期權(quán)價格的敏感性和期權(quán)的套期保值(1)

1、期權(quán)價格的敏感性和期權(quán)的套期保值【學(xué)習(xí)目標(biāo)】本章是期權(quán)部分的重點內(nèi)容之一。本章的重要內(nèi)容之一， 就是介紹了期權(quán)價格對其四個參數(shù)(標(biāo)的資產(chǎn)市場價格、到期時間、波動率和無風(fēng)險利率)的敏感性指標(biāo)，并以此為基礎(chǔ) 討論了相關(guān)的動態(tài)套期保值問題。學(xué)習(xí)完本章，讀者應(yīng)能掌握與期權(quán)價格敏感性有關(guān)的五個 希臘字母及其相應(yīng)的套期保值技術(shù)。以及這些因素對期權(quán)定價公式在前面幾章中，我們已經(jīng)分析了決定和影響期權(quán)價格的各個重要因素， 期權(quán)價格的影響方向。進(jìn)一步來看，根據(jù) Black-Scholes(c SN(dJ Xe r(T t)N(d2),我們還可以更深入地了解各種因素對期權(quán)價格的影響程度，或者稱之為期權(quán)價格對這些因素

2、的敏感性。具體地說，所謂期權(quán)價格的敏感性，是指當(dāng) 這些因素發(fā)生一定的變化時， 會引起期權(quán)價格怎樣的變化。本章的重要內(nèi)容之一， 就是對期權(quán)價格的敏感性作具體的、量化的分析，介紹期權(quán)價格對其四個參數(shù)(標(biāo)的資產(chǎn)市場價格、 到期時間、波動率和無風(fēng)險利率)的敏感性指標(biāo)。如果我們從另一個角度來考慮期權(quán)價格的敏感性，我們可以把它看作當(dāng)某一個參數(shù)發(fā)生變動時，期權(quán)價格可能產(chǎn)生的變化，也就是可能產(chǎn)生的風(fēng)險。顯然，如果期權(quán)價格對某一參數(shù)的敏感性為零，可以想見，該參數(shù)變化時給期權(quán)帶來的價格風(fēng)險就為零。實際上，當(dāng)我們運用衍生證券(如期權(quán))為標(biāo)的資產(chǎn)或其它衍生證券進(jìn)行套期保值時，一種較常用的方法就是分別算出保值工具與保值

3、對象兩者的價值對一些共同的變量(如標(biāo)的資產(chǎn)價格、 時間、標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率、無風(fēng)險利率等)的敏感性，然后建立適當(dāng)數(shù)量的證券頭寸，組成套期保值組合，使組合中的保值工具與保值對象的價格變動能相互抵消，也就是說讓套期保值組合對該參數(shù)變化的敏感性變?yōu)榱?，這樣就能起到消除相應(yīng)風(fēng)險的套期保值的目的。這就是我們在本章將要介紹的“動態(tài)套期保值”技術(shù)。第一節(jié)Delta與期權(quán)的套期保值期權(quán)的Delta用于衡量期權(quán)價格對標(biāo)的資產(chǎn)市場價格變動的敏感度，它等于期權(quán)價格變化與標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的比率。 用數(shù)學(xué)語言表示，期權(quán)的Delta值等于期權(quán)價格對標(biāo)的資產(chǎn) 價格的偏導(dǎo)數(shù)；顯然，從幾何上看，它是期權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)價格關(guān)系

4、曲線切線的斜率。一、期權(quán)Delta值的計算令f表示期權(quán)的價格，S表示標(biāo)的資產(chǎn)的價格，表示期權(quán)的Delta ,則：f,、一(12.1 )S根據(jù)Black-Scholes 期權(quán)定價公式(c SN(d1) Xe r(T t)N(d2)和相應(yīng)的無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)定價公式(p Xer(Tt)N( dz) SN( d1)，我們可以算出無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)的Delta值為:20N(di)無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的Delta值為:N( di) N(dJ 1其中di的定義與式(11.2)相同。當(dāng)期權(quán)更為復(fù)雜的時候，相應(yīng)地期權(quán)的Delta值也更為復(fù)雜。例如支付已知紅利率 q(連 續(xù)復(fù)利)的歐式看漲期權(quán)的Delta

5、值為e q(T t)N(di)第十三章將給出股票指數(shù)期權(quán)、外匯期權(quán)和期貨期權(quán)的相應(yīng)Delta值。二、期權(quán)Delta值的性質(zhì)和特征分析根據(jù)累積標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)可知，0 N(di) 1 ,因此無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)的總是大于0但小于1;而無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的則總是大于-1小于0。反過來，作為無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)空頭，其Delta值就是總是大于-1小于0;而無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)空頭的則總是大于0小于1。從d1定義可知，期權(quán)的 值取決于S、r、 和T-t ,根據(jù)期權(quán)價格曲線的形狀(如圖10.3和圖10.4所示)，我們可知無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的值與標(biāo)的資產(chǎn)價格的關(guān)系如圖12.1 (

6、a)和(b)所示。Delta值與標(biāo)的資產(chǎn)價格的關(guān)系圖12.1無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)從N (d1)函數(shù)的特征還可得出無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)在實值、平價和虛 值三種狀況下的值與到期期限之間的關(guān)系如圖12.2 (a)和(b)所示。圖12.2無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)（用踐期權(quán)Delta值與到期期限之間的關(guān)系此外，無風(fēng)險利率水平越高，無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的值也越高，如圖12.3 （a）和（b）所示。圖12.3無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)Delta值與r之間的關(guān)系然而，標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率（）對期權(quán)值的影響較難確定，它取決于無風(fēng)險利率水平S與X的差距、期權(quán)有效期等因素

7、。但可以肯定的是，對于較深度虛值的看漲期權(quán)和較深度實值的看跌期權(quán)來說，是 的遞增函數(shù)，其圖形與圖 12.3 （a）和（b）相似。三、證券組合的 Delta值事實上，不僅期權(quán)有Delta值，金融現(xiàn)貨資產(chǎn)和遠(yuǎn)期、期貨都有相應(yīng)的 Delta值。顯然, 對于期權(quán)的標(biāo)的現(xiàn)貨資產(chǎn)來說，其 Delta值就等于1。運用第三章中關(guān)于遠(yuǎn)期合約價值的計 算公式（3.1 ）可知，股票的遠(yuǎn)期合約的同樣恒等于1。這意味著我們可用一股股票的遠(yuǎn)期合約空頭（或多頭）為一股股票多頭（或空頭）保值，且在合約有效期內(nèi)，無需再調(diào)整合 約數(shù)量。但是，期貨合約的Delta值就不同了。由于期貨是每天結(jié)算的，因此期貨合約的收 益變化源于期貨價

8、格的變化，也就是說，我們需要運用期貨價格公式計算出Delta值。因此,無收益資產(chǎn)和支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的期貨合約的值為：r（T t）e支付已知收益率（q）資產(chǎn)期貨合約的值為:（r q）（T t）e值得注意的是，這里給出的Delta值都是針對多頭而言的，和期權(quán)一樣，相應(yīng)空頭的Delta值只是符號發(fā)生了相反的變化。這樣，當(dāng)證券組合中含有標(biāo)的資產(chǎn)、 該標(biāo)的資產(chǎn)的各種期權(quán)和其他衍生證券的不同頭寸 時，該證券組合的 值就等于組合中各種資產(chǎn) 值的總和(注意這里的標(biāo)的資產(chǎn)都應(yīng)該是 相同的)：Wi i i 1(12.2 )其中，w表本第i種證券的數(shù)量，i表本第i種證券的 值。四、Delta中性狀態(tài)與套期保值由

9、于標(biāo)的資產(chǎn)和相應(yīng)的衍生證券可取多頭或空頭，因此其值可正可負(fù)，這樣，若組合內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)和期權(quán)及其他衍生證券數(shù)量配合適當(dāng)?shù)脑挘麄€組合的值就可能等于0。我們稱值為0的證券組合處于 Delta中性狀態(tài)。當(dāng)證券組合處于中性狀態(tài)時，組合的價值顯然就不受標(biāo)的資產(chǎn)價格波動的影響，從而實現(xiàn)了套期保值。但是值得強調(diào)的是，證券組合處于中性狀態(tài)只能維持一個很短的時間，因為Delta實質(zhì)上是導(dǎo)數(shù)。因此，我們只能說，當(dāng)證券組合處于中性狀態(tài)時，該組合價值在一個“短時間”內(nèi)不受標(biāo)的資產(chǎn)價格波動的影響，從而實現(xiàn)了 “瞬時”套期保值。這樣一個中性狀態(tài)的套期保值組合提示我們，當(dāng)我們手中擁有某種證券或證券組合時，可以通過相應(yīng)的標(biāo)的資

10、產(chǎn)、期權(quán)、期貨等進(jìn)行相互保值，使證券組合的值等于0,也就是不受標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的影響。這種套期保值方法稱為中性保值法，又因為 中性保值只是在瞬間實現(xiàn)的，隨著S、T-t、r和 的變化，值也在不斷變化，因此需要不斷調(diào)整保值頭寸以便使保值組合重新處于中性狀態(tài)，這種調(diào)整稱為再均衡( Rebalancing ),因此這種保值方法屬于“動態(tài)套期保值”。下面我們分別通過兩個例子來說明運用期權(quán)為標(biāo)的資產(chǎn)保值和運用標(biāo)的資產(chǎn)或其他資 產(chǎn)為期權(quán)保值的中性保值法。例 12.1美國某公司持有100萬英鎊的現(xiàn)貨頭寸， 假設(shè)當(dāng)時英鎊兌美元匯率為1英鎊=1.6200美元，英國的無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為13%美國為10%英鎊匯率

11、的波動率每年15%為防止英鎊貶值，該公司才T算用6個月期協(xié)議價格為1.6000美元的英鎊歐式看跌期權(quán)進(jìn)行保值， 請問該公司應(yīng)買入多少該期權(quán)？英鎊歐式看跌期權(quán)的值為：N(d)1e rf(Tt) N(0.0287) 1e 0.13 0.50.458而英鎊現(xiàn)貨的值為+1,故100萬英鎊現(xiàn)貨頭寸的值為+100萬。為了抵消現(xiàn)貨頭寸的值，該公司應(yīng)買入的看跌期權(quán)數(shù)量等于：100218.34 萬0.458即，該公司要買入 218.34萬英鎊的歐式看跌期權(quán)。當(dāng)然，這只是適合于短時間內(nèi)的保 值頭寸。例 12.2 該例子主要引自美約翰 赫爾著，張?zhí)諅プg.期權(quán)、期貨和衍生證券.中譯本.北京：華夏出版社，1997. 2

12、83 頁，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了一點修改。某金融機構(gòu)在 OTC市場出售了基于100 000股不付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，收入$300000。該股票的市場價格為$49,執(zhí)行價格為$50,無風(fēng)險利率為年利率 5%股票價格波動率 為年20%距離到期時間為 20周。由于該金融機構(gòu)無法在市場上找到相應(yīng)的看漲期權(quán)多頭 對沖，這樣就面臨著風(fēng)險管理的問題。在這里我們可以運用中性保值法。我們可以用標(biāo)的資產(chǎn)即股票為此期權(quán)進(jìn)行套期保值操作。由于該金融機構(gòu)目前的頭寸是歐式看漲期權(quán)空頭，這意味著他們目前的值是負(fù)的，這樣，我們需要用正的 值進(jìn)行對沖，即應(yīng)該購買標(biāo)的資產(chǎn)，才能構(gòu)建中性組合。之后，我們還需要不斷地調(diào)整標(biāo)的資產(chǎn)的數(shù)量

13、，以適應(yīng)期權(quán)值的變化。在實際中，過于頻繁的動態(tài)調(diào)整需要相當(dāng)?shù)慕灰踪M用，因此我們假設(shè)保值調(diào)整每周進(jìn)行一次。根據(jù)題目，S 49, X 50, r 0.05,0.20,T t 0.3846.初始的 Delta值為 0.522。這意味著在出售該看漲期權(quán)的同時，需要借入0.522 100 000 49 $2 557 800以49美元的價格購買 52 200股股票。第一周內(nèi)發(fā)生的相應(yīng)利息費用為$2 500。表12-1給出了期權(quán)到期時為實值和虛值兩種狀況下的模擬保值過 程。1 、從表12-1 (a)可知，到第一周末，股票價格下降到 48-。這使得Delta值下BI到0.458,8要保持Delta中性，必須出

14、售 6 400股股票，得到$308 000的現(xiàn)金，從而使得成本下降。 之后，如果Delta值上升，就需要再借錢買入股票；如果 Delta值下降，就賣出股票減少借 款。在期權(quán)接近到期時，很明顯為實值期權(quán)，期權(quán)將被執(zhí)行，Delta值接近1。因此，到20周時，該金融機構(gòu)具有完全的抵補標(biāo)的資產(chǎn)頭寸，累積成本為$5 261 500。當(dāng)期權(quán)被執(zhí)行時，金融機構(gòu)將其所持有白股票出售，獲得$5 000 000 ,因此總的套期保值成本為 $261 500。表12-1 (b)給出了另一種價格序列，即到期時期權(quán)處于虛值狀態(tài)的情形。顯然到期時 期權(quán)不會被執(zhí)行，Delta值接近0,而該金融機構(gòu)最后不會持有標(biāo)的資產(chǎn)，總計成

15、本為$257800。如果把表12-1 (a)和表12-1 (b)中的最后套期保值成本貼現(xiàn)到期初，則我們會發(fā)現(xiàn) 應(yīng)用標(biāo)的資產(chǎn)對該期權(quán)進(jìn)行中性保值的成本近似于運用Black-Scholes 期權(quán)定價公式計算出來的$240 000,但不完全相等，不完全相等的原因在于調(diào)整頻率較低。如果我們采用的 是瞬時連續(xù)調(diào)整，就會發(fā)現(xiàn)它們是完全相等的。表12-1 (a) Delta 對沖的模擬：實值期權(quán)的情形，保值成本=$261 500周次股票價格Delta購買股票數(shù)購買股票成本累計成本(包括上 周利息費用，以$1 000為單位)利息費用(以 $1 000為單位)0490.52252 2002 557.82 557

16、.82.5148180.458-6 400-308.02 252.32.2247 380.400-5 800-274.81 979.71.9350 140.59619 600984.92 966.52.9451340.6939 700502.03 471.43.355380.7448 100430.33 905.03.86530.711-300-17.93 890.93.77751 80.706-6 500-337.23 557.43.4851380.674-3 200-164.43 396.43.39530.78711 300598.93 998.63.81049 80.550-23 700

17、-1 182.02 820.42.71148 120.413-13 700-664.42 158.72.11249 80.54212 900643.42 804.22.7133 5080.5914 90024.83 053.72.91452180.76817 700922.63 979.23.815751 80.759-900-46.73 936.33.81652 780.86510 600560.54 500.64.317754 一80.97811 300620.15 125.04.918一554 一 80.9901 20065.65 195.55.01955 781.0001 00055.

18、95 256.45.1201 5741.00000.05 261.5總計100 000在現(xiàn)實生活中，金融機構(gòu)很少直接出售基于單種股票的看漲期權(quán)，象我們例子中所舉的那樣。但是，我們通過這個例子向讀者展示了一個重要的套期保值原理：我們可以通過運用標(biāo)的資產(chǎn)，實現(xiàn)對期權(quán)的Delta中性套期保值，在不考慮交易費用（指買入賣出的傭金等費 用，利息費用則是需要考慮的）并假設(shè)波動率為常數(shù)的情況下，運用標(biāo)的資產(chǎn)進(jìn)行Delta中性套期保值的成本和效果就和買入了一個看漲期權(quán)多頭一樣。也就是說，套期保值的結(jié)果是：我們通過標(biāo)的資產(chǎn)構(gòu)成了一個“合成的期權(quán)頭寸”。在這個套期保值的過程中，當(dāng)Delta上升的時候，也就是標(biāo)的資

19、產(chǎn)價格上漲的時候，我們必須增加借款買入股票；當(dāng)Delta下降的時候，也就是標(biāo)的資產(chǎn)價格下跌的時候，我們必須賣出股票償還借款。套期保值的成本正是來源于這個“買高賣低”的過程，其總成本正好等于市場上相應(yīng)的期權(quán)價格。在實際操作中，Delta中性保值方法更常見的是利用同種標(biāo)的資產(chǎn)的期貨頭寸而非現(xiàn)貨 頭寸來進(jìn)行保值，可以獲得杠桿作用。利用期貨合約并不一定需要和期權(quán)合約的到期日相同， 往往需要選擇到期時間更長的期貨合約對期權(quán)合約進(jìn)行套期保值。以無收益資產(chǎn)期貨合約為 例，由于 er(T t),這意味著e r(T t)個期貨單位對標(biāo)的資產(chǎn)價格變動的敏感性與一個標(biāo) 的資產(chǎn)對其自身價格變化的敏感性是相同的，因此H

20、F er(Tt)HA/N其中Hf和Ha分別代表在t時刻實現(xiàn)Delta中性所需要的期貨合約數(shù)和標(biāo)的資產(chǎn)頭寸 數(shù)，N表示一份期貨合約的名義金額。周次股票價格Delta購買股票數(shù)購買股票成本累計成本（包括上 周利息費用，以$1 000為單位）利息費用（以 $1 000為單位）0490.52252 2002 557.82 557.82.5149 340.5684 600228.92 789.22.72520.70513 700713.43 505.33.43500.579-12 600-630.02 878.72.8448380.459-12 000-580.52 301.02.2548140.443

21、-1 600-77.22 226.02.1648 340.4753 200156.02 384.12.37549 80.5406 500322.62 709.02.6848140.420-12 000-579.02 132.62.0948140.410-1 000-48.22 086.42.01051 80.65824 8001 267.93 356.33.21151 151 20.6923 400175.13 534.63.4124980.542-15 000-748.12 789.92.713749 80.538-400-20.02 772.62.714348 40.400-13 800-

22、672.72 102.62.0151 4720.236-16 400-779.01 325.61.316480.2612 500120.01 446.91.41746140.062-19 900-920.4527.90.518c 148 80.18312 100582.31 110.71.119546 一80.007-17 600-820.6291.20.320148 一80.000-700-33.7257.8總計0表12-1 （b） Delta對沖的模擬：虛值期權(quán)的情形，保值成本=$261 500第二節(jié)Theta與套期保值期權(quán)的Theta ()用于衡量期權(quán)價格對時間變化的敏感度，是期權(quán)價格變

23、化與時間變化的比率，期權(quán)價格對時間 t的偏導(dǎo)數(shù)。一、期權(quán)Theta值的計算(12.3 )根據(jù)Black-Scholes期權(quán)定價公式，對于無收益資產(chǎn)的歐式和美式看漲期權(quán)而言SN(di)2 T trXe r(T t)N(d2)根據(jù)累積標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的特性,N(x)10.5x2e.2因此,2.2 (T t)rXe r(T t)N(d2)對于無收益資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)而言,S e 0.5d122、2 (T t)rXer(Tt)1 N(d2)二、期權(quán)Theta值的性質(zhì)和特征分析當(dāng)越來越臨近到期日時，期權(quán)的時間價值越來越小，因此期權(quán)的Theta幾乎總是負(fù)的1。它代表的是期權(quán)的價值隨著時間推移而逐漸衰減的程

24、度。期權(quán)的Theta值同日受S、T-t、r和 的影響。首先，無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)的的值與標(biāo)的資產(chǎn)價格的關(guān)系曲線如圖12.4所示。當(dāng)S很小時，近似為0,當(dāng)S在X附近時，很小。當(dāng)S升高時，趨近于 rXe r(Tt)。般來說，當(dāng)其他情況一定時，平價期權(quán)的Theta絕對值最大；實值和虛值期權(quán)Theta值的變 化則比較復(fù)雜：對看漲期權(quán)來說，深度實值時的期權(quán)Theta絕對值常常大于深度虛值時的Theta絕對值；而對于看跌期權(quán)來說，深度實值時的期權(quán)Theta絕對值則通常小于深度虛值時的Theta絕對值其次，在第十章中我們已經(jīng)知道，時間價值是期權(quán)價值的一部分，而時間價值與期權(quán)剩余期限的長短并不呈現(xiàn)線性關(guān)系。隨著

25、到期期限的臨近，時間價值將以越來越快的速度消減。根據(jù)這一特征，可以推知在一般情況下，期權(quán)剩余期限越長，其Theta的絕對值越??；而期權(quán)剩余期限越短，其 Theta的絕對值越大。進(jìn)一步來看，無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)的值與T-t之間的關(guān)系跟S-X有很大關(guān)系(如圖12.5所示)。1有一些例外。如對于處于實值狀態(tài)的無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)和處于實值狀態(tài)的附有很高利率的外匯的 歐式看漲期權(quán)來說，Theta可能為正。圖12.4無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)Theta值與S的關(guān)系圖12.5無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和Theta值與有效期之間的關(guān)系在其他條件一定時，Theta值的大小與標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率也有關(guān)系。一般來說，波動 率越小，

26、Theta的絕對值也越小；波動率越大，Theta的絕對值也越大。三、Theta值與套期保值事實上，Theta值與套期保值并沒有直接的關(guān)系，但它與 Delta及下文的GammO1有較 大關(guān)系。同時，在期權(quán)交易中，尤其是在差期交易中，由于 Theta值的大小反映了期權(quán)購買 者隨時間推移所損失的價值，也反映了期權(quán)出售者隨時間推移而增加的價值，因而無論對于避險者、套利者還是投資者而言，Theta值都是一個重要的敏感性指標(biāo)。第三節(jié)Gamma套期保值一、期權(quán)GammO1的計算期權(quán)的GammO ）是一個與Delta聯(lián)系密切的敏感性指標(biāo)，甚至可以認(rèn)為是Delta的敏感性指標(biāo)，它用于衡量該證券的 Delta值對

27、標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的敏感度，它等于期權(quán)價格對標(biāo)的資產(chǎn)價格的二階偏導(dǎo)數(shù)，也等于期權(quán)的Delta對標(biāo)的資產(chǎn)價格的一階偏導(dǎo)數(shù)。從幾何上看，它反映了期權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)價格關(guān)系曲線的凸度。值得注意的是，由于看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的A之間只相差一個常數(shù)，因此兩者的值總是相等的。S2(12.4 )根據(jù)Black-Scholes無收益資產(chǎn)期權(quán)定價公式，我們可以算出無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐 式看跌期權(quán)的值為：20.5d；eS 2 (T t)無收益資產(chǎn)期權(quán)的值總為正值，相應(yīng)地，期權(quán)空頭的值則總為負(fù)值。二、期權(quán)Gammat的性質(zhì)和特征分析期權(quán)的Gamma直也會隨著S、Tt、r和 的變化而變化。圖12.6和12.7分別表示了

28、 它與S及Tt的關(guān)系。圖12.6無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)Gammat與S的關(guān)系從圖12.6可以看出，當(dāng) S在X附近時， 值最大，即 值對于S最敏感。從圖12.7 可以看出，對于平價期權(quán)來說，期權(quán)有效期很短時，Gammat將非常大，即 值又S非常敏感。三、證券組合的 Gammat對于標(biāo)的資產(chǎn)及遠(yuǎn)期和期貨合約來說， Gamma均為0。這意味著只有期權(quán)有 Gammat。 因此，當(dāng)證券組合中含有標(biāo)的資產(chǎn)和該標(biāo)的資產(chǎn)的各種期權(quán)和其他衍生產(chǎn)品時，該證券組合的 值就等于組合內(nèi)各種期權(quán) 值與其數(shù)量乘積的總和：Wi i i 1(12.5)其中，w表示第i種期權(quán)的數(shù)量,i表示第i種期權(quán)的值。圖12.7無收

29、益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)GammOt與T-t的關(guān)系四、GammaH生狀態(tài)由于期權(quán)多頭的值總是正的，而期權(quán)空頭的值總是負(fù)的，因此若期權(quán)多頭和空頭數(shù)量配合適當(dāng)?shù)脑?，該組合的值就等于零。我們稱值為零的證券組合處于 Gamm井性狀態(tài)。計算證券組合的值對于套期保值的重要意義體現(xiàn)在它可用于衡量中性保值法的保值誤差。這是因為期權(quán)的值僅僅衡量標(biāo)白資產(chǎn)價格 S微小變動時期權(quán)價格的變動量，而期權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)價格的關(guān)系曲線是一條曲線，因此當(dāng)S變動量較大時，用估計出的期權(quán)價格的變動量與期權(quán)價格的實際變動量就會有所偏差（如圖12.8所示）。圖12.8 Delta 對沖的誤差從圖12.8可以看出，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格人S

30、o上漲到S時，Delta中性保值法假設(shè)期權(quán)價格從c。增加到c,而實際上是從 c。增加到g, C1和c；之間的誤差就是 Delta中性保值的誤 差。這種誤差的大小取決于期權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)價格之間關(guān)系曲線的曲度。值越大，該曲度就越大，中性保值誤差就越大。為了消除 中性保值的誤差，我們應(yīng)使保值組合的 中性化。由于證券組合的 值會 隨時間變化而變化，因此隨時間流逝，我們要不斷調(diào)整期權(quán)頭寸和標(biāo)的資產(chǎn)或期貨頭寸， 才 能保持保值組合處于 中性狀態(tài)。值得注意的是，由于保持 中性只能通過期權(quán)頭寸的調(diào)整獲得，實現(xiàn)中性的結(jié)果往往是非中性，因而常常還需要運用標(biāo)的資產(chǎn)或期貨頭寸進(jìn)行調(diào)整，才能使得證券組合同時實現(xiàn)中性和

31、 中性。例 12.3假設(shè)某個中性的保值組合的值等于-5 000 ,該組合中標(biāo)的資產(chǎn)的某個看漲期權(quán)多頭的 和 值分別等于0.80和2.0。為使保值組合中性，并保持 中性，該組合應(yīng)購買多少份該期權(quán)，同時賣出多少份標(biāo)的資產(chǎn)？該組合應(yīng)購入的看漲期權(quán)數(shù)量等于：50002.02 500 份由于購入2 500份看漲期權(quán)后，新組合的值將由0增加到2 500 0.80=2 000。因此,為保持中性，應(yīng)出售2 000份標(biāo)的資產(chǎn)。五、Delta、Theta和Gamma間的關(guān)系在第十一章，我們曾討論過無收益資產(chǎn)的看漲期權(quán)價格 方程式(11.1 ),即：f必須滿足Black-Scholes 微分rS2s2S2rf根據(jù)我

32、們在本節(jié)的定義,f f 2ft , S , S2因此有：12-2rS - S rf(12.5)2該公式對無收益資產(chǎn)的單個期權(quán)和多個期權(quán)組合都適用。對于處于 中性狀態(tài)的組合來說，1 2S2 rf2這意味著，對于中性組合來說，若為負(fù)值并且很大時，將會為正值并且也很大。對于處于 中性和 中性狀態(tài)的組合來說，=rf這意味著， 中性和中性組合的價值將隨時間以無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利率的速度增長。關(guān)于Delta , Theta和GammoE者之間的符號關(guān)系如表12-2所示。表12-2 Delta、Theta和Gamm*者之間的符號關(guān)系DeltaThetaGamma多頭看漲期權(quán)十一十多頭看跌期權(quán)一一十空頭看漲期權(quán)一十

33、一空頭看跌期權(quán)從表中可以看出，Gamma勺符號總是與Theta的符號相反。第四節(jié)Vega、RHCOf套期保值一、Vega與套期保值期權(quán)的Vega （）用于衡量該證券的價值對標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率的敏感度，它等于期 權(quán)價格對標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率（）的偏導(dǎo)數(shù)，即：（12.6）證券組合的值等于該組合中各證券的數(shù)量與各證券的值乘積的總和。證券組合的值越大，說明其價值對波動率的變化越敏感.標(biāo)的資產(chǎn)遠(yuǎn)期和期貨合約的Vega值等于零。對于無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)而言，S . T-t e 05d22應(yīng)該注意的是，上述值是卞!據(jù) Black-Scholes 期權(quán)定價公式（11.2 ）和（11.3 ）算出的，而

34、這兩個公式都假定為常數(shù)。因此上述這些公式都隱含著這樣的前提：波動率為常數(shù)情況下的期權(quán)價格與波動率是變量情況下的期權(quán)價格是相等的。顯然，這僅僅是一個近似的假定。從上述公式可以看出，值總是正的，但其大小取決于S、Tt、r和 。其中 值與S的關(guān)系與的關(guān)系很相似（如圖 12.9所示）。圖12.9期權(quán)的Vega值與S的關(guān)系由于證券組合的值只取決于期權(quán)的值。因此我們可以通過持有某種期權(quán)的多頭或空頭來改變證券組合的值。只要期權(quán)的頭寸適量，新組合的值就可以等于零，我們稱此時證券組合處于中性狀態(tài)。遺憾的是，當(dāng)我們調(diào)整期權(quán)頭寸使證券組合處于中性狀態(tài)時，新期權(quán)頭寸會同時改變證券組合的值，因此，若套期保值者要使證券組

35、合同時達(dá)到中性和 中性，至少要使用同一標(biāo)的資產(chǎn)的兩種期權(quán)。我們令p和p分別代表原證券組合的值和 值，1和2分別代表期權(quán)1和期權(quán)2的 值，1和2分別代表期權(quán)1和期權(quán)2的 值，w和W2分別代表為使新組合處于中性和中性需要的期權(quán)1和2的數(shù)量，則 w和W2可用下述聯(lián)立方程求得：p1w12w2 012.7p1W12W2 012.8例 12.4假設(shè)某個處于 Delta中性狀態(tài)的證券組合的值為6 000值為9 000 ,而期權(quán)1的值為0.8 ,值為2.2 , 值為0.9期權(quán)2的 值為1.0 , 值為1.6 ,值為0.6 ,求應(yīng)持有多少期權(quán)頭寸才能使該組合處于和中性狀態(tài)？根據(jù)式(12.7 )、(12.8)我們

36、有：6 000 0.8W1 1.0W2 09 000 2.2w1 1.6w2 0求解這個方程組得：w -6 522 , w -653。因此，我們因加入 6 522份第一種期權(quán)的空頭和653份第二種期權(quán)的空頭才能使該組合處于和中性狀態(tài)。加上這兩種期權(quán)頭寸后，新組合的值為-6 5220.9-653 0.6=-6 261.6 。因此仍需買入6 262 份標(biāo)的資產(chǎn)才能使該組合處于中性狀態(tài)。二、RHOf套期保值期權(quán)的RHOi于衡量期權(quán)價格對利率變化的敏感度，它等于期權(quán)價格對利率的偏導(dǎo)數(shù)：， frho (12.9)r對于無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)而言，rho X(T t)e r(T、口)對于無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)

37、而言，rho X(T t)e r(T t)N(d2) 1另外，期貨價格的rho值為：rho (T t)F標(biāo)的資產(chǎn)的rho值為0。因此我們可以通過改變期權(quán)或期貨頭寸來使證券組合處于rho中性狀態(tài)。第五節(jié) 交易費用與套期保值從前述的討論可以看出，為了保持證券組合處于、中性狀態(tài)，必須不斷調(diào)整組合。然而頻繁的調(diào)整需要大量的交易費用。因此在實際運用中， 套期保值者更傾向于使用、 、和rho等參數(shù)來評估其證券組合的風(fēng)險，然后根據(jù)他們對S、r、 未來運動情況的估計，考慮是否有必要對證券組合進(jìn)行調(diào)整。如果風(fēng)險是可接受的， 或?qū)ψ约河欣瑒t不調(diào)整，若風(fēng)險對自己不利且是不可接受的，則進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整。例 12.5假定

38、在5月份某種資產(chǎn)組合包含 10 000股A股票，資產(chǎn)組合的管理者決定將A股票的市場風(fēng)險降低一半，即要將頭寸的值從10 000轉(zhuǎn)換成5 000。有關(guān)的市場信息如表 12-3。表12-3A股票及其期權(quán)的信息股票價格33距7月份期權(quán)到期的天數(shù)66無風(fēng)險利率5%A股票的隱含波動率0.317月份到期的期權(quán)的價格和：協(xié)議價格為35的看漲期權(quán)的價格1.06協(xié)議價格為35的看漲期權(quán)的0.377協(xié)議價格為30的看跌期權(quán)的價格0.5協(xié)議價格為30的看跌期權(quán)的 0.196運用聯(lián)立方程，我們可以求出使期權(quán)交易現(xiàn)金支出為0的期權(quán)頭寸。從表中可以看出，供我們選擇的期權(quán)只有兩種，因為股票的為1,為了降低組合的，可以購買看跌

39、期權(quán)，同時為了降低保值成本，可以出售看漲期權(quán)來為購買看跌期權(quán)融資。具體的計算過程如下。假設(shè)X和Y分別為看漲期權(quán)和看跌期權(quán)合約的份數(shù)。那么我們的目標(biāo)是股票的看漲期權(quán)的+看跌期權(quán)的=5 000買入看跌期權(quán)的期權(quán)費支出-出售看漲期權(quán)的期權(quán)費收入=0即10 000 0.377X0.196Y 5 0000.5X 1.06Y 0解方程可得 X 6 305.17, Y 13 366.94。所以大約需要63份看漲期權(quán)和134份看跌期權(quán)?！颈菊滦〗Y(jié)】11 動態(tài)套期保值就是分別算出保值工具與保值標(biāo)的資產(chǎn)價值對一些共同的變量（如標(biāo)的資產(chǎn)價格、時間、標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率、無風(fēng)險利率等）的敏感度，這些敏感度分別用、 和

40、rho表示，然后通過建立適當(dāng)?shù)谋Ｖ倒ぞ叩念^寸，使保值組合處于、 和rho中性狀態(tài)。12 期權(quán)的Delta用于衡量期權(quán)價格對標(biāo)的資產(chǎn)市場價格變動的敏感度，它等于期權(quán)價格變化與標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的比率。13 當(dāng)證券組合中含有標(biāo)的資產(chǎn)、該標(biāo)的資產(chǎn)的各種期權(quán)和其他衍生證券的不同頭寸時，該證券組合的值就等于組合中各種資產(chǎn)值的總和(標(biāo)的資產(chǎn)相同的情形)。14 值為0的證券組合處于 Delta中性狀態(tài)。當(dāng)證券組合處于中性狀態(tài)時，組合的價值就不受標(biāo)的資產(chǎn)價格波動的影響，從而實現(xiàn)了套期保值。15 在不考慮交易費用并假設(shè)波動率為常數(shù)的情況下，運用標(biāo)的資產(chǎn)進(jìn)行 Delta中性套期保值的成本和效果就和買入了一個看漲期權(quán)多頭一樣。也就是說，套期保值的結(jié)果是：我們通過標(biāo)的資產(chǎn)構(gòu)成了一個“合成的期權(quán)頭寸”。16 期權(quán)的Theta ()用于衡量期權(quán)價格對時間變化的敏感度，是期權(quán)價格變化與時間變化的比率。17 期權(quán)的G