小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中極限思想的滲透點

1、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中極限思想的滲透點北京市東城區(qū)教師研修中心高澤新摘要極限是用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)的概念。極限 的思想方法為建立微積分學(xué)提供了嚴(yán)格的理論根底， 極限的思想方法為數(shù)學(xué)的發(fā) 展提供了有力的思想武器。當(dāng)今數(shù)學(xué)教學(xué)界，非常重視數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的 滲透。然而實際教學(xué)中，局部教師對極限思想方法的理解及應(yīng)用還存在著偏頗， 本文將在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中極限思想的滲透上提出自己的觀點。關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)思想極限思想極限思想的滲透點極限是用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)的概念 。極限的思想 方法為建立微積分學(xué)提供了嚴(yán)格的理論根底， 極限的思想方法為數(shù)學(xué)的開展提供 了有力的思想武器。當(dāng)今數(shù)

2、學(xué)教學(xué)界，非常重視數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透。 然而在小學(xué)數(shù)學(xué)的實際教學(xué)中，局部教師對極限思想方法的理解及應(yīng)用還存在著 一定的無視，本文對如將極限的思想方法應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之中，提出自己的觀點和同行們探討與交流。這是大家都非常熟知的一個故事：有一個牧民，臨終前要把17匹馬分給他丄丄的3個兒子。于是留下遺囑：分給老大二，分給老二人，分給老三門o牧民死后, 三個兒子都不知道如何來分。一位鄰居牽來自己的一匹馬來幫助分，這時就有 18匹馬了，所以老大得9匹，老二得6匹，老三得2匹，鄰居牽著自己的那匹 走了。有人對上述分馬的方法提出了異議，認(rèn)為這實際上分的是 18匹馬，而不是 17匹。那么我們不妨換一

3、種方法來分：1 171 17共17匹馬。老大可以分得：17X ： =.匹；老二可以分得：17X：=：；匹;1 17171717 17老三分得17X】匹。還剩下171 1=-匹1717我們就把剩下*匹馬按遺囑繼續(xù)分。老大又可以分得：匹；老二又門171?可以分得：I：匚匹；老三又分得丨卩：一匹。還剩下二 匹。就這樣我們可以繼續(xù) 不斷地分下去現(xiàn)在讓我們來看一看老大分得的馬匹數(shù):171717第一次得，第二次得匚1，第三次得& * ：,，第n次得171717這是一個無窮遞縮等比數(shù)列，這個數(shù)列所有項的和是S +廠171717-丄+ _+ 1 _+.=9,即老大分得 9匹。利用這種方法我們也可以求出

4、：老二可以分得 6匹，老三可以分得2匹。而 9+6+2=17,恰好分完。這樣既滿足了牧民的心愿，又符合規(guī)那么，問題得到圓滿解 決?！敖桉R分馬的故事雖然簡單，但第二種分馬的方法其中所蘊(yùn)含的極限思想 卻極其珍貴。如果你只認(rèn)識到“只分一次是不夠的，這種方法的核心是要將分丄遺產(chǎn)的過程無限的進(jìn)行下去，每分一次剩下的馬匹數(shù)都縮小到上一次的I，最后每個人分得的馬匹數(shù)就逼近于一個整數(shù)了， 這實際就是極限的思想的一個具體 應(yīng)用。由于小學(xué)生的年齡特點的限制，他們對具體的、數(shù)量有限的事物容易理解， 對抽象的、數(shù)量無限的事物難于把握。但作為教師我們不能無視極限思想方法的 重要性，還應(yīng)該著眼于學(xué)生的長遠(yuǎn)開展及終身開展，

5、 因此，我們在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 中應(yīng)針對小學(xué)生的特點，將極限有思想方法進(jìn)行適度的滲透。我想教師應(yīng)該抓住 時機(jī)采用分層滲透的方法，切不可急功近利。層次一：幫助學(xué)生理解無限1數(shù)量無限多現(xiàn)行小學(xué)教材中有許多知識點會涉及到數(shù)量無限多的情況。在“自然數(shù)、“奇數(shù)、“偶數(shù)、這些概念教學(xué)時，教師可讓學(xué)生體會自然數(shù)是數(shù)不完的， 奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)有無限多個。在循環(huán)小數(shù)這一局部內(nèi)容中，是一循環(huán)小數(shù)， 它的小數(shù)點后面的數(shù)字是寫不完的。通過這些方面讓學(xué)生初步體會“無限思 想，這樣的例子在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中還有很多。 比方 商不變性質(zhì)教學(xué)后的練習(xí)：32-!8十= 4讓學(xué)生體會內(nèi)可填入無限多數(shù)，再如：在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)根本性質(zhì)后的練習(xí)中，

6、教師又要求學(xué)生在1分鐘內(nèi)寫一些與某個分?jǐn)?shù)相等的分 數(shù)，讓學(xué)生體會這樣的分?jǐn)?shù)也是無窮無盡的。2圖形無限延伸小學(xué)幾何概念中有許多概念是具有無限性的，如直線 、射線、角的邊、平 行線的長度等等它們都是可以無限延伸的。這些概念在現(xiàn)實生活中并不是真實存 在的現(xiàn)實生活中你找不要一條能無限延伸的線，它們只是存在于人腦的想象 之中，是人腦抽象的結(jié)果。而這種想象又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必不可少的根底能力。因此，在圖形教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生空間想象力， 培養(yǎng)學(xué)生的無限觀念是非常重要 的。以上兩點是從不同方面表達(dá)了 “無限的觀念，并不是真正意義上的“極限， 然而，培養(yǎng)學(xué)生的無限觀念是形成極限思想的根底， 離開無限談極限是沒有任

7、何 意義的。所以，不應(yīng)該因為“無限工極限而無視對無限性的教學(xué)。層次二：幫助學(xué)生理解逼近“無限工極限的原因在于無限的結(jié)果可能是收斂的，也可能是發(fā)散的。由 于小學(xué)生的生活經(jīng)驗、數(shù)學(xué)知識還比擬貧乏，他們只能通過一些具體的事例，逐 漸感悟到什么是“無限地逼近，為將來學(xué)習(xí)“收斂這個數(shù)學(xué)中概念積累一些 感性的認(rèn)識。因此，逐步理解“逼近是形成極限思想的另一個重要方面。受年齡特征的制約小學(xué)生對極限思想不會有深刻的理解，但這并不等于我們在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可以淡化對極限思想的滲透，相反我們應(yīng)該抓住一切可以利用 的契機(jī)加以滲透，為他們將來學(xué)習(xí)極限理論，提高抽象思維，奠定根底。筆者認(rèn) 為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可以在以下幾方面加

8、強(qiáng)對極限思想加以滲透滲透點。在公式推倒過程中滲透極限思想?！景咐俊皥A的面積在教學(xué)“圓面積公式的推導(dǎo)一課時，有的教師是這樣設(shè)計的師：我們過了一些圖形的面積計算公式，今天我們來研究圓的面積公式。你 們有什么方法嗎？生：可以把圓轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的圖形師：怎么轉(zhuǎn)化？生：分一分演示把圓平均分成了 2 分，把兩個半圓地拚起來，結(jié)果還是一個圓生：多分幾份試一試演示把一個圓分割為完全相同的小扇形，并試圖拚成正方形。從平均分成 4 個、8個、至U 16個師：你們有什么發(fā)現(xiàn)？生：分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近長方形。課件繼續(xù)演示把圓平均分成 32個、64個完全相同的小扇形。教師適時說“如果一直這樣分下去，拼出的

9、結(jié)果會怎樣？生：拼成的圖形就真的變成了長方形，因為邊越來越直了這個過程中從“分的份數(shù)越來越多至“這樣一直分下去的過程就是“無 限的過程，“圖形就真的變成了長方形就是收斂的結(jié)果。學(xué)生經(jīng)歷了從無限 至極限的過程，感悟了極限思想的具大價值。學(xué)生有了這個根底，到將來學(xué)習(xí)圓柱體積公式的推導(dǎo)時就會很自然地聯(lián)想到 這種方法，從而再一次加以利用解決問題，在不斷的應(yīng)用中學(xué)生的極限思想會潛 移默化地形成。以上計算公式的推導(dǎo)過程，采用了“變曲為直、“化圓為方極限分割思 路。在通過有限想象無限，根據(jù)圖形分割拼合的變化趨勢，想象它們的最終結(jié)果 既使學(xué)生掌握了計算公式，又萌發(fā)了無限逼近的極限思想。、在形成新概念時滲透極限

10、思想【案例】“循環(huán)小數(shù)循環(huán)小數(shù)一課是一節(jié)概念性很強(qiáng)的新課， 多數(shù)教師在教學(xué)中非常重視學(xué)生的 自主探究過程，重視對循環(huán)小數(shù)的相關(guān)概念的教學(xué)，但也大都無視了一個問題， 即極限思想的滲透。我們可以在課上創(chuàng)設(shè)以下一個問題供學(xué)生討論：和1哪個大?這個問題可以通過以下的方法加以解決:9' = 9所以=1但這種方法對于還沒有學(xué)習(xí)方程知識的小學(xué)生來說有點難于理解。怎么辦 呢？可以這樣幫助學(xué)生理解：這時可以引導(dǎo)學(xué)生觀察：隨著小數(shù)局部9的個數(shù)的不斷增多，與1的差在逐漸的減少，而在中的小局部有無窮多個9,那么最終的差會是多少呢？這樣使學(xué)生認(rèn)識到差會越來越小，最終成為0。從而使學(xué)生認(rèn)識到=1。事實證明這種方法

11、學(xué)生是可以理解和接受的，這種方法的核心就是極限思想 的表達(dá)。學(xué)生對這種方法的理解過程正是對極限思想的感知過程。學(xué)生對于新鮮事物是最感興趣的，如果我們能在新知識的教學(xué)中適時滲透極 限思想，既可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣又有利于學(xué)生對極限思想的認(rèn)識，何樂而不為呢？三、在數(shù)學(xué)練習(xí)中挖掘極限思想一些老師的練習(xí)設(shè)計往往是側(cè)重于對根底知識的穩(wěn)固， 通過練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的 根本技能，針對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的練習(xí)題相對較少。 然而，學(xué)生的數(shù)學(xué)思 想的形成是靠不斷的積累、不斷的運用來形成的，能夠自主運用思想解決問題是 學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的具體表達(dá)，它應(yīng)該貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。練習(xí)作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué) 習(xí)的重要環(huán)節(jié)，也應(yīng)該承當(dāng)這方面

12、的任務(wù)。因此，教師在練習(xí)題的設(shè)計時要注意 極限思想的表達(dá)。還記得在大學(xué)數(shù)學(xué)教材中有這樣一段話“?莊子天下篇?引用過一句話：'一尺之棰，日取其半，萬世不竭。2，于是在五年級學(xué)生學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)這一單元后，我把它改造成以下的一個題目：?莊子天下篇?引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。也 就是說一根長為一尺的木棒，每天截去一半，這樣的過程可以無限制地進(jìn)行下去 如果我們按照上述方法操作，第1天截去后剩下局部的長度占原長的；，第() 2天截去后剩下的占全長的；，第3天截去后剩下的占全長的；，()第10天截去后剩下的占全長的；：1，第n天截去后剩下的占全長的如果我們這樣不斷地截下去，木棒所剩局

13、部的長度是這道題的過程性比擬強(qiáng)，學(xué)生做過此題后可以根據(jù)答案所呈現(xiàn)出的規(guī)律性， 感悟出木棒所剩局部的長度會趨向于 0。在解題的過程中可以體會到初步的極限 思想，而且可以受到一定的傳統(tǒng)文化的熏陶，事實證明學(xué)生還是非常感興趣的。1111+ + 4又如在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加法后我們可以設(shè)計練習(xí)：2 4 S 16。學(xué)生多數(shù)是利用通分的方法統(tǒng)一分母后，按分?jǐn)?shù)加法的法那么進(jìn)行計算的。但 如果此題只使用到這個程度還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。方法二：我們發(fā)現(xiàn)在這個算式中，任意相鄰的兩個分?jǐn)?shù)，后一個分?jǐn)?shù)總是前 一個分?jǐn)?shù)的一半。+ + + 1 + + + 如果設(shè),那么2S=-,我們用2S S得:1 + + + + + + + S=一=1

14、=，問題得以解決。這個方法的核心是相互抵消的思想，且具有濃烈的代數(shù)的味道，對于從算術(shù)到代數(shù) 的過渡也很有意義。方法三：先畫一個大正方形，它的面積是 1，如下列圖,1+ 1 + 1+ 1 _ J_ _ 15 從圖中可以直觀地看出：-在此根底上可以把問題進(jìn)一步變化為:111111十+ + 十 1 ' 1 2 4816 32 64可以用數(shù)形結(jié)合的方法，從圖中直觀地看出隨著加數(shù)的不斷增加，空白局部的面積逐漸擴(kuò)大，并且越來越接近正方形的面積即不斷地逼近1,當(dāng)有無限多項相加時其結(jié)果為1。通過多種方法解決這個題目的動態(tài)過程中學(xué)生在收獲知識的同時，極限思 想、數(shù)形結(jié)合的思想、相互抵消的策略等數(shù)學(xué)思想又

15、為學(xué)生解題方法的創(chuàng)新提供 了可能，培養(yǎng)了思維的靈活性?？傊毩?xí)的設(shè)計不能僅僅著眼于一個問題的解 決，而是關(guān)注學(xué)生在解決這個問題中自主領(lǐng)悟到的數(shù)學(xué)知識及思想方法，更關(guān)注在解決問題中數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。四、在數(shù)學(xué)知識的復(fù)習(xí)中挖掘極限思想復(fù)習(xí)課就是把平時相對獨立地進(jìn)行教學(xué)的知識，特別是其中帶有規(guī)律性的 知識，以再現(xiàn)、整理、歸納等方法串起來，進(jìn)而加深學(xué)生對知識的理解、溝通， 并使之條理化、系統(tǒng)化。筆者聽過一些六年級“平面圖形的整理與復(fù)習(xí)的課, 這些課的目的在于能對學(xué)生所學(xué)過的長方形、正方形、三角形、梯形、平行四邊 形、圓的面積公式做出整理。從實際的教學(xué)情況看，參與這一教學(xué)活動的學(xué)生應(yīng)當(dāng)說都已較好地掌握了

16、相 關(guān)的知識，從而大多能梳理出如下的邏輯線索：長方形正方形e*平行四邊形、圓悌形三角形但在這些課中普遍存在的問題是：學(xué)生的活動主要是一種回憶的工作，是相 關(guān)公式的推導(dǎo)過程的再現(xiàn)，即使注意到了這些公式間的聯(lián)系，而這種聯(lián)系在此也 主要表現(xiàn)為線性的、單向的邏輯關(guān)系。然而，從教學(xué)的角度看，我們除了要重視 知識的邏輯結(jié)構(gòu)還要重視學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而認(rèn)知結(jié)構(gòu)與上述邏輯結(jié)構(gòu)所具有的 線性和單向性不同，認(rèn)知結(jié)構(gòu)不僅具有雙向性，還主要地表現(xiàn)在一種網(wǎng)狀的結(jié)構(gòu)。 教學(xué)工作的主要目標(biāo)并非是使學(xué)生建立起關(guān)于相應(yīng)邏輯結(jié)構(gòu)的牢固記憶，而是應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生形成適當(dāng)?shù)恼J(rèn)識結(jié)構(gòu)。4因此，對于上述復(fù)習(xí)課而言筆者以為，除去 以長方形為核心

17、這一 “標(biāo)準(zhǔn)做法以外，我們也完全可以以梯形的面積公式為核 心，將其他各個圖形聯(lián)系起來。實現(xiàn)兩種方法的“互補(bǔ)幫助學(xué)生建立更為豐富 和合理的認(rèn)識結(jié)構(gòu)。而以梯形為核心進(jìn)行梳理的主要手段可以借助極限的思想將公式進(jìn)行聯(lián)絡(luò)。 利用極限思想得到三角形的面積計算公式，方法是讓梯形的上底趨于0,梯形即趨于三角形，梯形的面積計算公式當(dāng)上底趨于0時的極限就是三角形的面積計算 公式。我們甚至可以把長方形、正方形、平行四邊形面積計算公式都看成是梯 形面積計算公式的極限形式。于是可以構(gòu)建出下面的知識網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。翻開數(shù)學(xué)的史話我們發(fā)現(xiàn)，無論是在最初的算術(shù)、代數(shù)還是初等幾何中，常 量數(shù)學(xué)都是描述確定、靜態(tài)現(xiàn)實的有利工具。而無限

18、問題的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)表述， 是由變量數(shù)學(xué)的開展來實現(xiàn)的。常量數(shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)的開展，無限概念的數(shù)學(xué)表 述，這一切對數(shù)學(xué)、自然科學(xué)以至對人類社會的進(jìn)步有著重大的意義。這種由常量向變量、由有限觀念到無限觀念的轉(zhuǎn)變中無不表達(dá)著極限的數(shù)學(xué)思想，極限的思想方法是人們從有限中認(rèn)識無限， 從近似中認(rèn)識精確，從量變中認(rèn)識質(zhì)變的 一種數(shù)學(xué)思想方法，它是事物轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié)，這種思想也必將能為我們的小學(xué) 數(shù)學(xué)教育發(fā)揮重要的作用。因此，教師們要在平日教學(xué)中積極挖掘表達(dá)極限思想 的知識點，將極限思想很好地滲透于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之中。參考文獻(xiàn):1 曹才翰、章建躍，數(shù)學(xué)教育心理學(xué)，北京師范大學(xué)出版社，2006年，1912 華東師大數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析，高等教育出版社，1980年，31。2003 年，177。3 鄒煊享，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)建模，廣西教育出版社，4