方差---湘教版七年級數學下冊

1、湘教版七年級下冊湘教版七年級下冊有兩個女聲合唱隊，各由有兩個女聲合唱隊，各由5名隊員組成，她們的名隊員組成，她們的身高為（單位：厘米）：身高為（單位：厘米）：甲隊：甲隊：160，162，159，160，159乙隊：乙隊：180，160，150，150，160.如果單從隊員的身高考慮，哪隊的演出效果好？如果單從隊員的身高考慮，哪隊的演出效果好？不難算出每個隊的平均身高都是不難算出每個隊的平均身高都是160160厘米，但甲隊身高波動小，乙隊身高厘米，但甲隊身高波動小，乙隊身高波動大，單從身高考慮，甲隊比較整波動大，單從身高考慮，甲隊比較整齊，演出的效果會好一些齊，演出的效果會好一些 一組數據中的數

2、與這組數據的平均數的偏離程度是數據的一個重要一組數據中的數與這組數據的平均數的偏離程度是數據的一個重要特征，它反映了一組數據的特征，它反映了一組數據的分散程度分散程度 如何反映一組數據與其平均數的偏離程度？給定一組數據：如何反映一組數據與其平均數的偏離程度？給定一組數據：3，3，4，6，8，9，9，其平均數是，其平均數是679986433這組數據中的每個數與平均數這組數據中的每個數與平均數6的偏差是：的偏差是：363363264066268369369將各個數與平均數的偏差相加，能否得到總偏差？將各個數與平均數的偏差相加，能否得到總偏差？ 03320233相加的結果為相加的結果為0，不能反映總

3、偏差，不能反映總偏差，這是因為偏差有正有負，相加時正負這是因為偏差有正有負，相加時正負相消，因而不能反映總偏差相消，因而不能反映總偏差你用什么方法可以反映總偏差的大??？你用什么方法可以反映總偏差的大??？但在今后的計算中，絕對值用起來不方便其實，一個但在今后的計算中，絕對值用起來不方便其實，一個數的絕對值是非負的，一個數的平方也是非負的；并且數的絕對值是非負的，一個數的平方也是非負的；并且絕對值較大的數，它的平方也較大，因此這組數據的每絕對值較大的數，它的平方也較大，因此這組數據的每一個數與平均數的差的平方也能反映這個數與平均數的一個數與平均數的差的平方也能反映這個數與平均數的偏離程度偏離程度不

4、如先將各數與平均數之差平方，然后再相加，就不會不如先將各數與平均數之差平方，然后再相加，就不會出現正負相消的情況出現正負相消的情況：443320233222222可以考慮先取絕對值再相加可以考慮先取絕對值再相加 一組數據中的各數與其平均數的偏差的平方的一組數據中的各數與其平均數的偏差的平方的平均值，稱為這組數據的平均值，稱為這組數據的方差方差744例如，上面所給的一組數據的方差是例如，上面所給的一組數據的方差是我們將上面計算方差的過程用下面的表格來表示：我們將上面計算方差的過程用下面的表格來表示：數據編號數據編號1234567數據數據3346899平均數平均數(3+3+4+6+8+9+9) 7

5、=6偏差偏差3320233偏差的平方偏差的平方9940499偏差平方和偏差平方和9+9+4+0+4+9+944方差方差744744 計算前面的實例中甲、乙兩個女聲合唱隊各隊隊員身高的方差，并計算前面的實例中甲、乙兩個女聲合唱隊各隊隊員身高的方差，并說明計算結果的實際意義說明計算結果的實際意義516015916016016015916016216016022222120501010020222222 . 151012022222乙隊隊員身高的方差是：乙隊隊員身高的方差是：516016016015016015016016016018022222 計算的結果表明：乙隊隊員身高的方差比甲隊隊員身高的方

6、差大得多，計算的結果表明：乙隊隊員身高的方差比甲隊隊員身高的方差大得多，即乙隊中各隊員的身高與她們的平均身高的偏差大，而甲隊中各隊員的身即乙隊中各隊員的身高與她們的平均身高的偏差大，而甲隊中各隊員的身高與她們的平均身高的偏差小，這說明乙隊的隊員高的高，矮的矮而甲隊高與她們的平均身高的偏差小，這說明乙隊的隊員高的高，矮的矮而甲隊隊員的身高比較整齊隊員的身高比較整齊解解甲、乙兩隊中，每隊隊員的平均身高都是甲、乙兩隊中，每隊隊員的平均身高都是160厘米，甲隊隊員身高的方差是：厘米，甲隊隊員身高的方差是：方差反映的是一組數據哪個方面的特征？方差反映的是一組數據哪個方面的特征？方差反映的是一組數據方差反

7、映的是一組數據與其平均數的偏離程度，與其平均數的偏離程度，方差越小，數據越集中；方差越小，數據越集中；方差越大，數據越分方差越大，數據越分散散5名女籃球隊員的身高為（單位：厘米）名女籃球隊員的身高為（單位：厘米）193 182 187 174 189試求出這組數據的方差，并說明其具體含義試求出這組數據的方差，并說明其具體含義厘米185518917418718219351851891851741851871851821851932222242.8方差是每個隊員的身高與她們的平均身高的偏差的平方的平均值，它涉及方差是每個隊員的身高與她們的平均身高的偏差的平方的平均值，它涉及數據組中的每個數據，反映

8、了數據組與其平均數的偏離程度數據組中的每個數據，反映了數據組與其平均數的偏離程度平均身高：平均身高：方差：方差：解解1.一個小組有一個小組有8名同學，分別測量同一根繩名同學，分別測量同一根繩子的長度，測得的數據如下（單位：厘米）子的長度，測得的數據如下（單位：厘米）108.5， 110， 109.3108.9110.8 110.5 109.4 109.2（1）如何確定這根繩子的長度的近似值？）如何確定這根繩子的長度的近似值？（2）如何評價測量結果的準確程度？）如何評價測量結果的準確程度？2.一組數據的方差為一組數據的方差為0，這組數據，這組數據有什么特點？方差可以是負數嗎？有什么特點？方差可以

9、是負數嗎？為什么？為什么？一組數據的平均數表示這組數據的一般水平一組數據的平均數表示這組數據的一般水平或數據的集中位置，一組數據的方差是各數或數據的集中位置，一組數據的方差是各數據相對于它們的平均數的偏差的平方的平均據相對于它們的平均數的偏差的平方的平均數，方差的意義在于：它反映了一組數據的數，方差的意義在于：它反映了一組數據的分散或波動的程度分散或波動的程度 棉花纖維的平均長度是評價棉花質量的一個重要指標，但不棉花纖維的平均長度是評價棉花質量的一個重要指標，但不是唯一的指標纖維越長的棉花紡成棉紗質量越好，用來制成是唯一的指標纖維越長的棉花紡成棉紗質量越好，用來制成的棉織制品的質量也越好但如果

10、一批棉花的纖維長的長、短的棉織制品的質量也越好但如果一批棉花的纖維長的長、短的短，參差不齊，并不是好棉花，反之，纖維長度比較均勻、的短，參差不齊，并不是好棉花，反之，纖維長度比較均勻、整齊，才是質量好的棉花，棉花纖維的長度是否均勻，可以用整齊，才是質量好的棉花，棉花纖維的長度是否均勻，可以用方差來反映：方差越小，各種長度的纖維之間差別越小，棉花方差來反映：方差越小，各種長度的纖維之間差別越小，棉花的質量越好和纖維的平均長度一樣，方差也是評價一批棉花的質量越好和纖維的平均長度一樣，方差也是評價一批棉花質量的重要指標質量的重要指標質質 量量 評評 估估如何評價一批棉花的質量？如何評價一批棉花的質量

11、？用加權平均計算棉花纖維長度的平均數：用加權平均計算棉花纖維長度的平均數：85. 435. 064 . 0525. 03用加權平均計算棉花纖維的方差：用加權平均計算棉花纖維的方差：3275. 135. 085. 464 . 085. 4525. 085. 43222答：這批棉花纖維的平均長度為答：這批棉花纖維的平均長度為4.85厘米，其方差為厘米，其方差為1.3275厘米厘米2纖維長度纖維長度3厘米厘米5厘米厘米6厘米厘米所占比率所占比率25%40%35%有一批棉花，其各種長度的纖維所占比例如表所示：有一批棉花，其各種長度的纖維所占比例如表所示：試求這批棉花纖維的平均長度與方差試求這批棉花纖維

12、的平均長度與方差解解 一臺機床生產一種圓柱形零件，按設計要求，圓柱的直徑為一臺機床生產一種圓柱形零件，按設計要求，圓柱的直徑為4040毫米由于毫米由于生產條件的限制和一些不確定的因素的影響，生產出來的每個零件的直徑不生產條件的限制和一些不確定的因素的影響，生產出來的每個零件的直徑不可能恰好都是可能恰好都是4040毫米，而是在毫米，而是在4040毫米的上、下波動顯然，在正常生產的條毫米的上、下波動顯然，在正常生產的條件下，這種波動的程度不能太大，以保證零件的直徑合乎設計要求件下，這種波動的程度不能太大，以保證零件的直徑合乎設計要求生產過程的控制生產過程的控制 我們知道，數據的波動程度可以通過方差

13、來反映，為了保證生產正常，我我們知道，數據的波動程度可以通過方差來反映，為了保證生產正常，我們可以通過測量產品直徑的方差對生產過程進行監(jiān)控：例如，每隔一段時們可以通過測量產品直徑的方差對生產過程進行監(jiān)控：例如，每隔一段時間從這段時間生產的產品中任意地取出間從這段時間生產的產品中任意地取出10件，測量它們的直徑得到一組數件，測量它們的直徑得到一組數據，計算出這組數據的方差，如果方差不超過預定的數量，則認為生產正據，計算出這組數據的方差，如果方差不超過預定的數量，則認為生產正常；否則，應對生產過程進行調整以恢復正常，保證產品質量常；否則，應對生產過程進行調整以恢復正常，保證產品質量8:309:30

14、4039.840.140.239.94040.240.239.839.810:0011:00404039.94039.940.24040.14039.9 對于我們的問題，根據以往的經驗，在正常生產時直徑的方差應對于我們的問題，根據以往的經驗，在正常生產時直徑的方差應不超過不超過0.010.01毫米毫米2 2，下表是某日，下表是某日8:308:309:309:30及及10:0010:0011:0011:00兩個時兩個時段中各任意抽取段中各任意抽取1010件產品量出的直徑的數值（單位：毫米）：件產品量出的直徑的數值（單位：毫米）：用計算器可以算出兩組數據的平均數都是用計算器可以算出兩組數據的平均數

15、都是4040（毫（毫米），能否根據平均長度等于設計長度就判斷生米），能否根據平均長度等于設計長度就判斷生產正常呢？產正常呢？如何對生產情況作出評價？如何對生產情況作出評價？雖然產品直徑的平均長度等于設計長度，雖然產品直徑的平均長度等于設計長度，但每件產品的直徑還是可能在平均數的上、但每件產品的直徑還是可能在平均數的上、下波動，偏離平均數，所以還應該進一步下波動，偏離平均數，所以還應該進一步考察方差，以了解數據波動的情況考察方差，以了解數據波動的情況8:308:309:309:30生產的生產的1010件產品的直徑的方差是件產品的直徑的方差是0.0260.026，遠，遠遠超過遠超過0.010.01的界限，故生產情況不正常；經過調整后，的界限，故生產情況不正常；經過調整后，在在10:0010:0011:0011:00生產的生產的1010件產品的直徑的方差為件產品的直徑的方差為0.0080.008，已控制在已控制在0.010.01的范圍內，說明生產過程已恢復正常的范圍內，說明生產過程已恢復正常1.某企業(yè)對員工的工資情況進行調查，他們將某企業(yè)對員工的工資情況進行調查，他們將月工資分為月工資分為800元、元、1000元、元、1500元三個等級，元三個等級，每個等級職工人數占職工總數的比例分