shuō)，當(dāng)x=2 時(shí)，二次函數(shù) y =ax2+bx+c有最小(大)值 4ac-b 02a4a三、運(yùn)用新知，深化理解例1:用總長(zhǎng)為60 m的籬笆圍成矩形場(chǎng)地，矩形面積S隨矩形一邊長(zhǎng)l的變化而變化.當(dāng)l是多少米時(shí)，場(chǎng)地的面積 S最大？寬度增加多少?S最大的l值。分析：先找出兩個(gè)變量，然后寫(xiě)出S關(guān)于l的函數(shù)解析式，最后求出使解：矩形場(chǎng)地的周長(zhǎng)是 60 m, 一邊長(zhǎng)為lm,所以另一邊長(zhǎng)( 四一l) m.場(chǎng)地的面積 22S=l (30 l即 S =T +30l (0vlv30)。22因此，當(dāng) l = =-=15 時(shí)，S

8、有最大值 = 225. 也就是2a 2 (-1)4a 4 (-1)說(shuō)，當(dāng)l是15 m時(shí)，場(chǎng)地的面積S最大。例2:某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件 60元，每星期可賣(mài)出 300件.市場(chǎng)調(diào)查反映：如調(diào)整 價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期要少賣(mài)出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣(mài)出20件。已知商品 的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？分析：調(diào)整的價(jià)格包括漲價(jià)和降價(jià)兩種情況。(1)我們先看漲價(jià)的情況.設(shè)每件漲價(jià)x元，每星期則少賣(mài)l0x件，實(shí)際賣(mài)出(300l0x)件，銷(xiāo)售額為(60 + x) (300 l0x)元，買(mǎi)進(jìn)商品需付 40(30010x)元.因此，所得利潤(rùn) y=(60+x)(300 l0x) 40(300

9、 l0x), 即 y =10x2 +100x +6000。列出函數(shù)解析式后，引導(dǎo)學(xué)生怎樣確定x的取值范圍呢？由 300-l0x>0,得 xW30.再由 x>0,得 0WxW30。根據(jù)上面的函數(shù)，可知：當(dāng)x=5時(shí)，y最大，也就是說(shuō)，在漲價(jià)的情況下，漲價(jià) 5元，即定價(jià)65元時(shí)，禾U潤(rùn)最 大，最大利潤(rùn)是6250元。(2)我們?cè)倏唇祪r(jià)的情況。設(shè)每件降價(jià)x元，每星期則多賣(mài) 20x件，實(shí)際賣(mài)出(300 + 20x)件，銷(xiāo)售額為(60-x) (300 + 20x)元，買(mǎi)進(jìn)商品需付 40(300+ 20x)元.因此，所得利潤(rùn) 2y=(60 x)(300 +20x)40(300+ 20x),即 y

10、=-20x +100x+6000。怎樣確定x的取值范圍呢？由降價(jià)后的定價(jià)(60x)元，不高于現(xiàn)價(jià) 60元，不低于進(jìn)價(jià)40元可得0WxW20.當(dāng)x=2.5時(shí)，y最大，也就是說(shuō)，在降價(jià)的情況下，降價(jià) 2.5元，即定價(jià)57.5元時(shí)，利 潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是 6125元。由(1) (2)的討論及現(xiàn)在的銷(xiāo)售狀況，你知道應(yīng)如何定價(jià)能使利潤(rùn)最大了嗎？結(jié)論：綜合漲價(jià)和降價(jià)兩種情況及現(xiàn)在的銷(xiāo)售狀況可知，定價(jià) 65元時(shí)，利潤(rùn)最大。追問(wèn)：現(xiàn)在可以解決課前提出的問(wèn)題2中的最大利潤(rùn)問(wèn)題了嗎？分析： 設(shè)每件商品降價(jià) x元，總利潤(rùn)為 y元，則y= (13.5- x- 2.5)(500 + 200x),即 y =-200x2

11、+1700x+550,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4.25, 9112.5),即當(dāng)每件商品降價(jià) 4.25元，即售 價(jià)為13.5 4.25 =9.25時(shí)，可取得最大利潤(rùn) 9112.5元。例3:下圖中是拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4 m.水面下降1 m,水面分析：我們知道，二次函數(shù)的圖象是拋物線(xiàn)，建立適應(yīng)的坐標(biāo)系， 就可以求出這條拋物線(xiàn)表示的二次函數(shù). 為解題簡(jiǎn)便，以?huà)佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以?huà)佄锞€(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為 y軸建立直角坐標(biāo)系。如上圖，設(shè)這條拋物線(xiàn)表示的二次函數(shù)為y=ax2.由拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2, 2）,可得211 22=aM2 , a =.這條拋物線(xiàn)表不'的.次函數(shù)為y = x 。22當(dāng)水面下降

12、1m時(shí)，水面的縱坐標(biāo)為-3,根據(jù)上面的函數(shù)解析式可得水面的橫坐標(biāo)為J6, -16,據(jù)此可求出這時(shí)的水面寬度是276。答：水面下降1m,水面寬度增加（276-4） m。四、學(xué)生練習(xí)，鞏固新知練習(xí)1 已知：正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為4, E是BC上任意一點(diǎn)，且AE=AF,若EC=x, 請(qǐng)寫(xiě)出 AEF的面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x為何值時(shí)y最大。提示：y = -； x2 +4x ,當(dāng)x= 4時(shí)，y有最大值8.練習(xí)2 某公園要建造一個(gè)圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，上面的A處安裝一個(gè)噴頭向外噴水.連噴頭在內(nèi)，柱高為0.8m.水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線(xiàn)路徑落下，如左圖所示。根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙已知：如右圖中所示直角坐標(biāo)系中， 水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m) 之間的函數(shù)關(guān)系式是 y =e2 +2x +4。5(1)噴出的水流距水平面的最大高度是多少？(2)如果不計(jì)其他的因素， 那么水池至少為多少時(shí)，才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)？提示：?jiǎn)栴}(1)就是求函數(shù)y = x2+2x+4的最大值，問(wèn)題(2)就是求右圖 B點(diǎn)的5橫坐標(biāo)。五、課堂小結(jié)，梳理新知師生共同回顧本節(jié)內(nèi)容