空間解析幾何及向量代數(shù)測試題及答案(2024161647)

1、軍教院第八章空間解析幾何測試題一、填空題共7題，2分/空，共20分O(0,0,0) , A(1,0,0) , B(0,1,1), C(0,0,1)組成的四面體的體積是a(1,1,1), b (1,2,3), c (0,0,1),那么(a b) c=_(-2,-1,0)(1,0,1)到直線x3xzy0的距離是一罟(1,0,2)到平面3x y 2z 1的距離是5.曲線C:0對xoy坐標(biāo)面的射影柱面是對yoz坐標(biāo)面的射影柱面是 (z 1)2 y2 z 0,對xoz坐標(biāo)面的射影柱面是z x 10.26.曲線C: x2y繞x軸旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生的曲面方程是x4 4( y2 z2)，曲線z 0_C繞y軸旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生

2、的曲面方程是 x2 z2 2y.2 2 21 厶乞 1的體積是 ？?9425二、計算題共4題,第1題10分，第2題15分，第3題20分，第4題10分, 共55分1.過點P(a,b, c) a,b,c是3個非零實數(shù).解：設(shè)點P(a, b,c)在平面z 0上的射影點為M'ab,。)，在平面x 0上的射影點為M2(0,a,b)，在平面y 0上的射影點為 M3(a,0,c)，那么M1M2( a,0,c)，M1M3(0, b,c)x a y b z于是M1，M1M2，M1M3所確定的平面方程是a 0 c 00 b c即 bc(x a) ac(y b) abz 0 .llxy0xy0,12 :z1

3、0z10(1)證明li和12是異面直線；(2)求ll和12間的距離；(3)求公垂線方程. 證明：(1)li的標(biāo)準(zhǔn)方程是* + 弓,li經(jīng)過點Mi(O,O, 1)，方向向量vi1, 1,012的標(biāo)準(zhǔn)方程是1 1 冷2 ,12經(jīng)過點M2(0,0,2)，方 向向量V2 1,1,0，于是003(MiM2,Vi,V2)11061100,所以li和12是異面直線由于V| v22yiZi1(MiM2,Vi,V2)63ViV22xyz11100002即xyz21100002(0,0,2)，|vi V22li和I?間的距離d公垂線方程是x y0x y07繞 x,0軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的曲面方面解：設(shè)Mi(xi, yi,Z

4、i)是母線2y上任意一點,那么過M1(x1, y1, z,)的緯圓方程是12 2 2 2 2y z %yiZi由12消去 x-i, y-i,z-i 得到 x2 2y2 2z2 2 0 .2 2 24.單葉雙曲面才七2_ “2，。,。)為腰橢圓上的點,(1)求經(jīng)過點P兩條直母線方程及其夾角； 求這兩條直母線所在的平面 的方程及平面 與腰橢圓所在平面 的夾角(1)設(shè)單葉雙曲面兩直母線方程w(g f) u(1 舟)3與2 5x z u( )w(125t(xv(2z)5)v(1為t(1卻把點P(2,0,0)分別代入上面兩方程組,求得wu,tv代入直母線方程，過 點P(2,0,0)的兩 條直母x2x2z

5、5z5y3y3x2x2z5z5y3，即y315x10y6z3015x10y6z3015x10y6z3015x10y6z30000與兩直母線的方向向量可分別取(0,3,5)和 V2(0,3,5)，設(shè)兩直母線的夾角是，那么有cosv1 v2Vv28178 arccos .17顯然平面與腰橢圓所在的平面的夾角是0.四、證明題(共2題,第一題10分,第二題15分,共25分)1.求證：曲線r(t)(十21F t 2)在一個球面上,這里的t2 1 t t2t (,).證明：設(shè)r(t) (x, y,z),那么有x2z2 y，即 x2 (y1)2 z2 寸所以曲線r(t) (2,1 t t2 1 t tt3i

6、 t tii2)在球心為(o,2,o),半徑為-的球2.證明:(1)雙曲拋物面的同族的所有直母線都平行于同一平面： 雙曲拋物面的同族的兩條直母線異面.證明：(1) 雙曲拋物面的u族直母線中任一條直母線都平行于平面 b 0，a bv族直母線中任一條直母線都平行于平面-丄0,a b不妨取u族直母線來證明，任取u族直母線中兩條直母線上2U2b 卻zI1:X ya bu" b)a b2u1和12:zXaU2(-aU1其中U1 U2.由于的第一個方程表示的平面平行于的第一個方程表示的平面，即11和12在兩個平行平面上，因而11和12不會相交.又由于直線h的方向向量為V1(, ,0) ( 1,1, 1)(, 丄)a b a bba ab直線12的方向