管理運籌學_動態(tài)規(guī)劃

1、管管 理理 運運 籌籌 學學1第十章第十章 動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃1多階段決策過程最優(yōu)化問題舉例多階段決策過程最優(yōu)化問題舉例2基本概念、基本方程與最優(yōu)化原理基本概念、基本方程與最優(yōu)化原理3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)4動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(2)管管 理理 運運 籌籌 學學21 1多階段決策過程最優(yōu)化問題舉例多階段決策過程最優(yōu)化問題舉例例例1 最短路徑問題最短路徑問題 下圖表示從起點A到終點E之間各點的距離。求A到E的最短路徑。BACBDBCDEC4123123123221647248386756110643751管管 理理 運運 籌籌 學學31 1多階段決策過程最優(yōu)化問題舉例多階段決策

2、過程最優(yōu)化問題舉例用窮舉法的計算量用窮舉法的計算量: 如果從A到E的站點有k個，除A、E之外每站有3個位置則總共有3k-12條路徑； 計算各路徑長度總共要進行 (k+1) 3k-12次加法以及3k-12-1次比較。隨著 k 的值增加時，需要進行的加法和比較的次數(shù)將迅速增加； 例如當 k=20時，加法次數(shù)為 4.25508339662271015 次，比較 1.37260754729771014 次。若用1億次/秒的計算機計算需要約508天。管管 理理 運運 籌籌 學學41 1多階段決策過程最優(yōu)化問題舉例多階段決策過程最優(yōu)化問題舉例討論： 1、以上求從A到E的最短路徑問題，可以轉化為四個性質完全

3、相同，但規(guī)模較小的子問題，即分別從Di 、Ci、Bi、A到E的最短路徑問題。 第四階段：兩個始點D1和D2，終點只有一個； 表10-1分析得知：從D1和D2到E的最短路徑唯一。 階段4本階段始點（狀態(tài)）本階段各終點（決策）到E的最短距離本階段最優(yōu)終點（最優(yōu)決策) E D1 D2 10* 6 10 6 E E管管 理理 運運 籌籌 學學5 第三階段：有三個始點C1，C2，C3，終點有D1，D2，對始點和終點進行分析和討論分別求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路徑問題： 表10-2分析得知：如果經(jīng)過C1，則最短路為C1-D2-E； 如果經(jīng)過C2，則最短路為C2-D2-E； 如果經(jīng)過C3，則最短

4、路為C3-D1-E。 1 1多階段決策過程最優(yōu)化問題舉例多階段決策過程最優(yōu)化問題舉例 階段3本階段始點（狀態(tài)）本階段各終點（決策）到E的最短距離本階段最優(yōu)終點（最優(yōu)決策) D1 D2 C1 C2 C3 8+10=18 7+10=17 1+10=11 6+6=12 5+6=11 6+6=12 12 11 11 D2 D2 D1管管 理理 運運 籌籌 學學6第二階段：有4個始點B1,B2,B3,B4，終點有C1,C2,C3。對始點和終點進行分析和討論分別求B1,B2,B3,B4到C1,C2,C3 的最短路徑問題： 表10-3 分析得知：如果經(jīng)過B1，則走B1-C2-D2-E； 如果經(jīng)過B2，則走B

5、2-C3-D1-E； 如果經(jīng)過B3，則走B3-C3-D1-E； 如果經(jīng)過B4，則走B4-C3-D1-E。 1 1多階段決策過程最優(yōu)化問題舉例多階段決策過程最優(yōu)化問題舉例 階段2本階段始點（狀態(tài)） 本階段各終點（決策）到E的最短距離本階段最優(yōu)終點（最優(yōu)決策) C1 C2 C3 B1 B2 B3 B4 2+12=14 4+12=16 4+12=16 7+12=19 1+11=12 7+11=18 8+11=19 5+11=16 6+11=17 2+11=13 3+11=14 1+11=12 12 13 14 12 C2 C3 C3 C3管管 理理 運運 籌籌 學學7第一階段：只有1個始點A，終點有

6、B1,B2,B3,B4 。對始點和終點進行分析和討論分別求A到B1,B2,B3,B4的最短路徑問題： 表10-4最后，可以得到：從A到E的最短路徑為A B4 C3 D1 E1 1多階段決策過程最優(yōu)化問題舉例多階段決策過程最優(yōu)化問題舉例 階段1本階段始點(狀態(tài)) 本階段各終點（決策）到E的最短距離本階段最優(yōu)終點(最優(yōu)決策) B1 B2 B3 B4 A 4+12=16 3+13=163+14=172+12=14 12 C2管管 理理 運運 籌籌 學學8 以上計算過程及結果，可用圖2表示，可以看到，以上方法不僅得到了從A到D的最短路徑，同時，也得到了從圖中任一點到E的最短路徑。 以上過程，僅用了22

7、次加法，計算效率遠高于窮舉法。BACBDBCDEC412312312332164724838675161060106121111121314144B1275121 1多階段決策過程最優(yōu)化問題舉例多階段決策過程最優(yōu)化問題舉例管管 理理 運運 籌籌 學學9一、基本概念： 1、階段k：表示決策順序的離散的量，階段可以按時間或空間劃分。 2、狀態(tài)sk：能確定地表示決策過程當前特征的量。狀態(tài)可以是數(shù)量，也可以是字符，數(shù)量狀態(tài)可以是連續(xù)的，也可以是離散的。 3、決策xk：從某一狀態(tài)向下一狀態(tài)過渡時所做的選擇。決策是所在狀態(tài)的函數(shù)，記為xk(sk)。 決策允許集合Dk(sk)：在狀態(tài)sk下，允許采取決策的全

8、體。 4、策略Pk,n(sk)：從第k階段開始到最后第n階段的決策序列，稱k子策略。P1,n(s1)即為全過程策略。 5、狀態(tài)轉移方程 sk+1=Tk(sk, xk)：某一狀態(tài)以及該狀態(tài)下的決策，與下一狀態(tài)之間的函數(shù)關系。2 2基本概念、基本方程與最優(yōu)化原理基本概念、基本方程與最優(yōu)化原理管管 理理 運運 籌籌 學學10 6、階段指標函數(shù)vk(sk, xk)：從狀態(tài)sk出發(fā)，選擇決策xk所產生的第k階段指標。 過程指標函數(shù)Vk,n(sk, xk, xk+1, xn)：從狀態(tài)sk出發(fā)，選擇決策xk, xk+1, , xn所產生的過程指標。動態(tài)規(guī)劃要求過程指標具有可分離性，即 Vk,n(sk, xk

9、, xk+1, , xn) = vk(sk, xk)+Vk+1(sk+1, xk+1, , xn)稱指標具有可加性，或 Vk,n(sk, xk, xk+1, , xn) = vk(sk, xk)Vk+1(sk+1, xk+1, , xn)稱指標具有可乘性。二、基本方程： 最優(yōu)指標函數(shù)fk(sk)：從狀態(tài)sk出發(fā)，對所有的策略Pk,n，過程指標Vk,n的最優(yōu)值，即 ),()(,)(nkknksDxkkPsVsfoptkkk2 2基本概念、基本方程與最優(yōu)化原理基本概念、基本方程與最優(yōu)化原理管管 理理 運運 籌籌 學學11 對于可加性指標函數(shù)，上式可以寫為 上式中“opt”表示“max”或“min”

10、。對于可乘性指標函數(shù)，上式可以寫為 以上式子稱為動態(tài)規(guī)劃最優(yōu)指標的遞推方程，是動態(tài)規(guī)劃的基本方程。 終端條件：為了使以上的遞推方程有遞推的起點，必須要設定最優(yōu)指標的終端條件，一般最后一個狀態(tài)n+1下最優(yōu)指標fn+1(sn+1) = 0。nksfxsvsfkkkkksDxkkoptkkk, 2 , 1)(),()(11)(nksfxsvsfkkkkksDxkkoptkkk, 2 , 1)(),()(11)(2 2基本概念、基本方程與最優(yōu)化原理基本概念、基本方程與最優(yōu)化原理管管 理理 運運 籌籌 學學12三、最優(yōu)化原理三、最優(yōu)化原理 作為整個過程的最優(yōu)策略具有如下性質： 不管在此最優(yōu)策略上的某個狀

11、態(tài)以前的狀態(tài)和決策如何，對該狀態(tài)來說，以后的所有決策必定構成最優(yōu)子策略。就是說，最優(yōu)策略的任意子策略都是最優(yōu)的。2 2基本概念、基本方程與最優(yōu)化原理基本概念、基本方程與最優(yōu)化原理管管 理理 運運 籌籌 學學13一、資源分配問題一、資源分配問題 例2. 某公司擬將某種設備5臺，分配給所屬的甲、乙、丙三個工廠。各工廠獲得此設備后，預測可創(chuàng)造的利潤如表10-5所示，問這5臺設備應如何分配給這3個工廠，使得所創(chuàng)造的總利潤為最大？ 表10-5 盈利 工廠設備臺數(shù) 甲 廠 乙 廠 丙 廠 0 0 0 0 1 3 5 4 2 7 10 6 3 9 11 11 4 12 11 12 5 13 11 123 3

12、 動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)(1)管管 理理 運運 籌籌 學學14解：將問題按工廠分為三個階段，甲、乙、丙三個廠分別編號為1、2、3廠。設 sk= 分配給第k個廠至第3個廠的設備臺數(shù)（k=1、2、3）。 xk=分配給第k個設備臺數(shù)。 已知s1=5, 并有 從與的定義，可知以下我們從第三階段開始計算。222223),(xsxsTskskx33xs 3 3 動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)111112),(xsxsTs管管 理理 運運 籌籌 學學15 第三階段: 顯然將臺設備都分配給第3工廠時，也就是時，第3階段的指標值（即第3廠的盈利）為最大，即 由于第3階段是最后的階段，故有 其中可

13、取值為0,1,2,3,4,5。其數(shù)值計算見表106。 )5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0(33ss).,(),(max)(333333333ssrxsrsfx3x),(),(max3333333ssrxsrx3 3 動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)33xs 管管 理理 運運 籌籌 學學16 表表106 012345000014 4126623111134121245121253x3s),(333xsr)(33sf3*x3 3 動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)管管 理理 運運 籌籌 學學17 其中表示取3子過程上最優(yōu)指標值時的決策，例如在表10-6中可知當=4時，有有此時，即當時，

14、此時?。ò?臺設備分配給第3廠）是最優(yōu)決策，此時階段指標值（盈利）為12，最優(yōu)3子過程最優(yōu)指標值也為12。 第二階段： 當把臺設備分配給第2工廠和第3工廠時，則對每個值，有一種最優(yōu)分配方案，使最大盈利即最優(yōu)2子過程最優(yōu)指標函數(shù)值為 3*x)(33sf3x3s;12)4 , 4(3r,12)4(3f43*x43s43x)5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0(22ss2s)(),(max)(33222222sfxsrsfx3 3 動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)管管 理理 運運 籌籌 學學18因為上式也可寫成其數(shù)值計算如表107所示。表107 , 223xss0123450 00104 5

15、1206 54 1023011 56 110 1424012 114110 161,25012 512 116114 1102122x2s)(),(233222xsfxsr)(22sf2*x00050104101156101110)(),(max)(223222222xsfxsrsfx3 3 動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)管管 理理 運運 籌籌 學學19 其中在的這一行里，當時，這里從表105中可知，把1臺設備交給乙廠所得盈利數(shù)即可，知，這里從表106查即可知=11。同樣可知當時，可知 ;當時，；當時，；當時， ；由于，不可能分2廠5臺設備，故時，欄空著不填。從這些數(shù)值中取得最大即得，即有

16、=16。在此行中我們在取最大值的 上面加一橫以示區(qū)別，也可知這時的最優(yōu)決策為1或2。42s12x16115) 3() 1 , 4() 14() 1 , 4()(),(3232223222frfrxsfxsr) 1 , 4(2r5) 1 , 4(2r)3()14(33ff)3(3f) 3(3f22x16610)2()2 , 4()24()2 , 4()(),(3232223222frfrxsfxsr02x12120)04()0 , 4(32 fr32x411)34()3 , 4(32 fr42x11011)44()4 , 4(32 fr42s52x)54()5 , 4(32 fr)4(2f)4(

17、2f)(),(223222xsfxsr2x3 3 動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)管管 理理 運運 籌籌 學學20第一階段：把臺設備分配給第1，第2，第3廠時，最大盈利為其中可取值0,1,2,3,4,5.數(shù)值計算見表108 表10-8 然后按計算表格的順序推算，可知最優(yōu)分配方案有兩個： 1.由于，根據(jù)，查表107可知，再由 ，求得。即分配給甲廠0臺，乙廠2臺，丙廠3臺。 2.由于，根據(jù) ，查表107可 )5(11ss),5(), 5(max)5(111111xfxrfx1x0123455 316 9+10 12+5 13+0 21 0,21x1s)5(), 5(1211xfxr210147)

18、(1xf1*x01*x5051*12xss02*x3252*23xss333* sx21*x3251*12xss3 3 動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)管管 理理 運運 籌籌 學學21知，再由 ,求得，即分配給甲廠2臺，乙廠2臺，丙廠1臺。這兩種分配方案都能得到最高的總盈利21萬元。 22*x1232*23xss133* sx3 3 動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)管管 理理 運運 籌籌 學學22二、背包問題二、背包問題 設有n種物品，每一種物品數(shù)量無限。第i種物品每件重量為wi公斤，每件價值ci元?，F(xiàn)有一只可裝載重量為W公斤的背包，求各種物品應各取多少件放入背包，使背包中物品的價值最高。

19、 這個問題可以用整數(shù)規(guī)劃模型來描述。設xi為第i種物品裝入背包的件數(shù)（i =1, 2, , n），背包中物品的總價值為z，則 Max z = c1x1+c2x2+ +cnxn s.t. w1x1+w2x2+wnxnW x1, x2, , xn0 且為整數(shù)。3 3 動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)管管 理理 運運 籌籌 學學23 下面用動態(tài)規(guī)劃逆序解法求解它。設階段變量k：第k次裝載第k種物品（k=1, 2, , n）狀態(tài)變量sk：第k次裝載時背包還可以裝載的重量；決策變量uk = xk：第k次裝載第k種物品的件數(shù)；決策允許集合：Dk(sk) = xk | 0 xksk/wk，xk為整數(shù)；狀態(tài)

20、轉移方程： sk+1 = sk wkxk；階段指標： vk = ckxk；最優(yōu)過程指標函數(shù)fk(sk)：第k到n階段容許裝入物品的最大使用價值；遞推方程： fk(sk) = max ckxk+fk+1(sk+1) = max ckxk+fk+1(sk wkxk)； xDk(sk) 終端條件： fn+1(sn+1) = 0。3 3 動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)管管 理理 運運 籌籌 學學24例3.某咨詢公司有10個工作日可以去處理四種類型的咨詢項目，每種類型的咨詢項目中待處理的客戶數(shù)量、處理每個客戶所需工作日數(shù)以及所獲得的利潤如表109所示。顯然該公司在10天內不能處理完所有的客戶，它可以

21、自己挑選一些客戶，其余的請其他咨詢公司去做，應如何選擇客戶使得在這10個工作日中獲利最大？ 表109 咨詢項目類型待處理客戶數(shù)處理每個客戶所需工作日數(shù)處理每個客戶所獲利潤1234432213472811203 3 動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)管管 理理 運運 籌籌 學學25解：用動態(tài)規(guī)劃來求解此題。我們把此問題分成四個階段，第一階段我們決策將處理多少個第一種咨詢項目類型中的客戶，第二階段決策將處理多少個第二種咨詢項目類型中的客戶，第三階段、第四階段我們也將作出類似的決策。我們設分配給第k種咨詢項目到第四種咨詢項目的所有客戶的總工作日（第k階段的狀態(tài)變量）。 =在第k種咨詢項目中處理客戶的

22、數(shù)量（第k階段的決策變量）。已知10并有 kx1s,),(111112xsxsTsks3 3 動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)管管 理理 運運 籌籌 學學26 并從與的定義可知從第四階段開始計算：顯然將個工作日盡可能分配給第四類咨詢項目，即時，第四階段的指標值為最大，其中，表示取不大于的最大整數(shù)，符號為取整符號，故有由于第四階段是最后的階段，故有,3),(222223xsxsTs.4),(333334xsxsTskskx447xs 4s)10, 1 , 0(4s7/44sx 7/4s7/4s ).7/,(),(max4444444ssrxsrx),7/,(),(max)(4444*44444

23、ssrxsrsfx3 3 動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)管管 理理 運運 籌籌 學學27因為至多為10，其數(shù)值計算見表1010。 表表10104s01000100200300400500600702018020190201100114x4s),(444xsr)(44sf4*x0000000202020203 3 動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)管管 理理 運運 籌籌 學學28第三階段：當把個工作日分配給第四類和第三類咨詢項目時，則對每個值，都有一種最優(yōu)分配方案，使其最大盈利即最優(yōu)3子過程最優(yōu)指標函數(shù)值為 因為因為至多為10，所以的取值可為0,1,2。其數(shù)值計算見表1011。)10, 3

24、, 2 , 1 , 0(33ss3s. )(),(max)(33222222sfxsrsfx2233xss. )4(),(max)(334333333xsfxsrsfx3s3x3 3 動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)管管 理理 運運 籌籌 學學29 表表1011 0 1 2000 1 00 200 300 40011 1 50011 1 60011 1 7 11+0 20 0 8020 11+0 22 2 9020 11+0 22 2 10020 11+0 22 23x3s)4(),(334333xsfxsr)(33sf3*x000000200011011011022022022003 3

25、動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)管管 理理 運運 籌籌 學學30 第二階段： 同樣以每個值都有一種最優(yōu)分配方案，使其最大盈利即最優(yōu)2子過程最優(yōu)指標函數(shù)值為：因為，故有因為至多為10，所以的取值為0,1,2,3。其數(shù)值計算見表1012。. )3(),(max)(223222222xsfxsrsfx2233xss. )3(),(max)(223222222xsfxsrsfx2s2x2s3 3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)管管 理理 運運 籌籌 學學313 3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1) 表表10-12管管 理理 運運 籌籌 學學32 第一階段： 我們已知，又因為 ，同樣有 因為 ,故可

26、取值為0,1,2, ,10。其數(shù)值計算見表1013。 表1013101s. )(),(max)(112111111xsfxsrsfx112xss.)10(),10(max)10(121111xfxrfx101s1x3 3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1) 管管 理理 運運 籌籌 學學33 從表1013可知，從而得10010，在表1012的的這一行可知，由，查表1011的的這一行可知，最后由，查表10-10的的這一行得，綜上所述得最優(yōu)解為：此時最大盈利為28。現(xiàn)在我們不妨假設該咨詢公司的工作計劃有所改變，只有8個工作日來處理這四類咨詢項目，那么該咨詢公司如何選擇客戶使得獲利最大呢？我們不必從頭開

27、始重做這個問題，而只要在第一階段上把改成8，重新計算就可得到結果，如表1014所示，這是動態(tài)規(guī)劃的一個好處。28)10(1f01*x1*210 xs102s12*x731032*23xss73s03*x7073*34xss74s14*x0, 1, 03*2*1*xxx, 14*x4s3 3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1) 管管 理理 運運 籌籌 學學34表1014如上一樣可從表1014,1012,1011,1010得到兩組最優(yōu)解如下：它們的最優(yōu)解（即最大盈利）都為22。一旦咨詢的工作日不是減少而是增加，那么我們不僅要重新計算第一階段，而且要在第二、第三、第四階段的計算表上補上增加的工作日的新

28、的信息，也可得到新的結果。3042)4321xxxx1001)4*3*2*1*xxxx3 3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1) 管管 理理 運運 籌籌 學學35 實際上，背包問題我們也可以用整數(shù)規(guī)劃來求解，如果背包攜帶物品重量的限制為W公斤，這N種物品中第i種物品的重量為，價值為，第i種物品的總數(shù)量的，我們可以設表示攜帶第i種物品的數(shù)量，則其數(shù)學模型為：S.T. 且為整數(shù)。 我們不妨用此模型去求解例3，也一定得出同樣的結果。iwicinix,max1Niiixcf0), 2 , 1(1iiiNiiixNinxWxw3 3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1) 管管 理理 運運 籌籌 學學36三、生

29、產與存貯問題 例4.某公司為主要電力公司生產大型變壓器，由于電力采取預訂方式購買，所以該公司可以預測未來幾個月的需求量。為確保需求，該公司為新的一年前四個月制定一項生產計劃，這四個月的需求如表1015所示。生產成本隨著生產數(shù)量而變化。調試費為4，除了調度費用外，每月生產的頭兩臺各花費為2，后兩臺花費為1。最大生產能力每月為4臺，生產成本如表1016所示。表10153 3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1) 管管 理理 運運 籌籌 學學37 表表1016每臺變壓器在倉庫中由這個月存到下個月的儲存費為1，倉庫的最大儲存能力為3臺，另外，知道在1月1日時倉庫里存有一臺變壓器，要求在4月30日倉庫的庫存

30、量為零。試問該公司應如何制定生產計劃，使得四個月的生產成本和儲存總費用最少？解：我們按月份來劃分階段，第i個月為第i階段：（i=1,2,3,4). 設 為第k階段期初庫存量； k=1,2,3,4 ks3 3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1) 管管 理理 運運 籌籌 學學38為第k階段生產量； k=1,2,3,4為第k階段需求量； k=1,2,3,4，這已在表10-15中告訴我們。因為下個月的庫存量等于上個月的庫存量加上上個月的產量減去上個月的需求量，我們就得到了如下狀態(tài)轉移方程：因為，故有因為，故有kxkd, 1112dxss11s, 1121dxs, 2223dxss, 3334dxss,

31、4445dxss05s, 4440dxs3 3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1) 管管 理理 運運 籌籌 學學39由于必須要滿足需求，則有通過移項得到 另一方面，第k階段的生產量必不大于同期的生產能力（4臺），也不大于第k階段至第四階段的需求之和與第k階段期初庫存量之差，否則第k階段的生產量就要超過從第k階段至第四階段的總需求，故有以下我們從第四階段開始計算：從以上的狀態(tài)轉移方程可知這樣就有),4, 3 ,2, 1(,kdxskkkkkksdxkx44 ,)(minkikiksdx,0444dxs,34444ssdx)3 ,(),(min)(444444444ssrxsrsfx3 3動態(tài)規(guī)劃的

32、應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1) 管管 理理 運運 籌籌 學學40 這里的階段指標可以分成兩部分，即生產成本與儲存費，即為 由于第四階段末要求庫存為零，即有，這樣可得 對于每個的可行值，的值列于表1017。 表1017),(nnnxsr),()(),(nnnnnnnnxshxcxsr001),(444xsh)3()3 ,()3()3 ,()(444444444444scsshscssrsf4s)(44sf3 3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1) 管管 理理 運運 籌籌 學學41表中當時，可知第四階段要生產臺，從表1016可知總成本為9，同樣可以算出當為1,2,3時的情況，結果已列于表1017中。第三階

33、段：此時有：因為以及所以有例如，當?shù)谌A段初庫存量時，生產量為2時，則所以生產成本為8，第三階段末庫存為2時，儲存費為，而04s3344sx4s)(1)(),()(),(3333333333333dxsxcxshxcxsr,3334dxss, 13d)() 1(1)(min)(443333)4,4min(133333sfxsxcsfsxs) 1() 1(1)(min3343333)4,4min(1333xsfxsxcsxs13s3x2121333dxs221),2()()(4333444fdxsfsf3 3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1) 管管 理理 運運 籌籌 學學42查1017表可知，這

34、樣可知，填入表1018中的欄內，其他結果如表1018所示 ： 表1018 第二階段：因為所以有6) 2 (4f,16628)2()2 , 1 (43 fr2, 133xs, 422232dxssd3 3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1) 管管 理理 運運 籌籌 學學43 計算結果如表1019所示。 表1019 )(),(min)(33222)4,8min(422222sfxsrsfsxs)(),()(min3322222)4,8min(4222sfxshxcsxs)()(1)(min222322222)4,8min(4222dxsfdxsxcsxs)4()4(1)(min2232222)4,8

35、min(4222xsfxsxcsxs3 3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1) 管管 理理 運運 籌籌 學學44第一階段：因為故有計算結果見表1020。 表1020, 1, 2211111sdxssd)(),(min) 1 ()(22111411111sfxsrfsfx)21 ()21 (1)(min12111411xfxxcx3 3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1) 管管 理理 運運 籌籌 學學45利用遞推關系可以從表1020，表1019，表1018和表1017得到兩組最優(yōu)解： 這時有最低總成本29。0441)4321xxxx3042)4321xxxx3 3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1)

36、管管 理理 運運 籌籌 學學463 3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1) 四、系統(tǒng)可靠性問題 例例5.某科研項目組由三個小組用不同的手段分別研究，它們失敗的概率各為0.40，0.60，0.80。為了減少三個小組都失敗的可能性，現(xiàn)決定給三個小組中增派兩名高級科學家，到各小組后，各小組科研項目失敗概率如下表： 問如何分派科學家才能使三個小組都失敗的概率（即科研項目最終失敗的概率）最小？ 高級科學家小組12300.400.600.8010.200.400.5020.150.200.30管管 理理 運運 籌籌 學學473 3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1) 解：用逆序算法。設 階段：每個研究小組為一

37、個階段，且階段123小組123管管 理理 運運 籌籌 學學483 3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1) 計算當n=3時，當n=2時， s3 f3*(s3) x3*008001050120302 x2s2f2(s2,x2)=P2(x2) f3*(s2-x2) f2*(s2) x2*012004804801030032030020180200160162管管 理理 運運 籌籌 學學493 3動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(1) 當n=1時， 最優(yōu)解為 x1*=1，x2*=0，x3*=1；科研項目最終失敗的概率為0.060。 x1s1f1(s1,x1)=P1(x1) f2*(s1-x1)f2*(s2)

38、x2*01220064 0060 0072 0060 1管管 理理 運運 籌籌 學學504 4動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(2)(2)* *一、一、連續(xù)連續(xù)確定性動態(tài)規(guī)劃確定性動態(tài)規(guī)劃 對于狀態(tài)變量和決策變量只取連續(xù)值，過程的演變方式為確定性時，這種動態(tài)規(guī)劃問題就稱為連續(xù)確定性動態(tài)規(guī)劃問題。管管 理理 運運 籌籌 學學514 4動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(2)(2)* *機器負荷分配問題機器負荷分配問題 例例1 一種機器能在高低兩種不同的負荷狀態(tài)下工作。設機器在高負荷下生產時，產量函數(shù)為P1=8u1，其中u1為在高負荷狀態(tài)下生產的機器數(shù)目，年完好率為a=0.7，即到年底有70的機器保持完好。

39、在低負荷下生產時，產量函數(shù)為P2=5u2，其中u2為在低負荷狀態(tài)下生產的機器數(shù)目，年完好率為b=0.9。設開始生產時共有1000臺完好的機器，請問每年應該如何把完好機器分配給高、低兩種負荷下生產，才能使得5年內生產的產品總產量最高。管管 理理 運運 籌籌 學學524 4動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(2)(2)* *解 建立動態(tài)規(guī)劃模型： 分為5個階段，每個階段為1年。設狀態(tài)變量sk表示在第k階段初擁有的完好機器數(shù)目；k=1,2,3,4,5。 決策變量xk表示第k階段中分配給高負荷狀態(tài)下生產的機器數(shù)目；k=1,2,3,4,5。顯然sk-xk為分配給低負荷狀態(tài)下生產的機器數(shù)目。 狀態(tài)轉移方程為 s

40、k+1=0.7xk+0.9(sk-xk) 階段指標 rk(sk,xk)=8xk+5(sk-xk) 最優(yōu)指標函數(shù) ，其中k=1,2,3,4,5。 f6(s6)=0。)()58max)(11kkkkkkksfxsxsf（kksx 0管管 理理 運運 籌籌 學學534 4動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(2)(2)* *第5階段： 因為f5(s5)是x5的線性單調增函數(shù)，故有x5* =s5，于是有f5(s5)=8s5。第4階段： )(2 .126 .13max)(9 . 07 . 0 8)(58max8)(58max)()(58max)(44404444440544405544404444444444x

41、sxxsxxsxsxsxsfxsxsfsxsxsxsx 管管 理理 運運 籌籌 學學544 4動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(2)(2)* * 同樣的，f4(s4)是x4的線性單調增函數(shù)，有x4*=s4 ，f4(s4)=13.6s4。 對前幾個階段依次類推，可得 f3(s3)=17.5s3， f2(s2)=20.75s2， f1(s1)=23.72s1。 因為期初共有完好機器1000臺，故s1=1000。有f1(s1)=23.72s123720，即5年最大的產量為23720臺。得最優(yōu)解為 ， ， ， 。 這意味著前兩年應把年初完好機器完全投入低負荷生產，后三年應把年初完好機器完全投入高負荷生產。

42、0*1x0*2x3*3sx 4*4sx 5*5sx 管管 理理 運運 籌籌 學學554 4動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(2)(2)* * 下一步工作是確定每年初的狀態(tài)，按照從前向后的順序依次計算出每年年初完好的機器數(shù)目。已知s1=1000,根據(jù)狀態(tài)轉移方程，有:9009 . 0)(9 . 07 . 01*11*12sxsxs8109 . 0)(9 . 07 . 02*22*23sxsxs5677 . 0)(9 . 07 . 03*33*34sxsxs3977 . 0)(9 . 07 . 04*44*45sxsxs管管 理理 運運 籌籌 學學564 4動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(2)(2)*

43、* 上面所討論的最優(yōu)策略過程，初始端狀態(tài)s1=1000臺是固定的，終點狀態(tài)s6沒有要求。這種情況下得到最優(yōu)決策稱為初始端固定終點自由的最優(yōu)策略。 如果終點附加一定的條件，則問題就稱為“終端固定問題”。例如，規(guī)定在第5年度結束時仍要保持500臺機器完好（而不是278臺），應如何安排生產才能使得總產量最大？ 下面來分析： 根據(jù)終點條件有 可得500)(9 . 07 . 05556xsxs25005 . 455sx管管 理理 運運 籌籌 學學574 4動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(2)(2)* * 顯然，由于固定了終點的狀態(tài)，x5的取值受到了約束。因此有 類似的， 容易解得 ，f4(s4)=21.7

44、s4-7500。75005 .18)25005 . 4(5)25005 . 4(8max)(555555sssssf75007 . 07 .21max75005 .18)(58max)()(58max)(4405444055444044444444xssxsxsfxsxsfsxsxsx0*4x管管 理理 運運 籌籌 學學584 4動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(2)(2)* * 依次類推，得 f3(s3)=24.5s3-7500 f2(s2)=27.1s2-7500 f1(s1)=29.4s1-7500 再采用順序方法遞推計算各年的狀態(tài)，有 s1=1000， 0*1*2*3xxx9009 . 0

45、)(9 . 07 . 01*11*12sxsxs8109 . 0)(9 . 07 . 02*22*23sxsxs7297 . 0)(9 . 07 . 03*33*34sxsxs6567 . 0)(9 . 07 . 04*44*45sxsxs管管 理理 運運 籌籌 學學594 4動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(2)(2)* * 可見，為了使終點完好的機器數(shù)量增加到500臺，需要安排前四年中全部完好機器都要投入低負荷生產，且在第5年，也只能全部投入高負荷。 相應的最優(yōu)指標為 f1(s1)=29.4s1-750021900。 可以看到，因為增加了附加條件，總產量f1(s1)要比終點自由情況下的產量要低

46、。管管 理理 運運 籌籌 學學60二、離散隨機性動態(tài)規(guī)劃二、離散隨機性動態(tài)規(guī)劃 隨機型的動態(tài)規(guī)劃是指狀態(tài)的轉移律是不確定的，即對給定的狀態(tài)和決策，下一階段的到達狀態(tài)是具有確定概率分布的隨機變量，這個概率分布由本階段的狀態(tài)和決策完全確定。隨機型動態(tài)規(guī)劃的基本結構如下圖： 4 4動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(2)(2)* * sk狀態(tài) xk決策概率k階段的收益p1p2pN.k+1階段的狀態(tài)sk+1c1c2cN 1 2N管管 理理 運運 籌籌 學學614 4動態(tài)規(guī)劃的應用動態(tài)規(guī)劃的應用(2)(2)* * 圖中N表示第k+1階段可能的狀態(tài)數(shù)，p1、p2、pN為給定狀態(tài)sk和決策xk的前提下，可能達到下

47、一個狀態(tài)的概率。ci為從k階段狀態(tài)sk轉移到k+1 階段狀態(tài)為i時的指標函數(shù)值。 在隨機性的動態(tài)規(guī)劃問題中，由于下一階段到達的狀態(tài)和階段的效益值不確定，只能根據(jù)各階段的期望效益值進行優(yōu)化。管管 理理 運運 籌籌 學學62離散隨機性動態(tài)規(guī)劃離散隨機性動態(tài)規(guī)劃 例例2 2 某公司承擔一種新產品研制任務，合同要求三個月內交出一件合格的樣品，否則將索賠2000元。根據(jù)有經(jīng)驗的技術人員估計，試制品合格的概率為0.4，每次試制一批的裝配費為200元，每件產品的制造成本為100元。每次試制的周期為1個月。問該如何安排試制，每次生產多少件，才能使得期望費用最??？ 管管 理理 運運 籌籌 學學63離散隨機性動態(tài)

48、規(guī)劃離散隨機性動態(tài)規(guī)劃 解：解：把三次試制當作三個階段（k=1,2,3）,決策變量xk表示第k次生產的產品的件數(shù)；狀態(tài)變量sk表示第k次試制前是否已經(jīng)生產出合格品，如果有合格品，則sk=0；如果沒有合格品，記sk=1。最優(yōu)函數(shù)fk(sk)表示從狀態(tài)sk、決策xk出發(fā)的第k階段以后的最小期望費用。故有fk(0)0。 生產出一件合格品的概率為0.4，所以生產xk件產品都不合格的概率為 ，至少有一件合格品的概率為1- ，故有狀態(tài)轉移方程為 kx6 . 0kkxkxkspsp6 . 01)0(6 . 0) 1(11kx6 . 0管管 理理 運運 籌籌 學學64離散隨機性動態(tài)規(guī)劃離散隨機性動態(tài)規(guī)劃 用C

49、(xk)表示第k階段的費用，第k階段的費用包括制造成本和裝配費用，故有 根據(jù)狀態(tài)轉移方程以及C(xk)，可得到 0002)(kkkkxxxxC)1 (6 . 0)0()6 . 01 ()(min) 1 (11kxkxkxkffxcfkkk)1 (6 . 0)(min1kxkxfxckk管管 理理 運運 籌籌 學學65離散隨機性動態(tài)規(guī)劃離散隨機性動態(tài)規(guī)劃 如果3個月后沒有試制出一件合格品，則要承擔2000元的罰金，因此有f4(1)=20。 當k=3時，計算如下表： x3 s3 C(x3)+20f3(s3) x3* 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 1 20 1511.2 9.32 8.59 8.56 8.93 8.56 5 0.63x管管 理理 運運 籌籌 學學66離散隨機性動態(tài)規(guī)劃離散隨機性動態(tài)規(guī)劃當k=2時，計算如下表： x2 s2 C(x2)+8.56f2(s2) x2* 0 1 2 3 4 0 0 0 0 18.56 8.14 7.08 6.85 7.11 6.85 3 0.62x管管 理理 運運 籌籌 學學67離散隨機性動態(tài)規(guī)劃離散隨機性動態(tài)規(guī)劃當k=1時，有 x1 s1 C(x1)+6.85f1(s1) x1* 0 1 2 3 0 0 0 0 16.857.116.466.48 6