風(fēng)箏飛行中的數(shù)學(xué)力學(xué)原理

1、精選文檔風(fēng)箏飛行中的數(shù)學(xué)力學(xué)原理摘要 紙花如雪滿天飛，嬌女秋千打四圍。 五色羅裙風(fēng)搖擺，好將蝴蝶斗春歸。放風(fēng)箏是一項古老而有意義的消遣活動，它的飛行也帶給了人們不少遐想，激發(fā)我們探究其中的數(shù)學(xué)力學(xué)原理。 風(fēng)箏上升時一個動態(tài)過程我們首先爭辯了讓風(fēng)箏上升的力學(xué)原理，風(fēng)箏在空中時，空氣會分為上下流層，此時通過風(fēng)箏下層的空氣受風(fēng)箏面的堵塞，空氣的流速減低，氣壓上升，風(fēng)箏就上揚，上層的空氣流通舒適，流速增加，致使氣壓降低，把風(fēng)箏吸揚上去。 風(fēng)箏的飛行是要受到風(fēng)的推力，這就讓我們想到了思考風(fēng)力的特征。通過空氣動力學(xué)的爭辯，進行與飛機的類比，我們得到風(fēng)箏所受風(fēng)力的特征是受空氣密度、升力系數(shù)、風(fēng)箏的橫截面積、

2、風(fēng)速的影響。并通過擬合得到了升力曲線。發(fā)覺在隨著迎角的增大，升力系數(shù)越大，但達到肯定程度后，升力系數(shù)趨于常數(shù)。之后，我們對風(fēng)箏和風(fēng)箏線分別進行了受力分析，爭辯其平衡狀態(tài)時的受力，認為風(fēng)箏在平衡時水平方向為勻加速運動，經(jīng)過分析，得到了高度和風(fēng)箏的受風(fēng)角度之間的函數(shù)關(guān)系，更加受力圖動態(tài)分析，發(fā)覺存在最大高度，使得假如連續(xù)放線，而幾乎不轉(zhuǎn)變風(fēng)箏的高度，只是在水平距離上越來越遠，并且當(dāng)受風(fēng)角度趨于水平常風(fēng)箏達到了最大高度，我們通過極限求解得到了最大高度h。風(fēng)箏的穩(wěn)定不僅僅是質(zhì)心運動的穩(wěn)定，還有運動方向的穩(wěn)定。所以我們又考慮了力矩平衡，對風(fēng)箏的穩(wěn)定狀態(tài)做進一步的分析。發(fā)覺風(fēng)箏受力的作用點的變化規(guī)律為迎角

3、增加時升力增量的作用點。關(guān)鍵詞：風(fēng)箏飛行 受力平衡 升力系數(shù) 參數(shù)檢驗 一、問題重述風(fēng)箏是我國最古老的一種民間藝術(shù)，是深受大家寵愛的消遣活動之一。在風(fēng)箏展翅于藍天之上時，激發(fā)我們思考風(fēng)箏飛行的原理，探究其中的奇特。隨著線放出的越來越長，線的自身重量的加大會使得風(fēng)箏為了保持平衡而轉(zhuǎn)變其受風(fēng)角度，線的重量和受風(fēng)角度有著明顯的關(guān)系，這使得我們思考其關(guān)系并探究是否存在一個最大的高度（或線長），使得假如連續(xù)放線，而幾乎不轉(zhuǎn)變風(fēng)箏的高度，只是在水平距離上越來越遠。二、問題分析風(fēng)箏受到風(fēng)的推動才能飛起來，而物體的運動轉(zhuǎn)變我們主要想通過考察風(fēng)箏其瞬時的平衡狀態(tài)下的受力狀況和力矩狀況，查找風(fēng)箏的受風(fēng)角度與線長的

4、關(guān)系。首先，我們爭辯風(fēng)箏上升的原理，再假定每一個瞬時其豎直方向都處于平衡狀態(tài)，通過對風(fēng)箏和風(fēng)箏線的受力分析，以及通過空氣動力學(xué)理論得到風(fēng)力的表達式，最終得到拉力與受風(fēng)角度以及線與水平方向夾角的關(guān)系，依據(jù)線性模型處理參數(shù)，將該函數(shù)關(guān)系具體化，來推導(dǎo)是否存在一個最大的高度，使若連續(xù)放線，風(fēng)箏的高度幾乎保持不變，而只是在水平方向上越走越遠。三、模型假設(shè)1.假定風(fēng)箏在各個時刻都在豎直方向近似處于平衡態(tài)。2.假定風(fēng)速恒定。3.假定風(fēng)箏的不同外形對該問題無較大影響。4.風(fēng)箏與線之間無摩擦力。5.忽視風(fēng)箏速度對空氣壓力的影響。6.假定重力加速度不隨高度變化。7.風(fēng)箏在達到穩(wěn)定狀態(tài)后水平方向為勻加速運動8.升

5、力系數(shù)為常數(shù)四、符號說明F空氣空氣總動力F拉繩對風(fēng)箏的拉力空氣動力與豎直線的夾角線與水平線的夾角空氣密度s風(fēng)箏橫截面積v風(fēng)速F人人的拉力m風(fēng)箏風(fēng)箏的質(zhì)量m線風(fēng)箏線的質(zhì)量GL 升力系數(shù)迎角五、模型的建立與求解5.1 風(fēng)箏上升的原理風(fēng)箏有各種各樣的秀麗外形，經(jīng)過爭辯發(fā)覺，雖然風(fēng)箏的外形對風(fēng)箏的受力和力矩平衡有影響，但各類風(fēng)箏的上升原理都是不變的，我們以平板狀的方形風(fēng)箏為例進行爭辯。風(fēng)箏升空，主要是靠風(fēng)的推力升揚于空中。風(fēng)箏的重量會使它往地面降落，之所以可以在空中漂移飛行，是受空氣的力氣支撐向上，這種力氣稱為揚力。風(fēng)箏在空中時，空氣會分為上下流層，此時通過風(fēng)箏下層的空氣受風(fēng)箏面的堵塞，空氣的流速減低

6、，氣壓上升，風(fēng)箏就上揚，上層的空氣流通舒適，流速增加，致使氣壓降低，把風(fēng)箏吸揚上去，揚力即是由這種氣壓之差才產(chǎn)生的。風(fēng)箏除受空氣的揚力之外，同時亦受到空氣往下壓的壓力，此壓力稱之為抗力，若抗力小于揚力時，風(fēng)箏才能飛行于空中所以風(fēng)箏提線的角度若放置下方時，抗力增加，風(fēng)箏只會往遠處飛揚，若放置上方時，揚力增加，抗力削減，風(fēng)箏才會往高處飄翔。圖2是平板狀的方形風(fēng)箏在空中穩(wěn)定時的受力示意圖。風(fēng)吹在風(fēng)箏表面上，產(chǎn)生一個垂直于風(fēng)箏面的力F空氣，這個力可以分解為水平方向的分力F2和豎直方向的分力F1。F2的作用是使風(fēng)箏遠離，F(xiàn)1即為揚力，同理，風(fēng)箏線的拉力T也可以分解為水平和豎直兩個分力F拉1、F拉2。G為

7、風(fēng)箏的重力。當(dāng)風(fēng)速較大時，力F較大，豎直方向滿足F1F拉2+G風(fēng)箏上升。此時應(yīng)當(dāng)將風(fēng)箏線放出，使水平方向滿足F2T1，風(fēng)箏遠離。風(fēng)箏上升到肯定高度和距離，風(fēng)箏線重力大大增加，使得拉力F拉大大增加，而且風(fēng)箏和豎直方向的角度減小，使得分力T2大大增加，當(dāng)達到F1-F拉2-G0時風(fēng)箏就不再上升，而是穩(wěn)定在空中。風(fēng)箏剛放飛時，地面四周風(fēng)速經(jīng)常較小，往往需要人為助跑來加大空氣動力F以滿足上升的條件，這里應(yīng)用了相對運動的原理。5.2 風(fēng)箏平衡的原理5.2.1受力平衡的分析當(dāng)風(fēng)箏飛行一段時間后，隨著風(fēng)力影響下風(fēng)箏飛行角度的變化，風(fēng)箏的風(fēng)行有漸漸趨向平衡的趨勢。下面想就這一趨勢進行數(shù)學(xué)力學(xué)原理上的爭辯。圖 1

8、風(fēng)箏線的受力首先我們對風(fēng)箏進行受力分析，在風(fēng)箏平衡時，其在豎直方向的加速度為0，依據(jù)牛頓其次定律：F人G繩F拉F拉G風(fēng)箏F 空氣圖 2風(fēng)箏的受力（1）F空氣cos=F拉sin+m風(fēng)箏gF空氣sin-F拉cos=m風(fēng)箏a1（2）對風(fēng)箏線進行受力分析 F拉cos-F人cos=m繩a2F拉sin-F人sin=m繩g由于風(fēng)箏與風(fēng)箏線在本過程中為整體的，他們的加速度相等，所以a1=a2（3）將（1）（2）方程組解出得到tan=F 拉 sin-m繩 gF拉cos-m繩a（4）將a代人后，可得tan=m風(fēng)箏F 拉 sin-m風(fēng)箏m繩 g（m繩+m風(fēng)箏）F拉cos-m繩F空sin 對于空氣對風(fēng)箏的力，我們運用

9、空氣動力學(xué)的原理進行簡潔爭辯，我們可以認為在空中飛行的風(fēng)箏是不動的，而空氣以同樣的速度流過風(fēng)箏。圖 3我們把風(fēng)箏飛行速度在參考平面上的投影與水平線之間的夾角，稱為迎角，用表示。類比于飛機的機翼進行分析，由上圖可知，機翼的壓強分布與迎角有關(guān)。在迎角為零時，上下表面雖然都受到吸力，但總的空氣動力合力F空氣并不等于零。隨著迎角的增加，上表面吸力漸漸變大，下表面由吸力變?yōu)閴毫?，于是空氣動力合力F空氣快速上升，與此同時，翼型上表面后緣的渦流區(qū)也漸漸擴大。在肯定迎角范圍內(nèi)，F(xiàn)空氣是隨著迎角的增加而上升的。但當(dāng)大到某一程度，再增加迎角，升力不但不增加反而快速下降，這種現(xiàn)象我們叫做“失速”。失速對應(yīng)的迎角就叫

10、做“臨界迎角”或“失速迎角”將其類比于風(fēng)箏，我們可以認為由于F空氣隨的變化而變化，它在垂直于迎面氣流方向上的分力F升也隨的變化而（5）F升=12GL0v2s 升力系數(shù)CL隨迎角變化的曲線稱為升力曲線（圖2.3.9）。（6）將其帶入（3）式，得到風(fēng)箏受風(fēng)角度與線的長度的初步函數(shù)關(guān)系tan=m風(fēng)箏F 拉 sin-m風(fēng)箏m繩 g（m繩+m風(fēng)箏）F拉cos-m繩12GLv2sin 圖 4升力系數(shù)曲線圖 5升力系數(shù)曲線（5）tan=F空氣cos-m風(fēng)箏g-m線gF空氣sin-m線a-m風(fēng)箏a 整理（4）式，將 m線 移到一邊，得到：（6）m線=tanF空氣sin-tanm風(fēng)箏a-F空氣cosatan-g

11、其中，m線= sl，為風(fēng)箏線的密度，s為線的橫截面積，l為線的長度。所以，又得到：l = tanF空氣sin-tanm風(fēng)箏a-F空氣coss（atan-g） （7） 5.2.2參數(shù)處理的用線性模型我們進行微元，假設(shè)每一t 時間內(nèi)的與是恒定的，成線性關(guān)系，水平加速度a隨時間不變的，即+=a=a0（7）可以將（6）式換成如下形式：l=msm繩=tanF空氣sin-tanm風(fēng)箏a-F空氣cosatan-g （8）=-m線=tan-F空氣sin-tan(-)m風(fēng)箏a-F空氣cosatan-g （9）sl=shsin(-) （10）h=sin(-)sm線 （11）將h和a0代入，可得到，h=sin(-)

12、stan-F空氣sin-tan(-)m風(fēng)箏a0-F空氣cosa0tan-g （12）當(dāng)趨于0時，h可能達到一個最大值，使得風(fēng)箏處于一個幾乎平衡的狀態(tài)。（13）hmax=lim0sin(-)stan-F空氣sin-tan(-)m風(fēng)箏a0-F空氣cosa0tan-g =sin(-tanm風(fēng)箏a0-F空氣+m風(fēng)箏g）s(a0tan-g) 若有相應(yīng)的數(shù)據(jù)，我們可以通過檢驗?zāi)M出參數(shù)，并利用另一部分數(shù)據(jù)進行靈敏性分析 5.2.3力矩平衡的分析還有利用類似于飛機垂直尾翼的原理，增加與風(fēng)箏平面垂直方向的投影面積的方法，其做法一般都實行使風(fēng)箏面翹起成孤形，如圖6所示，S1為風(fēng)箏有效的迎風(fēng)面積，S2為等效的垂直

13、尾翼面積。圖 6風(fēng)箏受力示意圖當(dāng)風(fēng)箏面以拉線方向為轉(zhuǎn)動軸順時針或逆時針方向轉(zhuǎn)動或搖擺時，兩側(cè)空氣將通過等效垂直尾翼面積產(chǎn)生對搖擺運動的阻力，同時迎面氣流也將產(chǎn)生對垂直尾翼面積的壓力，前者使搖擺減緩，后者產(chǎn)生回復(fù)力矩。當(dāng)風(fēng)箏在放飛時受到風(fēng)力后風(fēng)箏面會彎曲成弧形或用線將風(fēng)箏面事先拉成弧形，都是利用上述原理使風(fēng)箏姿勢穩(wěn)定。 圖 7當(dāng)氣流流過風(fēng)箏時，可以把作用在風(fēng)箏上的空氣動力F空氣分解為垂直其的法向力F空氣1和平行于翼弦的切向力F空氣2 (圖2.3.10)。我們規(guī)定使翼型抬頭的力矩為正，則空氣動力對F點的力矩可寫為（14）MyPF空氣1(xP-xF)F空氣 (xP-xF) 改用力矩系數(shù)的形式表示為（

14、15）cm=Myp12v2sc=F空氣12v2sxP-xFc=-cL(xP-xF) 式中和分別是壓力中心和任意點F到翼型前緣距離與弦長比的百分數(shù)不但影響F空氣的大小，同時還轉(zhuǎn)變其作用點(壓力中心)。為此，變換不同的迎角作試驗，求出各個迎角下對應(yīng)的升力系數(shù)CL和力矩系數(shù)Cm，畫出Cm與CL曲線，如圖7所示。由該圖可見，當(dāng)CL不太大時曲線近似呈直線，不同的F可得到不同的斜率。因此總能找到一點，其Cm幾乎不隨CL而變化，這樣的點在空氣動力學(xué)中稱之為焦點(或空氣動力中心)。由于升力增加時，升力對焦點的力矩不變，因此，焦點實質(zhì)上是迎角增加時升力增量的作用點。（16）（17） 可見壓力中心并非焦點，它是隨CL的增大而前移，并漸漸接近焦點。 六、模型的評價與推廣6.1模型的評價優(yōu)點1.我們運用空氣動力學(xué)，考慮了風(fēng)箏和飛機模型之間的聯(lián)系，使空氣對風(fēng)箏的影響更為精確，模型應(yīng)用更為廣泛。 2.考慮了受力平衡對風(fēng)箏水平運動的影響，和力矩對風(fēng)箏轉(zhuǎn)動平衡的影響，使飛機平衡的分析有多個維度。缺點：很多參數(shù)缺乏數(shù)據(jù)支撐，無法進行精確猜測。