方差---湘教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

1、湘教版七年級(jí)下冊(cè)湘教版七年級(jí)下冊(cè)有兩個(gè)女聲合唱隊(duì)，各由有兩個(gè)女聲合唱隊(duì)，各由5名隊(duì)員組成，她們的名隊(duì)員組成，她們的身高為（單位：厘米）：身高為（單位：厘米）：甲隊(duì)：甲隊(duì)：160，162，159，160，159乙隊(duì)：乙隊(duì)：180，160，150，150，160.如果單從隊(duì)員的身高考慮，哪隊(duì)的演出效果好？如果單從隊(duì)員的身高考慮，哪隊(duì)的演出效果好？不難算出每個(gè)隊(duì)的平均身高都是不難算出每個(gè)隊(duì)的平均身高都是160160厘米，但甲隊(duì)身高波動(dòng)小，乙隊(duì)身高厘米，但甲隊(duì)身高波動(dòng)小，乙隊(duì)身高波動(dòng)大，單從身高考慮，甲隊(duì)比較整波動(dòng)大，單從身高考慮，甲隊(duì)比較整齊，演出的效果會(huì)好一些齊，演出的效果會(huì)好一些 一組數(shù)據(jù)中的數(shù)

2、與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的偏離程度是數(shù)據(jù)的一個(gè)重要一組數(shù)據(jù)中的數(shù)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的偏離程度是數(shù)據(jù)的一個(gè)重要特征，它反映了一組數(shù)據(jù)的特征，它反映了一組數(shù)據(jù)的分散程度分散程度 如何反映一組數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的偏離程度？給定一組數(shù)據(jù)：如何反映一組數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的偏離程度？給定一組數(shù)據(jù)：3，3，4，6，8，9，9，其平均數(shù)是，其平均數(shù)是679986433這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)與平均數(shù)這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)與平均數(shù)6的偏差是：的偏差是：363363264066268369369將各個(gè)數(shù)與平均數(shù)的偏差相加，能否得到總偏差？將各個(gè)數(shù)與平均數(shù)的偏差相加，能否得到總偏差？ 03320233相加的結(jié)果為相加的結(jié)果為0，不能反映總

3、偏差，不能反映總偏差，這是因?yàn)槠钣姓胸?fù)，相加時(shí)正負(fù)這是因?yàn)槠钣姓胸?fù)，相加時(shí)正負(fù)相消，因而不能反映總偏差相消，因而不能反映總偏差你用什么方法可以反映總偏差的大??？你用什么方法可以反映總偏差的大??？但在今后的計(jì)算中，絕對(duì)值用起來不方便其實(shí)，一個(gè)但在今后的計(jì)算中，絕對(duì)值用起來不方便其實(shí)，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)的，一個(gè)數(shù)的平方也是非負(fù)的；并且數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)的，一個(gè)數(shù)的平方也是非負(fù)的；并且絕對(duì)值較大的數(shù)，它的平方也較大，因此這組數(shù)據(jù)的每絕對(duì)值較大的數(shù)，它的平方也較大，因此這組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差的平方也能反映這個(gè)數(shù)與平均數(shù)的一個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差的平方也能反映這個(gè)數(shù)與平均數(shù)的偏離程度偏離程度不

4、如先將各數(shù)與平均數(shù)之差平方，然后再相加，就不會(huì)不如先將各數(shù)與平均數(shù)之差平方，然后再相加，就不會(huì)出現(xiàn)正負(fù)相消的情況出現(xiàn)正負(fù)相消的情況：443320233222222可以考慮先取絕對(duì)值再相加可以考慮先取絕對(duì)值再相加 一組數(shù)據(jù)中的各數(shù)與其平均數(shù)的偏差的平方的一組數(shù)據(jù)中的各數(shù)與其平均數(shù)的偏差的平方的平均值，稱為這組數(shù)據(jù)的平均值，稱為這組數(shù)據(jù)的方差方差744例如，上面所給的一組數(shù)據(jù)的方差是例如，上面所給的一組數(shù)據(jù)的方差是我們將上面計(jì)算方差的過程用下面的表格來表示：我們將上面計(jì)算方差的過程用下面的表格來表示：數(shù)據(jù)編號(hào)數(shù)據(jù)編號(hào)1234567數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)3346899平均數(shù)平均數(shù)(3+3+4+6+8+9+9) 7

5、=6偏差偏差3320233偏差的平方偏差的平方9940499偏差平方和偏差平方和9+9+4+0+4+9+944方差方差744744 計(jì)算前面的實(shí)例中甲、乙兩個(gè)女聲合唱隊(duì)各隊(duì)隊(duì)員身高的方差，并計(jì)算前面的實(shí)例中甲、乙兩個(gè)女聲合唱隊(duì)各隊(duì)隊(duì)員身高的方差，并說明計(jì)算結(jié)果的實(shí)際意義說明計(jì)算結(jié)果的實(shí)際意義516015916016016015916016216016022222120501010020222222 . 151012022222乙隊(duì)隊(duì)員身高的方差是：乙隊(duì)隊(duì)員身高的方差是：516016016015016015016016016018022222 計(jì)算的結(jié)果表明：乙隊(duì)隊(duì)員身高的方差比甲隊(duì)隊(duì)員身高的方

6、差大得多，計(jì)算的結(jié)果表明：乙隊(duì)隊(duì)員身高的方差比甲隊(duì)隊(duì)員身高的方差大得多，即乙隊(duì)中各隊(duì)員的身高與她們的平均身高的偏差大，而甲隊(duì)中各隊(duì)員的身即乙隊(duì)中各隊(duì)員的身高與她們的平均身高的偏差大，而甲隊(duì)中各隊(duì)員的身高與她們的平均身高的偏差小，這說明乙隊(duì)的隊(duì)員高的高，矮的矮而甲隊(duì)高與她們的平均身高的偏差小，這說明乙隊(duì)的隊(duì)員高的高，矮的矮而甲隊(duì)隊(duì)員的身高比較整齊隊(duì)員的身高比較整齊解解甲、乙兩隊(duì)中，每隊(duì)隊(duì)員的平均身高都是甲、乙兩隊(duì)中，每隊(duì)隊(duì)員的平均身高都是160厘米，甲隊(duì)隊(duì)員身高的方差是：厘米，甲隊(duì)隊(duì)員身高的方差是：方差反映的是一組數(shù)據(jù)哪個(gè)方面的特征？方差反映的是一組數(shù)據(jù)哪個(gè)方面的特征？方差反映的是一組數(shù)據(jù)方差反

7、映的是一組數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的偏離程度，與其平均數(shù)的偏離程度，方差越小，數(shù)據(jù)越集中；方差越小，數(shù)據(jù)越集中；方差越大，數(shù)據(jù)越分方差越大，數(shù)據(jù)越分散散5名女籃球隊(duì)員的身高為（單位：厘米）名女籃球隊(duì)員的身高為（單位：厘米）193 182 187 174 189試求出這組數(shù)據(jù)的方差，并說明其具體含義試求出這組數(shù)據(jù)的方差，并說明其具體含義厘米185518917418718219351851891851741851871851821851932222242.8方差是每個(gè)隊(duì)員的身高與她們的平均身高的偏差的平方的平均值，它涉及方差是每個(gè)隊(duì)員的身高與她們的平均身高的偏差的平方的平均值，它涉及數(shù)據(jù)組中的每個(gè)數(shù)據(jù)，反映

8、了數(shù)據(jù)組與其平均數(shù)的偏離程度數(shù)據(jù)組中的每個(gè)數(shù)據(jù)，反映了數(shù)據(jù)組與其平均數(shù)的偏離程度平均身高：平均身高：方差：方差：解解1.一個(gè)小組有一個(gè)小組有8名同學(xué)，分別測(cè)量同一根繩名同學(xué)，分別測(cè)量同一根繩子的長度，測(cè)得的數(shù)據(jù)如下（單位：厘米）子的長度，測(cè)得的數(shù)據(jù)如下（單位：厘米）108.5， 110， 109.3108.9110.8 110.5 109.4 109.2（1）如何確定這根繩子的長度的近似值？）如何確定這根繩子的長度的近似值？（2）如何評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度？）如何評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度？2.一組數(shù)據(jù)的方差為一組數(shù)據(jù)的方差為0，這組數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？方差可以是負(fù)數(shù)嗎？有什么特點(diǎn)？方差可以

9、是負(fù)數(shù)嗎？為什么？為什么？一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)表示這組數(shù)據(jù)的一般水平一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)表示這組數(shù)據(jù)的一般水平或數(shù)據(jù)的集中位置，一組數(shù)據(jù)的方差是各數(shù)或數(shù)據(jù)的集中位置，一組數(shù)據(jù)的方差是各數(shù)據(jù)相對(duì)于它們的平均數(shù)的偏差的平方的平均據(jù)相對(duì)于它們的平均數(shù)的偏差的平方的平均數(shù)，方差的意義在于：它反映了一組數(shù)據(jù)的數(shù)，方差的意義在于：它反映了一組數(shù)據(jù)的分散或波動(dòng)的程度分散或波動(dòng)的程度 棉花纖維的平均長度是評(píng)價(jià)棉花質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)，但不棉花纖維的平均長度是評(píng)價(jià)棉花質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)，但不是唯一的指標(biāo)纖維越長的棉花紡成棉紗質(zhì)量越好，用來制成是唯一的指標(biāo)纖維越長的棉花紡成棉紗質(zhì)量越好，用來制成的棉織制品的質(zhì)量也越好但如果

10、一批棉花的纖維長的長、短的棉織制品的質(zhì)量也越好但如果一批棉花的纖維長的長、短的短，參差不齊，并不是好棉花，反之，纖維長度比較均勻、的短，參差不齊，并不是好棉花，反之，纖維長度比較均勻、整齊，才是質(zhì)量好的棉花，棉花纖維的長度是否均勻，可以用整齊，才是質(zhì)量好的棉花，棉花纖維的長度是否均勻，可以用方差來反映：方差越小，各種長度的纖維之間差別越小，棉花方差來反映：方差越小，各種長度的纖維之間差別越小，棉花的質(zhì)量越好和纖維的平均長度一樣，方差也是評(píng)價(jià)一批棉花的質(zhì)量越好和纖維的平均長度一樣，方差也是評(píng)價(jià)一批棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)質(zhì)量的重要指標(biāo)質(zhì)質(zhì) 量量 評(píng)評(píng) 估估如何評(píng)價(jià)一批棉花的質(zhì)量？如何評(píng)價(jià)一批棉花的質(zhì)量

11、？用加權(quán)平均計(jì)算棉花纖維長度的平均數(shù)：用加權(quán)平均計(jì)算棉花纖維長度的平均數(shù)：85. 435. 064 . 0525. 03用加權(quán)平均計(jì)算棉花纖維的方差：用加權(quán)平均計(jì)算棉花纖維的方差：3275. 135. 085. 464 . 085. 4525. 085. 43222答：這批棉花纖維的平均長度為答：這批棉花纖維的平均長度為4.85厘米，其方差為厘米，其方差為1.3275厘米厘米2纖維長度纖維長度3厘米厘米5厘米厘米6厘米厘米所占比率所占比率25%40%35%有一批棉花，其各種長度的纖維所占比例如表所示：有一批棉花，其各種長度的纖維所占比例如表所示：試求這批棉花纖維的平均長度與方差試求這批棉花纖維

12、的平均長度與方差解解 一臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)一種圓柱形零件，按設(shè)計(jì)要求，圓柱的直徑為一臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)一種圓柱形零件，按設(shè)計(jì)要求，圓柱的直徑為4040毫米由于毫米由于生產(chǎn)條件的限制和一些不確定的因素的影響，生產(chǎn)出來的每個(gè)零件的直徑不生產(chǎn)條件的限制和一些不確定的因素的影響，生產(chǎn)出來的每個(gè)零件的直徑不可能恰好都是可能恰好都是4040毫米，而是在毫米，而是在4040毫米的上、下波動(dòng)顯然，在正常生產(chǎn)的條毫米的上、下波動(dòng)顯然，在正常生產(chǎn)的條件下，這種波動(dòng)的程度不能太大，以保證零件的直徑合乎設(shè)計(jì)要求件下，這種波動(dòng)的程度不能太大，以保證零件的直徑合乎設(shè)計(jì)要求生產(chǎn)過程的控制生產(chǎn)過程的控制 我們知道，數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度可以通過方差

13、來反映，為了保證生產(chǎn)正常，我我們知道，數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度可以通過方差來反映，為了保證生產(chǎn)正常，我們可以通過測(cè)量產(chǎn)品直徑的方差對(duì)生產(chǎn)過程進(jìn)行監(jiān)控：例如，每隔一段時(shí)們可以通過測(cè)量產(chǎn)品直徑的方差對(duì)生產(chǎn)過程進(jìn)行監(jiān)控：例如，每隔一段時(shí)間從這段時(shí)間生產(chǎn)的產(chǎn)品中任意地取出間從這段時(shí)間生產(chǎn)的產(chǎn)品中任意地取出10件，測(cè)量它們的直徑得到一組數(shù)件，測(cè)量它們的直徑得到一組數(shù)據(jù)，計(jì)算出這組數(shù)據(jù)的方差，如果方差不超過預(yù)定的數(shù)量，則認(rèn)為生產(chǎn)正據(jù)，計(jì)算出這組數(shù)據(jù)的方差，如果方差不超過預(yù)定的數(shù)量，則認(rèn)為生產(chǎn)正常；否則，應(yīng)對(duì)生產(chǎn)過程進(jìn)行調(diào)整以恢復(fù)正常，保證產(chǎn)品質(zhì)量常；否則，應(yīng)對(duì)生產(chǎn)過程進(jìn)行調(diào)整以恢復(fù)正常，保證產(chǎn)品質(zhì)量8:309:30

14、4039.840.140.239.94040.240.239.839.810:0011:00404039.94039.940.24040.14039.9 對(duì)于我們的問題，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，在正常生產(chǎn)時(shí)直徑的方差應(yīng)對(duì)于我們的問題，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，在正常生產(chǎn)時(shí)直徑的方差應(yīng)不超過不超過0.010.01毫米毫米2 2，下表是某日，下表是某日8:308:309:309:30及及10:0010:0011:0011:00兩個(gè)時(shí)兩個(gè)時(shí)段中各任意抽取段中各任意抽取1010件產(chǎn)品量出的直徑的數(shù)值（單位：毫米）：件產(chǎn)品量出的直徑的數(shù)值（單位：毫米）：用計(jì)算器可以算出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是用計(jì)算器可以算出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)

15、都是4040（毫（毫米），能否根據(jù)平均長度等于設(shè)計(jì)長度就判斷生米），能否根據(jù)平均長度等于設(shè)計(jì)長度就判斷生產(chǎn)正常呢？產(chǎn)正常呢？如何對(duì)生產(chǎn)情況作出評(píng)價(jià)？如何對(duì)生產(chǎn)情況作出評(píng)價(jià)？雖然產(chǎn)品直徑的平均長度等于設(shè)計(jì)長度，雖然產(chǎn)品直徑的平均長度等于設(shè)計(jì)長度，但每件產(chǎn)品的直徑還是可能在平均數(shù)的上、但每件產(chǎn)品的直徑還是可能在平均數(shù)的上、下波動(dòng)，偏離平均數(shù)，所以還應(yīng)該進(jìn)一步下波動(dòng)，偏離平均數(shù)，所以還應(yīng)該進(jìn)一步考察方差，以了解數(shù)據(jù)波動(dòng)的情況考察方差，以了解數(shù)據(jù)波動(dòng)的情況8:308:309:309:30生產(chǎn)的生產(chǎn)的1010件產(chǎn)品的直徑的方差是件產(chǎn)品的直徑的方差是0.0260.026，遠(yuǎn)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過遠(yuǎn)超過0.010.01的界限，故生產(chǎn)情況不正常；經(jīng)過調(diào)整后，的界限，故生產(chǎn)情況不正常；經(jīng)過調(diào)整后，在在10:0010:0011:0011:00生產(chǎn)的生產(chǎn)的1010件產(chǎn)品的直徑的方差為件產(chǎn)品的直徑的方差為0.0080.008，已控制在已控制在0.010.01的范圍內(nèi)，說明生產(chǎn)過程已恢復(fù)正常的范圍內(nèi)，說明生產(chǎn)過程已恢復(fù)正常1.某企業(yè)對(duì)員工的工資情況進(jìn)行調(diào)查，他們將某企業(yè)對(duì)員工的工資情況進(jìn)行調(diào)查，他們將月工資分為月工資分為800元、元、1000元、元、1500元三個(gè)等級(jí)，元三個(gè)等級(jí)，每個(gè)等級(jí)職工人數(shù)占職工總數(shù)的比例分