各圓錐曲線的定義與性質(zhì)整理

1、圓錐曲線的定義與性質(zhì)一、基本知識點1、橢圓橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動點與兩定點F1、F2的距離的和大于|F1F2|這個條件不可忽視.若這個距離之和小于|FiF2I，貝U這樣的點不存在；若距離之和等于|FiF2I，貝U動點的軌跡是線段FiF2. 2222橢圓的標準方程：烏+&=1(a>b>0),22+與=1(a>b>0).abab橢圓的標準方程判別方法：判別焦點在哪個軸只要看分母的大?。喝绻鹸2項的分母大于y2項的分母，則橢圓的焦點在x軸上，反之，焦點在y軸上.求橢圓的標準方程的方法：正確判斷焦點的位置；設出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解.橢圓與十二=1(

2、a>b>0)的參數(shù)方程為(xac°s8(。為參數(shù)). aby=bsinu22橢圓的簡單幾何性質(zhì)：設橢圓方程為與十寫=1(a>b>0).ab1°范圍：-a<x<a,-b<x<b,所以橢圓位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形里.2°對稱性：分別關于x軸、y軸成軸對稱，關于原點中心對稱.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.3°頂點：有四個A(-a,0)、A2(a,0)B1(0,-b)、B2(0,b).線段A代、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b,a和b分別叫做橢圓的長半軸

3、長和短半軸長.所以橢圓和它的對稱軸有四個交點，稱為橢圓的頂點4。離心率：橢圓的焦距與長軸長的比e=£叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0vev1.e越接近a于1時，橢圓越扁；反之，e越接近于0時，橢圓就越接近于圓.橢圓的四個主要元素a、b、c、e中有a2=b2+c2、e=兩個關系，因此確定橢圓的標準方程只需兩個a獨立條件.2、雙曲線及其標準方程雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點F、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a(小于|F1F2|)的動點M的軌跡叫做雙曲線.在這個定義中，要注意條件2av|EF2|,這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a=|F1F21，則

4、動點的軌跡是兩條射線；若2a>|F1F2|,則無軌跡.若MF1vMF2時，動點M的軌跡僅為雙曲線的一個分支，又若|MF>MF2時，軌跡為雙曲線的另支.而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中應為“差的絕對值”2222雙曲線的標準方程：與寫=1和益與=1(a>0,b>0).這里b2=c2a2,其中|F1F2|=2c.要注abab意這里的a、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同.雙曲線的標準方程判別方法是：如果x2項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上

5、求雙曲線的標準方程，應注意兩個問題：正確判斷焦點的位置；設出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1°雙曲線2雙曲線22與-矣=1的實軸長為2a,虛軸長為2b,離心率ab22與-與=1的漸近線方程為y=±x或表示為abace=->1,離心率e越大，雙曲線的開口越大a22與與=0.若已知雙曲線的漸近線方程是ab即mx土ny=0,那么雙曲線的方程具有以下形式:m2x2-n2y2=k，其中k是一個不為零的常數(shù).在雙曲線中,a、b、c、e四個元素間有e=g與c2=a2+b2的關系，與橢圓一樣確定雙曲線的標準方程a只要兩個獨立的條件3、拋物線拋物線的定義：平面內(nèi)到一

6、定點(F)和一條定直線(1)的距離相等的點的軌跡叫拋物線。這個定點F叫拋物線的焦點，這條定直線1叫拋物線的準線。設p0,拋物線的標準方程、類型及其幾何性質(zhì):2-y=2pxy2_2pxx2=2py2-x2=_2py圖形J*焦點F(f,0)F(P,0)F(0,f)F(0-)準線、2范圍x芝0,yWRx<0,yWRxWR,y芝0xWR,y0對稱軸x軸y軸頂點(0,0)離心率e=1焦半徑Pf|=S|pf|=-%肝|=壹+火PF=十+萱對于以上四種方程：應注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對稱軸是哪個軸，方程中的該項即為一次項；一次項前面是正號則曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向；一次項前面是負號則曲線的

7、開口方向向x軸或y軸的負方向。二、典型習題(一)圓錐曲線定義221、(1)橢圓X+y=1上一點M到焦點Fi的距離是2,N時MFi的中點，貝UON的長為。25922xy已知雙曲線的萬程是一=1,點P在雙曲線上，且到其中一個焦點Fi的距離為10,點N是PFi的168中點，貝1ON的大小為(O為坐標原點)22xy已知雙曲線的萬程是-二=1，點P在雙曲線上，且到其中一個焦點F1的距離為8,點N是PF1的中168點，貝UON的大小為(O為坐標原點)2、已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡。3、已知橢圓的焦點F1(-3,0

8、)、F2(3,0)且與直線xy+9=0有公共點，求其中長軸最短的橢圓方程焦點三角形：橢圓或雙曲線上一點P,與兩個焦點F1、F2構成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。解題時還可能要用到：圓錐曲線的第一定義式及其平方等；三角形的面積公式：S小BC=1absinC;平面幾何的性質(zhì)等。4、雙曲線=1的兩個焦點為F1,F2,點P在雙曲線上，若PF1_LPF2，求點P的坐標。9165、已知F1,F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，/F1PF2=60(1) 求橢圓離心率的范圍；(2) 求證F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關。36、已知橢圓的焦點是F1(J3,0)和F2(J3,0),離心率為e=；.求橢

9、圓上的點到直線2x+3y+8=0距離的最大值；._，一，2(1) 右P在橢回上，pf"PF2=，求PFF2的面積.3圓錐曲線的方程7、(1)中心在原點，對稱軸為坐標軸，且過點(J2,2>/2)和(-V3,-2)的橢圓的方程為；2與雙曲線y2=1有相同的漸近線，且過點(12,6)的雙曲線的方程為；4(2) 頂點在原點，對稱軸是坐標軸，且過點(一2,3)的拋物線的方程為；(3) 已知橢圓的焦距是4J3,且經(jīng)過點P(J5,-J6)，貝U橢圓的標準方程為;(4) 若雙曲線的漸近線方程為y=3x，它的一個焦點是(-2jTO,0),則雙曲線的方程是；(5) 雙曲線的兩條漸近線方程為J3x&

10、#177;y=0，且它的焦點到漸近線的距離為3,則此雙曲線方程為。(6) 橢圓的焦點坐標是F1(2,0)和F2(2,0),過Fl作PQ_Lx軸，交橢圓于P,Q兩點，且PQF?是等邊三角形，此橢圓的標準方程為。8、雙曲線與橢圓有共同的焦點Fi(0,5),F2(0,5)，點P(3,4)是雙曲線的漸近線與橢圓的一個交點，求雙曲線與橢圓的方程。9、k代表實數(shù)，討論方程kx2+2y2-8=0所表示的曲線圖1(四)幾何性質(zhì)210、(1)點P是拋物線y=8x上的任意一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，點M的坐標是(2,3),則PM|+|PF的最小值為，此時點P的坐標為。(2)如圖1,過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于兩

11、點A,B,若A,B在拋物線的準線l上的射影分別是A,B,則ZA1FB1等于；(3)拋物線y=ax2的準線方是y=2,則a的值是.11、(1)如果雙曲線的兩條漸近線方程是y=±3x,則此雙曲線的離心率是。422yx(2)雙曲線Jf=1的兩條ba漸近線互相垂直，則離心率是下圖中兩個橢圓和兩條雙曲線的離心率分別是q、e>、e3、e4，且§<e<q<e,則曲線Ci的離心率是，曲線C2的離心率是,曲線C3的離心率是，曲線C4的離心率是。(2005年四川高考題)設橢圓的兩個焦點分別為Fi、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若F1PF2為等腰直角三角形，則

12、橢圓的離心率是;22已知橢圓C1:與+%=1的一條通徑(過焦點且垂直于對稱軸的弦)與拋物線6：y2=2px(p>0)的通徑重ab合，則橢圓的離心率為；(2) 若橢圓=1的離心率為1，則m為.m4222xy2007年(全國2理)設0F2分別是雙曲線1-七=1的左、右焦點，若雙曲線上存在點A,使abNF1AF2=90'且AR=3AF2,則雙曲線的離心率為212、(1)設橢圓L+y2=1的兩個焦點是F、1(-c,0),F2(c,0)，且橢圓上存在點P使得直線PFi與PF2垂m1直，貝U實數(shù)m的取值范圍為；22.已知P是橢圓4+匕=1上一點，QR分別是圓(x+4)2+y2=和(x-4)2

13、+y2=l上的點，則|PQ|+|PR|25944的最小值是.(2) 若動點(x,y)在曲線七匕=1(b>0)上變化，則x2+2y的最大值為.4b2-07年(全國)設F1,F2分別是雙曲線x2-匕=1的左、右焦點.若點P在雙曲線上，且PF建PF2=0,9則PF1+PF2=13、關于雙曲線xy=1有下面4個命題：(1) 它的漸近線方程為x=0和y=0;(2) 它的實軸長為22；(3) 它的離心率為J2;(4) 正三角形的三頂點P(x，y),Q(x2,y2),R(x3,y3)在雙曲線xy=1上，則、少兇不可能同號。以上正確命題的序號為。14、已知雙曲線(x-h)(y-k)=a(a#0)的水平漸

14、近線為y=k，垂直漸近線為x=h,雙曲線中線為(h,k),若雙曲線y=七上的點到它的水平漸近線，垂直漸近線，中心的距離分別為d1,d2,d3，則d1+d2+d3的最小值為。15、如圖，在正方體ABC1D1ABCD的側面ABBA內(nèi)有一動點P到直線AB的距離等于到直線B1C1的距離，則動點P的軌跡是。圓錐曲線定義與性質(zhì)答案1、(1)解：由橢圓方程知，a=5,b=3，因為MF1+MF2=10(F2為另一個焦點坐標)，又因為MF1=2,，1所以MF2=8,ON是三角形MF1F2的中位線，所以ON|=|MF2|=4即ON的長是4。一一.一1_解：ON是二角形PF1F2的中位線，所以ON=-PF2，因為P

15、F1PF2=8,PF1=102.1,.所以PF2|=2或18,ON|=：|PF2|=1或982、解：設動圓圓心M(x,y)，動圓半徑為R，則MC1=1+R,MC2=3+R,所以|MC2|MC1|=2<|C1C2|=6,從而M的軌跡為以C1、C2為焦點，2為實軸長的雙曲線的左支。2X2-y=1(x:：:0)822xy3、解法1:設橢圓為=1與直線方程xy+9=0聯(lián)立并消去y礙:aa-9(2a29)x2+18a2x+90a2a4=0,由題設=(18a2)2-4(2a2-9)(90a2a4)>0na454a2+405法0na2>45或a2<9.va2-9>0,二a2&g

16、t;45,故amin=3T5，得(2a)min=6”5,22此時橢圓方程為匕=1.453622解法2：設橢圓與+=1與直線xy+9=0的公共點為M(acosa&'a29sina),2則acosava9sina+9=0有解.,V2a29cos(a+。)=9=>-9.-9cos(a42a2-9>9=a2a45,-amin=3/5,得(2a)min=6V5,22此時橢圓的方程二匕=1.y4536解法3:先求得Fi(3,0)關于直線xy+9=0的對稱點F(9,6),設直線F1F2與橢圓的交點為M,則2a=|MF1I+IMF2I=|MF|+|MF2I|FF2|=6J5，于是(

17、2a)min=6J5，易得a2=45,b2=36,此時橢圓的22方程為七X=i.45364、解：由雙曲線的方程知：a=3,b=4,c=5，不妨設點P在第一象限，坐標為（x,y）,Fi為左焦點，那么:PFiPFiPF2=6'2=FF22=i00+PF2.-一n22由得：(PFiPF?)2=36,所以|PFi+|PF22PFi|PF2=36,PFiPF2=32在直角三角形PFiF2中，PF展PF2=舊3岑=32,所以y=代入雙曲線的方程得:5x=籍即點P3、,4ii6的坐標是（也，）,再根據(jù)雙曲線的對稱性得點553、4ii6P的坐標還可以是（-一,）55i6、3*,34ii6r3)。，、，

18、i、5、（i）（一，i）2(2)32S=b232x6、解：設橢圓2a2yb2=i,半焦距為c,c=V3,、a一22,-b2=34ab2=4、十橢圓方程為=i.4y2=i.設橢圓上的為P(2cos2x3y8=04cos3sinm8_5sin()8i31iiVi3當且僅當si市（+平）=i時取"Ji3.4tan中=一），橢圓上的點到直線2x+3y+8=0的最大值為3(2)PFiPF2=PFPF2|coSPFi,又|FiF2|2=|PFi|2+|PF2|2-2|PFi|PF2|C0SPFi,PF2,|PFi|+|PF2|=4,即i2=(|PFi|+昨|)2|-2|PFi|4PF2=162|

19、困|PF2|=2，2n|PF1|PF2|=YncoSPfI,33PF2=1=sinPF1,pf2=¥,八1,=“1433S-2|pF1|pF2|sinpF1,PF2=232A8B=13A4B=1227、（1）解：設橢圓的方程是：Ax+By=1（A0,Ba0,A,B）,將已知點的坐標代入得:所以22xy/=141611，、A=,B=，即所求的橢圓方程是:416(2)解：因為所求雙曲線與已知雙曲線2x2_y=1有相同的漸近線，設所求的雙曲線的方程是42x2_y=，,4將點(12,13)代入得:214416944-25-4y2=所以%=_，所求的雙曲線的方程是：里4252蘭-1IO25（3

20、）解：設拋物線的方程是2 y2=kx(k#0)或x2=ky(k,0)，那么：9=2k,k=°或4=3k,k=3所求拋物線的方程是:=£x或x2=4y。（4）208空空.24123241-1(6)解：設該雙曲線的方程為3x2y2=k（k乒0）當k>0時，焦點坐標為（±2*；',0）,由焦點到漸近線距離為3得k=92-3k.當k<0時，焦點坐標為（0,士）,由焦點到漸近線距離為33得k=272222所以所求雙曲線的標準方程為普;=1或蘇土=1（也可利用雙曲線焦點到漸近線的距離為b求解）22解：12=18點撥：本題根據(jù)橢圓的定義和等邊三角形的性質(zhì)解答

21、。由橢圓的定義得:PF+|PF2=2a，又因為PQF2是等邊三角形，所以F1F2pq2|pFi,即向吒*4，吒灣，pf2=2pfi土所以2a=PR+PF2=理3+也3=4j3,a=2j3，所以b2=a2c2=124=8,所求的橢圓的標準322方程是4.匕=1128228、解：由共同的焦點Fi(0,4),F2(0,5)，可設橢圓方程為匕+=1；aa-252雙曲線方程為L-9b225-b2x2416=1,點P(3,4)在橢圓上，-|+a志"J0雙曲線的過點P(3,4)的漸近線為y=_x，即4=x3,b2=1625-b225-b22222所以橢圓方程為七+4=1雙曲線方程為L+W=1401

22、516922一yx9、解：當k<0時，曲線二=1為焦點在y軸的雙曲線;_8k當k=0時，曲線2y2-8=0為兩條平行的垂直于y軸的直線;當0<k<2時，曲線+=1為焦點在x軸的橢圓;84k當k=2時，曲線x2+y2=4為一個圓；當k2時，曲線七+三=1為焦點在y軸的橢圓。48k10、(1)解：拋物線y2=8x的準線方程是x=-2，那么點P到焦點F的距離等于到準線x=-2的距離，作PD_L準線x=2，垂足為D,那么PM十PF=PM+PD=MP十PD，所以當點MP,D三點共線時,PM十PF的值最小，即用點M的橫坐標減去準線方程的數(shù)值得：2-(-2)=4,所以PM十PF的最小值是4

23、。此時點P的縱坐標為3,所以橫坐標是9=8x,x='，即點P的坐標是(',3)。88(2)解：一2點撥：利用拋物線的定義和平面幾何的知識解題。設準線l與x軸的交點為K,那么，AF=|AA，所以NAFA=NAAF,又因為AA/x軸，所以NAFK=NAAF,£AFA=NAFK,同理可證NBFB1=NBFK，所以N&FB1=NAFA1+NBFB1=；811、(1)解：當雙曲線的焦點在x軸上時有-=3，又c2=a2+b2,解得e=5a44當雙曲線的焦點在y軸上時有a=3，又c2=a2+b2,解得e=5(2)J2(3)04,63,01,62b43解：設|PF2|=m，貝U由題設得|PFi|=J2m,2c=|FiF2|=m.由橢圓第一定義,得2a=|PFi|+|PF2|=(J2+1)m.e-cma("21)m=、2-1.由已知得竺a(6)16m