整式的乘法與因式分解知識點(diǎn)與例題

1、整式乘除與因式分解一知識點(diǎn)（重點(diǎn)） 1冪的運(yùn)算性質(zhì)：am·anamn（m、n為正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加例：(2a)2(3a2)32 amn （m、n為正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘例：(a5)53（n為正整數(shù)）積的乘方等于各因式乘方的積例：(a2b)3 練習(xí)：（1） （2） （3）（4） （5） （6）4 amn （a0，m、n都是正整數(shù)，且mn）同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減例：（1）x8÷x2（2）a4÷a（3）（ab）5÷（ab）2（4）（-a）7÷（-a）5（5）(-b) 5÷(-b)25零指數(shù)冪的概念

2、：a01 （a0）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于l例：若成立，則滿足什么條件？6負(fù)指數(shù)冪的概念：ap（a0，p是正整數(shù)）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的p（p是正整數(shù)）指數(shù)冪，等于這個(gè)數(shù)的p指數(shù)冪的倒數(shù)也可表示為：（m0，n0，p為正整數(shù)）7單項(xiàng)式的乘法法則：單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式例：（1） （2）8單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加例：（1） （2）（3） （4）9多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)

3、式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加例：（1） （2） （3）練習(xí)：1計(jì)算2x3·(2xy)(xy)3的結(jié)果是 2(3×108)×(4×104)3若n為正整數(shù)，且x2n3，則(3x3n)2的值為 4如果(anb·abm)3a9b15，那么mn的值是5a2(2a3a) 6(4x26x8)·(x2)72n(13mn2) 8若k(2k5)2k(1k)32，則k9(3x2)(2x3y)(2x5y)3y(4x5y)10在(ax2bx3)(x2x8)的結(jié)果中不含x3和x項(xiàng)，則a，b11一個(gè)長方體的長為(a4)cm，寬為(a3)cm，高為(a5)cm，

4、則它的表面積為，體積為。12一個(gè)長方形的長是10cm，寬比長少6cm，則它的面積是，若將長方形的長和都擴(kuò)大了2cm，則面積增大了。10單項(xiàng)式的除法法則：單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式例：（1）28x4y2÷7x3y（2）-5a5b3c÷15a4b（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y311多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加例：練習(xí)：1計(jì)算：（1）；（2）；（3） （4）（5）2計(jì)算：（1）；（2）（3）3

5、計(jì)算：（1）； （2） 4.若 (ax3my12)÷(3x3y2n)=4x6y8 , 則 a = , m = ,= ;易錯(cuò)點(diǎn)：在冪的運(yùn)算中，由于法則掌握不準(zhǔn)出現(xiàn)錯(cuò)誤； 有關(guān)多項(xiàng)式的乘法計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤； 誤用同底數(shù)冪的除法法則； 用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則或多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則出錯(cuò)； 乘除混合運(yùn)算順序出錯(cuò)。12乘法公式：平方差公式：（ab）（ab）a2b2文字語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差完全平方公式：（ab）2a22abb2（ab）2a22abb2文字語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍例1：（1）(7+6x)

6、(76x)； （2）(3y x)(x3y)；（3）(m2n)(m2n)例2： (1) (x+6)2 (2) (y-5)2 (3) (-2x+5)2練習(xí)：1、=_。_。2、（_）3、；（_）4、已知，那么=_；=_。5、若是一個(gè)完全平方式，那么m的值是_。6、多項(xiàng)式的公因式是_。7、因式分解：_。8、因式分解：_。9、計(jì)算：_。10、，則=_易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)誤的運(yùn)用平方差公式和完全平方公式。13因式分解（難點(diǎn)）因式分解的定義把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解掌握其定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）分解對象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一

7、不可；（2）因式分解必須是恒等變形；（3）因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式 二、熟練掌握因式分解的常用方法1、提公因式法（1）掌握提公因式法的概念；（2）提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：系數(shù)一各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母各項(xiàng)含有的相同字母；指數(shù)相同字母的最低次數(shù)；（3）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式需注意的是，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來檢驗(yàn)是否漏項(xiàng)

8、（4）注意點(diǎn)：提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式，即分解到“底”；如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“”號，使括號內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的例：（1） （2） 2、公式法運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；常用的公式：平方差公式： a2b2（ab）（ab）完全平方公式：a22abb2（ab）2 a22abb2（ab）2例：（1）（2）（3）（4）練習(xí)：1、若是完全平方式，則的值等于_。 2、則=_=_3、與的公因式是 4、若=，則m=_，n=_。5、在多項(xiàng)式中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其結(jié)果是 _。6、若是完全平方式，則m=_。7、8、已知?jiǎng)t9、若是完

9、全平方式M=_。10、， 11、若是完全平方式，則k=_。12、若的值為0，則的值是_。13、若則=_。14、若則_。15、方程，的解是_。易錯(cuò)點(diǎn)：用提公因式法分解因式時(shí)易出現(xiàn)漏項(xiàng)，丟系數(shù)或符號錯(cuò)誤； 分解因式不徹底。中考考點(diǎn)解讀：整式的乘除是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是中考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.其考點(diǎn)主要涉及以下幾個(gè)方面：考點(diǎn)1、冪的有關(guān)運(yùn)算例1（2009年湘西）在下列運(yùn)算中，計(jì)算正確的是（）（A）（B）（C）（D）分析:冪的運(yùn)算包括同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算、冪的乘方、積的乘方和同底數(shù)冪的除法運(yùn)算.冪的運(yùn)算是整式乘除運(yùn)算的基礎(chǔ),準(zhǔn)確解決冪的有關(guān)運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練理解各種運(yùn)算的法則.解：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則知，

10、所以（A）錯(cuò)；根據(jù)冪的乘方運(yùn)算法則知，所以（B）錯(cuò)；根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則知，所以（C）錯(cuò)；故選（D）.例2.（2009年齊齊哈爾）已知，則_分析:本題主要考查冪的運(yùn)算性質(zhì)的靈活應(yīng)用，可先逆用同底數(shù)冪的乘法法則,將指數(shù)相加化為冪相乘的形式, 再逆用冪的乘方的法則,將指數(shù)相乘轉(zhuǎn)化為冪的乘方的形式,然后代入求值即可.解：.考點(diǎn)2、整式的乘法運(yùn)算例3（2009年賀州）計(jì)算： =分析:本題主要考查單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.計(jì)算時(shí)，按照法則將其轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算,注意符號的變化.解：.考點(diǎn)3、乘法公式例4. (2009年山西省)計(jì)算：分析:運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則以及乘法公式進(jìn)行運(yùn)算，然后合并同

11、類項(xiàng).解：=.例5. (2009年寧夏)已知：，化簡的結(jié)果是分析:本題主要考查多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.首先按照法則進(jìn)行計(jì)算,然后靈活變形，使其出現(xiàn)（）與，以便求值.解：=.考點(diǎn)4、利用整式運(yùn)算求代數(shù)式的值例6（2009年長沙）先化簡，再求值：，其中分析:本題是一道綜合計(jì)算題,主要在于乘法公式的應(yīng)用.解：當(dāng)，時(shí)，.考點(diǎn)5、整式的除法運(yùn)算例7. (2009年廈門)計(jì)算：(2xy)(2xy)y(y6x)÷2x分析:本題的一道綜合計(jì)算題,首先要先算中括號內(nèi)的,注意乘法公式的使用,然后再進(jìn)行整式的除法運(yùn)算.解：(2xy)( 2xy)y(y6x)÷2x(4x2y2y26xy)

12、7;2x (4x26xy)÷2x 2x3y. 考點(diǎn)6、定義新運(yùn)算例8.（2009年定西）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“”，其法則為：，求方程（43）的解分析:本題求解的關(guān)鍵是讀懂新的運(yùn)算法則，觀察已知的等式可知，在本題中“”定義的是平方差運(yùn)算，即用“”前邊的數(shù)的平方減去“”后邊的數(shù)的平方.解： ， 考點(diǎn)7、乘法公式例3（1）(2009年白銀市)當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是（2）(2009年十堰市)已知：a+b=3，ab=2，求a2+b2的值.解析：問題（1）主要是對乘法的平方差公式的考查.原式=x 2- y 2 +y 2= x 2 = 3 2=9.問題（2）考查了完全平方公式的變形應(yīng)用，.說明：乘法公式應(yīng)用極為廣泛，理解公式的本質(zhì)，把握公式的特征，熟練靈活地使用乘法公式，可以使運(yùn)算變得簡單快捷，事半功倍.考點(diǎn)8、因式分解例4（1）(2009年本溪市)分解因式：（2）(2009年錦州市) 分解因式