長度的數(shù)學(xué)本質(zhì)概念

1、長度的數(shù)學(xué)本質(zhì)概念數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)(一)長度的定義長度係直線段所具有的唯一屬性。直線段的經(jīng)驗(yàn)來自視覺與觸覺。由於人工物多具筆直的邊緣，因此兒童對於直線段應(yīng)不陌生。直線段和另一直線段可以任意相疊。相疊後可以將直線的兩端任意延長，並在上面來回移動。此一事實(shí)構(gòu)成直線段直接比較的基礎(chǔ)，將兩直線段的一端疊合，檢查另一端點(diǎn)的位置，就可以比較長短。 (二)長度的種類 直線與線段 直線的兩方向都可以任意延長；直線中任意兩點(diǎn)之間的部分稱為直線段，簡稱線段。直線段的長短是由兩條以上之線段具有包含關(guān)係，或一樣長之關(guān)係。  而直線段的描述可以以一線段為基準(zhǔn)量加以測量,而得其數(shù)值。 (三)度量單位*普遍單位：約定俗成

2、，以北極經(jīng)巴黎到赤道的子午線長的一千萬分之一為一公尺（meter）。*依度量衡國際標(biāo)準(zhǔn)制度長度以公尺(meter) 為基本單位 1.一公尺的十倍、百倍、千倍，等，稱為十公尺、百公尺、千公尺 2.一公尺的0.1倍 0.01倍 0.001倍.等稱為分公尺、厘公尺、毫公尺，等。 *在九年一貫課程綱要中，公尺改稱為米。 1.十進(jìn)位度量衡制的命名系統(tǒng)按照中央標(biāo)準(zhǔn)局的理想，是希望把公尺定為基本名稱，其他的單位在公尺以上，為十、百、千、萬、十萬、（公尺），公尺以下為分、厘、毫、絲、忽微、分微、厘微、毫微、微微、（公尺）。中共也是採行此一原則，但是公尺用米代替。因此有下列對照：英文縮寫Kmmcmmm臺灣舊稱公

3、里公尺公分公厘臺灣新稱千公尺公尺厘（公）尺毫（公）尺大陸千米米厘米毫米因?yàn)楣帧⒐飿O為常用，且未聞有任何更改的呼聲，包括中央標(biāo)準(zhǔn)局在內(nèi)。所以我們課本仍用公分、公里。公厘會與公里在讀音上相混，而且日常不太用。所以我們按照中央標(biāo)準(zhǔn)局給國立編譯館的建議，試驗(yàn)將毫尺放入課程中代替公厘。2.公分尺的結(jié)構(gòu)（一階單位）公分刻度尺是一階單位尺的結(jié)構(gòu)，它們的特點(diǎn)是：（1）刻度均在一條直線上，自0向右。（2）相鄰兩刻劃之間的長度均相等，即為這把尺的使用單位。（3）刻劃上所標(biāo)示旳數(shù)字，顯示從零刻度至該刻度之間所含的單位數(shù)。毫尺的引入亦可以模仿公分刻度尺的方式，特別印製毫尺刻度尺，如此150毫尺長不過是15公分長。

4、毫尺刻度尺雖非兒童日常所見，確有令兒童注意到單位不同所造成的效果。本課程最後沒有採用此舉，而將毫尺的引入做為測量1公分以下的長的單位。3.普通的公分尺的結(jié)構(gòu)（二階單位）在一把普通的公分尺上，數(shù)字僅與公分單位有關(guān)，毫尺單位僅有刻劃而無數(shù)字。通?？虅潟约釉O(shè)計,使計數(shù)容易些，如將5毫尺畫長一些，或?qū)?、4、6、8毫尺畫得比1、3、5、7、9毫尺的刻劃長些。對三年級兒童來說，將普通公分尺視為以毫尺為基本單位，分公尺為其10倍單位，兩單位並存的尺是較容易的，而非以公分為基本單位，1毫尺為其十分之一長的單位，到三下時，我們將以普通公分尺的結(jié)構(gòu)檢視，導(dǎo)入公分毫尺間的換算。(四)量長度1.數(shù)線或直線坐標(biāo)系在

5、一條向左右任意延伸的直線上選取一點(diǎn)，當(dāng)做原點(diǎn)。並以數(shù)字標(biāo)示其位置。另外選取一定長l為單位。直線上任意點(diǎn)A到原點(diǎn)的長，可以決定為l的X倍。若A點(diǎn)在之左側(cè)，則A之坐標(biāo)為X，右側(cè)，則為X。如此一來，直線上的任何一點(diǎn)，恰與某一實(shí)數(shù)對應(yīng)，這就是直線坐標(biāo)系，簡稱數(shù)線。一階單位尺和數(shù)線的結(jié)構(gòu)不同之處有二：第一，它只有整數(shù)坐標(biāo)。第二，它沒有和負(fù)整數(shù)對應(yīng)的部份公路或鐵路沿線標(biāo)示位置和距離的方式，就像一把二階單位尺。在起點(diǎn)處標(biāo)示，每隔1公里有一個表示至此處的公里數(shù)的標(biāo)示，中間每隔100公尺，有一個很不起眼的1至9的標(biāo)示，在教學(xué)時，若教師能設(shè)法提醒學(xué)生在旅行時稍加注意，對學(xué)生公里、公尺的換算有很大的助益。2.曲線的

6、長度一定要拉直以後才能加以測量。但曲線物本身是不能拉直的。原先設(shè)計課程，我們嘗試以線團(tuán)和彎曲的鐵絲作為曲線的具體代表。但是，我們考慮到將鐵絲拉直時，已不是彎曲的鐵絲，因?yàn)橐簧蠈W(xué)生並不完全具備長度守恆的概念，所以改用繩子複製長度的方式來說明拉直後再量的概念。如：用繩子複製水桶的手把及水壺背帶的長，然後再將繩子拉直。小學(xué)生做長度測量的標(biāo)準(zhǔn)方式是用刻有公分直尺去與欲測物做直接比較後，讀取尺上的刻度，所以我們用刻有公分的直尺來描述兩項(xiàng)數(shù)學(xué)特性：1)是標(biāo)示在直線段上的一連串刻度（數(shù)線）。2)是某一個別單位的並排。p.s.在一上先讓兒童經(jīng)驗(yàn)刻度，在一下再讓兒童經(jīng)驗(yàn)第2項(xiàng)。(五)算式1. 長度與加減算式本課

7、程引入加減算式的設(shè)計，是把它視為離散物，如：鳥、花片等的添加，拿走故事情境題的解題活動的紀(jì)錄。以長度描述連續(xù)物件的添（併）加，拿走，若要用加減算式加以描述的話，兒童必須有將連續(xù)量加以離散化的活動較符合本課程的精神。此一聯(lián)結(jié)活動是以1公分長的白色積木的併排來進(jìn)行的。兒童必須能說出類似4公分就是4個1公分的話。(有關(guān)長度的量化可參閱第三冊指引。)2. 線段圖和算式（圖解算術(shù)）傳統(tǒng)的圖解算術(shù)，係指運(yùn)用線段圖來表徵文字題中，已知數(shù)據(jù)與未知量之間的關(guān)係，由此尋出求未知量所需的運(yùn)算步驟。在運(yùn)用時，若要表達(dá)各量之間的比例關(guān)係，則各對應(yīng)線段的長度之間必須顯示相等的比例，但是在表達(dá)加減關(guān)係時，各對應(yīng)線段的長度只

8、要表示出較多或較少的關(guān)係即可，大小比例可以忽略?；蛘吒‘?dāng)?shù)卣f，線段長短和數(shù)據(jù)之間的比例關(guān)係的遵守程度依問題的需要而定。例如，某數(shù)的加2等於20，求某數(shù)，可以用下示線段圖表示：220這裏的2和20的長度並未遵守1:10，也可以接受，但是的部分則須準(zhǔn)確些，但是少許誤差也可以忍受。用×220亦可記錄上述文字題，並達(dá)到解題的目的。兩者相比，圖解算術(shù)未必簡單。認(rèn)知結(jié)構(gòu)新課程中長度的低年級課程設(shè)計，注重兒童認(rèn)知發(fā)展的次序。從假定兒童已知道什麼是長做教學(xué)起點(diǎn)，經(jīng)歷複製、直接比較、間接比較、物長的累積物描述、公分尺的使用與累積結(jié)構(gòu)、及公尺大尺的使用與累積結(jié)構(gòu)等教學(xué)活動，最後預(yù)期兒童獲得長度的保留概

9、念，以及使用公分尺和公尺大尺做實(shí)測的能力，和初步的估測能力。然而直線和直線段畢竟是個抽象的幾何概念，我們必須確認(rèn)兒童具備部分的直線段概念，因此設(shè)計將直線段從具體物上加以抽取的活動。例如：在紙上以線段表示鉛筆的長，用繩子複製課本和盒子的邊長等。許多較細(xì)膩的測量活動，必須考慮兒童手眼協(xié)調(diào)發(fā)展的水平配合問題，可以達(dá)成目標(biāo)的示範(fàn)，常需要他們模仿著做。但是如果只是想做給他們看，則由於兒童的注意力被分散，而和我們教師要求的焦點(diǎn)發(fā)生誤差，這時便會失效。一個很有意思的例子是飛機(jī)艙內(nèi)有關(guān)救生衣的使用示範(fàn)。雖然空服員向各位旅客示範(fàn)救生衣的使用方法，但遇真正需要使用時刻時，仍有眾多旅客不知如何使用，一來是因?yàn)榭辗T

10、講解時旅客沒有注意聽，二來無實(shí)際操作經(jīng)驗(yàn)，難免知行無法合一。直接比較直線長時，一端先對齊，再比較另一端的規(guī)定，在此時的教學(xué)特別重要。兒童可以接受這兩種兩段式的測量程序。觀察兩個端點(diǎn)的差距出入，再加以綜合比較；即使差距極為明顯，並非此時期兒童的能力所及。這是思考的周延發(fā)展的現(xiàn)象。由於學(xué)生對於垂直平行僅據(jù)視覺和身體的運(yùn)動覺經(jīng)驗(yàn)，而在量平面上兩平行線之間的距離，或空間中兩平行面之間的距離的長度時，此時的長度是描述立體實(shí)物在某一方向延展的範(fàn)圍；此類經(jīng)驗(yàn)又侷限於和某一日?？梢姷臉?biāo)準(zhǔn)平行或垂直的情境，例如：地面、水平面、桌子、長方形紙張或相對於自己身體的方向。如在地面上畫一直線讓學(xué)生畫出另一條直線平行於該

11、線，此時學(xué)生通常會將身體正面調(diào)整至與你畫的直線平行，才會畫出另一條平行線。因此我們在量取此類長度時，要盡量與日常生活情境相容。幾乎所有正常兒童都能分辨長的例子和非例子。因此不需要在那裡有長的討論上花太多時間。倒是有些兒童的例子相當(dāng)有深度，例如：操場跑道的長。遇到這類例子時，教師可以記錄下來，做為日後的發(fā)展之用。在第五冊第二單元量長度是以口頭描述操作程序。直接比較用尺量出長度都有一定的操作程序。本階段的兒童被詢以怎麼做的先做什麼，再做什麼時，應(yīng)該可以把用尺量一物件，分解為三個步驟加以描述。令兒童發(fā)展以口頭描述操作程序的能力，對今日技術(shù)漸趨複雜的社會，愈來愈重要。例如穿救生衣，開安全門，都至少有兩

12、、三個步驟，而且還常包括實(shí)施其中一步驟的條件，例如在艙內(nèi)不可將救生衣充氣，以免妨礙行動等。在長度與線段圖表徵上，線段圖表徵應(yīng)分成三個階段：1.實(shí)際表徵：畫出真實(shí)的長，因此兒童在簿子上無法表示：3公尺5公尺8公尺。2.呈現(xiàn)比例的表徵：任取一線段l表徵1公尺，而以l長的X倍，表徵X公尺，開始時，可以由老師來約定，例如說，讓我們用5毫尺來表示1公尺，但是對不同問題，老師要注意偶然換個比例，最好是針對不同問題的需要。最後，讓兒童自己去決定。3.可以忽略比例的示意表徵：此時兒童知道可以不按比例來呈現(xiàn)關(guān)係，只要不妨礙尋找解題所需要的運(yùn)算或轉(zhuǎn)換。此時已超過小學(xué)程度了。皮亞傑(Piaget)的認(rèn)知發(fā)展理論認(rèn)為

13、人類認(rèn)知發(fā)展由出生到成年分為下面四個階段：認(rèn)知發(fā)展期年齡特徵感覺動作期(Sensorimotor stage)02歲Ø 憑感覺與動作發(fā)揮基模的功能Ø 由本能性的反射動作到目的性的活動Ø 對物體認(rèn)識具有物體恆存性的概念前運(yùn)思期(preoperational stage)27歲Ø 自我為中心Ø 做簡單的歸類Ø 用語言表示概念Ø 喜歡做想像的遊戲具體運(yùn)思期(concrete operational stage)711歲Ø 去除自我中心化Ø 有守恆的觀念Ø 具有可逆性的觀念Ø 具邏輯思考能力形

14、式運(yùn)思期(formal operational stage)12歲以上Ø 抽像思考的能力Ø 能按假設(shè)驗(yàn)證的科學(xué)法則解決問題學(xué)生的迷思1.直線段實(shí)物概念的形成,剛開始是無法具體兒童描述的 2.長度保留概念是人類天生的某些視覺上的錯覺,小朋友容易用目測衡量長短 例如:十元硬幣比五元硬幣面積大很多,所以長度也會大很多的錯誤直覺推理32.小學(xué)生無法具備用長度估測解題的能力,只能用經(jīng)驗(yàn)估測34.學(xué)生可能會隨手比出身體寬度不到的長度 54.學(xué)生在比長短的概念上會因視覺上的錯覺而混淆比較，忽略比較是必須要齊頭 式才能做比較。 教學(xué)注意事項(xiàng)1.強(qiáng)調(diào)兒童的同儕討論師生討論教師指導(dǎo)。因此在實(shí)施

15、中，儘量以兒童討論的形式寫出。但是在評量重點(diǎn)中，強(qiáng)調(diào)兒童的討論必須包含某些關(guān)鍵性的語詞，或有效操作的描述。2.倘若有學(xué)生將尺翻轉(zhuǎn)，量報紙的長時，其情形和用幾把尺的全長來連接，所產(chǎn)生的錯誤是相同的，故其合理性討論，可仿實(shí)施篇中為之。3.本單元的目標(biāo)著重長的分解合成問題和算式及線段圖的連結(jié)。教師必須令兒童在解說中強(qiáng)調(diào)n公分就是n個1公分的併排的長。在畫線段圖時，實(shí)長不要畫得太離譜，且不準(zhǔn)以比例縮小的方式來畫。4.讓學(xué)童複製測量有不可避免的誤差！不論畫的或擺的，可能不夠直；剪的可能稍長或稍短，教師應(yīng)根據(jù)兒童努力的情形判斷是否接受，而非根據(jù)結(jié)果來判斷。同長複製時，更有要嘛長些，不然就短些的遺憾。我們這裡是採取避讓不出現(xiàn)的方式。5.在長度比較的結(jié)果接近時，我們可以用兩人的身高差不多，兩枝鉛筆可以看做（當(dāng)做）一樣長等來描述。對於小朋友因?yàn)楸孔疽鸬牟粶?zhǔn)確也不預(yù)備做嚴(yán)格矯正。但是在兒童理解的範(fàn)圍內(nèi)，我們