中考數(shù)學(xué)——圓與相似的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)

1、中考數(shù)學(xué)一一圓與相似的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)一、相似1,已知直線y=kx+b與拋物線y=ax2(a>0)相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸正半軸相交于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作AD，x軸，垂足為D.(1)若/AOB=60,AB/x軸，AB=2,求a的值；(2)若/AOB=90，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4,AC=4BC求點(diǎn)B的坐標(biāo);(3)延長AD、BO相交于點(diǎn)E,求證：DE=CO，OA=OB, /AOB=60； .AOB是等邊三角形， .AB=2,AB±OC, .AC=BC=1,/BOC=30,°J-».OC=IG,.A(-1,0),把A(-1,代入拋物線y=ax2(a&g

2、t;0)中得：a=可萬；(2)解：如圖2,過B作BEXx軸于E,過A作AGLBE,交BE延長線于點(diǎn)G,交y軸于F,.CF/BG,.笈布,.AC=4BC,Af=4,.AF=4FG,.A的橫坐標(biāo)為B的橫坐標(biāo)為.A(-4,16a)/AOB=90；-4,1,B(1,a), /AOD+/BOE=90； /AOD+ZDAO=90；/BOE=/DAO, /ADO=ZOEB=90； .ADOAOEB,由4/%16a2=4,1a=±-,.a>0,B(1,工)；(3)解：如圖3,設(shè)AC=nBC由(2)同理可知：A的橫坐標(biāo)是B的橫坐標(biāo)的n倍,則設(shè)B(m,amCO=*""=am2n

3、,.DE=CQ【解析】【分析】(1)拋物線y=ax2關(guān)于y軸對稱，根據(jù)AB/x軸，得出A與B是對稱點(diǎn)，可知AC=BC=1由/AOB=60,可證得4AOB是等邊三角形，利用解直角三角形求出OC的長，就可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法就可求出a的值。(2)過B作BEXx軸于E,過A作AG±BE,交BE延長線于點(diǎn)G,交y軸于F,根據(jù)平行線分線段成比例證出AF=4FG根據(jù)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4,求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,則A(-16a),B(1,a),再根據(jù)已知證明/BOE=/DAO,ZADO=ZOEB,就可證明ADOsoeb,得出對應(yīng)邊成比例，建立關(guān)于a的方程求解，再根據(jù)點(diǎn)B在第一象限，),則A-

4、mn,am2n2),1 .AD=am2n2,過B作BHx軸于F,2 .DE/BF,.,.BOFAEOD,OBOFBbOEODDE,?OB也甌I.宛ntnDE,/1=一麻口，DE=am2n,OB1BE7*11,?1.OC/AE,.,.BCOABAE,確定點(diǎn)B的坐標(biāo)即可。(3)根據(jù)(2)可知A的橫坐標(biāo)是B的橫坐標(biāo)的n倍，則設(shè)B(m,am2),則A(-mn,am2n2),得出AD的長，再證明BOQEOD,BC8BAE,得對應(yīng)邊成比例，證得CO=am2n,就可證得DE=CO2.已知，如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)C為。上一點(diǎn)，OFLBC于點(diǎn)F,交。O于點(diǎn)E,AE與BC交于點(diǎn)H,點(diǎn)D為OE的延長線上一點(diǎn)，且

5、/ODB=/AEC.(1)求證：BD是。的切線;(2)求證：CE=EH?EA(3)若。的半徑為J,sinA=5,求BH的長.【答案】(1)證明：如圖， /ODB=ZAEC,/AEC之ABC,/ODB=ZABC,.ODBC,/BFD=90； /ODB+ZDBF=90； /ABC+/DBF=90,°即/OBD=90, BDXOB, .BD是。O的切線(2)證明：連接AC,如圖2所示:32.ODBC,股-儀，/CAE=ZECB/CEA=ZHEC,.CEHAAECCEEAEHCI,.CE2=EH?EA/AEB=90,°。0的半徑為-，sin/BAE=.AB=5,BE=AB?si也B

6、AE=5乂=3,EA=BE=CE=3,.CE2=EH?EAg在RtBEH中,BH=【解析】【分析】(1)要證BD是。O的切線，只需證/OBD=90,因?yàn)?OBC+ZBOD=90；所以只須證/ODB=ZOBC即可。由圓周角定理和已知條件易得角形內(nèi)角和定理即可得/ODB=ZABC,貝U/OBC+/BOD=90=/ODB+ZBOD,由/OBD=90;(2)連接AC,要證C邑EH?EA;只需證CEHAEC,已有公共角/AEC再根據(jù)圓周角定理可得ZCAE=ZECB即可證CEHAEC,可得比例式求解；(3)連接BE,解直角三角形AEB和直角三角形BEH即可求解。3.如圖，已知直線11/12,線段AB在直線

7、11上，BC垂直于11交12于點(diǎn)C,且AB=BC,P是線段BC上異于兩端點(diǎn)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線分別交12,11于點(diǎn)D,E(點(diǎn)A,E位于點(diǎn)B的兩側(cè)，滿足BP=BE,連接AP,CE(1)求證：ABPCBE(2)連接AD、BD,BD與AP相交于點(diǎn)F,如圖.BC當(dāng)BP"時(shí)，求證：APIBD;BC當(dāng)即”(n>1)時(shí)，設(shè)PAD的面積為Si,PCE的面積為&,求立的值.【答案】(1)證明：BC1直線11,/ABP=/CBE在ABP和4CBE中，AB=C也IZABP=/C電BP=BEf(2)證明：如圖，延長AP交CE于點(diǎn)H.I)C.ABPACBE,直線12,.DP=EP.，四邊形BDC

8、E是平行四邊形，CE/BD.APXCE,/.APIBD.BCBC=nBP解：心.CP=(n-1)BP.CD/BE,.,.CPDABPE,PDPC1- -n1比陽令S»abpe=S,則S2=(n1)S,Sapab=Sxbce=nS,Spae=(n+1)S.SAA40PD-=n-iSUF超所Si=（n+i）（n1）S,Si（n1）（nI）S-n1.船山"S【解析】【分析】（1）由已知條件用邊角邊即可證得ABPCBE（2）、延長AP交CE于點(diǎn)H,由（1）知ABPCBE,所以可得/PAB=/ECB而/ECB吆BEC=',所以可得/PAB+/BEC=,即/AHE="

9、,所以APLCE;已知&團(tuán)=2,則點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，所以易證得BE=CD由有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形BDCE是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得CE/BD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得APIBD;方法與類似，由已知條件易證得CP24BPE,則可得對應(yīng)線段的比相等，然后可將PAD的面積和PCE的面積用三角形BPE的面積表示出來，則這兩個(gè)三角形的比值即可求解。4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上，D點(diǎn)在y督,用圖軸上，C點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,BC=6,/BCD=60,點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，AE=3EBOP過D,O,C三點(diǎn)，拋物線y=ax

10、2+bx+c過點(diǎn)D,B,C三點(diǎn).(1)請直接寫出點(diǎn)B、D的坐標(biāo)：B(),D();(2)求拋物線的解析式；(3)求證：ED是。P的切線；(4)若點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，請直接寫出平面上點(diǎn)N的坐標(biāo)，使得以點(diǎn)B,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.【答案】(1)-4,0;0,24(2)解：將(2,0),B(-4,0),D(0,F：);三點(diǎn)分別代入y=ax2+bx+c得，4a2bc-016a4bc=6解得W出，所求拋物線的解析式y(tǒng)=-4x2-2x+2g(3)證明：在RtOCD中，CD=2OC=4四邊形ABCD為平行四邊形,.AB=CD=4,AB/CD,/A=/BCD=60；AD=BC=6.AE=3BE.

11、AE=3,AEA£f四邊形ABCD是平行四邊形,/DAE=ZDCB=60,° .AEDACOD,/ADE=ZCDO,而/ADE+ZODE=90 /CDO+ZODE=90; CDXDE, /DOC=90; .CD為。P的直徑, .ED是。P的切線(4)解：點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-5,4)、(3,【解析】【解析】解：(1).C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),.OC=2,BC=6,.OB=BC-OC=4,B(-4,0),OD/BCD=60,°tan/BCD.OD=, D(0,.);(4存在y=-Xx2-Xx+A'3=-J(x+1)2+ M(-1,丁)， .B(-4,0),D(0,隊(duì)

12、0，如圖，當(dāng)BM為平行四邊形BDMN的對角線時(shí),點(diǎn)D向左平移4個(gè)單位，再向下平移一%1；個(gè)單位得到B,則點(diǎn)M(-1,丁)向左平移4個(gè)單位，再向下平移個(gè)人4單位得到Ni(-5,4)；當(dāng)DM為平行四邊形BDMN的對角線時(shí)，班點(diǎn)B向右平移3個(gè)單位，再向上平移J個(gè)單位得到D,外/1則點(diǎn)M(-1,-)向右平移4個(gè)單位，再向上平移二%5個(gè)單位得到N2(3,/);當(dāng)BD為平行四邊形BDMN的對角線時(shí)，點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位，再向下平移/個(gè)單位得到D,鄧帆則點(diǎn)B(-4,0)向右平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到N3(-3,-/);3/福綜上所述，以點(diǎn)B,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-

13、5,4,)或(3,J)但或(-3,-/)【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出OC的長度，進(jìn)而求出OB的長度，得出B點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)正切函數(shù)的定義得出OD的長度，從而得出D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)用待定系數(shù)法，分別將：將(2,0),B(-4,0),D(0,AU);三點(diǎn)分別代入y=ax2+bx+c得得出關(guān)于a,b,c的三元一次方程組，求解得出a,b,c的值，從而得出解析式；(3)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD=4AB/CD,ZA=ZBCD=60,AD=BC=6,又根據(jù)AE=3BE,從而得出AE=3,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出AE：AD=OC：CD然后根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似得出AEA4

14、COD,根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等得出/ADE=/CDO,根據(jù)等量代換得出/CDO+/ODE=90,即CD,DE,根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑得出CD為。P的直徑，從而得出結(jié)論；(4)首先求出拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后按當(dāng)BM為平行四邊形BDMN的對角線時(shí)；當(dāng)DM為平行四邊形BDMN的對角線時(shí)；當(dāng)BD為平行四邊形BDMN的對角線時(shí)；三種情況，找到其他點(diǎn)的平移規(guī)律即可得出N點(diǎn)的坐標(biāo)。5.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+泛x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于點(diǎn)B、C,點(diǎn)C坐標(biāo)為(8,0),連接A®AC.(1)請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+2x+c的表達(dá)式；(2)判斷

15、4ABC的形狀，并說明理由；(3)若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請直接寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；(4)若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B、C重合)，過點(diǎn)N作NM/AC,交AB于點(diǎn)M,當(dāng)4AMN面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).【答案】(1)解：.A(0,4),.-.c=4,把點(diǎn)C坐標(biāo)(8,0)代入解析式，得：a=-(2)解：令y=0,則解得，x1=8,x2="-2",.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,0),由已知可得，在RtAAOB中,AB2=BO2+AO2=22+42=20,在RtAAOC中AC-2=AO2+CC2=42+82=80,又.BC=OB+OC=2+

16、8=10.在4ABC中AB-2+AC-2=20+80=102=BC2,.4ABC是直角三角形；(3)解：由勾股定理先求出AC,AC=J產(chǎn)一砂木,在x軸負(fù)半軸，當(dāng)AC=AN時(shí)，NC=CC=8,此時(shí)N(-8,0);在x軸負(fù)半軸，當(dāng)AC=NC時(shí)，NC=AC=/曰,.CC=8,NC=A3-8,此時(shí)N(8-入%,0);在x軸正半軸，當(dāng)AN=CN時(shí)，設(shè)CN=x,則AN=x,CN=8-x,在RtAAON中，十出一二.，解得：x=5,.CN=3,此時(shí)N（3,0）;在x軸正半軸，當(dāng)AC=NC時(shí)，AC=NC=A/1,.ON=%萬+8,，此時(shí)N（人萬+8,0）;綜上所述：滿足條件的N點(diǎn)坐標(biāo)是（-8,0）、（8-八日

17、，0）、（3,0）、（8+,電,0）;（4）解：設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n,0）,則BN=n+2,過M點(diǎn)作MD，x軸于點(diǎn)D,超,8"B期）BN.MD/OA,.BMDsbao,BAOA,/MN/AC,.SABC,.OABC,二：OA=4,BC=10,BN=n+2,.MD=3（n+2）,Saamn=SJaabn-Sabmn=I1I12-BN1OA-BNW-X（n+2）X4-X-（n2）X出+2）Q£r9ifqq44J6i-二=p+5,5<0,，n=3時(shí)，S有最大值，當(dāng)AAMN面積最大時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）.【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式；（2）因?yàn)閽佄锞€

18、交x軸于曰C兩點(diǎn)，令y=0,解關(guān)于x的一元二次方程可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后計(jì)算AB、BCAC的長，用勾股定理的逆定理即可判斷；（3）由（2）可知AC的長，由題意可知有4種情況：在x軸負(fù)半軸，當(dāng)AC=AN叱在x軸負(fù)半軸，當(dāng)AC=NC時(shí)；在x軸正半軸，當(dāng)AN=CN時(shí)；在x軸正半軸，當(dāng)AC=NC時(shí)；結(jié)合已知條件易求解；（4）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n,0）,則BN=n+2,過M點(diǎn)作MDx軸于點(diǎn)D,由平行于三角BMDsBAO,于是有比形一邊的直線和其他兩邊所構(gòu)成的三角形與原三角形相似可得BWBNMl）萬一位，所以而一瓦,將已知線段代8描Mb例式54一百，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得入比例式可將MD用含n的代數(shù)式

19、表示出來，根據(jù)三角形的構(gòu)成可得SAamn=Saabn-Sabmn匕？BN?OA-BN?MD,將BN、MD代入可得關(guān)于n的二次函數(shù)，配成頂點(diǎn)式根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解。6.（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖，國正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF.寫出線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系；寫出直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)(2)拓展探究：將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋車t的過程中，(1)中的結(jié)論是否仍然成立，請利用圖進(jìn)行說明.(3)問題解決ABC和4ADE都是等腰直角三角形，/BAC=/DAE=90；AB=AC=4,。為AC的中點(diǎn).若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接OE,則在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程

20、中，線段OE的長的最小值.(直接寫出結(jié)果)【答案】(1)CF=<2DG,45口(2)解：如圖：cc勺連接AC、AF在正方形ABCD中，延長CF交DG與H點(diǎn),ZCAD=-ZBCD=45二，設(shè)AD=CD=a易得AC=.a=：口AD,同理在正方形AEFG中，/FAG=45二，AF=1EAG,IICAD=ZFAG,:/CAD-/2=/FAG-/2,I1I1=/3又ADA6:ACAFDAG,CFAC|二V"=.,-CF=.DG;由CA。DAG,/4=/5,:'/ACD=/4+/6=45:J,:Z5+Z6=45口,:Z5+Z6+Z7=135口，在ACHD中，ZCHD=180二-13

21、5口=45口,:(1)中的結(jié)論仍然成立(3) OE的最小值為值.【解析】【解答】（3）如圖：由/BAC=ZDAE=90口，可得/BAD=ZCAE又AB=AC,AD=AE,可得BA44CAE,I：IACE之ABC=45,又/ACB=45，/BCE=90，即CE±BC,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，:OE±CE時(shí)，OE最短，此時(shí)OE=CEAOEC為等腰直角三角形，IIOC=AC=2,由等腰直角三角形性質(zhì)易得，OE=季,，：OE的最小值為由.【分析】（1）易得CF=V三DG;45二；（2）連接AC、AF在正方形ABCD中，可得CA。DAG,%疝，=工,:CF=fDG,在4CHD中

22、，/CHD=180二-135口=45二，（1）中的結(jié)論是否仍然成立；（3）OE±CE時(shí)，OE最短，此時(shí)OE=CEAOEC為等腰直角1三角形，OC=-AC=2可彳導(dǎo)OE的值.7.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E,F分別在邊AB,AD上，且/EC已45°,CF的延長線交BA的延長線于點(diǎn)G,CE的延長線交DA的延長線于點(diǎn)H,連接AC,EF.,GH.自用益(1)求/AHC旦/ACG的大小關(guān)系(冬”或2"或竺”)(2)線段AC,AG,AH什么關(guān)系？請說明理由；(3)設(shè)AE=m,4AGH的面積S有變化嗎？如果變化.請求出S與m的函數(shù)關(guān)系式；如果不變化，請求出定值.請直接寫

23、出使4CGH是等腰三角形的m值.【答案】(1)二.四邊形ABCD是正方形，,-.AB=CB=CD=DA=4,/D=/DAB=90°ZDAC=ZBAC=45°,.AC=Q產(chǎn)+尸=",/DAC=/AHC+ZACH=45°,/ACH+ZACG=45°,/AHC=/ACG.故答案為=.(2)解：結(jié)論：AC?=AG?AH.理由：ZAHC=ZACG,/CAH=/CAG=135°,.AHCAACG,A/fAC一化A(i,?.,AC2=AG?AH.(3)解：AAGH的面積不變.L?1/理由：.Sxagh=1?AH?AG=-AC?=-X(4U二：)2=

24、16.AGH的面積為16.如圖1中，當(dāng)GC=GH時(shí)，易證AHGBGC,可得AG=BC4,AH=BG=8,1.BO/AH,BCBE1.正一藍(lán)，,AE=:AB=；.如圖2中，當(dāng)CH=HG時(shí),易證AH=BC4,1.BO/AH,BEBCAh=1,.AE=BE=2.在BC上取一點(diǎn)M,使得BM=BE,/BME=ZBEM=45°,/BME=ZMCE+ZMEC,/MCE=/MEC=22.5,°.CM=EM,設(shè)BM=BE=m,貝UCM=EM、Em,m+/m=4,，m=4（、'=T）,AE=4-4（二-1）=8-47二，內(nèi)綜上所述，滿足條件的m的值為三或2或8-4口【解析】【分析】（1

25、）證明/DAC=/AHC+ZACH=45,/ACH+ZACG=45,即可推出/AHC=/ACG;（2）結(jié)論：AC2=AG?AH.只要證明AH8ACG即可解決問題；（3）4AGH的面積不變.理由三角形的面積公式計(jì)算即可；分三種情形分別求解即可解決問題.B,連接AC（1）在y正半軸上求作點(diǎn)巳使得/APB=/ACB（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，1若tan/APB二求點(diǎn)P的坐標(biāo)。當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，/APB最大（3）若在直線y1x+4上存在點(diǎn)P,使得/APB最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo)【答案】(1)解：/APB如圖所示;圖1理解應(yīng)用：(2)解：如圖2中,/AB./APB=/ACB,.tan/A

26、CB=tan/APB=-=Bt.A(2,0),B(6,0),，AB=4,BC=8,.C(6,8),，AC的中點(diǎn)K(4,4),以K為圓心AK為半徑畫圓，交y軸于P和jl-P；易知P(0,2),P'(0,6).;(0,23)拓展延伸：(3)解：如圖3中，當(dāng)經(jīng)過AB的園與直線相切時(shí)，/APB最大.二,直線y=Jx+4交x軸于M(-3,0),交y軸于N(0,4).MP是切線，MP2=MA?MB,.MP=3,作PCOA于必網(wǎng)網(wǎng)HI/西胞k/33,K.ON/PK,.同，*=的，.巧=掙=PK=5,MK=3,.OK=萬-3,P(【解析】【解答】解：(1)當(dāng)。K與y軸相切時(shí)，/APB的值最大，此時(shí)AK

27、=PK=4,AC=8,BC=中月"一蛙=41萬，C(6,41,，K(4,24),，P(0,2J').【分析】(1)因?yàn)镃B±x軸于點(diǎn)B,所以/ABC4/。要使/APB=/ACB,只需這兩個(gè)角是同弧所對的圓周角。所以用尺規(guī)左三角形ABC的外接圓，與y軸相交，其交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P;Ab/(2)由(1)知，/APB=/ACB,所以tan/ACB=tan/APB=*=，已知A(2,0),B(6,0),所以AB=4,BC=8,則C(6,8),AC的中點(diǎn)K(4,4),以K為圓心AK為半徑畫圓，交y軸于P和P',易得P(0,2),P'(0,6);當(dāng)。K與y軸相切

28、時(shí)，/APB的值最大，此時(shí)AK=PK=4AC=8,在直角三角形ABC中，由勾股定理可得BC，娟一碗內(nèi)3,則C(6,存)，K(4,2"),而P在y軸上，所以P(0,2J);(3)由(2)知，當(dāng)經(jīng)過AB兩點(diǎn)的圓與直線相切時(shí)，/APB最大。設(shè)直線y=5x+4交x軸于M交y軸于N,則可得M(-3,0),N(0,4),因?yàn)镸P是切線，所以由切割線定理可得MP2=MA?MB,可求得MP=3,氏作PK±OA于K.所以O(shè)N/PK,由相似三角形的ON0M幽4_3_5.卡電判定定理可得比例式產(chǎn)舶好,即居熱人舊，解得PK=5,MK=5,所以可得OK=-3,則P(-3,二、圓的綜合9.如圖，。是4

29、ABC的外接圓，點(diǎn)E為4ABC內(nèi)切圓的圓心，連接AE的延長線交BC于點(diǎn)F,交。O于點(diǎn)D；連接BD,過點(diǎn)D作直線DM,使/BDM=/DAC.(1)求證：直線DM是。O的切線；若DF=2,且AF=4,求BD和DE的長.【答案】(1)證明見解析(2)2省【解析】【分析】(1)根據(jù)垂徑定理的推論即可得到ODLBC,再根據(jù)/BDM=/DBC,即可判定BC/DM,進(jìn)而彳#到OD，DM,據(jù)此可得直線DM是。的切線；(2)根據(jù)三角形內(nèi)心的定義以及圓周角定理，得到/BED=/EBD,即可得出DB=DE,再判定DBQ4DAB,即可得到DB2=DF?DA,據(jù)此解答即可.【詳解】(1)如圖所示，連接OD.點(diǎn)E是4AB

30、C的內(nèi)心,ZBAD=ZCAD,bdCd,OD±BC.又./BDM=/DAC,/DAC=/DBC,./BDM=/DBC,.BC/DM,.1.ODXDM.又OD為。O半徑，.直線DM是。的切線.(2)連接BE.E為內(nèi)心，/ABE=/CBE/BAD=ZCAD,/DBC=ZCAD,./BAD=ZDBC,./BAE+ZABE=ZCBEZDBC,即ZBED=ZDBE,.BD=DE.又/BDF=/ADB(公共角)，.DBFsDAB,.又-DB-即DB2=DF?DA.DBDA.DF=2,AF=4,DA=DF+AF=6,，DB2=DF?DA=12,.DB=DE=2J3.MD【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形

31、的內(nèi)心與外心，圓周角定理以及垂徑定理的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條??；三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角.一.110.如圖，已知在4ABC中，AB=15,AC=20,tanA=5,點(diǎn)P在AB邊上，°P的半徑為定長.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，OP恰好與AC邊相切；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合時(shí)，OP與AC邊相（2）當(dāng)AP=6j5時(shí)，試探究AAPM與4PCN是否相似，并說明理由.【答案】（1）半徑為3匹;（2）相似，理由見解析.【解析】【分析】（1）如圖，作BD>±AC,垂足為點(diǎn)D,OP與邊A

32、C相切，則BD就是。P的半徑，利用解直角三角形得出BD與AD的關(guān)系，再利用勾股定理可求得BD的長；如圖，過點(diǎn)P作PHI±AC于點(diǎn)H,作BD±AC,垂足為點(diǎn)D,根據(jù)垂徑定理得出MN=2MH,PM=PN,再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的長，從而求出AM、NC的長，然后求出AM、型的值，得出列=里，利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩MPNCMPNC三角形相似即可證明.【詳解】（1）如圖，作BD>±AC,垂足為點(diǎn)D,.OP與邊AC相切,.BD就是。P的半徑,1 BD在RtAABD中,tanA=2 AD設(shè)BD=x,貝UAD=2x,.x2+(2x)2=152,解

33、得：x=3j5,(2)相似，理由見解析，如圖，過點(diǎn)P作PH，AC于點(diǎn)H,作BD)±AC,垂足為點(diǎn)D,PH垂直平分MN,，PM=PN,1 PH在RtAHP中，tanA=-2 AH'設(shè)PH=y,AH=2y,y2+(2y)2=(675)2解得：y=6(取正數(shù))，.PH=6,AH=12,在RtAMPH中，MN=2MH=6,.AM=AH-MH=12-3=9,NC=AC-MN-AM=20-6-9=5,.AM93/5PN375MP3.55'NC"5"AMPN=,MPNC又PM=PN,/PMN=ZPNM,/AMP=ZPNC.AMPAPNC.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角

34、三角形、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線、靈活應(yīng)用相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵11.矩形ABCD中，點(diǎn)C(3,8),E、F為AB、CD邊上的中點(diǎn)，如圖1,點(diǎn)A在原點(diǎn)處，點(diǎn)B在y軸正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B隨之沿y軸下滑，并帶動(dòng)矩形ABCD在平面內(nèi)滑動(dòng)，如圖2,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間表示為t秒，當(dāng)點(diǎn)B到達(dá)原點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng).(1)當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為;(2)當(dāng)t=4時(shí)，求OE的長及點(diǎn)B下滑的距離;(3)求運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)F到點(diǎn)O的最大距離；(4)當(dāng)以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求t的值.【答

35、案】(1)F(3,4);(2)8-4，3；(3)7;(4)t的值為石或石.【解析】試題分析：(1)先確定出DF,進(jìn)而彳#出點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2)利用直角三角形的性質(zhì)得出/ABO=30。，即可得出結(jié)論；(3)當(dāng)O、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)F到點(diǎn)O的距離最大，即可得出結(jié)論；(4)分兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求解即可.試題解析：解：(1)當(dāng)t=0時(shí).AB=CD=8,F為CD中點(diǎn)，DF=4,，F(xiàn)(3,4);(2)當(dāng)t=4時(shí)，OA=4.在RtABO中，AB=8,ZAOB=90°,./ABO=30；點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OE=ab=4,BO=4j3,，點(diǎn)B下滑的距離為84m.(3)當(dāng)O、E、F三

36、點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)F到點(diǎn)O的距離最大，.FO=OE+EF=.國1閨2(4)在RtADF中，F(xiàn)D2+AD2=AF2,AF=JFD2AD2=5,設(shè)AO=ti時(shí)，。5與乂軸相切，點(diǎn)A為切點(diǎn)，.FAIOA,ZOAB+ZFAB=90°./ZFAD+ZFAB=90°,/八,一,八八ABAO8ti/BAO=ZFAD./BOA=ZD=90.RtAFA&RtAABO,，.一一，F(xiàn)AFE532432.ti=G，設(shè)AO=t2時(shí)，OF與y軸相切，B為切點(diǎn)，同理可得，t2=.2432綜上所述：當(dāng)以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時(shí)，t的值為或.55點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)

37、，直角三角形的性質(zhì)，中點(diǎn)的意義，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解(2)的關(guān)鍵是得出/ABO=30°,解(3)的關(guān)鍵是判斷出當(dāng)O、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)F到點(diǎn)O的距離最大，解(4)的關(guān)鍵是判斷出RHFAaRtAABD),是一道中等難度的中考?？碱}.12.如圖，4ABC是。O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D,E在。O上，連接AE,DE,CD,BE,CE,/EAC+-ZBAE=180,°?BCd.(1)判斷BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)求證：ABEDCE；(3)若/EAC=60,BC=8,求。的半徑.【答案】(1)BE=CE理由見解析;2)證明見解析；(3)8,33

38、【解析】分析：(1)由A、B、C、E四點(diǎn)共圓的性質(zhì)得：ZBCE+ZBAE=180,則/BCE=ZEAC,所以？E=CE，則弦相等；(2)根據(jù)SSS證明AB®4DCE;(3)作BC和BE兩弦的弦心距，證明RtAGB8RtAHBO>(HL),則/OBH=30,設(shè)OH=x,則OB=2x,根據(jù)勾股定理列方程求出x的值，可得半徑的長.本題解析：(1)解：BE=CE理由：./EAC+yBAE=180,/BCE+7BAE=180,/BCE玄EAC,l?E=CE,.BE=CE(2)證明：?BCD，AB=CD?e=Ce,AeEd，AE=ED由(1)得：BE=CE在ABE和ADCE中，AEDE.A

39、BCD,BECE.ABEADCEE(SSS;(3)解：如圖，二.過。作OG，BE于G,OHBC于H,BH=1BC=1X8=4BG=1BE,222BE=CE/EBC=ZEAC=60,°BEC是等邊三角形,BE=BCBH=BG,.OB=OB,RtAGBORtAHBO(HL),/OBH=ZGBO=1/EBC=30,°2設(shè)OH=x,貝UOB=2x,由勾股定理得：(2x)2=x2+42,x=44,3.OB=2x=83,。的半徑為絲叵.33點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，考查了四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、勾股定理、直角三角形30。的性質(zhì)，難度適中，第一問還可以利用三角形全等得出對應(yīng)

40、邊相等的結(jié)論；第三問作輔助線，利用勾股定理列方程是關(guān)鍵13.已知P是eO的直徑ba延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，/P的另一邊交eO于點(diǎn)C、D,兩點(diǎn)1 一.八位于AB的上萬，AB=6,OP=m,sinP=-,如圖所示.另一個(gè)半徑為6的eOi經(jīng)過點(diǎn)C、D,圓心距OOi=n.(1) 當(dāng)m=6時(shí)，求線段CD的長；(2) 設(shè)圓心Oi在直線AB上方，試用n的代數(shù)式表示m；(3) POQ在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否能成為以O(shè)Oi為腰的等腰三角形，如果能，試求出此時(shí)n的值；如果不能，請說明理由.A【答案】(1)CD=2.5;(2)m=3n81;(3)n2n的值為一J5或J15【解析】分析：(1)過點(diǎn)。作OH，CD,垂足為點(diǎn)

41、H,連接OC.解RtAPOH,得到OH的長.由勾月定理得CH的長，再由垂徑定理即可得到結(jié)論；(2)解RtAPOH,得到OH=m.在RtVOCH和RtAQCH中，由勾股定理即可得到3結(jié)論;詳解：(1)過點(diǎn)。作OH，CD,垂足為點(diǎn)HO在弦CD同側(cè)時(shí)，同理可得結(jié)論.，連接OC.OH2.(4) POOi成為等腰三角形可分以下幾種情況討論：當(dāng)圓心Oi、O在弦CD異側(cè)時(shí)，分OP=OO1和01P=OO1,當(dāng)圓心O1、AB=6,OC=3.由勾股定理得：CH.5.OH±DC,CD2CH2而OHU1(2)在RtAPOH中，QsinP=,32在RtAOCH中，CH2=9在RtAOiCH中，CH2=36可得

42、：362m仁一=9m二3n2812n(3) POOi成為等腰三角形可分以下幾種情況:當(dāng)圓心Oi、O在弦CD異側(cè)時(shí)2i) OP=OO1，即m=n,由n=-,解得：n=9.2n即圓心距等于eO、eOi的半徑的和，就有eO、eO1外切不合題意舍去.m22m2ii) OiP=OOi,由J(n-)m2(-)=n,33解得：m=2n,即2n=3n81,解得：n=9JT5.332n5813n2當(dāng)圓心Oi、O在弦CD同側(cè)時(shí)，同理可得：m=-.2n2813n9-POOi是鈍角，只能是mn,即n=Ol3n,解得：n=J5.2n599綜上所述：n的值為一y/5或Ji5.55點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題.考查了圓的有關(guān)性質(zhì)

43、和兩圓的位置關(guān)系以及解直徑三角形.解答(3)的關(guān)鍵是要分類討論.i4.如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)、B(4,0)、C(0,3)三點(diǎn).圖圖(i)試求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA,試求5PA+4PC的最小值；(3)如圖，若直線l經(jīng)過點(diǎn)T(-4,0),Q為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、Q為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且僅有三個(gè)時(shí)，試求直線l的解析式.3 23.一.【答案】(i)y-x-x3;(2)5PA+4PC的最小值為i8;(3)直線l的解析式84,33人為y-x3或yx3.4 4【解析】【分析】(i)設(shè)出交點(diǎn)式，代入C點(diǎn)計(jì)算即可(2)連接AC、BC,過點(diǎn)

44、A作AELBC于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作PD)±BC于點(diǎn)D,易證CDMACOB,得到比例式PC-PD,得到PD=-PC,所BCOB5以5PA+4PC=5(PA+4PC)=5(PA+PD,當(dāng)點(diǎn)A、P、D在同一直線上時(shí)，5PA+4PC=55(PA+PD=5AE最小，利用等面積法求出AE=18,即最小值為18(3)取AB中點(diǎn)F,5以F為圓心、FA的長為半徑畫圓，當(dāng)/BAQ=90°或/ABQ=90°時(shí)，即AQ或BQ垂直x軸，所以只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使/BAQ=90°或/ABQ=90°,即/AQB=90時(shí)，只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q,，直線l與

45、。F相切于點(diǎn)Q時(shí)，滿足/AQB=90°的點(diǎn)Q只有一個(gè)；此時(shí)，連接FQ,過點(diǎn)Q作QGi±x軸于點(diǎn)G,利用cos/QFT求出QG,分出情況Q在x軸上方和x軸下方時(shí)，分別代入直接l得到解析式即可【詳解】解：(1)二.拋物線與x軸交點(diǎn)為A(-2,0)、B(4,0)-y=a(x+2)(x-4)把點(diǎn)C(0,3)代入得：-8a=33a=8二拋物線解析式為y=-(x+2)(x-4)=-x2+_x+3884(2)連接ACBC,過點(diǎn)A作AE±BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作PD)±BC于點(diǎn)D/CDP=/COB=90°/DCP=/OCB.CD。COBPCPDBCOB-B(4,0

46、),C(0,3)OB=4,OC=3,BC=Job2OC2=54-.PD=PC5，5PA+4PC=5(PA+4PC)=5(PA+PD5 當(dāng)點(diǎn)A、P、D在同一直線上時(shí)，5PA+4PC=5(PA+PD=5AE最小.A(2,0),OCXAB,AE±BC Saabc=1AB?OC=1BC?AE22ABnOC6318AE=-BC55 -5AE=18 5PA+4PC的最小值為18.(3)取AB中點(diǎn)F,以F為圓心、FA的長為半徑畫圓當(dāng)/BAQ=90°或/ABQ=90°時(shí)，即AQ或BQ垂直x軸，只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使/BAQ=90或/ABQ=90/AQB=90時(shí)，只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q 當(dāng)Q在。F上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與A、B重合)，/AQB=90°，直線l與。F相切于點(diǎn)Q時(shí)，滿足/AQB=90的點(diǎn)Q只有一個(gè)此時(shí)，連接FQ,過點(diǎn)Q作QGi±x軸于點(diǎn)G/FQT=90° .F為A(2,0)、B(4,0)的中點(diǎn) .F(1,0),FQ=FA=3,.T(4,0)一一FQ TF=5,cos/QFT=TF.RtFGQ中，cos/QFT=FG3FQ5“39FG=-FQ=一,9xq=1一55,