高考第一輪溫習(xí)數(shù)學(xué)：7.6直線與圓的位置關(guān)系

1、百度文庫讓每個人平等地提升自我直線與圓的位置關(guān)系知識梳理直線和圓1 .直線和圓位置關(guān)系的判定方式一是方程的觀點(diǎn)，即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立成方程組，利用判別式4來討論位置關(guān)系.4>0,直線和圓相交.4=0,直線和圓相切.4V0,直線和圓相離.方式二是幾何的觀點(diǎn)，即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較.dVR,直線和圓相交.心R直線和圓相切.>R,直線和圓相離.2 .直線和圓相切，這種問題主如果求圓的切線方程.求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點(diǎn)兩種情況，算了知直線上一點(diǎn)又可分為已知圓上一點(diǎn)和圓外一點(diǎn)兩種情況.3 .直線和圓相交，這種問題主如果求弦長和弦的中點(diǎn)問

2、題.點(diǎn)擊雙基1.（2005年北京海淀區(qū)期末練習(xí)題）設(shè)心0,則直線及（x+y）+1+?=0與圓產(chǎn)+尸加的位置關(guān)系為B.相交D.相交或相切A.相切C.相切或相離解析：圓心到直線的距離為人二絲，圓半徑為曲.2V</-/-=+，U-Jm=+1）="（-Jm1）222直線與圓的位置關(guān)系是相切或相離.答案：c2.圓產(chǎn)+產(chǎn)一4計4.¥+6=0截直線1一廠5=0所得的弦長等于A.顯解析:圓心到直線的距離為一 2，半徑為血，弦長為2（拉）2-（耳）2 =".3答案：A3.（2004年全國卷川，4）圓+產(chǎn)一440在點(diǎn)p（L括）處的切線方程為+ >/3 y2=0+y/3y4

3、=0S y+2=0>/3y+4=0解法一：x2+y24x=Ov=Hk+Q=./4x+(kxk+6)2=0.該二次方程應(yīng)有兩相等實(shí)根，即4=0,解得女=、Ay6=(x1),即X>/3y+2=0.3解法二：;點(diǎn)(1,6)在圓爐+)，2一4=0上，點(diǎn)尸為切點(diǎn)，從而圓心與P的連線應(yīng)與切線垂直.又丁圓心為(2,0),-k=.2-1解得k=史，.切線方程為X-V3,y+2=0.答案：D4.(2004年上海，理8)圓心在直線2x-y-7=O上的圓(7與丁軸交于兩點(diǎn)A(0,4)、B(0,-2),則圓C的方程為.解析：圓。與y軸交于A(0,-4),B(0,-2),.由垂徑定理得圓心在產(chǎn)一3這條直線上

4、.又已知圓心在直線2x-y-l=0上，聯(lián)立7n解得戶2,2xy-/=(j.,圓心為(2,3),半徑=IACI=j22+-3-()2=y5.所求圓。的方程為(X2)2+("3)2=5.答案：(X-2)2+(y+3)2=55.若直線,v=x+k與曲線X=J1-/恰有一個公共點(diǎn)，則k的取值范圍是.解析：利用數(shù)形結(jié)合.答案：-1VLW1或匕:一四典例剖析【例1】已知圓/+產(chǎn)”-6聲9=0和直線A+2y-3=0交于P、Q兩點(diǎn)，且。尸_L。(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑.剖析：由于。尸_LOQ,所以如夕&o°=1,問題可解.解：將x=3-2y代入方程F+V+x6y+?

5、=0,得5y220)h-12+/?=0.設(shè)P(xi,yi)、Q(xz,y2)»則yi、”知足條件彳12+wyi+V2=4,yiy2=-J;OP±OQ,/.AiX2+yi)?2=0.而©=3-2yi，x2=3-2y2>/xiX2=9-6(yi+>'2)+4yjy2./.m=3t此時,>。,圓心坐標(biāo)為(一!»,3)半徑r=*.22評述：在解答中，咱們采用了對直線與圓的交點(diǎn)“設(shè)而不求”的解法技能，但必需注意這樣的交點(diǎn)是不是存在，這可由判別式大于零幫忙考慮.【例2】求通過兩圓(x+3)2+卡=13和始+(y+3)2=37的交點(diǎn)，且圓心在

6、直線1一歹一4=0上的圓的方程.剖析：按照已知，可通過解方程組I7x+3)2+y2=13tjt+(y+3)2=37得圓上兩點(diǎn)，由圓心在直線x-y4=0上，三個獨(dú)立條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程；也可按照已知，設(shè)所求圓的方程為(x+3)2+-13+4，+(y+3)237=0,再由圓心在直線x廠4H)上，定出參數(shù)人得圓方程.解：因?yàn)樗蟮膱A通過兩圓(x+3)4),2=13和9+()，+3)2=37的交點(diǎn)，所以設(shè)所求圓的方程為(x+3)2+y2-13+4f+(v+3)2-37=0.展開、配方、整理，得時急)三管十次aa)圓心為(一一-,一),代入方程x一廠4=0,得人=-7.I+AI+A1 7X9故

7、所求圓的方程為G+已)2+(V+-)2=.2 -22評述：圓Ci：x2+y2+Dx+Ey+F=0t圓C2：x1+yi2+D2x+Eiy+F2=0»若圓C】、。2相交，那么過兩圓公共點(diǎn)的圓系方程為(/+)2+。1工+£¥+人)+八(.F+V+Op+Eiv+B)=0(，l£R且人工一1).它表示除圓C2之外的所有通過兩圓G、C2公共點(diǎn)的圓.特別提示在過兩圓公共點(diǎn)的圖象方程中，若4=一1，可得兩圓公共弦所在的直線方程.【例3】已知圓C：(X1)2+(>*2)2=25>直線/：(2/n+l)x+(m+1)y7;n4=0(/nER).(1)證明：不論，

8、取什么實(shí)數(shù)，直線/與圓恒交于兩點(diǎn)：(2)求直線被圓C截得的弦長最小時,的方程.剖析：直線過定點(diǎn)，而該定點(diǎn)在圓內(nèi)，此題即可解得.(1)證明：/的方程(x+y4)+m(2x+y7)=0.出+y7=0,G=3,，£R，1什廠4:。，得七日，即/恒過定點(diǎn)A(3,1).:圓心C(1,2),MeI=V5<5(半徑)，.點(diǎn)A在圓。內(nèi)，從而直線/恒與圓。相交于兩點(diǎn).(2)解：弦長最小時，/_LAC,由依c=-l，2.*./的方程為2xy5=0.評述：若定點(diǎn)A在圓外，要使直線與圓相交則需要什么條件呢？思考討論-_求直線過定點(diǎn)，你還有別的辦法嗎?闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)L若圓G-3)解析：由 my-Gx-

9、Zy-lSW,得(x-3) 2+ (y-1) 2=25.知圓心為(3, 1), r=5.由點(diǎn)(3, 1)到直線x+2)=0的距離人上m二石.可得?弦長為2通，弦長為4答案：4755.自點(diǎn)A (3, 3)發(fā)出的光線/射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在的直線與 圓爐+爐一以一4)，+7=0相切，求光線/所在直線的方程.解：圓(x-2) 2+ (廠2) 2=1關(guān)于x軸的對稱方程是(x-2) 24- (y+2) 2=1,+(y+5)?=戶上有且只有兩個點(diǎn)到直線4*-3)=2的距離等于1,則半徑，的范圍是A.(4,6)B.4,6)C.(4,6D.4,6解析：數(shù)形結(jié)合法解.答案：A2. (2003年春

10、天北京)己知直線"x+y+c=0(MkWO)與圓片+2=1相切，則三條邊長別離為IaI、IbI、1cI的三角形A.是銳角三角形B.是直角三角形C.是鈍角三角形D.不存在解析：由題意得七=1=1,即/=加+科工由I”、|/川、屋|組成的三角形為直角三角形.答案：B3. (2005年春天北京，11)若圓,F+F+,幾X5=0與直線)一-1相切，且其圓心在y釉4的左側(cè)，則，的值為.解析：圓方程配方得(x+t)4)2='二1,圓心為(一3,0).242由條件知一'<0，即m>0.2又圓與直線y=-1相切，則。一(-1)=, 即12=3,:. 1=6答案：V34.

11、(2004年福建，13)直線x+2.v=0被曲線15=0所截得的弦長等于百度文庫讓每個人平等地提升自我設(shè)/方程為丁一3=（x+3）,由于對稱圓心（2,2）至心距離為圓的半徑1,從而可3 4得1=一，依=一式.故所求/的方程是3x+4y3=0或4x+3y+3=0.4 36.已知M（孫y0）是圓小+2:戶（/>0）內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線x（xr+yo尸之與此圓有何種位置關(guān)系？分析：比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小.2解：圓心O（0,0）到直線皿¥+）妙=/的距離為"=.,:.VP（Xo，yo）在圓內(nèi)，yjx：+y：<r.則有小心故直線和圓相離.培育能力7.方程,

12、后+«2-4（“一1）升4尸0表示圓，求的取值范圍，并求出其中半徑最小的圓的方程.解：（1）.“H0時，方程為b也二U2+2=乜"+2）oacr由于a2-2a+2>0恒成立，且時方程表示圓.、,cr2a+2r11)1n(2)廠=4刀=402(-Y+-a22.a=2時，rmin2=2.此時圓的方程為（X1）2+（y1）2=2.8.（文）求通過點(diǎn)A（-2,-4）,且與直線/：x+3y26=0相切于（8,6）的圓的方程.解：設(shè)圓為r+V+Ox+Ev+FR，依題意有方程組（3D-E=-36,2D+4E-F=20,8D+6E+F=-100.p）=-11：.<E=3,|f=

13、30.二圓的方程為x2+y21l.v+3y30=0.（理）已知點(diǎn)P是圓1+y2=4上一動點(diǎn)，定點(diǎn)。（4,0）.（1）求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)NP。的平分線交PQ于R,求R點(diǎn)的軌跡方程.解：（1）設(shè)PQ中點(diǎn)M（x,>，），則P（214,2y）,代入圓的方程得（x-2）2+y2=l.(2)設(shè) R (a-, y),IP/? I OP 1I I 1_ _IRQI - IOQ|"3設(shè)尸（?，），則有百度文庫讓每個人平等地提升自我，3x4m=，上-2代入/+產(chǎn)=4中，得+y2=(產(chǎn)0).(X-)2.3探討創(chuàng)新9.已知點(diǎn)尸到兩個定點(diǎn)M(1,O)、N(1,0)距離的比為、歷，點(diǎn)N到直

14、線PM的距離為1，求直線PN的方程.解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為a,V),由題設(shè)有TPN即J(x+1)2+),=&,yl(x-l)2+y2,整理得小+)26x+l=0.因?yàn)辄c(diǎn)N到PM的距離為1,IMM=2,所以NPA/V=30°,直線PM的斜率為±£3直線尸M的方程為產(chǎn)土包(x+1).將代入整理得儲-4x+l=0.解得ai=2+M,X2=2-.代入得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+途，1+退)或(2-的，-1+V3)；(2+V3,-1-V3)或(26»1途).直線PN的方程為廣氏一1或產(chǎn)一x+L思悟小結(jié)1 .直線和圓的位置關(guān)系有且僅有三種：相離、相切、相交.判定方式有兩

15、個：幾何法，比較圓心到直線的距離與圓的半徑間的大?。捍鷶?shù)法，看直線與圓的方程聯(lián)立所得方程組的解的個數(shù).2 .解決直線與圓的位置關(guān)系的有關(guān)問題，往往充分利用平面幾何中圓的性質(zhì)使問題簡化.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛L有關(guān)直線和圓的位置關(guān)系，一般要用圓心到直線的距離與半徑的大小來肯定.3 .當(dāng)直線和圓相切時，求切線方程一般要用圓心到直線的距離等于半徑，求切線長一般要用切線、半徑及圓外點(diǎn)與圓心連線組成的直角三角形：與圓相交時，弦長的計算也要用弦心距、半徑及弦長的一半組成的直角三角形.4 .有關(guān)圓的問題，注意圓心、半徑及平面幾何知識的應(yīng)用.5 .在肯定點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時，常常要用到距離，因此

16、，兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式等應(yīng)熟練掌握，靈活運(yùn)用.拓展題例【例1】已知圓的方程為爐+)2+辦+2.，+/=0,必然點(diǎn)為A(1,2),要使過定點(diǎn)A(1,2)作圓的切線有兩條，求”的取值范圍.解：將圓的方程配方得(肝2)()葉口三匕二，圓心C的坐標(biāo)為(一:，一1),242半徑。、歸身,條件是4-3層>0,過點(diǎn)A(1,2)所作圓的切線有兩條，則點(diǎn)A必在圓外，即J(l+1+(2+1)、化簡得a2+a+9>0.43tr>0>11V而計9>0,r2白),2出<a<,解之得<33依R.2右2右-«33故。的取值范圍是(-2,與).33例2已知。0方程為+,，2=4,定點(diǎn)A(4,0),求過點(diǎn)A且和。O相切的動圓圓心的軌跡.剖析：兩圓外切，連心線長等于兩圓半徑之和，兩圓內(nèi)切，連心線長等于兩圓半徑之差,由此可取得動圓圓心在運(yùn)動中所應(yīng)知足的幾何條件，然后將這個幾何條件坐標(biāo)化，即取得它的軌跡方程.解法一：設(shè)動圓圓心為尸G,>