256一元線性回歸的預(yù)測及實(shí)例

1、12.5 一元線性回歸分析的應(yīng)用：預(yù)測問一元線性回歸分析的應(yīng)用：預(yù)測問題題 一、條件均值一、條件均值E(Y|X=X0)E(Y|X=X0)或個(gè)值或個(gè)值Y0Y0的預(yù)測值的預(yù)測值的點(diǎn)估計(jì)的點(diǎn)估計(jì)二、總體條件均值與個(gè)值預(yù)測值的置信區(qū)二、總體條件均值與個(gè)值預(yù)測值的置信區(qū)間估計(jì)間估計(jì) 2 對于一元線性回歸模型 iiXY10給定樣本以外的解釋變量的觀測值X0，可以得到被解釋變量的預(yù)測值0 ，可以此作為其條件均值E(Y|X=X0)或個(gè)別值Y0的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)。 注意：注意： 嚴(yán)格地說，這只是被解釋變量的預(yù)測值的估嚴(yán)格地說，這只是被解釋變量的預(yù)測值的估計(jì)值，而不是預(yù)測值。計(jì)值，而不是預(yù)測值。 原因原因:（1）參數(shù)估

2、計(jì)量不確定；（樣本不同，）參數(shù)估計(jì)量不確定；（樣本不同，參數(shù)估計(jì)量不同）參數(shù)估計(jì)量不同） （2）隨機(jī)項(xiàng)干擾項(xiàng)的影響）隨機(jī)項(xiàng)干擾項(xiàng)的影響30 0是條件均值是條件均值E(Y|X=X0)E(Y|X=X0)的一個(gè)無偏估計(jì)的一個(gè)無偏估計(jì)對總體回歸函數(shù)E(Y|X=X0)=0+1X，X=X0時(shí) E(Y|X=X0)=0+1X00100XY于是0101000100)()()()(XEXEXEYE可見，可見，0是條件均值是條件均值E(Y|X=X0)的無偏估計(jì)。的無偏估計(jì)。4對總體回歸模型Y=0+1X+，當(dāng)X=X0時(shí)0100XY于是0100100100)()()(XEXXEYE0101000100)()()()(X

3、EXEXEYE0 0是個(gè)值是個(gè)值Y0Y0的一個(gè)無偏估計(jì)的一個(gè)無偏估計(jì)5舉例舉例若根據(jù)若根據(jù)1010個(gè)樣本數(shù)據(jù)所建立的家庭可支配收入個(gè)樣本數(shù)據(jù)所建立的家庭可支配收入- -消費(fèi)支出消費(fèi)支出模型為模型為 ，求家庭可支配收入為，求家庭可支配收入為60006000元時(shí)家庭消費(fèi)支出均值和個(gè)值的預(yù)測值。元時(shí)家庭消費(fèi)支出均值和個(gè)值的預(yù)測值。解：解：可得家庭平均消費(fèi)支出的均值和個(gè)值的預(yù)測值為可得家庭平均消費(fèi)支出的均值和個(gè)值的預(yù)測值為06000X 將家庭可支配收入將家庭可支配收入代入樣本回歸函數(shù)代入樣本回歸函數(shù)6總體條件均值預(yù)測值的區(qū)間估計(jì)總體條件均值預(yù)測值的區(qū)間估計(jì) 1、總體均值預(yù)測值的區(qū)間估計(jì)、總體均值預(yù)測值

4、的區(qū)間估計(jì) 區(qū)間估計(jì)思想：構(gòu)造一個(gè)已知概率的統(tǒng)計(jì)量（如區(qū)間估計(jì)思想：構(gòu)造一個(gè)已知概率的統(tǒng)計(jì)量（如t t分布的統(tǒng)分布的統(tǒng)計(jì)量）該統(tǒng)計(jì)量包含計(jì)量）該統(tǒng)計(jì)量包含Y0Y0的總體均值，該統(tǒng)計(jì)量的其它參數(shù)的總體均值，該統(tǒng)計(jì)量的其它參數(shù)都能由樣本估計(jì)出來，再將該統(tǒng)計(jì)量取值的置信區(qū)間轉(zhuǎn)化都能由樣本估計(jì)出來，再將該統(tǒng)計(jì)量取值的置信區(qū)間轉(zhuǎn)化為為Y0Y0總體均值的置信區(qū)間總體均值的置信區(qū)間問題：給定顯著性水平問題：給定顯著性水平, 如何構(gòu)造總體均值的如何構(gòu)造總體均值的1的置信區(qū)的置信區(qū)間間?7 如何構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量？如何構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量？已知 0100XY),(2211ixN),(22200iixnXN于是0101000)()

5、()(XEXEYE)(),(2)()(12010000VarXCovXVarYVar可以證明 2210/),(ixXCov因此 也服從正態(tài)分布 和 Why？ Why？ Why？ 248進(jìn)而可證 200222222XXXXnXnXxii)(20222XXnxxii)(1(2202ixXXn故 )(1(,(22020100ixXXnXNY)2()(00100ntSXYtY)(1(22020iYxXXnS其中)(),(2)()(12010000VarXCovXVarYVarWhy？Why?)2(200222XXXnXxi9Pttt()221即置信區(qū)間的構(gòu)造過程：置信區(qū)間的構(gòu)造過程：等價(jià)于易得：進(jìn)而于

6、是，在1-的置信度下，總體均值E(Y|X0)的置信區(qū)間為 10舉例舉例根據(jù)根據(jù)10個(gè)樣本所建立的家庭可支配收入個(gè)樣本所建立的家庭可支配收入-消費(fèi)支出關(guān)系模型消費(fèi)支出關(guān)系模型為為 ，已知，已知 =2150, xi2=7425000， yi2=,490020， xiyi=,5769300。請構(gòu)造家庭可支配收入。請構(gòu)造家庭可支配收入為為6000元時(shí)家庭平均消費(fèi)支出的置信度為元時(shí)家庭平均消費(fèi)支出的置信度為95%的置信區(qū)間的置信區(qū)間解：解：根據(jù)回歸函數(shù)，可得：根據(jù)回歸函數(shù)，可得：查查t分布表分布表P371，可得：，可得：易得：易得：而而X11解續(xù)：解續(xù)：進(jìn)而，可求得：進(jìn)而，可求得：E(Y|6000)預(yù)測

7、值預(yù)測值95%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 即即12220001021()1( , )niiXXYNXnx已知已知 20010 YNX（，）總體個(gè)值預(yù)測值的區(qū)間估計(jì)總體個(gè)值預(yù)測值的區(qū)間估計(jì) 問題：給定顯著性水平問題：給定顯著性水平, 如何構(gòu)造總體個(gè)值的如何構(gòu)造總體個(gè)值的1的置信區(qū)間的置信區(qū)間則則也服從正態(tài)分布也服從正態(tài)分布可證得：可證得：因此有：因此有：Why？2913其中其中對于給定的顯著性水平對于給定的顯著性水平1由此可得，個(gè)別值由此可得，個(gè)別值的置信度為的置信度為的預(yù)測置信區(qū)間為的預(yù)測置信區(qū)間為0YWhy？或或14舉例舉例解：解：根據(jù)回歸函數(shù)，可得：根據(jù)回歸函數(shù)，可得：查查t分布表分布表P3

8、71，可得：，可得：易得：易得：而而根據(jù)根據(jù)10個(gè)樣本所建立的家庭可支配收入個(gè)樣本所建立的家庭可支配收入-消費(fèi)支出關(guān)系模型消費(fèi)支出關(guān)系模型為為 ，已知，已知 =2150, xi2=7425000， yi2=,490020， xiyi=,5769300。請構(gòu)造家庭可支配收入。請構(gòu)造家庭可支配收入為為6000元時(shí)家庭消費(fèi)支出個(gè)值的置信度為元時(shí)家庭消費(fèi)支出個(gè)值的置信度為95%的置信區(qū)間的置信區(qū)間X15解續(xù)：解續(xù)：進(jìn)而，可求得：進(jìn)而，可求得：X0=6000時(shí)個(gè)別家庭預(yù)測值時(shí)個(gè)別家庭預(yù)測值95%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 即即16習(xí)題習(xí)題提示：提示：根據(jù)根據(jù)10個(gè)樣本所建立的家庭可支配收入個(gè)樣本所建立的家

9、庭可支配收入-消費(fèi)支出關(guān)系模型消費(fèi)支出關(guān)系模型為為 ，已知，已知 =2150, xi2=7425000， yi2=,490020， xiyi=,5769300。請構(gòu)造家庭可支配收入。請構(gòu)造家庭可支配收入為為6000元時(shí)家庭消費(fèi)支出個(gè)值和均值的置信度為元時(shí)家庭消費(fèi)支出個(gè)值和均值的置信度為99%的置信的置信區(qū)間區(qū)間X17總體均值、個(gè)別值的預(yù)測置信域總體均值、個(gè)別值的預(yù)測置信域預(yù)測值的置信域的特征預(yù)測值的置信域的特征將每個(gè)將每個(gè)X值的總體均值值的總體均值（個(gè)值）（個(gè)值）95%的置信區(qū)的置信區(qū)間的端點(diǎn)連起來，則得間的端點(diǎn)連起來，則得到總體均值（個(gè)值）的到總體均值（個(gè)值）的置信帶（域）置信帶（域）183

10、樣本容量越大、擬合優(yōu)度越高，樣本容量越大、擬合優(yōu)度越高， 預(yù)測置信區(qū)間越小預(yù)測置信區(qū)間越小2當(dāng)解釋變量當(dāng)解釋變量X的取值為的取值為X的均值時(shí)，的均值時(shí)， 預(yù)測置信區(qū)間的寬度最小，而當(dāng)預(yù)測置信區(qū)間的寬度最小，而當(dāng)X 的取值偏離的取值偏離X均值的距離越均值的距離越 大，預(yù)大，預(yù) 測置信區(qū)間的寬度越大。測置信區(qū)間的寬度越大。1被解釋變量總體均值的預(yù)測置信被解釋變量總體均值的預(yù)測置信 區(qū)間窄于個(gè)別值的預(yù)測置信區(qū)間區(qū)間窄于個(gè)別值的預(yù)測置信區(qū)間why？why？why？預(yù)測值的置信域的特征預(yù)測值的置信域的特征這種變化說明歷史的樣本回這種變化說明歷史的樣本回歸線的預(yù)測能力隨著歸線的預(yù)測能力隨著X取值取值越來越

11、遠(yuǎn)離均值而顯著下降越來越遠(yuǎn)離均值而顯著下降192.6 實(shí)例：時(shí)間序列問題實(shí)例：時(shí)間序列問題 一、中國居民人均消費(fèi)模型一、中國居民人均消費(fèi)模型 二、時(shí)間序列問題二、時(shí)間序列問題 20 一、中國居民人均消費(fèi)模型一、中國居民人均消費(fèi)模型例例2.6.1 （P53）考察中國城鎮(zhèn)居民）考察中國城鎮(zhèn)居民2006年收入與消費(fèi)支出的年收入與消費(fèi)支出的關(guān)系，下表給出了中國內(nèi)地關(guān)系，下表給出了中國內(nèi)地31個(gè)省區(qū)以當(dāng)年價(jià)測算的數(shù)據(jù)。個(gè)省區(qū)以當(dāng)年價(jià)測算的數(shù)據(jù)。X： 家庭年人均可支配收入；Y：家庭年人均消費(fèi)支出教材P54頁數(shù)據(jù)出錯(cuò)，X與Y應(yīng)交換21 該組數(shù)據(jù)是截面數(shù)據(jù)； 1、建立模型、建立模型 擬建立如下一元回歸模型擬建

12、立如下一元回歸模型 Y=0+1X+采用Eviews軟件進(jìn)行回歸分析的結(jié)果見下表 22可寫出如下回歸分析結(jié)果：可寫出如下回歸分析結(jié)果：XY714554. 04993.28123 2、模型檢驗(yàn)、模型檢驗(yàn) 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)：擬合優(yōu)度檢驗(yàn)：R2=0.9714表明：城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出變化的表明：城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出變化的97.14%可由人均可由人均可支配收入的變化來解釋?？芍涫杖氲淖兓瘉斫忉?。24 2、模型檢驗(yàn)、模型檢驗(yàn) 變量的顯著性檢驗(yàn)變量的顯著性檢驗(yàn)參數(shù)顯著性檢驗(yàn)的參數(shù)顯著性檢驗(yàn)的T值值: C: 268.9497 X: 0.022760 對應(yīng)的對應(yīng)的P值：值： 0.3039 0.0000 表明：在表

13、明：在5%的顯著性水平下，城鎮(zhèn)居民的家庭人均可支配收入對家庭人的顯著性水平下，城鎮(zhèn)居民的家庭人均可支配收入對家庭人均消費(fèi)支出有顯著的影響。并且均消費(fèi)支出有顯著的影響。并且 斜率項(xiàng)：斜率項(xiàng)：00.7145541的證券稱為不穩(wěn)定證券，建立適當(dāng)?shù)脑僭O(shè)及備擇假設(shè)，檢驗(yàn)IBM的股票是否是易變股票(=5%)練習(xí)（練習(xí)（3 3）46(1) 解釋回歸參數(shù)的意義。答：回歸方程的截距0.7264表明當(dāng)rm為0時(shí)的股票或債券的收益率，它本身沒有經(jīng)濟(jì)意義。 回歸方程的斜率1.0598表明當(dāng)有價(jià)證券的收益率每上升（或下降）1個(gè)點(diǎn)將使IBM股票收益率上升（或下降）1.0598個(gè)點(diǎn)。(2) 如何解釋R2?答：R2為可決系數(shù)，是度量回歸方程擬合優(yōu)度的指標(biāo)。 它表明該回歸方程中IBM股票的收益率47.1%的的變化是由有價(jià)證券收益率rm的變化引起的。R2=0.471也表明回歸方程對數(shù)據(jù)的擬合效果不是很好。 rt= 0.7264 + 1.0598 rmt+ut se： (0.3001) (0.0728) R2=0.471047(3) 安全系數(shù)11的證券稱為不穩(wěn)定證券，以11為原假設(shè)，檢驗(yàn)IBM的股票是否是