牛吃草問題例題答案

1、第十五講牛吃草問題【知識點歸納】： 英國科學家牛頓在他的普通算術一書中，有一道關于牛在牧場上吃草的問題，即牛在牧 場上 吃草，牧場上的草在不斷的、均勻的生長 . 后人把這類問題稱為牛吃草問題或叫做 “牛頓問題”. “牛吃草”問題主要涉及三個量： 草的數(shù)量、牛的頭數(shù)、時間 . 難點在于隨著時間的增長，草 也在按不 變的速度均勻生長，所以草的總量不定 . “牛吃草”問題是小學應用題中的難點 . 解“牛吃草”問題的主要依據(jù)：草的每天生長量不變； 每頭牛每天的食草量不變； 草的總量 =草場原有的草量 +新生的草量，其中草場原有的草量是一個固定值 新生的草量=每天生長量X天數(shù)同一片牧場中的“牛吃草”問題

2、，一般的解法可總結(jié)為： 設定 1頭牛 1天吃草量為“1” ;草的生長速度 =(對應牛的頭數(shù) X 較多天數(shù)一對應牛的頭數(shù) X 較少天數(shù)) + (較多天數(shù) -較少天 數(shù))；(3)原來的草量=對應牛的頭數(shù)X吃的天數(shù)-草的生長速度X吃的天數(shù)； 吃的天數(shù) =原來的草量 + (牛的頭數(shù) -草的生長速度) ;(5)牛的頭數(shù) =原來的草量 +吃的天數(shù) +草的生長速度 . “牛吃草”問題有很多的變例，像抽水問題、檢票口檢票問題等等，只有理解了“牛吃草” 問題的本質(zhì)和解題思路，才能以不變應萬變，輕松解決此類問題 .【典型例題】：類型一、一塊地的“牛吃草問題”【例 1】牧場上有一片勻速生長的草地，可供27頭牛吃 6

3、 周，或供 23 頭牛吃 9周，那么它可 供多少頭牛吃 18周？【解析】設 1 頭牛 1 周的吃草量為 T , 草的生長速度為( 23x9-27x6) +(9-6) = 15 , 原有草量為(27-15)x6 = 72 , 可供 72 + 18 + 15 = 19 (頭)牛吃 18 周練習一、有一塊勻速生長的草場，可供 12 頭牛吃 25天，或可供 24頭牛吃 10天. 那么它可供 幾頭牛吃 20天？【解析】設 1頭牛 1天的吃草量為 "1", 那么 25-10 = 15 天生長的草量為 12x25-24x10 = 60 , 所以每天 生長的草量為 60 + 15 = 4

4、；原有草量為：( 24-4)x10 = 200.20天里，草場共提供草 200 + 4x20 = 280 , 可以讓 280 + 20 = 14 頭牛吃 20天.【例 2】由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不生長，反而以固定的速度在減少. 已知某塊 草地上的草可供 20頭牛吃 5天，或可供 15頭牛吃 6天.照此計算，可以供多少頭牛吃 10天？【解析】設 1 頭牛 1 天的吃草量為“1”，那么每天自然減少的草量為：( 20x5-15x6)+(6-5)= 10, 原有草量為：( 20 + 10 )x5 = 150 ； 10 天吃完需要牛的頭數(shù)是： 150 + 10-10 = 5(頭).練習二、由

5、于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供 25頭牛吃 4天，或可供 16 頭牛吃 6天，那么可供多少頭牛吃 12天？【解析】設 1頭牛 1天吃的草為 "1 ”。牧場上的草每天自然減少 (25x4-16x6)4-(6-4) = 25 原來牧場有 草(25 + 2)x4 = 108 ,12天吃完需要牛的頭數(shù)是：108 + 12 - 2 = 7 （ 頭）或（108-12x2） + 12 = 7 （頭）類型二、一塊地的 “牛、羊吃草問題”【例3】一塊勻速生長的草地，可供 16頭牛吃20天或者供100只羊吃12天.如果一頭牛一天 吃草量等 于5只羊一

6、天的吃草量，那么這塊草地可供 10頭牛和75只羊一起吃多少天？【解析】設1頭牛1天的吃草量為“ T,由于一頭牛一天吃草量等于 5只羊一天的吃草量，所 以100只羊吃12天相當于20 頭牛吃12天.那么每天生長的草量為 (16x20-20x12) + (20-12) = 10,原有草量為：(16-10)x20 = 120.10頭牛和75只羊1天一起吃的草量，相當于 25頭牛一天吃的草量；25頭牛中，若有10頭 牛去吃每天生長的草，那么剩下的 15頭牛需要120 + 15 = 8 天可以把原有草量吃完，即這塊草地可供10頭牛和75只羊一起吃8天.練習三、有一片草場，草每天的生長速度相同。若14頭牛

7、30天可將草吃完，70只羊16天也 可將草吃完(4只羊一天的吃草量相當于 1頭牛一天的吃草量)。那么，17頭牛和20只羊多少天 可將草吃完？【解析】“4只羊一天的吃草量相當于1頭牛一天的吃草量”，所以可以設一只羊一天的食量為1,那么14頭牛30天吃了 14x4x30 = 1680 單位草量，而 70只羊16天吃了 16x70 = 1120 單 位草量， 所以草場在每天內(nèi)增加了 (1680-1120)+ (30-16) = 40 草量，原來的草量為 1120-40x16 = 480 草量，所以如果安排 17頭牛和20只羊，即每天食草 88草量，經(jīng)過480+ (88 - 40) = 10 天, 可

8、將草吃完。類型三、一塊地的“賣牛、牛吃草問題”【例4】有一牧場，17頭牛30天可將草吃完，19頭牛則24天可以吃完.現(xiàn)有若干頭牛吃了 6天后，賣 掉了 4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完問：原來有多少頭牛吃草(草均勻生長)？【解析】設1頭牛1天的吃草量為"1",那么每天生長的草量為(17x30-19x24) + (30-24) = 9 ,原有草量為：(17-9)x30 = 240.現(xiàn)有若干頭牛吃了 6天后，賣掉了 4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完，如果不賣掉這4頭牛，那么原有草量需增加 4x2 = 8才能恰好供這些牛吃8天，所以這些牛的頭 數(shù)為(240 + 8) + 8

9、+ 9 = 40 ( 頭).練習四、一片草地，可供 5頭牛吃30天，也可供4頭牛吃40天，如果4頭牛吃30天，又增加 了 2頭 牛一起吃，還可以再吃幾天？【解析】設1頭牛1天的吃草量為"1",那么每天生長的草量為(4x40-5x30) + (40-30) = 1, 原 有草量 為：(5-1)*30 = 120. 如果4頭牛吃30天，那么將會吃去 30天的新生長草量以及 90原有草量, 此時原有草量還剩120-90 = 30,而牛的頭數(shù)變?yōu)?,現(xiàn)在就相當于：“原 有草量30,每天生長 草量1,那么6頭牛吃幾天可將它吃完？”易得答案為：30 + (6 -1) = 6 ( 天).

10、類型四、多塊地的“牛吃草問題”【例5】 有三塊草地，面積分別為 5, 6,和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草薦地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問第三塊草地可供19頭 牛吃多少天？【解析】為了解決這個問題，只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來。即5, 6, 8=120這樣，第一塊5公頃可供11頭牛吃10天，120:5=24,變?yōu)?20公頃草地可供11 x 24=264 (頭)牛吃10天第二塊6公頃可供12頭牛吃14天，120:6=20,變?yōu)?20公頃草地可供12 x 20=240 (頭)牛吃14 天。120-8=15 。問題變成： 120公頃草地可供 19 x

11、15=285 ( 頭)牛吃幾天？ 因為草地面積相同，可忽略具體公頃數(shù)，原題可變?yōu)椋阂粔K草地勻速生長，可供 264 頭牛吃 10 天或供 240 頭牛吃 14天，那么可供 285 頭牛齒及 天？即 每天新長出的草： ( 240 x 14 264 x 10 ) - ( 14 10 ) =180 ( 份)草地原有草： ( 264 180 ) x 10=840 ( 份)可供 285 頭牛吃的時間： 840 - ( 285 180 ) =8 ( 天)答：第三塊草地可供 19頭牛吃 8 天。練習五、畫展 9 點開門，但早有人來排隊入場，從第一個觀眾來到時起，若每分鐘來的觀眾一 樣多， 如果開 3 個入場口

12、， 9 點 9 分就不再有人排隊；如果開 5 個入場口， 9 點 5 分就沒有人排 隊. 求第一個 觀眾到達的時間 .【解析】 如果把入場口看作為 “ ?！保_門前原有的觀眾為 “原有草量 ”，每分鐘來的觀眾為 “草 的 增長速度 ”，那么本題就是一個 “牛吃草 ”問題.設每一個入場口每分鐘通過 "1" 份人，那么 4 分鐘來的人為 3x9 - 5x5 = 2, 即 1 分鐘 來的人 為 2 + 4 = 0.5, 原有的人為： (3-O.5)x9 = 22.5. 這些人來到畫展，所用時間為 22.5 + 0.5 = 45 ( 分). 所以第一個觀眾到達的時間為 8點15分.

13、類型五、 “ 牛吃草問題 ”的變形【例 6- 只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進了一些水，水勻速進入船內(nèi).如果 10人淘水， 3小時淘完； 如5人淘水， 8小時淘完 . 如果要求 2小時淘完，要安排多少人淘水？【解析】 設 1人 1小時淘出的水量是 “ 1”，淘水速度是 (5x8- 10x3) + (8-3) = 2, 原有水量 (10-2)x3 = 24 ,要求 2小時淘完，要安排 24 + 2 + 2 = 14 人淘水練習六、一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進了一些水，現(xiàn)在水勻速進入船內(nèi)，如果6 人淘水 16 分鐘可以把水淘完，那么， 5 人淘水幾分鐘可以把水淘完？ 【解析】 設 1人 1分鐘淘出的水量是 &q

14、uot;1" , 40-16 = 24 分鐘的進水量為 的進水量為 24 + 24 = 1, 那么原有水量為： (3-1)x40 = 80. 5 ( 分鐘 ) 把水淘完 .3 人淘水 40 分鐘 可以淘完；3x40-6x16 = 24 , 所以每 分鐘人淘水需要 80 +(5 -1) = 20課堂強化訓練1、有一塊牧場，可供 10頭牛吃 20 天， 15頭牛吃 10天，則它可供 25頭牛吃多少天？答案.5一天長的份數(shù)： (10*20 - 15*10 ) / ( 20 - 10 ) = 5原有份數(shù)： 10*20 20*5 =100 份方程： 原有份數(shù) +天數(shù)*每天長的份數(shù) =頭數(shù)*天數(shù)

15、即：100 + 5X = 25X X =5 天2、有一塊牧場，可供 10 頭牛吃 20 天，15頭牛吃 10天，則它可供多少頭牛吃 4天?答案 303、有一片牧場，草每天都在勻速生長 (每天的增長量相等 ) ，如果放牧 24頭牛，則 6 天吃完 草，如果 放牧 21 頭牛，則 8 天吃完草，設每頭牛每天的吃草量相等，問：要使草永遠吃不完， 最多只能放牧幾 頭牛？假設 1 頭 1 天吃 1 個單位 24*6=144 21*8=168 168-144=24 每天長的草可供 24/2=12 頭牛吃 最多只能放 12 頭牛4、有一片小草地，每天草生長速度相同，這片草地可供5只羊吃 20天，或供 6只羊吃 15天, 如果 4只羊吃了 15 天后又增加 2 只羊。問：剩下的這片草地還可以吃多少天才能吃完？(5x20-6x15) ： (20-15) =25 x 20 -