2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題之圓的綜合(備戰(zhàn)中考題型整理,突破提升)附詳細(xì)答案

1、2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題之圓的綜合(備戰(zhàn)中考題型整理，突破提升)附詳細(xì)答案一、圓的綜合1.如圖1,已知扇形MON的半徑為 J2 , /MON=90，點B在弧MN上移動，聯(lián)結(jié)BM , 作ODL BM,垂足為點 D, C為線段OD上一點，且 OC=BM,聯(lián)結(jié)BC并延長交半徑 OM于 點A,設(shè)OA=x, /COM的正切值為 y.(1)如圖2,當(dāng)AB±OM時，求證：AM=AC；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(3)當(dāng)4OAC為等腰三角形時，求 x的值.若用圖x【答案】證明見解析；(2)y2x【解析】分析：(1)先判斷出/ABM=/DOM,進而判斷出 OAXBAM,即可

2、得出結(jié)論;x 、. 2 )；(3)(2)先判斷出BD=DM,進而得出-DM ME,進而得出AE=-1(灰 x),再判斷出 BD AE2OA OE (3)OC 2DM -,即可得出結(jié)論；OD OD分三種情況利用勾股定理或判斷出不存在，即可得出結(jié)論.詳解：(1)OD)± BM, AB± OM, . . / ODM=/BAM=90°. / ABM+Z M=Z DOM+Z M, :'人 ABM=Z DOM .Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如圖2,過點D作DE/AB,交OM于點E.OB=OM,1. DE/AB,ODXB

3、M,DMBD=DM.1. DE/AB,DMBDOAOEOAOD 2OEME, . AE=EM.AEOC 2DMOD ODy K(0<x. OM = &,AE=1(匹 x).2(3)1(i)當(dāng) OA=OC時. DM BM 21 -OC 2OD,OM 2DM 2 y.解得2 T 14,土 /外、,或 X -(舍).22(ii)當(dāng) AO=AC時，則 / AOC=/ACO. / ACO> / COB, /CO&/AOC, . / ACO>/ AOC,，此種情況不存在.(iii)當(dāng) CO=CA 時，貝U ZCOA=ZCAO=a. / CAO> / M , Z M=

4、90° - a, . .90° a,a>45 :/ BOA=2 A 90 : : / BOAW 90 °，此種情況不存在.即：當(dāng)4OAC為等腰三角形時，x的值為 E 衣.2點睛：本題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定 理，等腰三角形的性質(zhì)，建立 y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵.2.如圖，已知 ABC中，AC=BC以BC為直徑的。交AB于E,過點E作EG，AC于G,交BC的延長線于F.（1）求證：AE=BE（2）求證：FE是。的切線；（3）若FE=4, FC=2,求。的半徑及 CG的長.3【答案】（1）詳見解析；（2）詳

5、見解析；（3）【解析】（1）證明：連接CE,如圖1所示： BC是直徑，./BEG90；CE!AB;又. AOBG 1- AE=BE.(2)證明：連接OE,如圖2所示：. BE=AE, OB=OC, . OE是4ABC的中位線， . OE/ AC, AC=2OE=6.又EG，AC,.FEI OE,，F(xiàn)E是。的切線.(3)解：EF是。的切線，F(xiàn)E?=FC?FB.設(shè) FC=x,貝U有 2FB=16,FB=8, . BC=FB FC=8- 2=6, . OB=OC=3,即。的半徑為 3;.OE=3. OE/ AC,AFCCGAFOE,CG FC CG 2J"：,即'上十"6

6、CG= .點睛：本題利用了等腰三角形三線合一定理，三角形中位線的判定，切割線定理，以及勾 股定理，還有平行線分線段成比例定理，切線的判定等知識.3.如圖，AB為。的直徑，點 E在。上，過點E的切線與 AB的延長線交于點 D,連接BE,過點。作BE的平行線，交。于點F,交切線于點 C,連接AC(1)求證：AC是。的切線；(2)連接EF,當(dāng)/D= 。時，四邊形FOBE是菱形.【答案】(1)見解析；(2) 30.【解析】【分析】(1)由等角的轉(zhuǎn)換證明出OCA二OCE ,根據(jù)圓的位置關(guān)系證得 AC是。的切線.(2)根據(jù)四邊形 FOBE是菱形，得到 OF=OB=BF=EF得證 OBE為等邊三角形，而得出

7、BOE 60 ,根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出答案.【詳解】(1)證明：.CD與。相切于點E,OE CD ,CEO 90 ,又.OC PBE ,COE OEB, /OBE=/ COA .OE=OB,OEB OBE ,COE COA,y.- oc=oc oa=o匕 OCA0 OCE(SAS , CAO CEO 90 ,又 AB為。O的直徑， .AC為。O的切線；(2)解：二四邊形FOBE是菱形，OF=OB=BF=EF，OE=OB=BEOBE為等邊三角形，BOE 60 ,而OE CD,D 30 .故答案為30.【點睛】本題主要考查與圓有關(guān)的位置關(guān)系和圓中的計算問題，熟練掌握圓的性質(zhì)是本題的解題關(guān)Ir4.

8、如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點 A(-8, 0), B(0, 6),點M在線段AB上。(1)如圖1,如果點M是線段AB的中點，且OM的半徑等于4,試判斷直線 OB與。M 的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2, OM與x軸，y軸都相切，切點分別為 E, F,試求出點 M的坐標(biāo)；(3)如圖3, OM與x軸，y軸，線段AB都相切，切點分別為 E, F, G,試求出點M的 坐標(biāo)(直接寫出答案)2424【答案】(1) OB與。M 相切；(2) M ( 7，/)； ( 3) M ( 2, 2)【解析】分析：(1)設(shè)線段OB的中點為D,連結(jié)MD,根據(jù)三角形的中位線求出MD,根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系得出即可；(2

9、)求出過點A、B的一次函數(shù)關(guān)系式是 y=-x+6,設(shè)M (a, - a),把x=a, y=-a代4入y=3x+6得出關(guān)于a的方程，求出即可.4(3)連接 ME、MF、MG、MA、MB、MO,設(shè) ME=MF=MG=r,根據(jù)S；Aabc=1AO?ME+1BO?MF + 1AB?MG=1AO?BO求得 r=2,據(jù)此可得答案.2222詳解：(1)直線OB與。M相切.理由如下：設(shè)線段OB的中點為D,如圖1,連結(jié)MD,點M是線段AB的中點，所以 MD / AO, MD=4,./AOB=/ MDB=90 ； . .MDOB,點 D 在。M 上.又.點D在直線 OB上，直線 OB與。M相切；(2)如圖2,連接

10、ME, MF,8kb 0.A (-8, 0) , B (0, 6) , 設(shè)直線 AB 的解析式是 y=kx+b,，解b 6得：k= 3 , b=6,即直線AB的函數(shù)關(guān)系式是 y=x+6.4OM與x軸、y軸都相切,(a, a)( 一 8v av 0)4點M到x軸、y軸的距離都相等,3x=a, y=-a 代入 y=x+6,得：-4即 ME=MF,a = a+6,彳導(dǎo):4a=-24,點M的坐標(biāo)為(-7(3)如圖3,連接ME、2424、,)MF、MG、MA、MB、MO,0M 與 x軸，y 軸，線段 AB 都相切，MEXAO. MF±BO> MGXAB,設(shè)ME=MF=MG=r,貝U Sa

11、abc= 1 AO?ME+1 BO?MF+1 AB?MG= 1 AO?BO.2222. A (-8, 0) , B (0, 6) ,，AO=8、BO=6, AB= VaO2BO2 =10,，1?8+1？6+廠?10=1*64 8解彳導(dǎo):r=2,即 ME=MF=2,，點 M 的坐標(biāo)為(2,2222點睛：本題考查了圓的綜合問題，掌握直線和圓的位置關(guān)系，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的 解析式的應(yīng)用，能綜合運用知識點進行推理和計算是解答此題的關(guān)鍵，注意：直線和圓有 三種位置關(guān)系：已知 。的半徑為r,圓心O到直線l的距離是d,當(dāng)d=r時，直線l和。O 相切.5.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧Ab1用直尺和圓

12、規(guī)作出 Ab所在圓的圓心。；(要求保留作圖痕跡，不寫作法 ) 2若AB的中點C到弦AB的距離為20m, AB 80m ,求AB所在圓的半徑.分析：1連結(jié)AC、BC,分另1J作AC和BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點為點O,如圖1;2連接OA, OC, OC交AB于D,如圖2,根據(jù)垂徑定理的推論，由 C為AB的中點得 _ 1. _到 OC AB , AD BD -AB 40 ,則 CD 20,設(shè) e O 的半徑為 r,在 RtVOAD 2中利用勾股定理得到r2 (r 20)2 402,然后解方程即可.詳解：1如圖1,點O為所求；2連接OA, OC, OC交AB于D,如圖2,qc為Ab的中點,O

13、C AB ,1AD BD AB 40, 2設(shè)e O的半徑為r,則OA r, OD OD CD r 20,在 RtVOAD 中，QOA2 OD2 AD2,r2 （r 20）2 402,解得 r 50,即Ab所在圓的半徑是50m.點睛：本題考查了垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，在利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題時，要善于 把實際問題與數(shù)學(xué)中的理論知識聯(lián)系起來，能將生活中的問題抽象為數(shù)學(xué)問題.6.已知。中，弦AB=AC,點P是/ BAC所對弧上一動點，連接 PA, PB.（1）如圖，把4ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到 AACQ連接PC,求證：/ACP+/ ACQ=180 ；°（2）如圖，若/BAC=60,試探

14、究PA PR PC之間的關(guān)系.（3）若/BAC=120時，（2）中的結(jié)論是否成立？若是，請證明；若不是，請直接寫出它 們之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明.【答案】（1）證明見解析；（2） PA=PB+PC理由見解析；（3）若/BAC=120時，（2） 中的結(jié)論不成立，、3 PA=PB+PC【解析】試題分析：（1）如圖，連接PC.根據(jù) 內(nèi)接四邊形的對角互補的性質(zhì) ”即可證得結(jié)論；（2）如圖，通過作輔助線 BG PE CE （連接BC,延長BP至E,使PE=PC連接CEE）構(gòu)建等邊4PCE和全等三角形BE®4APC;然后利用全等三角形的對應(yīng)邊相等和線段間 的和差關(guān)系可以求得 PA=PB+PC（3

15、）如圖，在線段PC上截取PQ,使PQ=PR過點A作AGLPC于點G.利用全等三 角形ABPAQP （SAS的對應(yīng)邊相等推知 AB=AQ, PB=PG 將PA PR PC的數(shù)量關(guān)系 轉(zhuǎn)化到4APC中來求即可.試題解析：（1）如圖，連接PC.,ACQ是由4ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，/ ABP=Z ACQ由圖知，點A、B、P、C四點共圓，丁./ACP+/ ABP=180 （圓內(nèi)接四邊形的對角互補），丁./ACP+/ ACQ=180。（等量代換）；（2） PA=PB+PC理由如下：如圖，連接BC,延長BP至E,使PE=PC連接CE.弦 人8=弦人孰 /BAC=60,° .ABC是等邊三角

16、形（有一內(nèi)角為60的等腰三角形是等邊三角形）. A、B、P、C四點共圓，Z BAC+Z BPC=180 （圓內(nèi)接四邊形的對角互補）， / BPC+Z EPC=180, ° Z BAC=Z CPE=60,°,. PE=PC .,.PCE是等邊三角形，CE=PC / E=/ECP4 EPC=60;°又./BCE=60 + /BCP, Z ACP=60 +/ BCP, . / BCE玄 ACP （等量代換）,CE PC在ABEC和AAPC中，BCE ACP , . BECAPC（SAS , . BE=PAAC BCPA=BE=PB+PC（3）若/ BAC=120時，（2

17、）中的結(jié)論不成立，J3 PA=PB+PC理由如下：如圖，在線段PC上截取PQ,使PQ=PB,過點A作AG, PC于點G. / BAC=120 ,° / BAC+Z BPC=180，/ BPC=60 ,° 弦人8=弦 AC,/ APB=Z APQ=30 :PB PQ在 4ABP 和 4AQP 中，APB APQ ,AABPAAQP （SAS ,AP AP .AB=AQ, PB=PQ （全等三角形的對應(yīng)邊相等），AQ=AC （等量代換）在等腰4AQC中，QG=CG在 RtAPG 中，/ APG=30 ,貝U AP=2AG, PG=73 AG,PB+PC=PG- QG+PG+CG

18、=PG- QG+PG+QG=2PG=2 3 AG,WpA=2,3aG,即 3 PA=PB+PC【點睛】本題考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵要能掌握和靈活運用圓心角、弧、弦間的關(guān) 系，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等7 .解決問題：1如圖，半徑為4的e O外有一點P,且PO 7,點A在e O上，則PA的最大值和 最小值分別是 和.2如圖，扇形AOB的半徑為4, AOB 45°, P為弧AB上一點，分別在 OA邊找 點E,在OB邊上找一點F,使得VPEF周長的最小，請在圖 中確定點E、F的位置并直 接寫出VPEF周長的最小值； 拓展應(yīng)用3如圖，正方形ABCD的邊長為4J2 ； E

19、是CD上一點（不與D、C重合），CF BE于F, P在BE上，且PF CF , M、N分別是AB、AC上動點，求 VPMN周長 的最小值.圖圖圖【答案】（1） 11, 3； （2）圖見解析，VPEF周長最小值為4J2； （3） 4，10 4a . 【解析】【分析】1根據(jù)圓外一點P到這個圓上所有點的距離中，最遠是和最近的點是過圓心和該點的直 線與圓的交點，容易求出最大值與最小值分別為11和3;2作點P關(guān)于直線OA的對稱點P1 ,作點P關(guān)于直線OB的對稱點P2,連接P1、P2 ,與 OA、OB分別交于點E、F,點E、F即為所求，此時 VPEF周長最小，然后根據(jù)等腰直角 三角形求解即可；3類似2題作

20、對稱點，VPMN周長最小 PP2,然后由三角形相似和勾股定理求解.【詳解】解：1如圖，Q圓外一點P到這個圓上所有點的距離中，最大距離是和最小距離都在 過圓心的直線OP上，此直線與圓有兩個交點，圓外一點與這兩個交點的距離個分別最大距離和最小距離.PA 的最大值 PA2 PO OA2 7 4 11,PA 的最小值 PA1 PO OA1 7 4 3,故答案為11和3；2如圖，以。為圓心，OA為半徑，畫弧 AB和弧BD,作點P關(guān)于直線OA的對稱點P ,作點P關(guān)于直線OB的對稱點P2,連接P1、P2,與OA、OB分別交于點E、F,點E、 F即為所求.連接 OP、OP2、OP、PE、PF,由對稱知識可知，

21、AOR AOP ,BOP2BOP , PE RE , PF P2FAOPiBOP2AOP BOP AOB 45o,POP245o 45o 90°,VPOP2為等腰直角三角形，PP2 反耳 472 ,VPEF 周長 PE PF EF P1E P2F EF PP24)2 ,此時 VPEF 周長最小.故答案為4 2；3作點P關(guān)于直線AB的對稱P,連接AR、BP,作點P關(guān)于直線AC的對稱F2, 連接Pi、P2,與AB、AC分別交于點M、N.如圖由對稱知識可知， PM PM , PN P2N , VPMN周長PM PN MN PMi P2N MN PP2 ,此時，VPMN周長最小 PP2.由對

22、稱性可知， BAR BAP,EAP2EAP, AR AP AP2,BAPEAP2BAP EAP BAC 450PAP2450 45° 90°,VPiAB為等腰直角三角形，VPMN周長最小值PP2 V2AP ,當(dāng)AP最短時，周長最小.連接DF.QCF BE ,且 PF CF ,PCF 45。，PC 短CFQ ACD 45。，PCF ACD , PCA FCD ,又處反CDAC PC在 VAPC 與 VDFC 中，= PC, PCA FCDCD CFVAPC s VDFC ,空AC 2DF CDAP 2DFQ BFC 90。，取 AB 中點 O.點F在以BC為直徑的圓上運動，當(dāng)

23、 D F、。三點在同一直線上時，DF最短.DF DO FO JOC2 CD2 OC 7(22)2 (42)2 272 2>/10 272，AP最小值為ap J2df此時，VPMN周長最小值pp2忑2ap應(yīng)T2dfV2V227102V24尺442.【點睛】本題考查圓以及正方形的性質(zhì)，運用圓的對稱性和正方形的對稱性是解答本題的關(guān)鍵.8 .如圖，在直角坐標(biāo)系中，OM經(jīng)過原點0(0, 0),點A(娓,0”T點B(0, J2),點D在劣弧0A上，連結(jié)BD交x軸于點C,且/ COD= / CBO.(1)求。M的半徑；(2)求證：BD平分/ABO;(3)在線段BD的延長線上找一點 E,使得直線AE恰為

24、。M的切線，求此時點 E的坐標(biāo).【解析】試題分析：根據(jù)點 A和點B的坐標(biāo)得出OA和OB的長度，根據(jù) RtAOB的勾股定理得出 AB的長度，然后得出半徑；根據(jù)同弧所對的圓周角得出/ABD=/ COD),然后結(jié)合已知條件得出角平分線；根據(jù)角平分線得出4AB瞌4HBE,從而得出BH=BA=2& ,從而求出0H的長度，即點E的縱坐標(biāo)，根據(jù) RtAOB的三角函數(shù)得出/ABO的度數(shù)，從而得出 / CBO 的度數(shù)，然后根據(jù) RtHBE得出HE的長度，即點E的橫坐標(biāo).試題解析：(1)二.點 A為(而，0),點 B為(0, J2).OA=V6 OB=V2根據(jù)RHA0B的勾股定理可得:AB=272 e M

25、 的半徑 r=1 AB= 72 .(2)根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得：/ ABD=/ COD / COD=/ CBO，/ ABD=/ CBOBD 平分 / ABO(3)如圖，由(2)中的角平分線可得 ABEHBE，BH=BA=2j2，OH=2j2 OA 大在 RtA AOB 中, J3/ ABO=60，/ CBO=30OB在 RtHBE 中,H嚼緡點E的坐標(biāo)為譽s考點：勾股定理、角平分線的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)9 .如圖，線段BC所在的直線 是以AB為直徑的圓的切線，點 D為圓上一點，滿足 BD=BC,且點C、D位于直徑AB的兩側(cè)，連接 CD交圓于點E點F是BD上一點，連接EF,分 別交

26、AB、BD于點G、H,且EF= BD.(1)求證：EF/ BC;(2)若 EH= 4, HF= 2,求？E 的長.2 -【答案】見解析；(2) - 33【解析】【分析】(1)根據(jù)EF= BD可得 EF = ?D， 進而得到 Be = Df， 根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等”即可得出角相等進而可證.(2)連接DF,根據(jù)切線的性質(zhì)及垂徑定理求出GF、GE的長，根據(jù) 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等 ”及平行線求出相等的角，利用銳角三角函數(shù)求出ZBHG,進而 求出/BDE的度數(shù)，確定 BE所對的圓心角的度數(shù)，根據(jù) /DFH= 90。確定DE為直徑，代入 弧長公式即可求解.【

27、詳解】(1)EF= BD,- Ef= BDBe = Df/ D= / DEF又 BD= BC,/ D= / C,/ DEF=/CEF/ BC(2) .AB是直徑，BC為切線，ABXBC又 EF/ BC,.ABEF,弧 BF哪 BE,1GF= GE= (HF+EHE HG=1DB 平分 / EDF,又 BF/ CD,/ FBD= / FDB= / BDE= / BFH ,-.HB=HF= 2HG 1cos/ BHG= = , / BHG= 60 .HB 2/ FDB= / BDE= 30 °，/DFH= 90； DE為直徑，DE= 4石，且弧BE所對圓心角=60：:弧 BE= - X

28、4>/3 = - J3 63【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查圓周角、切線、垂徑定理、弧長公式等相關(guān)知識，掌握圓周角的有關(guān)定理，切線的性質(zhì)，垂徑定理及弧長公式是解題關(guān)鍵10.如圖，4ABC中，ZACB= 90°, /A=30： AB=6. D是線段AC上一個動點（不與點A重合），OD與AB相切，切點為 E, OD交射線DC于點F,過F作FG± EF交直線.BC于點G,設(shè)OD的半徑為r.(1)求證 AE= EF；(2)當(dāng)。D與直線BC相切時，求r的值；(3)當(dāng)點G落在。D內(nèi)部時，直接寫出r的取值范圍.【答案】(1)見解析，(2)r= 3,(3) 3 r 6-5【解析】【

29、分析】(1)連接 DE,貝U / ADE=60 =/DEF+/ DFE,而 / DEF=Z DFEE 貝(J / DEF=Z DFE=30 = /A, 即可求解；(2)如圖2所示，連接DE,當(dāng)圓與BC相切時，切點為 F, /A=30。，AB=6,則BF=3,AD=2r,由勾股定理，即可求解；(3)分點F在線段AC上、點F在線段AC的延長線上兩種情況，分別求解即可.【詳解】解：設(shè)圓的半徑為r；而 / DEF=/ DFE,貝U / DEF=/ DFE=30 = Z A,，AE=EF(2)如圖2所示，連接DE,當(dāng)圓與BC相切時，切點為 F/A=30 ； AB=6,則 BF=3, AD=2r, 由勾股

30、定理得：（3r） 2+9=36, 解得：r=芯;連接DE、DG,當(dāng)點F在線段AC的延長線上時，如圖 4所示，連接DE、DG,國4FC 3.3 3r, GC . 3FC 3、3r 9兩種情況下GC符號相反，GC2相同, 由勾股定理得：DG2=CD2+C片, 點G在圓的內(nèi)部，故： DG2vr2,即：（3.3 2r）2 （3、. 3r 9）2整理得：5r2 11,Sr 18解得：3 r【點睛】6、35本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過切點的半徑；利用勾股定理計算線段的長.11.如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于。O, /BAD=90°, AD、BC的延長線交于點 F,點E在CF 上，且/ D

31、EG=Z BAC.(1)求證：DE是。的切線；(2)當(dāng) AB=AC時，若 CE=2, EF=3,求。的半徑.【答案】(1)證明見解析；(2)述.4【解析】【分析】(1)先判斷出BD是圓O的直徑，再判斷出 BD± DE,即可得出結(jié)論；(2)根據(jù)余角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到ZF=Z EDF,根據(jù)等腰三角形的判定得到DE=EF=3,根據(jù)勾股定理得到 CD JDE2 CE2 J5,證明CD上DBE,根據(jù)相似三 角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】(1)如圖，連接BD. ./BAD=90； .點 O 必在 BD 上，即：BD 是直徑，. / BCD=90 ；/ DEG/CDE=90 ： / D

32、EC=Z BAC, / BAG / CDE=90 : / BAO/ BDC,/ BDG / CDE=90 ； . . / BDE=90 ；即：BD± DE. 點D在。O上，DE是。的切線；(2) Z BAF=Z BDE=90°,Z F+Z ABC=Z FDEZ ADB=90°. .AB=AC,，/ABC=/ACB / ADB=Z ACB,/ F=Z FDE, . DE=EF=3.,. CE=2, /BCD=90；Z DCE=90 ； . . CD 7DE2CE2 & / BDE=90 ； CD± BE, . / DCE=Z BDE=90 :,一C

33、D BD5 3 3、. 5、 Z DEC=Z BED,ACDE ADBE, ， , . BD , . .OO 的半CE DE本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理， 求出DE=EF是解答本題的關(guān)鍵.12.如圖，AB是e O的直徑，弦CD AB于點E,過點C的切線交AB的延長線于點 F ,連接DF .（1）求證：DF是e O的切線；（2）連接 BC,若 BCF 30 , BF 2,求 CD 的長.【答案】（1）見解析；（2） 2J3【解析】【分析】（1）連接OD,由垂徑定理證 OF為CD的垂直平分線，得 CF=DF / CDF=/ DCF,由 /CDO=/O

34、CD,再證 ZCDO +/CDB=/OCD+/DCF=90,° 可得 ODDF,結(jié)論成立.（2）由/OCF=90°, /BCF=30°,得/OCB=60°,再證 A OC的等邊三角形，得 /COB=60°,可 得/CFO=30,所以FO=2OC=2OB FB=OB= OC =2在直角三角形 OCE中，解直角三角形可 得CE再推出CD=2CE.【詳解】（1）證明：連接OD.CF是。O的切線/ OCF=90 ° / OCD+Z DCF=90 ° 直徑ABL弦CD .CE=ED即OF為CD的垂直平分線.CF=DF/ CDF=Z D

35、CF,.OC=OD,/ CDO=Z OCD / CDO +/ CDB之 OCD+Z DCF=90 °ODXDF.DF是。O的切線(2)解：連接OD / OCF=90, / BCF=30 °/ OCB=60 ° .OC=OBA OC囪等邊三角形，/ COB=60 °/ CFO=30 ° . FO=2OC=2OB . FB=OB= OC =2在直角三角形 OCE中，/ CEO=90 / COE=60CE 3sin COE OC 2 CF ,3.CD=2 CF 2,3【點睛】本題考核知識點：垂徑定理，切線，解直角三角形 .解題關(guān)鍵點：熟記切線的判定

36、定理，靈活運用含有 30。角的直角三角形性質(zhì)，巧解直角三角形.13.如圖，AB是半圓。的直徑，點 C是半圓。上的點，連接 AC, BC,點E是AC的中 點，點F是射線OE上一點.(1)如圖 1,連接 FA, FG 若 /AFC= 2/BAC 求證：FAIAB；(2)如圖2,過點C作CD,AB于點D,點G是線段CD上一點(不與點 C重合)，連接FA, FG, FG與AC相交于點P,且AF= FG.試猜想/ AFG和/ B的數(shù)量關(guān)系，并證明； 連接OG,若OE= BD, /GOE= 90 °,。的半徑為2,求EP的長.PE=【答案】(1)見解析；(2) 結(jié)論：/GFA= 2Z ABC.理

37、由見解析;(1)證明 /OFA=/BAC,由 /EAO+/EOA= 90°,推出 Z OFA+Z AOE= 90°,推出 Z FAQ90。即可解決問題.(2) 結(jié)論：/GFA= 2/ABC.連接FC.由FC= FG= FA,以F為圓心FC為半徑作OF.因為 Ag Ag , 推出 ZGFA= 2/ACG,再證明 /ACG=/ABC.圖2T 中，連接 AG,彳Fhl± AG于H.想辦法證明 Z GFA= 120 °,求出EF, OF, OG即 可解決問題.【詳解】Ei(1)證明：連接OC.1. OA=OC, EC= EA, OFXAC,FC= FA,/ OF

38、A= / OFC, / CFA= 2/BAC,/ OFA= / BAC, / OEA= 90 ； / EAO+Z EOA= 90 °, / OFA+Z AOE= 90 °,/ FAO= 90 ；AFXAB.(2) 解：結(jié)論：/GFA= 2/ABC. 理由：連接FC.02.OF垂直平分線段 AC, . FG= FA, , FG= FA,FC= FG= FA,以F為圓心FC為半徑作OF.Ag Ag ,/ GFA= 2/ACG,.AB是。的直徑，/ ACB= 90 °, .CD± AB, / ABO / BCA= 90 °, / BCD+Z ACD=

39、 90 ;/ ABC= / ACG/ GFA= 2/ABC.如圖2 - 1中，連接 AG,彳Fhl±AG于H.圖2 -1 BD= OE, / CDB= / AEO= 90 ； / B= / AOE, . .CD®MEO (AAS), .CD= AE, EC= EA, .AC= 2CD./ BAC= 30 ； / ABC= 60 °,/ GFA= 120 ； ，OA=OB= 2,.OE= 1, AE=/3, BA=4, BD= OD= 1, / GOE= / AEO= 90 ° .OG/ AC,32.3DG ,OG AGDG2 AD2 FG= FA, FH

40、XAG,.AH=HG=回，/AFH= 60。， 3AH2,7 .AF= ,sin 603在 RtAEF中，EF= JAF2 AE21 ,3八 八4 .OF=OE+EF=,3. PE/ OG,.PE EF, , ，OG 0F1PE 32.34'亍 3【點睛】圓綜合題，考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三 角函數(shù)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決 問題.14.如圖，BD為4ABC外接圓。的直徑，且 /BAE=/C.(1)求證：AE與。相切于點A;(2)若 AE/ BC, BC= 2J3, AC= 2,求 AD 的長.【答

41、案】(1)證明見解析；(2) 2>/3【解析】【分析】(1)根據(jù)題目中已出現(xiàn)切點可確定用連半徑，證垂直”的方法證明切線，連接 AO并延長交。于點F,連接BF,則AF為直徑，/ABF= 90°,根據(jù)同弧所對的圓周角相等，則可得 到/BAE=/F,既而得到 AE與。相切于點A.(2)連接 OC,先由平行和已知可得 /ACB=/ABC,所以AC= AB,則/ AOC= / AOB, 從而利用垂徑定理可得 AH=1,在RtOBH中，設(shè)OB= r,利用勾股定理解得 r=2,在 RtA ABD中，即可求得 AD的長為2后.【詳解】解：(1)連接AO并延長交OO于點F,連接BF,則AF為直徑，/ ABF= 90°,Ab Ab ,/ ACB= / F, / BAE / ACB, / BA邑 / F, / FABZ F= 90 ； / FABZ BAE= 90 °, OAXAE, .AE與。相切于點A.(2)連接OC,AE/ BC,/ BAE= / ABC, / BAE= / ACB,/ ACB= / ABC,.AC= AB=2,/ AOC= / AOB,.OC= OB,OAXBC,.CH= BH= 1 BC=百,2在 RtABH 中，AH= Jab2 BH2=1,在 RtOBH 中，設(shè) O